Анализ методики обучения младших школьников долям и дробям

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Актуальность. В соответствии с программой по математике в начальных классах должна быть проведена подготовка к изучению дробей в V и VI классах. Это значит, что в начальных классах надо создать конкретные представления о доли и дроби.

В настоящее время появляется большое число новых моделей обучения в начальной школе, каждая из которых имеет свой взгляд на данную тему. Так в системе Л.В. Занкова более широко представлена обыкновенная дробь, а также сложение и вычитание обыкновенных дробей. Этой же позиции придер-живается и модель «Школа 2100» и соответствующая ей программа Л.Г. Петерсон. В системе Эльконина - Давыдова наряду с обыкновенной дробью в 4 классе дети знакомятся с десятичными дробями и с правилами их сложения и вычитанияПрограммы общеобразовательных учреждений. Начальные классы (1 - 4). Часть 1. - М.: Просвещение, 2001.- с.283-287..

Несмотря на то, что доли и дроби изучаются практически во всех современных моделях образования, эта тема до сих пор остается наиболее сложной для учащихся и вызывает у них определенные трудности.

Все вышесказанное позволило определить тему курсовой работы: методика изучения доли и дроби в начальной школе.

Объект исследования: учебно-воспитательный процесс в начальной школе.

Предмет исследования: методические особенности обучения младших школьников понятию доли и дроби.

Цель исследования: выявить особенности методики обучения младших школьников долям и дробям.

Гипотеза исследования: обучение младших школьников долям и дробям будет проходить наиболее эффективно, если учитель будет использовать прак-тический метод.

Для достижения поставленных целей и проверки гипотезы были определены следующие задачи:

1. Подобрать и изучить методическую и психологическую литературу по данной теме.

2. Раскрыть понятия «доля» и «дробь».

3. Выявить основные проблемы, возникающие у учащихся в процессе изучения данной темы.

4. Раскрыть особенности методики работы с долями и дробями в начальной школе.

В первой главе работы рассмотрены теоретические аспекты изучения доли и дроби в начальной школе.

Для написания работы использовалась методическая, психологическая литература и периодика.



Глава 1. Теоретические аспекты изучения доли и дроби в начальной школе

1.1 История возникновения понятий «доля» и «дробь»

Дроби появились в глубокой древности. При разделе добычи, при измерениях величин, да и в других похожих случаях люди встретились с необходимостью ввести дроби.

Древние египтяне уже знали, как поделить 2 предмета на троих, для этого числа - 2/3 - у них был специальный значок. Между прочим, это была единственная дробь в обиходе египетских писцов, у которой в числителе не стояла единица - все остальные дроби непременно имели в числителе единицу (так называемые основные дроби): 1/2; 1/3; 1/28; … . Если египтянину нужно было использовать другие дроби, он представлял их в виде суммы основных дробей Шидова Н.В. Из истории возникновения дробей./ Математика, 1999,№ 10. - с. 15.. Например, вместо 8/15 писали 1/3+1/5. Иногда это бывало удобно. В папирусе Ахмеса есть задача :

«Разделить 7 хлебов между 8 людьми». Если резать каждый хлеб на 8 частей, придётся провести 49 разрезов.

А по-египетски эта задача решалась так: Дробь 7/8 записывали в виде долей: 1/2+1/4+1/8. Значит каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба; поэтому четыре хлеба разрезали пополам, два хлеба- на 4 части и один хлеб на 8 долей, после чего каждому дали его часть.

Но складывать такие дроби было неудобно. Ведь в оба слагаемых могут входить одинаковые доли, и тогда при сложении появится дробь вида 2/n. А таких дробей египтяне не допускали. Поэтому, папирус Ахмеса начинается с таблицы, в которой все дроби такого вида от 2/5 до 2/99 записаны в виде суммы долей. С помощью этой таблицы выполняли и деление чисел. Вот, например, как 5 делили на 21:

Умели египтяне также умножать и делить дроби. Но для умножения приходилось умножать доли на доли, а потом, быть может, снова использовать таблицу. Ещё сложнее обстояло с делением.

В древнем Вавилоне предпочитали наоборот, - постоянный знаменатель, равный 60-ти. Шестидесятеричными дробями, унаследованными от Вавилона, пользовались греческие и арабские математики и астрономы. Но было неудобно работать над натуральными числами, записанными по десятичной системе, и дробями, записанными по шестидесятеричной. А работать с обыкновенными дробями было уже совсем трудно. Поэтому голландский математик Симон Стевин предложил перейти к десятичным дробям Шидова Н.В. Из истории возникновения дробей./ Математика, 1999,№ 10. - с. 16..

Интересная система дробей была в Древнем Риме. Она основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Двенадцатую долю асса называли унцией. А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью- весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь шла не о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12 пути или прочтено 5/12 книги. А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия Дорохов Т.С. Дроби и проценты. / Математика, 1997, № 30. - с.3.

Даже сейчас иногда говорят: «Он скрупулёзно изучил этот вопрос». Это значит, что вопрос изучендо конца, что не одной самой малой неясности не осталось. А происходит странное слово «скрупулёзно» от римского названия 1/288 асса - «скрупулус». В ходу были и такие названия: «семис»- половина асса, «секстанс»- шестая его доля, «семиунция»- половина унции, то есть 1/24 асса и так далее. Всего применялось 18 различных названий дробей. Чтобы работать с дробями, надо было помнить для этих дробей таблицу сложения и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твёрдо знали, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию ( 2/3 унции, то есть 1/8 асса) получается унция. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из которых дошли до нас.

Современную систему записи дробей с числителем и знаменателем создали в Индии. Только там писали знаменатель сверху, а числитель - снизу, и не писали дробной черты. А записывать дроби в точности, как сейчас, стали арабы Болтянский В.Г. Простые дроби и вычислительная техника./ Математика в школе, 1998, №5.- с. 41.

1.2 Проблемы изучения долей и дробей в начальной школе

Рассмотрим проблемы, возникающие у младших школьников при изучении долей и дробей:

- при делении геометрической фигуры на доли получаются неравные доли. Учитель должен обучить получению правильных долей путем сложения фигуры на равные части;

- смешивание понятия «доля» и «дробь». Учитель объясняет детям, что доля - это 1 часть от целого (1/2, 1/4, 1/6 и другие), а дробь - любая другая часть целого (2/3, 4/8 и так далее). Можно провести математические диктанты на разведение этих понятий;

- ошибки при сравнении дробей. Здесь рассматривается несколько случаев: 1) если у дробей одинаковые знаменатели, то больше та дробь, числитель которой больше; 2) если у дробей одинаковые числители, то больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Сравнение дробей рассматривают на конкретных примерах с использованием наглядного материала. Дети хорошо видят, что дробь 2/3 больше, чем дробь 2/4, так как в первом случае делили на 3 части, а во втором - на 4 части, поэтому во втором случае сами части получились меньше;

- ошибки при переводе неправильной дроби в смешанное число. Данная операция основывается на делении с остатком, поэтому перед изучением данной темы необходимо повторить деление с остатком. Покажем на конкретном примере. «Преобразовать неправильную дробь 21/6 в смешанное число». Рассуждают: «Так как целое делили на 6 равных частей и взяли 21 часть, то целых было несколько. Узнаем, сколько целых частей умещается в 21. 21: 6 = 3 (ост.3). Значит 21/6 = 3 3/6.» Дети легко приходят к выводу, что частное, получаемое в результате деления числителя на знаменатель, - это целая часть, а остаток - числитель новой дроби. Знаменатель остается без изменения;

- ошибки при переводе смешанного числа в неправильную дробь. Эта операция основывается на проверке деления с остатком, поэтому изучается после перевода неправильной дроби в смешанное число. Но по аналогии дети уже легко могут сами вывести правило: «Чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель и к полученному произведению прибавить числитель. Это будет числитель новой дроби. Знаменатель оставляем без изменения.»;

- ошибки при сложении и вычитании дробей. Учащиеся часто складывают/вычитают и числители, и знаменатели. Для предупреждения этих ошибок учитель при объяснении данной темы должен опираться на наглядный материал. Данные операции проводятся в пределах одной геометрической фигуры;

- ошибки при выборе решения задач, связанных с дробями и долями. Очень часто учащиеся путают вид задачи и неверно избирают решение задачи. Учитель должен работать над различением видов задач, связанных с дробями. Рассмотрим две задачи на нахождение доли числа («В классе 32 ученика. Из них 1/4 играют в хоккей. Сколько хоккеистов в классе?») и на нахождение числа по доле(«Сколько стоит книга, если 2/6 часть ее цены составляет 14 р.?»). Дети должны понять, что в задачах первого вида нужно целое (32) делить на знаменатель (4), то есть находить значение одной части, и умножить на числитель дроби (1). В задачах второго вида нужно искать целое. Для этого нужно узнать сколько приходиться на одну часть (делят 14 на 2), а затем умножить на знаменатель, то есть количество частей. Получают целое.

Очень хорошо данная работа показана в программе по математике Л.Г. Петерсон в 4 классе. Решение задач, связанных с дробями, раскрывается с помощью модели отрезка, на котором хорошо просматривается связь между данными и искомыми.

Таким образом, большая роль в работе с долями и дробями принадлежит учителю, так как данная тема сложна для учащихся начальной школы. Вся работа ведется в тесной связи с наглядным материалом.



Глава 2. Методика изучения долей и дробей в начальной школе

2.1 Методика ознакомления с понятиями «доля» и «дробь» и сравнением долей и дробей

Ознакомление с долями и дробями традиционно начинается в 3 классе. С этой целью предусматривается ознакомить детей с долями, их записью, научить сравнивать дроби, решать задачи на нахождение доли числа и числа по доле; в 4 классе ознакомить с дробями, их записью, научить сравнивать дроби, научить решать задачи на нахождение дроби числа Истомина Н.В. Методика обучения математике в начальных классах. - М.: Академия, 2000. - с.62.. Все названные вопросы раскрываются на наглядной основе.

Работа над данной темой ведется в 2 этапа.

1. Ознакомление с долями.

Ознакомить детей с долями - значит сформировать у них конкретные представления о долях, то есть научить детей образовывать доли практически. Например, чтобы получить одну четвертую долю круга, надо круг разделить на четыре равные части и взять одну такую часть Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах: Учеб. пособие для учащихся школ, отд-ний пед. уч-щ. - М.: Просвещение, 1984. - с.308..

Для формирования правильных представлений о долях надо использовать достаточное количество разнообразных наглядных пособий. Как показал опыт, наиболее удобными пособиями являются геометрические фигуры, вырезанные из бумаги; можно использовать рисунки фигур, выполненные на бумаге или в диапозитивах (круги, прямоугольники, треугольники, бруски, отрезки и другие). Очень важно, чтобы пособия были не только у учителя, но и у каждого из учащихся. Правильные представления о долях, а позднее о дробях. Будут сформированы тогда, когда ученики будут своими руками получать, например, половину круга, квадрата Истомина Н.Б., Латохина Л.Г., Шмырева Г.Г. Практикум по методике преподавания математики в начальных классах: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по спец. №2121 «Педагогика и методика нач. обучения».- М.: Просвещение, 1986. - с.72..

Познакомить детей с долями можно таким образом. У каждого из учащихся и у учителя по несколько одинаковых кругов, прямоугольников. Учитель: «Возьмите два одинаковых круга. Один из них разделите на две равные части (показывает, как надо перегнуть и как разрезать круг). Это целый круг, а это половина круга, иначе говоря, одна вторая доля круга. Сколько вторых долей в целом круге? (2) . Покажите их. Возьмите квадрат. Как полу-чить одну вторую долю или половину квадрата (разделить его на две равные части и взять одну такую часть)? Выполняйте.»

Учащиеся могут сделать это разными способами, например: разрезать квадрат по диагонали и получить два равных треугольника или же разрезать по средней линии, тогда получится два прямоугольника. Некоторые учащиеся могут предложить и другие способы деления квадрата на две равные части.

Учитель: «Как получить одну вторую долю круга (разделить круг на две равные части и взять одну такую часть)? Как получили одну вторую долю квадрата? Как иначе называют одну вторую долю круга? Квадрата? (Половина круга, половина квадрата.) Сколько половин круга в целом круге (2)?»

Доли записывают с помощью двух чисел. Одна вторая доля круга, квадрата обозначается так: 1/2. Число 2 показывает, что круг, квадрат или другая фигура (предмет), разделена на 2 равные части, а число 1 показывает, что взяли одну такую часть.

Учащиеся записывают на половине круга 1/2 и объясняют, что пока-зывает в этой записи каждое число.

Так же образуются доли 1/4, 1/8, 1/3, 1/6, 1/5, 1/10 и др. При этом учащиеся должны уяснить, что для получения например, 1/5 отрезка (прямоугольника, бумажной полоски) надо данный отрезок (прямоугольник , полоску) разделить на 5 равных частей и взять одну такую часть, что в данном отрезке 5 пятых долей, что одна пятая доля записывается так: 1/5, что в этой записи число 5 обозначает, на сколько равных частей разделен отрезок, а число 1, - что взята одна такая часть. Для закрепления этих знаний и умений учащимся предлагают различные упражнения.

Это прежде всего упражнения в назывании и записи долей азовите и запишите, какая доля квадрата (круга) отрезана (закрашена).

Можно предлагать самим детям изобразить какую-либо долю отрезка и записать эту долю.

В каждом случае надо спрашивать, сколько всего долей в целом. Например, сколько третьих долей отрезка во всем отрезке и другие.

Эффективным упражнением для формирования представлений о долях является сравнение долей одной и той же величины, которое выполняется чисто практически, с помощью наглядных пособий.

Например, предлагается сравнить доли 1/3 и 1/2 и поставить знак « > », « < ».

Учащиеся изображают доли, например, с помощью отрезков равнивают их и убеждаются, что 1/3 меньше, чем 1/2.

Решение задач на нахождение доли числа и числа по его доле также способствует формированию представлений о долях величины. В этом их основное назначение. Поэтому, решение задач на нахождение доли числа и числа по его доле выполняется на наглядной основе Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах: Учеб. пособие для учащихся школ, отд-ний пед. уч-щ. - М.: Просвещение, 1984. - с.310..

В 3 классе рассматривается только простые задачи, а в 4 классе они включаются в составные.

2. Ознакомление с дробями.

Образование дробей, как и образование долей рассматривается с помощью наглядных пособий.

Ознакомление начинается с упражнений вида: «Разделите круг на 4 равные части. Как назвать каждую такую часть? Запишите. Покажите три четвертые доли. Вы получили дробь - три четвертых. Кто сможет записать эту дробь? Что показывает число 4 (на сколько равных частей разделили круг)? Что показывает число 3 (сколько таких частей взяли)? Аналогичным образом учащиеся получают и записывают другие дроби, объясняя, что показывает каждое число.» Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах: Учеб. пособие для учащихся школ, отд-ний пед. уч-щ. - М.: Просвещение, 1984. - с.312.

Для закрепления полученных знаний выполняются такие же упражнения как и при ознакомлении с долями: по данным иллюстрациям называют и записывают, какие дроби изображены, или же изображают дробь с помощью чертежа, рисунка. Уяснению конкретного смысла дроби помогают упражнения на сравнение дробей, а также решение задач на нахождение дроби числа.

Для сравнения дробей обычно используются иллюстрации с равными прямоугольниками чащимся предлагают начертить в тетради прямоугольник, длина которого 16 см, а ширина 1 см. Это один прямоугольник.

Учитель: «Запишем (в первом прямоугольнике записывают число 1). Начертите под первым прямоугольником такой же второй и разделите его на 2 равные части (выполняют). Какие доли получили (вторые, половины). Сколько вторых долей в целом прямоугольнике? Подпишите. Ниже начертите такой же прямоугольник и разделите его на 4 равные части. Как называется каждая часть? Сколько четвертых долей в целом прямоугольнике? Сколько четвертых долей в половине? Что больше: одна вторая или две четвертые? Начертите четвертый такой же прямоугольник и разделите его на 8 равных частей.»

Таблица 1.4.

1
1/2	1/2
1/4	1/4	1/4	1/4
1/8	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8



Учитель: «Как называются полученные доли? Сколько восьмых долей в целом? Сколько восьмых долей в четверти, в половине прямоугольника? Что больше: три восьмых или одна четвертая? Какой дроби равна одна вторая?» Ответы на все перечисленные вопросы дети дают, глядя на рисунок.

Предлагаются специальные вопросы на сравнение дробей:

1. Вставьте пропущенный знак « > » , « < » или « = »:

3/8 * 3/4 ; 4/5 * 1 ; 4/8 * 1/2 ;

Подбираете такое число, чтобы равенство (неравенство) было верным:

5/10 = */2 ; 3/8 > */4 ; Ѕ < */4

Выполняя такие и подобные упражнения, учащиеся прибегают к соответствующим иллюстрациям с прямоугольниками, или заново изображают дроби с помощью, например отрезков.

Конкретный смысл дроби очень ярко раскрывается при решении задач на нахождение доли числа («В классе 32 ученика. Из них 1/4 играют в хоккей. Сколько хоккеистов в классе?»), на нахождение числа по доле(«Сколько стоит книга, если 1/6 часть ее цены составляет 14 р.?»), на нахождение части, которую одно число составляет от другого(«Около дома стоит 8 машин. Из них 3 машины белые. Какую часть всех машин составляют белые машины?»). Решение этих задач, как и задач на нахождение доли числа, выполняется с помощью соответствующих наглядных пособий и практического материала.

Например, предлагается задача: «У монтёра было 12 м провода. 2/3 всего провода он израсходовал. Сколько метров провода израсходовал монтер?»

Учащиеся под руководством учителя выполняют чертеж.

- Изобразим отрезком кусок провода, приняв 1 см за 1 м. Какой длины отрезок надо начертить? (12 см.) Что сказано об израсходованном проводе? (Израсходовано 2/3 всего провода.)

- Как изобразить израсходованный кусок провода? (Отрезок разделить на 3 равные части и взять 2 такие части.) Значит, сначала мы 12 разделим на 3. Что этим узнаём? (Чему равна 1/3 провода.) Чему же она равна? (4 м) Затем результат умножим на 2. Что этим узнаем? (Чему равны 2/3 провода.) Сколько же метров провода израсходовал монтер? (8 м.)

Запись: 12:3-2 = 8 (м) Ответ: 8 м.

В дальнейшем, решая такие задачи, учащиеся должны самостоя-тельно выполнять подобные рассуждения. Например, надо узнать, сколько минут в 3/4 ч. Ученик рассуждает: «Найду, сколько минут составляет 1/4 ч, для этого 60 разделю на 4, получится 15; теперь найду, сколько минут в 3/4 ч, для этого 15 умножу на 3, получится 45; значит, 3/4 ч -- это 45 мин».

Задачи на нахождение дроби числа должны предлагаться для устного и письменного решения. Несколько позднее задачи на нахождение дроби числа должны включаться в составные задачи, например: «Мотоциклист проехал за 3 дня 1250 км. В первый день он проехал 2/5 всего пути, а во второй день 3/10 всего пути. Какое расстояние проехал мотоциклист в третий день?»

Записывать решение таких задач лучше в виде отдельных действий:

1) 1250:5-2 = 500 (км) -- проехал мотоциклист в первый день;

2) 1250: 10-3 = 375 (км) -- проехал мотоциклист во второй день;

3) 500 + 375 = 875 (км) -- проехал мотоциклист за 2 дня;

4) 1250-- 875 = 375 (км)-- проехал мотоциклист в третий день.

Ответ: 375 км.

Задачи на нахождение дроби числа должны предлагаться для устного и письменного решения. Различные упражнения с дробями следует чаще включать для устных и письменных работ на протяжении всего учебного года. доля дробь решение задача

Сравнение долей и дробей.

Если мы сравниваем между собой какие-нибудь величины, например два отрезка, то может оказаться, что один из них в точности равен другому, или он больше другого, или меньше другого.

На рисунке 12 отрезок AВ равен отрезку CD; отрезок EF больше отрезка QH; отрезок KL меньше отрезка MN.

Такие же три случая мы встретим и при сравнении дробей. Попробуем сравнить между собой некоторые дроби.

1. Две дроби считаются равными, если величины, соответствующие этим дробям, равны между собой (при одной и той же единице измерения). Возьмём отрезок СК и примем его за единицу.

Разделим отрезок СК пополам точкой D (рис. 13). Тогда часть этого отрезка CD мы обозначим дробью 1/2. Если тот же отрезок СК мы разделим на 4 равные части, то отрезок CD выразится дробью 2/4 ; если же мы разделим отрезок СК на 8 равных частей, то отрезку CD будет соответствовать дробь 4/8. Так как мы три раза брали один и тот же отрезок, то дроби 1/2, 2/4 и 4/8 равны между собой.

2. Возьмём две дроби с равными числителями: 1/4 и 1/8, и посмотрим, какие величины им соответствуют. В первом случае некоторая величина разделена на 4 равные части, а во втором случае о н а же разделена на 8 равных частей.

Рисунок 14 показывает, что 1/4 больше 1/8. Следовательно, из двух дробей с одинаковыми числителями та дробь больше, у которой знаменатель меньше.

3. Возьмём две дроби с равными знаменателями: 5/8 и 3/8. Если мы отметим на предыдущем чертеже каждую из этих дробей, то увидим, что отрезок, соответствующий первой дроби, больше отрезка, соответствующего второй. Значит, из двух дробей с одинаковыми знаменателями та дробь больше, у которой числитель больше.

4. Если даются две дроби с разными числителями и знаменателями, то судить об их величине можно путём сравнения каждой из них с единицей. Например,2/3 меньше 4/5, потому что первая дробь отличается от единицы на 1/3, а вторая на 1/5, т. е. у второй дробименьше недостаёт до единицы, чем у первой.

Однако легче всего сравнивать такие дроби путём приведения их к общему знаменателю, о чём будет сказано ниже.

Сравнение долей и дробей.

Доли - это равные части, на которые разделили одно целое.

А теперь разделим каждую долю прямоугольника пополам. Получим всего 10 долей

Легко заметить, что долей стало больше, а каждая доля стала меньше. Отсюда следует, чточем больше долей целого, тем меньше каждая доля. А значит:

целое разделили на 5 равных частей, а знаменатель второй дроби показывает, что целое разделили на 10 равных частей. Помним, что чем больше долей, тем меньше каждая доля.

Исходя из этого, можно сделать вывод: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.



числители дробей одинаковые, равны 3;

Покажем это на рисунке.

* знаменатели этих дробей одинаковые и показывают, что целое разделили на 9 равных частей;

*

*

* 4 части целого будут меньше 7 частей целого;



*

Покажем это на рисунке.

Исходя из этого, можно сделать вывод: из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.

2.2 Методика работы над задачами с долями и дробями

Начнем с небольшой исторической справки о задачах на дроби. Эти задачи являются древнейшими из дошедших до нас по письменным источникам; их решение было весьма сложной проблемой до тех пор, пока не изобрели обозначения для обыкновенных дробей, не разработали правила действий с ними. В Древнем Египте, например, существовали иероглифы только для обозначения дробей с числителем 1. Единственным исключением была дробь 2/3, для которой имелось соответствующее обозначение. Не случайно поэтому в тексте одной из задач папируса Ахмеса находим выражение«две трети от трети скота» (см. № 162) -- выразить эту часть стада дробью 2/9 египтяне еще не могли. В том же папирусе Ахмеса встречается задание «Разделить 7 хлебов между 10 лицами», ответ к которому в современной записи можно выразить так: 2/3 + 1/30. Решение более сложных задач на дроби, аналогичных задаче 172, было для египтян довольно сложной проблемой.

Гораздо позже Анания Ширакаци (Армения, VII в.) записал ответ в одной из задач в виде:1/41/61/121/22, что выражает дробь 6/11, получающуюся сложением указанных дробей.

Таким образом, аликвотные дроби (с числителем 1) долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек, а правила действий с произвольными дробями разработаны «сравнительно недавно». Это обстоятельство как будто бы отразилось и на методике обучения решению задач на дроби. До сих пор методисты особо выделяют аликвотные дроби, называя их «долями», и различают терминологически, например, нахождение доли числа и дроби числа. Спору нет, изучение дробей должно начинаться с аликвотных дробей также как обучение решению составной задачи -- с выделения его первого шага. Но ниоткуда не следует, что методическая терминология учителя должна доводиться до учащихся и быть их рабочей терминологией. Тем более, что теперь дробь не определяется как доля или совокупность нескольких долей, как это было в учебниках А.П. Киселева или И.Н. Шевченко. В противном случае с дробями, частями и долями будет трудно избежать вряд ли понятных ученикам формулировок вроде такой: «Вы умеете решать задачи на нахождение числа по заданной его доле. Научимся решать задачи на нахождение числа по заданной его дроби». [3, с. 167] Мы считаем малополезным для учащихся выделение «долей» из всех дробей и задач на нахождение доли числа и числа по его доле из соответствующих задач на дроби, так как в русском языке слова «доля» и «часть» являются синонимами. Слово «доля» употребляют и в тех случаях, когда часть не выражается аликвотной дробью. Имея в виду, что часть числа может быть выражена обыкновенной дробью (в том числе аликвотной), десятичной дробью или в процентах, мы будем говорить о нахождении части числа и числа по его части как общих задачах, частные случаи которых приводят к нахождению доли, процентов числа и обратным задачам. Это небольшое терминологическое уточнение позволит в дальнейшем подчеркнуть взаимосвязь способов решения простейших задач на дроби и проценты. Однако проблема не только в терминологии.

В прошлые годы задачам на дроби уделялось много внимания в начальной школе. Теперь в этом вопросе произошли существенные изменения, о которых не всегда знают учителя, работающие в 5-6 классах. Вернемся на несколько лет назад и рассмотрим задачи на дроби в учебнике математики для 3 (выпускного для начальной школы) класса 1976 года издания. Еще до раздела «Дроби» в нем имеется 8 задач на нахождение доли числа и 3 задачи на нахождение числа по его доле. Причем в первых задачах каждого типа доли записывались словами, а потом -- с помощью дроби. Даже эти первые задачи были составными -- в 3-4 действия. Правда, простые задачи, связанные с долями (в том числе и с обозначением долей в виде дроби) встречались до этого в учебнике для 2 класса.

В разделе «Дроби» после разнообразной работы по формированию самого понятия «дробь», знакомства с терминами «числитель», «знаменатель», после приведения дробей к новому знаменателю и сравнения дробей с разными знаменателями (все с опорой на рисунки) давался образец решения задачи на нахождение дроби числа в два действия. Дальше на 100 страницах учебника были разбросаны 32 задачи на нахождение дроби числа и 5 задач на нахождение числа по его доле (четыре из них составные). Чтобы читатель получил представление о быстроте нарастания сложности задач, приведем шестую после разобранного образца задачу на нахождение дроби числа и следующую за ней задачу на нахождение числа по его доле.

574. Автотуристы за три дня проехали 360 км; в первый день они проехали 2/5, а во второй день -- 3/8 всего пути. Сколько километров проехали автотуристы в третий день?

575. Отец купил сыну костюм за 24 р., на что израсходовал 1/3 своих денег. После этого он купил несколько книг, и у него осталось 39 р. Сколько стоили книги? [14]

Разумеется, недостаток более простых задач и большие временные перерывы между задачами не позволяли добиваться хороших результатов в обучении, но эти и другие недостатки можно было легко устранить. Однако при переходе к четырехлетнему обучению в начальной школе произошла странная вещь -- дроби вообще исчезли из учебников. Программа по математике 1988 года предусматривала обучение детей лишь нахождению доли числа и числа по его доле в 3 классе и решение задач на нахождение нескольких долей числа в 4 классе [20]. Но и это требование программы не было выполнено в новом комплекте учебников под редакцией Ю.М. Колягина. Если в учебнике для 4 класса содержится около 16 задач первого и 4 задач второго типа (в учебнике для 3 класса -- 18 и 14 соответственно), то в нем нет ни одной задачи на нахождение нескольких долей числа. Таким образом, в начальной школе не предполагалось обучение школьников нахождению дроби числа и числа по его дроби.

Здесь нам хочется подчеркнуть, что требования программы 1988 года являлись шагом назад даже по сравнению с требованиями программы трехлетних начальных народных училищ, утвержденной в 1897 году, в которой на втором году обучения предполагалось знакомство учащихся с долями, а на третьем -- вычисления с ними. В программе был указан «наибольший размер сведений о долях, какие могут быть допускаемы... : 1) нахождение одной или нескольких частей, которые сами выражаются целым числом; 2) нахождение таких частей единицы, которые наиболее употребительны в жизни (например, 1/2, 1/4, 1/8, 1/10, 1/5, 1/3, 1/6);
3) употребление нескольких из числа уже знакомых долей единицы, 4) образование целых из частей единицы и выражение целых в долях единицы; 5) сложение и вычитание одинаковых частей единицы; 6) повторение частей единицы несколько раз; 7) нахождение по целому части и по части целого, когда и данное, и искомое суть целые числа; 8) сложение и вычитание различных долей могут быть допущены только относительно употребительнейших в жизни случаев, например 1/2 с 1/8, и если ученики сейчас же угадывают, в каких долях может быть выражена сумма. Все эти упражнения могут быть допускаемы только при решении задач, без всяких теоретических объяснений и выводов».

Из одной крайности -- обучения решению сложных и не всегда хорошо организованных в учебнике задач на дроби -- начальная школа попала в другую. Теперь она выпускает детей не только не умеющих найти 2/3 числа, но и не видевших такое обозначение в учебнике. Все сказанное говорит за то, что в изучении задач на дроби в начальной школе произошли не самые лучшие изменения. При этом изложение материала, связанного с дробями, в учебниках 5 класса практически не изменилось. Этот методический просчет требует определенной компенсации.

Справедливости ради сделаем оговорку. В последнее время появилось много разных учебников для начальной школы, и в некоторых из них изучение дробей достаточно продвинуто. Например, в учебниках Н.Я. Виленкина и Л.Г. Петерсон для начальной школы «пройдены» почти все задачи на дроби. Думается, такое забегание вперед вряд ли оправдано. Оно ведь не сопровождается изучением теоретических сведений о дробях, как это принято в 5-6 классах. Следовательно, обучение может строиться только на подражании учителю.

С чего же нужно начинать работу с задачами на дроби? Очевидно, что сначала учащимся нужно напомнить задачи, которые они решали в начальной школе. При этом на первых порах доли должны задаваться словами: половина, треть, четверть и т.п. Потом -- для упрощения чтения и записи -- с помощью дробей. Знакомство с терминами «дробь», «числитель», «знаменатель», уяснение их смысла и назначения вполне могут проходить до специально организованной работы по учебнику, так как при решении первых задач сами дроби еще не воспринимаются учащимися как числа, над которыми нужно выполнять действия. Такие задачи есть в разделе 2.1 -- их можно решать уже в первом полугодии 5 класса. Здесь же есть и задачи, готовящие учащихся к решению задач «на бассейны». Их решение будет способствовать углублению понимания учащимися смысла дроби.

В разделе 2.1 есть такая задача из раздела «Задачи повышенной трудности» учебника Н.Я. Виленкина и др. (1984 г.):

Колхозница продавала на рынке яйца. Первая покупательница купила у нее половину яиц и еще пол-яйца, вторая половину остатка и еще пол-яйца, а третья последние 10 яиц. Сколько яиц принесла колхозница на рынок?

С этой задачей связана история, которую стоит вкратце рассказать. Газета «Московский комсомолец» опубликовала 26.04.87 г. в разделе «Сатира & юмор» реплику В. Сумина, которую мы приводим с сокращениями: «Встречали вы в магазине, чтобы продавали по половине яйца? Нет? Я тоже. А на рынке -- пожалуйста! Мы-то, взрослые, знаем, почему. Там целое яйцо не каждому и по карману. И дети пусть об этом знают, пусть! ... А все-таки ушлый народец, эти продавцы!.. И как они умудряются? Я целый день потратил, сотню яиц извел, а пополам ни одного не разделил. Может, мне кто поможет, а?..»

Такой вот грустный получается юмор. Особенно, если учесть, что автор реплики окончил московскую физико-математическую школу № 2, славную своими победителями математических олимпиад различного уровня, и сам написал учебник для металлургических техникумов. Ну, -- скажет читатель, -- с кем не бывает! И мы бы согласились, да вот беда! После получения 11 писем читателей газета еще раз вернулась к обсуждению «Дела о яйце», напомнив содержание предыдущей публикации следующим образом: «Теперь -- о реплике. В ней высказывается нехитрая и в общем-то, на наш взгляд, справедливая мысль, что учебник должен учить не только математике, но и отражать реальные отношения между людьми и предметами. В задаче № 1513 математическая логика вступила в противоречие с обыкновенным здравым смыслом. Математика утверждает, что пол-яйца и пол-яйца будет одно целое яйцо. Здравый смысл говорит, что ни одного...»

В завершение развернутой дискуссии газета опять предоставила слово В. Сумину, который прочитав письмо Н.Я. Виленкина, содержащее ответ «43 яйца», пишет: «...Это что же получается? Били-били яйцо, разбили пополам, всучили в таком виде покупателям (и где таких смирных отыскали-то?), а оно опять оказалось целым!» и т. д. в том же духе.

Трудно поверить, чтобы взрослые люди, зная ответ, не поняли всю бессмысленность развернутой«научной дискуссии». Трудно также поверить и в то, что это был розыгрыш (хоть это и «Сатира & юмор»). Видимо, дело здесь в другом. Весь сыр-бор разгорелся из-за буквального понимания операции «взять половину всех яиц и еще пол-яйца» и выполнения ее «физически» -- в области тех величин и предметов, о которых идет речь в условии задачи. Если следовать такой логике, то нам, конечно же, не удастся из трех яиц взять половину и еще пол-яйца, т. е. два целых яйца. В этом смысле В. Сумин прав. Но так ли уж серьезно здесь обвинение математиков в отрыве от практики, ведь они решают практические задачи с помощью математических моделей -- в данном случае арифметических операций с рациональными числами. Промежуточные результаты решения внутримодельной задачи могут не иметь интерпретации, приемлемой с точки зрения тех величин, о которых идет речь в условии задачи.

На практике часто приходится находить, например, 25 % от 36 человек. Первая операция приводит к результату 0,36 человека, но означает ли это что сама задача не отражает «реальные отношения между людьми и предметами» или не отвечает «обыкновенному здравому смыслу»? Совсем нет! Этот результат, скорее, показывает, что данную задачу лучше предлагать школьникам тогда, когда они научатся соединять два действия (36:100·25), не интерпретируя промежуточного результата, или получать тот же результат умножением 36 на 0,25. А до тех пор нужно находить 25 % от 36 метров, 36 рублей, 3600 человек и т.п., то есть от таких величин, сотая часть которых может быть легко истолкована.

Из следующего издания учебника (1990 г.) задача № 1513 была исключена (вместе с разделом«Задачи повышенной трудности»). Мы привели эту историю совсем не для того, чтобы развлечь читателя. Она затрагивает важные методические вопросы, связанные с взаимоотношением практической ситуации и ее арифметической модели, которые нам хотелось прокомментировать.

Задачи раздела 2.2 посвящены нахождению части числа и числа по его части. Первые задачи каждого из этих типов надо решать в 2 действия до тех пор, пока все учащиеся не уяснят себе назначение первого шага в решении. Потом эти действия объединяются в одно выражение.

Если по вашему учебнику умножение и деление дробей не изучаются в 5 классе, то следующий шаг в решении задач (нахождение части числа умножением на дробь и числа по его части делением на дробь) придется отложить почти на год. Решения задач из разделов 2.3 и 2.4 основываются на ранее изученном материале и умении выполнять действия с дробями. В 5 классе можно использовать только те из них, в решении которых требуется выполнить сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, а остальные задачи -- годом позже. В 6 классе следует решать и задачи «на бассейны» (раздел 2.5) -- классические задачи, известные с древнейших времен. Про них следует сказать отдельно.

Достойно сожаления, что в начале 70-х годов из учебников
математики 4-5 классов исчезли задачи, отражающие важнейшую, часто встречающуюся зависимость:

1/a + 1/b = 1/c.

Впрочем, решение самих задач не требует восприятия зависимости между известными и неизвестными величинами в виде равенства (1). Но хотя бы из чисто практических соображений учащимся 5-6 классов необходимо решать задачи типа:

Через первый кран сосуд наполняется за 20 мин, а через второй -- за 30 мин. За сколько минут можно наполнить сосуд через оба крана?

Ведь в 8 классе они встретятся с той же арифметической ситуацией, но иначе поставленным вопросом в задаче типа:

Через два крана сосуд наполняется за 12 мин. Известно, что через один первый кран сосуд наполняется на 10 мин быстрее, чем через один второй. За сколько минут можно наполнить сосуд через каждый кран в отдельности?

Отсутствие в учебном процессе первой задачи при наличии второй является просчетом, который необходимо устранить. Ведь для проверки решения второй задачи учащиеся должны составить ей обратную задачу (первую) и решить ее.

Есть и менее очевидные соображения за возвращение в учебный процесс задач «на бассейны». Когда их в свое время исключали, шла борьба против решения задач «по шаблону» -- довольно странная борьба, если учесть, что по шаблону, по ранее показанным образцам решается большинство задач, и не только в математике. Кроме того задачи «на бассейны» критиковались за искусственность и оторванность от практики. Ведь в реальных ситуациях обычно бывают известны объем бассейна, который надо наполнить, задание, которое надо выполнить, расстояние, на которое должны приблизиться участники движения и т.п. Что здесь можно возразить?

Во-первых, ребенок не может сам открыть способы решения всех задач. Проблема заключается совсем не в том, чтобы вовсе избежать шаблонов -- это невозможно, а в том, чтобы при изучении способов решения составных задач начинать не с демонстрации учащимся решения, а подводить их к«открытию» этого решения с помощью специально подобранных подготовительных задач.

Использование способов решения нескольких опорных задач и выстраивание из них решения составной задачи -- это самостоятельная проблема, решение которой может способствовать развитию ребенка. На следующем этапе обучения эта составная задача сама может выступать как опорная, к которой ученик будет сводить решение более сложной составной задачи. Чтобы не создавать ситуаций, когда ученики запоминают шаги решения и даже воспроизводят их, но не понимают смысла каждого отдельного действия, нужно было изменить методику обучения, но этого-то как раз и не было сделано.

Во-вторых, ценность задач «на бассейны» и многих других типовых задач, решаемых арифметическими методами, заключается совсем не в непосредственной применимости на практике способов их решения. Думается, китайцы, составившие во II в. задачу о дикой утке и диком гусе, вылетевших одновременно навстречу друг другу от северного и южного морей (см. № 207), вряд ли имели в виду такую практическую пользу. Ценность арифметических способов решения задач заключается в их влиянии на развитие мышления ребенка, в конечном счете -- в применимости на практике развитого мышления. Есть и другие соображения в пользу задач «на бассейны», связанные с лишними данными, введением отвлеченной единицы, общностью математической модели для различных практических ситуаций -- на них мы остановимся в комментариях к решениям задач.

Покажем на примере обсуждаемых здесь задач «на бассейны» как можно выстроить систему задач, готовящую к решению составной задачи. Пусть мы хотим подвести учащихся к решению такой задачи:

Через первую трубу бассейн можно наполнить за 10 ч, а через вторую -- за 15 ч. За сколько часов можно наполнить бассейн через обе трубы?

Приведем ее решение без пояснений:

1) 1:10 = 1/10; 3) 1/10 + 1/15 = 1/6;

2) 1:15 = 1/15; 4) 1:1/6 = 6.

Очевидно, что для самостоятельного выстраивания такого решения (в худшем случае -- для его понимания) ученик должен научиться решать три задачи:

A. Бассейн наполняется за 10 ч. Какая часть бассейна наполняется за 1 ч?

B. В каждый час первая труба наполняет 1/10 бассейна, а вторая -- 1/15 бассейна. Какую часть бассейна наполняют обе трубы за 1 ч совместной работы?

C. В каждый час труба наполняет 1/6 бассейна. За сколько часов она наполнит бассейн?

Сначала нужно научить школьников решать задачи A и C -- для их решения не требуется выполнять деление. Достаточно, опираясь на понимание смысла дроби, проводить такие рассуждения:

Бассейн наполняется за 10 ч, значит, в час наполняется 1/10 бассейна.

В каждый час наполняется 1/6 бассейна, значит, весь бассейн наполнится за 6 ч.

По мере того как учащиеся будут осваивать действия с дробями, эти рассуждения можно заменять приведенными выше действиями, а после усвоения способа решения задачи B им можно предложить задачи-связки A ® B и B ® C и составную задачу с промежуточным вопросом:

Через первую трубу бассейн можно наполнить за 10 ч, а через вторую -- за 15 ч. Какую часть бассейна наполняют обе трубы за 1 ч совместной работы?

В каждый час первая труба наполняет 1/10 бассейна, а вторая -- 1/15 бассейна. За сколько часов наполнится бассейн, если открыть обе трубы?

Через первую трубу бассейн можно наполнить за 10 ч, а через вторую -- за 15 ч. Какую часть бассейна наполняют обе трубы за 1 ч совместной работы? За сколько часов наполнится бассейн, если открыть обе трубы?

Для отработки решения каждой из предложенных задач желательно иметь достаточное число дублей с разными данными и фабулами, а для первой предъявляемой учащимся составной задачи -- с промежуточным вопросом. Столь подробная и упорядоченная система задач должна быть составлена в интересах наиболее слабых учащихся, в работе с которыми лучше следовать известному принципу, сформулированному С.И. Шохор-Троцким: «Каждый раз надо стремиться к преодолению только одной трудности». [29]

Представляется более разумным и экономным, более гуманным по отношению к детям предлагать им «цепочки» задач, с помощью которых учитель может целенаправленно подводить учащихся к«открытию» решения составной задачи, учить их при поиске решения новой задачи опираться на хорошо усвоенные способы решения опорных задач. По таким «цепочкам» учащиеся смогут с большей самостоятельностью продвигаться от простых задач к сложным. При этом более подготовленные из них по указанию учителя могут идти вперед более крупными шагами, пропуская ненужные им дубли и промежуточные задачи и переходя к решению необязательных для всех задач. Такая организация работы с задачами повысит эффективность учебного процесса как с точки зрения его результата -- научить детей определенным способам действий в определенных ситуациях, так и с точки зрения его влияния на их развитие. Когда же решение составной задачи будет усвоено, ее дубли и более сложные варианты можно предлагать учащимся в порядке повторения вперемешку с задачами других типов.

Описанный порядок организации задачного материала и подготовки учащихся к решению составных задач дает учителю достаточный простор в организации уроков и в создании ситуаций, в которых школьники будут учиться связывать порознь усвоенные приемы решения, комбинировать их при поиске решений новых задач. Этот порядок позволит учителю отказаться от практикуемого сейчас экстенсивного пути обучения -- хаотичного предложения учащимся большого числа задач на разные темы в надежде на то, что до них когда-нибудь «дойдут» способы их решения. Этот порядок поможет учителю в обучении школьников решению текстовых задач занять более активную методическую позицию.

Быть может, задачам «на бассейны» мы уделили слишком много внимания. На их примере нам хотелось показать, что методические возможности традиционных арифметических способов решения задач далеко не исчерпаны, что опыт отечественной школы в обучении решению задач требует более внимательного изучения и использования. Кроме того, рассмотренные задачи входят в математический фольклор и ценны именно в этом своем качестве.

В § 2 мы продолжим работу по созданию «исторического фона» обучения, включая в сборник«старинные» задачи. Использование таких задач имеет целью расширение представлений учащихся о практике решения задач в старые времена и развитие у них интереса к предмету через знакомство с его историей. Тем самым преследуется еще одна важная цель: более активное и непосредственное изучение и освоение учащимися опыта предыдущих поколений в сфере деятельности, которой они занимаются.

В заключение отметим, что при решении основных задач на дроби использование десятичных дробей не вносит ничего нового, так как десятичные дроби являются иной записью некоторых из обыкновенных дробей. Считая изучение десятичных дробей после изучения обыкновенных дробей в полном объеме более естественным и оправданным, мы уделили больше внимания именно обыкновенным дробям -- тому вопросу, который, в свете последних перемен в начальном обучении, нуждается в наибольшей поддержке. Кроме того, мы надеемся, что естественный порядок изучения обыкновенных и десятичных дробей в скором будущем вернется в школу.

Десятичные дроби впервые появляются в разделе 2.6. Мы предполагаем, что перед их решением учащиеся уже освоили нахождение части числа умножением и числа по его части делением на дробь. Эти задачи лучше использовать в 6 классе.



Литература

1. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах: Учеб. пособие для учащихся школ, отд-ний пед. уч-щ. - М.: Просвещение, 1984.

3. Болтянский В.Г. Простые дроби и вычислительная техника.// Математика в школе, 1998, №5.

4. Дорохов Т.С. Дроби и проценты. // Математика, 1997, № 30.

5. Зайцев В.В. Математика для младших школьников. - М.:ВЛАДОС, 2001.

6. Иванова Л.С. Нахождение числа по доле.// Начальная школа, 1999, №8.

7. Ивашова И.Н. Все действия с обыкновенными дробями.// Математика, 2000, №2.

8. Истомина Н.В. Методика обучения математике в начальных классах. - М.: Академия, 2000.

9. Истомина Н.Б., Латохина Л.Г., Шмырева Г.Г. Практикум по методике преподавания математики в начальных классах: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по спец. №2121 «Педагогика и методика нач. обучения».- М.: Просвещение, 1986.

10. Латыпова С.Т. Сложение и вычитание смешанных чисел.// Математика, 1999, №17.

11. Моро М.И., Пышкало A.M. Методика обучения математике в 1-3 классах. Пособие для учителя. - М.: Просвещение, 1978.

12. Петерсон Л.Г. Математика. 4 класс: Методические рекомендации. - М.: Издательство «Ювента»,2004.

13. Пименова О.В. Изучение темы «Доли».// Начальная школа, 1999, №5.

14. Программы общеобразовательных учреждений. Начальные классы (1 - 4). Часть 1. - М.: Просвещение, 2001.

15. Самкова В.Т. Правильные и неправильные дроби.// Начальная школа, 1999, №1.

16. Севостьянова Л.В. Любимые игрушки помогают изучать обыкновенные дроби.// Математика, 1999, № 2.

Шидова Н.В. Из истории возникновения дробей.// Математика, 1999,№ 10.

Размещено на Allbest.ru

...