Применение математики в географии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНСТИТУТ НАУК О ЗЕМЛЕ

Реферат

Применение математики в географии

Выполнила: студентка

Парафилова Татьяна

Тюмень 2015

1. Историческая справка

Основы математики мы начинаем изучать ещё в раннем детском возрасте. Жизнь современного человека невозможна без умения применять простейшие действия с числами. Гаусс Карл Фридрих как-то сказал: «Ввиду своей внутренней независимости от материального и практического «математика является царицей наук». И это действительно так, каждая наука базируется на математических вычислениях и работе с числовыми данными.

География произошла от двух древнегреческих слов: «гео» - земля и «графо» пишу. Значит основной задачей географии изначально было землеописание. Сейчас же география нашла широкое применение в жизни человека. Современная цель - изучение происхождения, строения, функционирования, динамики и развития пространственно-временных природно-общественных геосистем. Она является конструктивной наукой, призванной организовать пространственную жизнь общества.

Так как география комплексная наука, охватывающая большой спектр знаний, в её системе выделяются:

- естественные науки, к которым принято относить физическую географию в полном смысле этого слова (включая ландшафтоведение, общее землеведение и палеогеографию), климатология, геоморфология, гидрология суши, гляциология, океанология, геокриология, а также география почв и биогеография,

- общественные географические науки - это региональная и общая экономическая география, география сельского хозяйства, география отраслей хозяйства (география транспорта и география промышленности), политическая география и география населения,

- картография - это техническая наука, которая к тому же входит в систему современных географических наук благодаря историческим причинам и общности главных задач с прочими географическими науками.

Также к географии принято относить страноведение.

Все разнообразие методов географических исследований сводится к трем категориям:

1. общенаучные: теоретические методы (методы обобщения). Они также имеют сложную внутреннюю структуру. Среди них можно выделить логические методы, к которым, прежде всего, относятся две главные формы умозаключения - дедукция и индукция, предусматривающие соответственно путь рассуждений от общего к частному и от частного к общему. К ним относится и метод аналогий, позволяющий выявить сходство предметов и явлений в каких-то свойствах, признаках, отношениях.

2. междисциплинарные: математический, геохимический и геофизический и метод моделирования.

3. Специфические: эмпирические методы (методы наблюдения). К их числу следует отнести классический - экспедиционный (полевой) метод, который применяется со времени зарождения географии и является первоисточником всех географических знаний. В свою очередь главными путями его реализации служат наблюдение - получение первичной информации об изучаемом объекте и также наблюдение, но с применением количественных показателей.

Как известно, математические вычисления более применимы в инженерных работах естественно-научного блока географии.

Самый яркий пример является определение формы Земного шара. Представление древнейших народов о Земле исходило из того, что они видели. Земля -- обширное плоское пространство, над которым опрокинут твердый свод неба, усеянный звездами. Однако по мере накопления наблюдений постепенно возникла мысль о выпуклой форме Земли. Скрывающиеся за горизонтом предметы, лучи восходящего солнца, освещающие сначала вершины, а потом основания гор, и другие факты привели к необходимости признать, что Земля имеет форму выпуклого вверх щита или плоско-выпуклого купола. По мере расширения знаний стал накапливаться уже более точный материал об изменении длины полуденной тени на разных широтах Земли. История не сохранила нам точных сведений о том, когда и где впервые появилось представление о шарообразности Земли. Но есть основания думать, что зародились они еще у вавилонян, а потом перешли в древнюю Грецию. Так, например, греческий мыслитель Парменид уже определенно говорил о Земле как о шаре. В работах известного греческого философа Аристотеля приведен целый ряд весьма убедительных доказательств шарообразной формы Земли. Ученик Аристотеля Дикеарх уже делал попытку измерить Землю, взяв за основание два пункта, расположенные на одном меридиане. Согласно Дикеарху окружность Земли имеет около 300 тыс. стадий², т. е. около 47 тыс. км. Во всяком случае эта величина не так уж далека от действительных размеров.

В данный момент учёные пришли к выводу, что Земля по форме близка к сфероиду -- фигуре, которую она приняла бы, находясь в состоянии гидростатического равновесия и под влиянием только сил взаимного тяготения ее частиц и центробежной силы вращения около неизменной оси.

2. Параметры эллипсоида вращения

Размеры и форму Земного эллипсоида вращения характеризуют два параметра: большая экваториальная полуось a и сжатие б. Чаще всего эти параметры и указываются. Кроме них в расчетах используются производные параметры, такие как малая полярная полуось b, полярный радиус с, первый e и второй e' эксцентриситеты меридионального эллипса и др. Первый эксцентриситет определяется отношением линейного эксцентриситета, отрезка от центра эллипса до каждого из его фокусов к полуоси а, второй - отношением этого же отрезка к полуоси b. Значения параметров важнейших общеземных эллипсоидов.

Таблица 1

Также приведены значения параметров для эллипсоидов IERS-96, ГСК-2011 и референц-эллипсоида Красовского.

Таблица 2

Ниже дана группа формул взаимосвязей применяемых параметров:

Значения большой полуоси и сжатия для разных эллипсоидов таблицах даны с разной точностью. Вследствие этого другие параметры получены также с разной точностью. Можно оценить, как точно следует вычислять эти параметры. Будем полагать, что большая экваториальная полуось a и сжатие б являются основными исходными параметрами. По ним вычисляются все остальные. Эти числа приближенные. Полагаем, что их ошибки не превышают 0,5 единицы последнего знака. В таком случае значения полуоси b и полярного радиуса с приведены с избыточной точностью, ибо для их погрешностей имеем: ?a ? ?b ? ?c

Для погрешностей эксцентриситетов получаем ?е² ? ?е² ' ? 2?б

Для предельной погрешности сжатия эллипсоида GRS-80 получим ?б ?5Ч10^-15, для эллипсоида ГСК-2011 ?б ?5Ч10^-13. Поэтому значения эксцентриситетов для GRS-80 округлены до 14-го знака после запятой, а для ГСК-2011 - до 12-го знака после запятой. С той же точностью эти значения указаны и для других эллипсоидов.

3. Эллипсоидальные координаты

Основными координатами являются геодезическая долгота L, геодезическая широта B, геоцентрическая широта Ф и так называемая приведенная широта U.

Рисунок 1

Эллипсоидальные координаты Основными координатами являются геодезическая долгота L, геодезическая широта B, геоцентрическая широта Ф и так называемая приведенная широта U (рис. 1). Приведенная широта (U) определяется следующим образом (рис. 1). Соединим точку Q на эллипсоиде с точкой на его оси вращения l так, чтобы длина отрезка между этими точками равнялась большой полуоси a. Острый угол, образуемый данным отрезком с плоскостью экватора, называется приведенной широтой. Отрезок пересекает плоскость экватора в точке k. Отрезок Qk равен малой полуоси b эллипсоида вращения. На рис. 3.4 даны меридиональные сечения эллипсоида вращения с координатными осями -- вертикальной z и горизонтальной r. В этих координатах приведенная широта U позволяет записать уравнение меридионального эллипса в параметрической форме:

Отсюда следует уравнение меридионального эллипса:

Приведённую широту ввёл французский математик, работавший и в области геодезии, Лежандр (Adrien Marie Legendre, 1752-1833). Для указанных выше широт рис. 3.4 имеем:

Первая формула следует из рис. 3.4.1. Вторая получена из уравнений (3.1). Третья запись есть уравнение касательной к меридиональному эллипсу, составляющей угол с горизонталь- ной осью (90°+B). После её дифференцирования получаем:

Отсюда для точек на эллипсоиде следуют формулы взаимосвязи широт B, U и Ф:

4. Полярные координаты на эллипсоиде вращения

Геодезическая линия -- это линия кратчайшего расстояния между двумя пунктами на любой поверхности. На сфере ей соответствует ортодромия, на плоскости -- прямая. Название геодезическая линия принято не только в геодезии, но и в математике. Клеро (Alexis Claude Clairaut, 1713-1765, французский, математик, астроном, геодезист) в 1733 г. доказал, что на поверхности вращения в каждой точке геодезической линии произведение радиуса параллели r на синус азимута A линии величина постоянная:

Константа равна произведению большой полуоси эллипсоида (a) на синус азимута (A₀) линии в точке на экваторе. Линия совпадает с меридианом, когда азимут A₀ = 0. Из всех геодезических линий только меридианы проходят через полюса. Когда A0 = 90⁰, геодезическая линия совпадает с экватором. В иных случаях по мере ухода к северу геодезическая линия постепенно уклоняется от меридиана, так как радиус параллели уменьшается и, следовательно, её азимут должен увеличиваться. Ход геодезической линии показан на рис. 2.

Рисунок 2

география математический эллипсоид геодезический

После пересечения экватора в точке Q₁ геодезическая линия достигает точки Q₂ на параллели, где будет sinA = 1. Начиная с этой параллели, геодезическая линия повернет к югу. В точке Q₃ пересечёт экватор. В точке Q₄ коснется параллели, после чего повернёт на север. Таким образом, геодезическая линия будет описывать витки, последовательно касаясь то на севере, то на юге параллелей, где sinA = 1. Геодезическая линия, как пространственная кривая, обладает кручением. Поэтому после каждого витка она смещается по долготе, опутывая эллипсоид бесконечным числом витков.

Литература

1. А.В. Маслов. Геодезия.

2. Б.Б. Серапинас. Геодезические основы карт.

Размещено на Allbest.ru