Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Вероятности того, что каждый из трех кассиров занят обслуживанием покупателей, равны соответственно 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент заняты обслуживанием покупателей:

а) все кассиры;

б) только один кассир;

в) хотя бы один кассир.

Решение:

В данной задаче независимо производятся три эксперимента состоящие в работе каждого из трех кассиров.

Обозначим:

- событие состоящее, в том, что первый кассир занят обслуживанием покупателей;

- событие состоящее, в том, что второй кассир занят обслуживанием покупателей;

- событие состоящее, в том, что третий кассир занят обслуживанием покупателей;

По условию:

Событие В - все кассиры заняты обслуживанием покупателей.

б) Событие С - занят обслуживанием только один кассир.

Событие С можно представить в виде:



События , и - попарно несовместные, независимые события. По теоремам сложения и умножения для несовместных и независимых событий получим: вероятность кассир индекс покупатель

Ответ: вероятность того, что в данный момент времени занят обслуживанием покупателя только один кассир, равна 0,092.

в) Событие противоположное событию D, состоит в том, что в данный момент ни один из кассиров не занят обслуживанием покупателей

Учитывая независимость событий , и по теореме умножения вероятностей получаем:

Следовательно:

Ответ: вероятность того, что в данный момент времени занят обслуживанием покупателя хотя бы один кассир, равна 0,994.



2. На заочном отделении вуза 80 % всех студентов работают по специальности. Какова вероятность того, что из пяти отобранных случайным образом студентов по специальности работают:

а) два студента;

б) хотя бы один студент?

Решение:

В нашем случае число испытаний n=5, тогда воспользуемся формулой Бернулли.

а) m=2

Вероятность того, что из пяти отобранных случайным образом студентов по специальности работают два студента, равна 0,0512.

б) вероятность того, что из пяти отобранных случайным образом студентов по специальности работают хотя бы один студент:

3. На почту поступило 8000 писем. Вероятность того, что на случайно взятом конверте отсутствует почтовый индекс, равна 0,0005. Найти вероятность того, что почтовый индекс отсутствует:

а) на трех конвертах;

б) не менее чем на трех конвертах.

Решение:

В нашем случае число испытаний n=8000, а вероятность очень мала p=0,0005, тогда используем формулу Пуассона.

а) Вероятность того, что почтовый индекс отсутствует на трех конвертах m=3:

б) Вероятность того, что почтовый индекс отсутствует не менее чем на трех конвертах m?3:

4. У торгового агента имеется пять адресов потенциальных покупателей, к которым он обращается с предложением приобрести реализуемый его фирмой товар. Вероятность согласия потенциальных покупателей оценивается соответственно как 0,5; 0,4; 0,4; 0,3; 0,25. Агент обращается к ним в указанном порядке до тех пор, пока кто-нибудь не согласится приобрести товар. Составить закон распределения случайной величины - числа покупателей, к которым придётся обратиться торговому агенту. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение:

Пусть дискретная случай величина - X, потенциальные покупатели - 1, 2, 3, 4, 5, тогда вероятность, что агент обратится к потенциальному покупателю - .

Следовательно, закон распределения дискретной случайной величины X, будет иметь вид:

X	1	2	3	4	5	6
P	P(1)	P(2)	P(3)	P(4)	P(5)	P(6)

Событие А - потенциальный клиент согласен приобрести товар, тогда:

P(А₁)=0,50

P(А₂)=0,40

P(А₃)=0,40

P(А₄)=0,30

P(А₅)=0,25.

Событие, имеющее противоположное значение событию А:

Агент сможет обратиться к следующему потенциальному покупателю только в том случае, если предыдущий откажется от покупки. Значит вероятность наступления события:



При правильном расчете сумма вероятностей должна быть равна 1.

УP(i)=0,50+0,20+0,12+0,054+0,0315+0,0945 = 1

Таким образом, закон распределения случайной величины имеет вид:

X	1	2	3	4	5	6
P	0,50	0,20	0,12	0,054	0,0315	0,0945

Теперь можем найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Математическое ожидание:

Дисперсия случайной величины:

5. Плотность вероятности нормально распределенной случайной величины Х имеет вид:



Найти:

а) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х;

б) вероятность P(-1 < Х < 0);

в) вероятность того, что отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания не превысит 2,5 (по абсолютной величине).

Решение:

а) Случайная величина Х распределена по нормальному закону (или закону Гаусса), если плотность вероятности ее имеет вид:

где а=М(Х) - математическое ожидание, ²=D(x) - дисперсия случайно величины.

Значит, математическое ожидание а=1, среднее квадратическое отклонение случайной величины .

б) Вероятность рассчитывается по функции Лапласа:

В нашем случае:



в) Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания не превысит 2,5, равна

6. Имеются выборочные данные о распределении вкладчиков по размеру вклада в Сбербанке города

Размер вклада, тыс. руб.	До 40	40-60	60-80	80-100	Свыше 100	Итого
Число вкладов	32	56	92	120	100	400

Найти:

а) вероятность того, что средний размер вклада в Сбербанке отличается от среднего размера вклада в выборке не более чем на 5 тыс. руб. (по абсолютной величине);

б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля вкладов, размер которых менее 60 тыс. руб.;

в) объем повторной выборки, при которой те же границы для доли вкладов (см. п. б) можно гарантировать с вероятностью 0,9876; дать ответ на тот же вопрос, если никаких предварительных данных о рассматриваемой доле нет.

Решение:

Вычислим сначала числовые характеристики выборки. Построим соответствующий простой вариационный ряд, выбрав в качестве вариант середины интервалов:



	30	50	70	90	110	Итого
	32	56	92	120	100	400

Найдем среднее:

Найдем исправленную дисперсию:

Найдем исправленное среднеквадратичное отклонение: .

Расчеты в таблице ниже:

	30	50	70	90	110	Сумма
	32	56	92	120	100	400
	960	2800	6440	10800	11000	32000
	80000	50400	9200	12000	90000	241600

а) Найдем вероятность того, что средний размер вклада в Сбербанке отличается от среднего размера вклада в выборке не более чем на 5 тыс. руб. (по абсолютной величине), то есть что предельная ошибка выборки равна 5.



Вероятность 0,99994 или 99,994%.

б) Найдем границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля вкладов, размер которых менее 60 тыс. руб.

Выборочная доля вкладов, размер которых менее 60 тыс. руб. равна .

Предельная ошибка для доли

.

Коэффициент

.

Получаем:

Тогда границы для доли всех вкладов размером менее 60 тыс. руб. имеют вид:

От 17,94% до 26,06% всех вкладов.

в) Найдем объем выборки, при которой те же границы для доли вкладов, полученные в пункте б), можно гарантировать с вероятностью 0,9876.

Нужно найти объем выборки , при котором предельная ошибка будет также равна

Формула для объема выборки имеет вид:

.

Коэффициент

.

Подставляем все данные:

.

Дадим ответ на тот же вопрос, если никаких предварительных данных о рассматриваемой доле нет. Тогда рекомендуется брать . Получаем:

7. По данным задачи 1, используя -критерий Пирсона, на уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X - размер вклада в Сбербанке - распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую

Решение:

Используем данные, полученные в предыдущем задании:

;

.

В качестве дисперсии нормального закона распределения следует взять исправленную выборочную дисперсию. Но т.к. количество наблюдений - 400 достаточно велико, то подойдет и “обычная” .

Для расчета вероятностей попадания случайной величины в интервал используем функцию Лапласа:

;

;

Вычислим теоретические частности или вероятности

;

;

;

;

Составим таблицу:

Интервал	Эмпирические частоты	Вероятности	Теоретические частоты
20-40	32	0,0442	17,68	1021,173	11,59855
40-60	56	0,15742	62,968	3118,394	0,771075
60-80	92	0,29103	116,412	8410,535	5,119281
80-100	120	0,29103	116,412	14330,24	0,110588
100-120	100	0,15472	61,888	9969,08	23,47021
ИТОГО	400	0,9384	375,36	36849,42	41,06971

Таким образом, . Используя таблицу Х² распределения определим критическое значение Х²_крит при

Х² (0,05;2) = 5,99

Поскольку , то гипотеза Н₀ о нормальном распределении случайной величины Х с параметрами , не принимается.

Построим теоретическую нормальную кривую

8. Распределение 110 предприятий по стоимости основных производственных фондов Х (млн. руб.) и стоимости произведенной продукции Y (млн руб.) представлено в таблице

У х	15-25	25-35	35-45	45-55	55-65	65-75	Итого
5-15	17	4					21
15-25	3	18	3				24
25-35		2	15	5			22
35-45			3	13	7		23
45-55					6	14	20
Итого	20	24	21	18	13	14	110

Необходимо:

1) Вычислить групповые средние , построить эмпирические линии регрессии.

2) Предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость:

а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;

б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;

в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить среднюю стоимость произведенной продукции, если стоимость основных производственных фондов составляет 45 млн. руб.

Решение:

Составим корреляционную таблицу, в качестве вариант выберем середины интервалов.

	20	30	40	50	60	70
10	17	4					21
20	3	18	3				24
30		2	15	5			22
40			3	13	7		23
50					6	14	20
	20	24	21	18	13	14	110

1) Найдем групповые средние по формулам:

;

.



Вычисления проведем в Excel, получаем:

	11,5	19,17	30	37,22	44,62	50
	20	30	40	50	60	70

Из вида эмпирических линий регрессии можно заключить, что между переменными наблюдается линейная зависимость.

, ,

,

, ,

,

.

= 160900



Уравнения прямых регрессии:

Экономическая интерпретация полученных уравнений:

- при увеличении стоимости основных производственных фондов на 1 млн. руб., стоимость произведенной продукции растет в среднем на 1,117 млн. руб.

- при увеличении стоимости произведенной продукции на 1 млн. руб., стоимость основных производственных фондов растет в среднем на 0,797 млн. руб.

По таблице критерия Стьюдента для уровня значимости 0,05 находим . Так как наблюдаемое значение 29,6 больше критического, коэффициент корреляции значим.

Размещено на Allbest.ru

...