Основы алгебры
Определение принципов графического построения на плоскости области допустимых решений задачи. Исследование координатных плоскостей и направления полуплоскости. Рассмотрение характеристики значения целевой функции. Построение графического решения.
| Рубрика | Математика |
| Вид | задача |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 28.05.2015 |
| Размер файла | 300,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задача
А) Найти область допустимых решений. Решить задачу графически
F(х1,х2)= x1+x2>min
Решение:
Построим на плоскости X1OX2 многоугольник решений - область допустимых решений задачи. Для этого в неравенствах системы ограничений и условиях неотрицательности переменных знаки неравенств заменим на знаки точных равенств.
Построим прямые (для этого достаточно двух точек для каждой из прямой):
(1): x1+2x2=5- она проходит через точки (5;0) и (0;2,5).
(2): 5x1+x2=9- она проходит через точки (1;4) и (0;9).
(3): 3x1+2x2=11- она проходит через точки (-1;7) и (3;1).
(4): x2=0- ось абсцисс (ось OX1).
(5): x1=0- ось ординат (ось OX2).
Построив прямые системы, найдём соответствующие знакам неравенств полуплоскости и их пересечение:
1)Полуплоскость: x1+2x2 ?5
Выберем любую точку, например М(2;2),не лежащую на данной прямой, и поставим её координаты в неравенство:1•2+2•2?5, 6?5- верное неравенство, следовательно, выбранная точка М(2;2) принадлежит искомой полуплоскости («направим стрелки к точке М»).
2)Полуплоскость: 5x1+x2 ?9
Выберем любую точку, например М(2;2),не лежащую на данной прямой, и поставим её координаты в неравенство:5•2+1•2?9, 12?9-верное неравенство, следовательно, выбранная точка М(2;2) принадлежит искомой полуплоскости («направим стрелки к точке М»).
3) Полуплоскость: 3x1+2x2 ?11
Выберем любую точку, например М(2;2),не лежащую на данной прямой, и поставим её координаты в неравенство: 3•2+2•2?11, 10?11- не верное неравенство, следовательно, выбранная точка М(2;2) не принадлежит искомой полуплоскости («направим стрелки от точки М)»).
4) Полуплоскость: x1?0, содержит I и IV координатные плоскости.
5)Полуплоскость: x2?0 содержит II и I координатные плоскости.
Многоугольником решений является полуплоскость X2ABCEX1 (заштрихована на рис. 1), координаты точек которого удовлетворяют условию неотрицательности переменных и неравенствам системы ограничений задачи.
Для нахождения точек экстремума построим начальную прямую Т0 (линию нулевого уровня), т.е. F(х1,х2)=0 или x1+x2=0 и вектор n (1;1). Начальная прямая проходит через точки (0;0) и (1;-1). Передвигая начальную прямую в направление вектора n (1;1), найдём точку C (точка входа), в которой начальная прямая принимает положение опорной прямой (Т0'). Следовательно, в точке C целевая функция имеет минимальное значение (min). Координаты точки C определяются из решения системы, состоящей из уравнений: x1+2x2=5 и 3x1+2x2=11.
Fmin(х1,х2)= F(C)=F (3;1)=1•3+1•1=3+1=4.
Рис.1
Б)Используя графический метод, найти решение следующей задачи линейного программирования:
F(x1;x2)=2x1+2x2>max(min).
Решение:
Построим на плоскости X1OX2 многоугольник решений - область допустимых решений задачи линейного программирования. Для этого в неравенствах системы ограничений и условиях неотрицательности переменных знаки неравенств заменим на знаки точных равенств.
Построим первую прямую: x1+3x2=13- она проходит через точки (1;4) и (4;3).
Пусть x1=1, тогда x2=(13-1)/3=4 - точка (1;4);
Пусть x1=4, тогда x2=(13-4)/3=3 - точка (4;3);
Построим вторую прямую: 3x1+x2=10- она проходит через точки (2;4) и (0;10).
Пусть x1=2, тогда x2=10-3•2=4 - точка (2;4);
Пусть x1=0, тогда x2=10-3•0=10 - точка (0;10);
Построим третью прямую: 3x1+2x2=11- она проходит через точки (1;4) и (0;5,5).
Пусть x1=1, тогда x2=(11-3•1)/2=4 - точка (1;4);
Пусть x1=0, тогда x2=(11-2•0)/2=5,5 - точка (0;5,5);
Построим четвертую прямую: x1=0- ось ординат (ось OX2).
Построим пятую прямую: x2=0- ось абсцисс (ось OX1).
Построив прямые системы, найдём соответствующие знакам неравенств полуплоскости и их пересечение: (см. рис.2)
Укажем на графике направление полуплоскости: x1+3x2 ?13
Выберем любую точку, например, (4;4),не лежащую на данной прямой, и поставим её координаты в неравенство:4+3•4?13, 16?13- не верное неравенство, следовательно, выбранная точка (4;4) не принадлежит искомой полуплоскости («направим стрелки от точки (4;4)»).
Укажем на графике направление полуплоскости: 3x1+x2 ?10
Выберем любую точку, например, (4;4),не лежащую на данной прямой, и поставим её координаты в неравенство:3•4+4?10, 16?10- не верное неравенство, следовательно, выбранная точка (4;4) не принадлежит искомой полуплоскости («направим стрелки от точки (4;4)»).
Укажем на графике направление полуплоскости: 3x1+2x2 ?11
Выберем любую точку, например, (4;4),не лежащую на данной прямой, и поставим её координаты в неравенство: 3•4+2•4?11, 20?11- не верное неравенство, следовательно, выбранная точка (4;4) не принадлежит искомой полуплоскости («направим стрелки от точки (4;4)»).
Укажем на графике направление полуплоскости: x1?0
Заданному условию соответствует точки I и IV координатных плоскостей.
Укажем на графике направление полуплоскости: x2?0
Заданному условию соответствует точки II и I координатных плоскостей.
Многоугольником решений является пятиугольник ОАВСD, координаты точек которого удовлетворяют условию неотрицательности переменных и неравенствам системы ограничений задачи.
Для нахождения точек минимума построим начальную прямую L0(линию нулевого уровня), т.е. F(x)=0 или 2x1+2x2=0 и вектор n (2;2). Начальная прямая проходит через точки (1;-1) и (0;0).
Передвигая начальную прямую в направление вектора n (2;2), найдём точку О (точка входа) в которой начальная прямая принимает положение опорной прямой, это будет точка min, и точку В (точку выхода), в которой начальная прямая также принимает положение опорной прямой (L0/), это будет точка max. Следовательно, в точке О(0;0)- начало координат- целевая функция имеет минимальное значение, а в точке В целевая функция имеет максимальное значение.
Координаты точки В определяются из решения системы, состоящей из уравнений: x1+3x2=13 и 3x1+2x2=11.
графический полуплоскость координатный функция
Fmin(X)= Fmin(0;0)=2•0+2•0=0.
Fmax(X)= Fmax(1;4)=2•1+2•4=10.
Ответ: А)Fmin(х1,х2)= F(3;1)=4.
Б)Fmin(0;0)=0 и Fmax(1;4)=10.
Рис.2
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Сущность графического метода нахождения оптимального значения целевой функции. Особенности и этапы симплексного метода решения задачи линейного программирования, понятие базисных и небазисных переменных, сравнение численных значений результатов.
задача [394,9 K], добавлен 21.08.2010Элементы аналитической геометрии и линейной алгебры. Методы построения графика функции. Предел и непрерывность функции. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Определители и системы уравнений. Построение прямой и плоскости в пространстве.
методичка [1,0 M], добавлен 24.08.2009Понятие плоскостей, их классификация и разновидности, способы и принципы задания. Сущность и этапы решения позиционных задач. Исследование принадлежности прямой заданной плоскости, методика и цели доказательства их параллельности и перпендикулярности.
презентация [95,4 K], добавлен 27.10.2013Понятие плоскости и определение ее положения в пространстве. Задание плоскости ее следами на комплексном чертеже. Плоскости и проекции уровня. Свойство проецирующих плоскостей собирать одноименные проекции всех элементов, расположенных в данной плоскости.
реферат [69,0 K], добавлен 17.10.2010Сущность понятия "симплекс-метод". Математические модели пары двойственных задач линейного программирования. Решение задачи симплексным методом: определение минимального значения целевой функции, построение первого опорного плана, матрица коэффициентов.
курсовая работа [219,4 K], добавлен 17.04.2013Общие аксиомы конструктивной геометрии. Аксиомы математических инструментов. Постановка задачи на построение, методика решения задач. Особенности методик построения: одним циркулем, одной линейкой, двусторонней линейкой, построения с помощью прямого угла.
курс лекций [4,0 M], добавлен 18.12.2009Исследование методики математической обработки многократно усеченной информации. Особенности графического изображения опытной информации. Определение среднего значения показателя надежности, абсолютной характеристики рассеивания и коэффициента вариации.
курсовая работа [116,1 K], добавлен 16.01.2014Способы построения искусственного базиса задачи. Выражение искусственной целевой функции. Математическая модель задачи в стандартной форме. Получение симплекс-таблиц. Минимизации (сведения к нулю) целевой функции. Формы преобразования в задаче равенства.
задача [86,0 K], добавлен 21.08.2010Методика и основные этапы построения треугольника по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них. Математическое и графическое изображение решения данного задания. Исследование условий для решения задачи и определение условия ее нерешаемости.
презентация [90,8 K], добавлен 11.01.2011Построение графика непрерывной функции. Определение множителя Лагранжа. Критические точки - значения аргумента из области определения функции, при которых производная функции обращается в нуль. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
контрольная работа [295,5 K], добавлен 24.03.2009Определение производных сложных функций при заданном значении аргумента. Исследование траектории движения тела на плоскости и построение графика функции. Характеристика нахождения максимальных и минимальных точек, экстремумов и точек перегиба функции.
контрольная работа [790,1 K], добавлен 09.12.2011Поиск собственных чисел и построение фундаментальной системы решений. Исследование зависимости жордановой формы матрицы А от свойств матрицы системы. Построение фундаментальной матрицы решений методом Эйлера, решение задачи Коши и построение графиков.
курсовая работа [354,7 K], добавлен 14.10.2010Математическая модель задачи. Решение транспортной задачи методом потенциалов. Значение целевой функции. Система, состоящая из 7 уравнений с 8-ю неизвестными. Решение задач графическим методом. Выделение полуплоскости, соответствующей неравенству.
контрольная работа [23,5 K], добавлен 12.06.2011Сведения о графическом методе как особой знаковой системе. Техника составления статистических графиков. Требования к построению графического изображения. Классификация графиков по форме графического изображения и способу построения и задачам изображения.
контрольная работа [2,7 M], добавлен 01.08.2010Уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной заданному вектору, плоскости в отрезках, проходящей через три точки. Общее уравнение плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
презентация [106,9 K], добавлен 21.09.2013Нахождение экстремумов функций методом множителей Лагранжа. Выражение расширенной целевой функции. Схема алгоритма численного решения задачи методом штрафных функций в сочетании с методом безусловной минимизации. Построение линий ограничений.
курсовая работа [259,9 K], добавлен 04.05.2011Полное исследование функции с помощью производных, построение графика функции, нахождение ее наибольшего и наименьшего значения на отрезке. Методика вычисления неопределенных и определенных интегралов. Нахождение общего решения дифференциального уравнения
контрольная работа [133,4 K], добавлен 26.02.2012Нахождение пределов, не используя правило Лопиталя. Исследование функции на непрерывность, построение ее графика. Определение типа точки разрыва. Поиск производной функции. Поиск наибольшего и наименьшего значения функции на указанном ее отрезке.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 26.03.2014Перпендикулярные прямые в пространстве. Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости. Признаки перпендикулярности плоскостей. Построение перпендикуляра в многомерных пространствах.
презентация [1,6 M], добавлен 14.12.2012Понятие текстовых задач, их типология, роль и место в курсе школьной алгебры. Психолого-педагогические основы формирования умения решать текстовые задачи, этапы и методы обучения. Разработка системы задач по алгебре для самостоятельного решения учащимися.
дипломная работа [770,9 K], добавлен 30.03.2011
