Пределы. Первый и второй замечательные пределы
Первый замечательный предел: его основная формула, характеристика доказательства и следствий из него. Второй замечательный предел: формула второго замечательного предела, его доказательство и следствие. Примеры решения задач с использованием пределов.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 28.05.2015 |
| Размер файла | 520,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Учреждение образования Республики Беларусь
«Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»
Кафедра высшей математики
Тема реферата:
«Пределы. Первый и второй замечательные пределы»
Выполнила: студентка группы 4608801
Якуть Екатерина Петровна
Минск, 2014
Содержание
Предисловие
1. Первый замечательный предел
1.1 Формула первого замечательного предела
1.2 Доказательство
1.3 Следствия
2. Второй замечательный предел
2.1 Формула первого замечательного предела
2.2 Доказательство
2.3 Следствия
3. Примеры решения задач с использованием пределов
Список используемой литературы
Предисловие
Предел функции является одним из основных понятий в математическом анализе.
Понятие замечательных пределов широко используется для обозначения хорошо известных математических тождеств со взятием предела. Замечательны они потому, что они уже доказаны великими математиками и нам остается лишь пользоваться ими для удобства нахождения пределов. Из них наиболее известны первый и второй замечательные пределы.
предел доказательство формула задача
1. Первый замечательный предел
Первым замечательным пределом называется предел отношения синуса бесконечно малой дуги к той же дуге, выраженной в радианной мере, при условии стремления этой дуги к нулю.
Рис.1.Оси координат
Этом предел действительно замечательный, как в теоретических исследованиях, так и при решении некоторых практических задач.
Прежде чем перейти к примерам его использования, проанализируем его структуру.
Отметим три момента:
1) в числителе стоит синус.
2) в знаменателе стоит в точности аргумент этого синуса.
3) этот аргумент стремится к нулю.
Если все три указанных элемента выполнены, пределом будет единица.
1.1 Формула первого замечательного предела
Непосредственное вычисление данного предела приводит к неопределенности вида .
Поэтому рассмотрим два односторонних предела
и .
Докажем, что каждый из них равен 1. Тогда двусторонний предел
тоже будет равняться 1.
1.2 Доказательство первого замечательного предела
Итак, пусть
.
В тригонометрическом круге (c радиусом R=1) с центром в точке О построим центральный угол, равный х.
Проведём вертикальную касательную в точке U - точка пересечения горизонтальной оси с окружностью ( | OU | = 1 ).
Обозначим точку пересечения луча с углом наклона x с окружностью буквой V, а с вертикальной касательной - буквой W.
Опустим перпендикуляр из точки V на горизонтальную ось ОХ. Обозначим точку пересечения буквой T.
Рис.2. Тригонометрический круг
Пусть
|
Площадь треугольника OUV |
||
|
Площадь кругового сектора OUV |
||
|
Площадь треугольника OUW |
Тогда очевидно следующее неравенство:
Из рис.2 следует, что ОТ = cos x, а VT = h = sin x.
Следовательно, мы можем найти площадь треугольника OUV:
Площадь центрального сектора круга радиуса R с центральным углом x равна:
Из треугольника OUW находим, что | WU | = tg x. Поэтому
Неравенство, связывающее площади трёх фигур, можно теперь записать в виде
Все три части этого неравенства положительны, поэтому его можно записать так:
Умножим все части на sin x . Получим следующее:
Предел постоянной 1 в правой части неравенства, как очевидно, равен 1. Если мы покажем, что при x 0+ предел cos x в левой части неравенства тоже равен 1, то предел средней части также будет равен 1.
Итак, осталось доказать, что
Сперва заметим, что
Из рис.2 следует, что x равен длине окружности UV. A длина дуги UV больше хорды UV. Следовательно,
При x 0+ получаем, что
Из простой замены мы можем увидеть, что
Теперь обратимся к тригонометрическим формулам:
Затем, применяя теоремы о линейности предела и о пределе произведения, получаем:
Из вышенаписанного следует, что
Сделаем теперь замену t = - x, при этом x 0+ перейдет в t 0-
В силу того, что функция sin x - нечетная, sin ( - t ) = - sin t
Мы показали, что левосторонний предел также равен 1, что и завершает доказательство теоремы.
Доказанная теорема означает, что график функции
Имеет такой вид:
1.3 Следствия
Доказательство:
Доказательство:
Доказательство:
Доказательство:
2. Второй замечательный предел
2.1 Формула второго замечательного предела
Вторым замечательным пределом называется предел
Второй замечательный предел существует. Его значение e - число, равное
Число e, заданное этим пределом, играет очень большую роль как в математическом анализе, так и в других разделах математики. Число e часто называют основанием натуральных логарифмов.
2.2 Доказательство второго замечательного предела
Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что
.
Рассмотрим два случая:
1) Пусть .
Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где это целая часть x.
Отсюда следует:
Поэтому
Если , то . Поэтому, согласно пределу
имеем,
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов
2) Пусть . Сделаем подстановку , , тогда
Из двух этих случаев вытекает, что
для вещественного x.
2.3 Следствия
Доказательство:
Доказательство:
Доказательство:
Доказательство:
Доказательство:
Доказательство:
Список использованной литературы
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа (в двух частях)
Высшая математика (Учеб. пособие). Авторы: Никулина Л.С., Степанова А.А. , редактор: Александрова Л.И
Г. М. Вартанян. Конспект лекцiй з математичного аналiзу. Одесса 2009
Б. П. Демидович. Cборник задач и упражнений по математическому анализу
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Определение предела функции в точке. Понятие односторонних пределов. Геометрический смысл предела функции при х, стремящемся в бесконечности. Основные теоремы о пределах. Вычисление пределов и раскрытие неопределенностей. Первый замечательный предел.
презентация [292,4 K], добавлен 14.11.2014Предел последовательности, его графическое изображение. Основные свойства сходящихся последовательностей. Бесконечно большие и бесконечно малые функции, связь между функций, ее приделом и бесконечно малой функцией. Первый и второй замечательный предел.
контрольная работа [152,0 K], добавлен 14.05.2009Применение второго замечательного предела для раскрытия неопределенности. Точки разрыва непрерывной функции 1-го и 2-го рода. Условия ее непрерывности в точке, интервале и на отрезке. Теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши. Обращение функции в ноль.
презентация [222,8 K], добавлен 20.03.2014Понятие возрастающей числовой последовательности. Формула бинома Ньютона. Число положительных слагаемых. Определение ограниченности последовательности чисел. Предел монотонной и ограниченной последовательностей. Показательный рост или убывание.
презентация [87,1 K], добавлен 21.09.2013Определение корня первого и второго многочлена, вычисление предела функции. Применение правила Лопиталя (предел отношения функций равен пределу отношения их производных). Пример использования замечательного предела, который применяется в виде равенства.
контрольная работа [95,5 K], добавлен 19.03.2015Предел числовой последовательности. Сравнение бесконечно малых величин. Второй замечательный предел. Теорема Коши о сходимости числовой последовательности. Использование бинома Ньютона. Замена сомножителей на эквивалентные им более простые величины.
контрольная работа [152,1 K], добавлен 11.08.2009Определение и этапы доказательства теоремы Штольца, ее теоретическое и практическое значение в прикладной математике, применение. Понятие предела последовательности, характерные примеры вычисления пределов последовательности с подробным разбором решения.
курсовая работа [103,0 K], добавлен 28.02.2010Доказательство замечательных пределов величайшими умами знаменитых математиков. Неактуальность расчетов тригонометрических функций, логарифмов и степеней. Нахождение первого и второго замечательных пределов. Проведение модификации и значение пределов.
презентация [351,2 K], добавлен 27.06.2014Основные свойства функций, для которых существуют пределы. Понятие бесконечно малых величин и их суммы. Предел алгебраической суммы, разности и произведения конечного числа функций. Предел частного двух функций. Нахождение предела сложной функции.
презентация [83,4 K], добавлен 21.09.2013Определение второго замечательного предела. Понятие бесконечно малых функций. Математическое описание непрерывности зависимости одной переменной величины от другой в точке. Точки разрыва функции. Свойства и непрерывность ее в интервале и на отрезке.
презентация [314,4 K], добавлен 14.11.2014История развития теории пределов. Сущность и виды числовой последовательности, методика вычисления и определение свойств ее предела. Доказательство теоремы Штольца. Практическое применение предела последовательности в экономике, геометрии и физике.
курсовая работа [407,2 K], добавлен 16.12.2013Функциональные ряды. Неопределенный интеграл и его свойства. Асимптоты. Экстремум функции (для одной переменной). Производная: ее геометрический и физический смысл. Замечательные пределы. Точки разрыва функции, классификация. Предел функции по Гейне.
шпаргалка [74,1 K], добавлен 05.01.2008Члены последовательности и их изображение на числовой оси. Виды последовательностей (ограниченная, возрастающая, убывающая, сходящаяся, расходящаяся), их практические примеры. Определение и геометрический смысл предела числовой последовательности.
презентация [78,9 K], добавлен 21.09.2013Использование формулы Тейлора для разложения основных элементарных функций в степенной ряд. Сущность форм Лагранжа и Пеано, примеры вычисление пределов функций. Особенности использования принципа разложения в ряд на ЭВМ в режиме реального времени.
курсовая работа [107,1 K], добавлен 29.04.2011Определение производной, понятие интеграла и определение предела функции. Дифференцирование и применение производной к решению задач. Исследование функции, вычисление интегралов и доказательство неравенств. Порядок вычисления пределов, Правило Лопиталя.
курсовая работа [612,2 K], добавлен 01.06.2014Функция одной независимой переменной. Свойства пределов. Производная и дифференциал функции, их приложение к решению задач. Понятие первообразной. Формула Ньютона-Лейбница. Приближенные методы вычисления определенного интеграла. Теорема о среднем.
конспект урока [147,7 K], добавлен 23.10.2013Общее понятие числовой последовательности. Предел функции в точке. Бесконечно большая и малая функция. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией. Признаки существования пределов. Основные теоремы о пределах: краткая характеристика.
презентация [137,0 K], добавлен 25.01.2013Определение пределов функции с помощью Mathcad. Доказать, что предел данной функции в указанной точке не существует. Построение ее графика в окрестности указанной точки. Вычисление производных функции по определению в произвольной или фиксированной точке.
лабораторная работа [718,5 K], добавлен 25.12.2011Вычисление пределов и устранение неопределенности. Поиск производных функций. Вычисление приближенного значения 8.051/3. Определение полного дифференциала функции z=3sin(2x+3y). Формула интегрирования по частям. Решение линейного однородного уравнения.
контрольная работа [439,6 K], добавлен 25.03.2014Вычисление математических последовательностей и определение числа, которое называется пределом последовательности. Методы расчетов предела функции. Произведение бесконечно малой функции и ограниченной функции. Определение предела последовательности.
контрольная работа [114,0 K], добавлен 17.12.2010
