Функции нескольких переменных
Особенности декартовой системы координат в трехмерном пространстве. Понятие предела, непрерывность функции нескольких переменных. Свойства функций непрерывных в ограниченной замкнутой области. Определение частной производной функции нескольких аргументов.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.05.2015 |
| Размер файла | 38,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Функции нескольких переменных
Введение
В этом разделе мы будем в основном рассматривать функции двух переменных. С одной стороны, для функций двух переменных наблюдаются все важнейшие факты теории функций нескольких переменных, а с другой стороны, для двух переменных всегда можно дать наглядную геометрическую интерпретацию.
1. Основные понятия
Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (х; у). Правило, по которому каждой паре чисел сопоставляется единственное действительное число z, называется функцией двух переменных, определенной на множестве D и записывается в виде z=f(x;y). При этом числа х и у называются независимыми переменными (аргументами), а z - зависимой переменной (функцией). Множество D=D(f) называют областью определения функции.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рассмотрим декартову систему координат в трехмерном пространстве. Любой паре чисел соответствует точка М(х; у) в плоскости хОу. Областью определения функции может быть, например, вся плоскость хОу или ее часть, ограниченная некоторыми линиями. Заметим, что, строго говоря, областью называют связное множество точек, то есть множество, в котором любые две точки могут быть соединены линией, целиком лежащей в этом множестве. Линию, ограничивающую область D, называют границей области и обозначают . Если область состоит только из внутренних точек (не принадлежащих границе), ее называют открытой, если же область включает и границу, то ее называют замкнутой.
Если задана функция двух переменных z=f(x;y), то каждой точке М(х;у) области D в плоскости хОу соответствует точка Р(х;у;z), где z=f(x;y). Совокупность таких точек образует некоторую поверхность, которая и является геометрическим представлением данной функции.
2. Предел и непрерывность функции двух переменных
Размещено на http://www.allbest.ru/
Понятия предела и непрерывности функции нескольких переменных вводятся аналогично понятиям предела и непрерывности функции одной переменной.
-окрестностью точки М0(х0;у0) называется множество всех точек М(х;у) плоскости, для которых выполняется условие
то есть внутренних точек круга с центром в точке М0 и радиусом . Множество, состоящее из всех внутренних точек круга, за исключением самой точки М0, называется проколотой -окрестностью точки М0.
Пусть функция z=f(x;y) определена в некоторой окрестности точки М0(х0;у0), за исключением, может быть, самой этой точки.
Число А называется пределом функции z=f(x;y) при (или при М(х;у)М0(х0;у0)), если для любого существует такое, что для всех точек М(х;у) из проколотой -окрестности точки М0(х0;у0) выполняется неравенство . Обозначают .
Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому точка М стремится к точке М0.
Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогичными свойствам предела функции одной переменной, позволяющими вычислять пределы суммы, произведения, отношения функций.
Функция z=f(x;y) называется непрерывной в точке М0(х0;у0), если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности и имеет предел при ММ0, равный значению функции в этой точке:
Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области.
Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области, аналогичны свойствам функций одной переменной, непрерывных на отрезке (ограниченность функции, достижимость наибольшего и наименьшего значений и т.п.)
3. Дифференцирование функций нескольких переменных
Рассмотрим функцию двух аргументов f(x;y). Поскольку х и у - независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Зафиксируем, например, переменную у, а переменной х придадим приращение х. Тогда функция f(x;y) получит частное приращение по х:
Если существует конечный предел
то он называется частной производной функции f(x;y) по переменной х в точке М(х;у) и обозначается или .
Аналогично определяется частная производная по у:
.
Таким образом, частная производная функции нескольких аргументов по одной из переменных определяется как производная функции одной этой переменной при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции нескольких аргументов вычисляются по таблице и правилам вычисления производных функции одного аргумента (остальные аргументы считаются постоянными).
переменная предел функция производная
4. Задание
Найти частные производные функции
.
Если - сложная функция, т.е. , то
Частные производные
называют частными производными первого порядка. Они, в свою очередь, являются функциями двух аргументов и имеют производные по обоим аргументам, которые называются частными производными второго порядка:
;;
;
Аналогично определяются частные производные более высоких порядков.
Частная производная второго порядка или выше, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной.
Теорема: Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования. В частности
.
Вычисляя частные производные функции f(x;y), мы рассматриваем изменения, которые происходят с функцией при движении точки М(х;у) в направлениях, параллельных осям Оу и Ох и определяемых, соответственно, векторами {1;0} и {0;1}. Но можно рассмотреть произвольное направление движения точки М, тогда скорость изменения функции будет характеризовать так называемая производная функции по направлению.
Производной функции f(x;y) по направлению называется число, определяемое формулой
,
где cos, cos - направляющие косинусы вектора , т.е. .
Дифференциал функции двух переменных имеет вид:
.
Как и в случае функции одной переменной, дифференциал - линейная (или главная) часть приращения функции и может быть использован для приближенных вычислений.
Имеет место инвариантность формы полного дифференциала, т.е. если рассматривать функцию , где , то
.
Второй дифференциал функции двух переменных имеет вид
.
Градиентом функции называется вектор
.
Отметим, что градиент в каждой точке указывает направление наибольшего изменения функции.
Дивергенцией функции называется число
.
Понятия градиента и дивергенции широко используются в физике.
Как и в случае функции одной переменной, при помощи производных можно исследовать функцию на экстремум. При этом точки, подозрительные на экстремум определяются из системы условий . Далее для каждой найденной точки (x0;y0) вычисляют значения
.
Функция имеет в точке (x0;y0) минимум, если ;
максимум, если ; не имеет экстремума, если .
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие функции нескольких переменных. Аргументы, частное значение и область применения функции. Рассмотрение функции двух и трех переменных. Предел функции нескольких переменных, теорема. Главная сущность непрерывности функции нескольких переменных.
реферат [86,3 K], добавлен 30.10.2010Понятия зависимой, независимой переменных, области определения функции. Примеры нахождения области функции. Примеры функций нескольких переменных: линейная, квадратическая, функция Кобба-Дугласа. Построение графика и линии уровня функции двух переменных.
презентация [104,8 K], добавлен 17.09.2013Понятие функции двух и более переменных, ее предел и непрерывность. Частные производные первого и высших порядков. Определение полного дифференциала. Необходимые и достаточные условия существования экстремума и его нахождение на условном множестве.
реферат [145,4 K], добавлен 03.08.2010Определение предела последовательности. Понятие производной и правила дифференцирования. Теоремы Роля, Лангража, правило Лапиталя. Исследования графиков функций. Таблица неопределенных и вычисление определенных интегралов. Функции нескольких переменных.
презентация [917,8 K], добавлен 17.03.2010Понятие, предел и непрерывность функции двух переменных. Частные производные первого порядка, нахождение полного дифференциала. Частные производные высших порядков и экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия существования экстремума.
контрольная работа [148,6 K], добавлен 02.02.2014Нахождение частной производной первого порядка. Определение области определения функции. Расчет производной от функции, заданной неявно. Полный дифференциал функции двух переменных. Исследование функции на экстремум, ее наименьшее и наибольшее значения.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 12.11.2014Расчет частных производных первого порядка. Поиск и построение области определения функции. Расчет полного дифференциала. Исследование функции на экстремум. Поиск наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области. Производные второго порядка.
контрольная работа [204,5 K], добавлен 06.05.2012Определение точки экстремума для функции двух переменных. Аналог теоремы Ферма. Критические, стационарные точки. Теорема "Достаточное условие экстремума", доказательство. Схема исследования функции нескольких переменных на экстремум, практический пример.
презентация [126,2 K], добавлен 17.09.2013Определение наименьшего и наибольшего значения функции в ограниченной области и ее градиента; общего интеграла и общего и частного решения дифференциального уравнения. Исследование ряда на абсолютную сходимость с применением признаков Коши и Даламбера.
контрольная работа [107,2 K], добавлен 25.11.2013Нахождение экстремума функции нескольких переменных не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющему некоторому условию. Практический пример нахождения точки максимума и минимума функции. Главные особенности метода множителей Лагранжа.
презентация [112,6 K], добавлен 17.09.2013Функции нескольких переменных. Локальные экстремумы функции двух переменных. Производная по направлению. Двойные и тройные интегралы. Вычисление объемов тел и площадей плоских фигур. Тройной интеграл, криволинейные интегралы первого и второго рода.
учебное пособие [511,2 K], добавлен 23.04.2012Общие свойства функций. Правила дифференциального исчисления. Неопределенный и определенный интегралы, методы их вычисления. Функции нескольких переменных, производные и дифференциалы. Классические методы оптимизации. Модель потребительского выбора.
методичка [2,0 M], добавлен 07.01.2011Общая схема методов спуска. Метод покоординатного спуска. Минимизация целевой функции по выбранным переменным. Алгоритм метода Гаусса-Зейделя. Понятие градиента функции. Суть метода наискорейшего спуска. Программа решения задачи дискретной оптимизации.
курсовая работа [90,8 K], добавлен 30.04.2011Область определения и свойства функции (четность, нечетность, периодичность). Точки пересечения функции с осями координат. Непрерывность функции. Характер точек разрыва. Асимптоты. Экстремумы функции. Исследование функции на монотонность. Точки перегиба.
презентация [298,3 K], добавлен 11.09.2011Функция многих переменных. Предел и непрерывность функции многих переменных. Частные производные. Дифференцируемость функции. Производная в направлении. Градиент. Локальные экстремумы. Интегральное исчисление функций. Неопределённный интеграл.
курс лекций [309,0 K], добавлен 08.04.2008Определение второго замечательного предела. Понятие бесконечно малых функций. Математическое описание непрерывности зависимости одной переменной величины от другой в точке. Точки разрыва функции. Свойства и непрерывность ее в интервале и на отрезке.
презентация [314,4 K], добавлен 14.11.2014Алгоритм вычисления интегральной суммы для функции нескольких переменных по кривой АВ. Определение понятия криволинейного интеграла второго рода. Представление суммы интегралов двух функций вдоль кривой АВ как криволинейного интеграла общего вида.
презентация [69,4 K], добавлен 17.09.2013Определение и примеры симметрических многочленов от трех и нескольких переменных. Решение систем уравнений с тремя неизвестными. Освобождение от иррациональности в знаменателе. Разложение на множители. Основная теорема об антисимметрических многочленах.
курсовая работа [303,5 K], добавлен 12.04.2012Область определения функции. Очки пересечения с осями координат, промежутки знакопостоянства. Исследование функции на непрерывность. Асимптоты, определение точки экстремума и точки перегиба. Расчет области определения функций, заданных аналитически.
контрольная работа [178,7 K], добавлен 14.06.2013Пределы последовательностей и функций. Производная и дифференциал. Геометрические изложения и дифференцированные исчисления (построение графиков). Неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Функции нескольких переменных, дифференцированных исчислений
контрольная работа [186,9 K], добавлен 11.06.2003
