Применение векторов к решению геометрических задач
Условия и особенности применения элементарной алгебры и тригонометрии в ряде случаев при решении задач на вычисление применение векторов. Методика составления плана решения, а также требования к данному процессу. Выделение неколлинеарных векторов.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 18.06.2015 |
| Размер файла | 117,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Применение векторов к решению геометрических задач
В ряде случаев при решении задач на вычисление применение векторов предпочтительнее конструктивных подходов, связанных с использованием дополнительных построений, применения элементарной алгебры и тригонометрии.
Чтобы успешно решать геометрические задачи посредством векторов, требуется не только знание законов векторной алгебры, знакомство с понятием разложения вектора в базисе, умение переводить геометрический факт на язык векторов, но и определенная методика при составлении плана решения. Отметим несколько важных положений.
1. Если требуется вычислить расстояние или угол, то надо применять скалярное умножение векторов.
2. При введение векторов можно идти двумя путями:
а) выбрать точку, от которой откладывается известные векторы;
б) векторы изображать направленными отрезками, связанными с рассматриваемыми в задаче фигурами, не откладывая их от одной точки.
3. Если задача планиметрическая, то целесообразно выделить два неколлинеарных вектора в качестве базисных и остальные векторы выразить через них; если же задача стереометрическая, то в качестве базиса следует выбрать три некомпланарных вектора. При этом введение начальной точки необязательно.
4. В ряде случаев, например при решении задач на многогранные углы, вычисления упрощаются, если ввести единичные векторы, отложенные от вершины многогранного угла.
Примеры задач, решаемых векторным методом.
алгебра тригонометрия вектор неколлинеарный
Задача. Вычислить тупой угол, образованный медианами, проведенными из вершин острых углов равнобедренного прямоугольного треугольника.
Решение
Пусть и ;
Согласно условию .
Вектор есть разность векторов и , т.е.
(т.к. ).
Аналогично
.
Угол между векторами находится по формуле:
,
но, , т.к. .
Следовательно
.
длины векторов и найдем по теореме Пифагора.
Таким образом
Тогда
Ответ:
Задача. На ребрах прямоугольного трехгранного угла с вершиной О отложены равные отрезки ОА, ОВ, ОС. Из точки О на плоскости ABC опущен перпендикуляр ОН. Доказать, что если точка Н1 симметрична точке Н относительно вершины О, то тетраэдр Н1 ABC правильный.
Решение
Примем вершину О трехгранного угла за начало векторов. Тогда
и .
Следовательно,
,
.
Найдем
Учитывая, что и , имеем: .
Далее находим:
,
,
.
Это значит, что отрезки H1A и H1B равны и образуют угол 60°, т.е. треугольник H1AB правильный.
Аналогично устанавливается, что две другие грани H1BC и H1CA являются равносторонними треугольниками и вследствие этого тетраэдр правильный.
Задача. Доказать, что можно построить треугольник, стороны которого равны и параллельна медианам данного треугольника ABC.
Решение
Обозначим середины сторон ВС, СА и АВ соответственно А', B', C'. Выразим векторы, представляющие медианы треугольника ABC, через , , (через стороны данного треугольника):
,
,
.
Составим сумму сторон треугольника ABC
.
Но так как векторы и образуют данный треугольник ABC, то их сумма равна нулю, следовательно, и . А это значит, что из векторов можно построить треугольник.
Задача. В треугольнике ABCD точка Е и F - середина рёбер АВ и CD соответственно. Доказать, что середины отрезков СЕ, DE, AF и BF являются вершинами параллелограмма.
Решение. Пусть К, L, М, N - середины отрезков СЕ, DE, AF и BF, соответственно. Доказать, что середины отрезков СЕ, DE, AF и BF являются вершинами параллелограмма.
Докажем равенство векторов и , выразив их через векторы , , , , где О - произвольная точка.
(1)
. (2)
Ч.Т.Д.
Задача. Точки К, L, M на сторонах АС, ВС, АВ треугольника ABC таковы, что , N - середина сторона АС. Найти отношение в котором точка пересечения отрезков KL и MN делит отрезок KL.
Решение.
Обозначим через О точку пересечения отрезков MN и KL и через х отношение KO: KL. Тогда . Учитывая, что L - середина МС и , получаем
Так как точка О лежит на прямой MN, то . Откуда . Значит, .
Ответ: KO: OL = 2:3
Задача. Отрезки DA1, DB1, DC1 - медианы граней BCD, ACD и ABD тетраэдра ABCD соответственно. Точки К, М, N делят отрезки DA1, DB1, DC1 в отношении , . В каком отношении плоскость KMN делит ребра DA и DB?
Решение
Пусть плоскость KMN пересекает ребра DA, DB и DC тетраэдра ABCD в точках Р, Q, R соответственно.
Точки А1, В1, С1 - середины отрезков ВС, АС, АВ соответственно. Следовательно,
Решив эту систему, (например, сложив (1) и (2), и вычтя (3) получим
Пусть . Тогда, учитывая , , ,
имеем
,
и, т.к. точки К, М, N, Р лежат в одной плоскости, то
.
Таким образом, , откуда .
Пусть теперь , тогда
, и
, откуда
Ответ: , .
Задача. Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC, длина стороны которого равна . Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости оснований и имеет длину 2. Найти угол между прямыми, одна из которых проходит через точку S и середину ребра ВС, а друга проходит через точку С и середину ребра АВ.
Решение. Обозначим .
Выберем в качестве базиса векторы , и .
Тогда, из треугольника BCS: ,
а из треугольника ABC:
Ответ: .
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Вектор - направленный отрезок, имеющий начало и конец, его свойства. Виды определения векторов, действия над ними. Правила сложения векторов, их сумма. Скалярное произведение векторов. Особенности использования векторов. Решение геометрических задач.
контрольная работа [640,1 K], добавлен 18.01.2013Линейные операции над векторами. Скалярное произведение двух векторов. Векторное произведение векторов. Графическое решение систем неравенств. Построение графиков функций с помощью геометрических преобразований. Простейшие геометрические преобразования.
методичка [2,0 M], добавлен 15.06.2015Вычисление скалярного и векторного произведений векторов, заданных в прямоугольной декартовой системе координат. Расчет длины ребра пирамиды по координатам ее вершин. Поиск координат симметричной точки. Определение типа линии, описываемой уравнением.
контрольная работа [892,1 K], добавлен 12.05.2016Понятие собственных векторов и собственных значений, их свойства и характеристики, порядок нахождения собственных векторов оператора. Критерии определения независимости и ортогональности собственных векторов. Факторы и теоремы положительных матриц.
реферат [350,1 K], добавлен 22.04.2010Векторы в трехмерном пространстве. Линейные операции над векторами. Общее понятие про скалярные величины. Проекции векторов, их свойства. Коммутативность скалярного произведения, неравенство Коши-Буняковского. Примеры скалярного произведения векторов.
контрольная работа [605,8 K], добавлен 06.05.2012Методика нахождения различных решений геометрических задач на построение. Выбор и применение методов геометрических преобразований: параллельного переноса, симметрии, поворота (вращения), подобия, инверсии в зависимости от формы и свойств базовой фигуры.
курсовая работа [6,4 M], добавлен 13.08.2011Основные определения геометрических векторов. Понятие коллинеарных и равных векторов. Простейшие операции над векторами, их проекция на ось. Понятие угла между векторами. Отсчет угла против часовой стрелки, положительная и отрицательная проекция.
реферат [187,4 K], добавлен 19.08.2009Нахождение собственных значений и векторов линейного преобразования, заданных в некотором базисе матрицей. Составление характеристического уравнения и нахождение семейства векторов и их значения при решении, корни характеристического уравнения.
контрольная работа [44,9 K], добавлен 29.05.2012Аксиомы линейного векторного пространства. Произведение любого вектора на число 0. Аксиомы размерности, доказательство теоремы. Дистрибутивность скалярного произведения векторов относительно сложения векторов. Требования, предъявляемые к системе аксиом.
реферат [80,9 K], добавлен 28.03.2014Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц. Нетривиальное решение однородной системы линейных алгебраических уравнений. Метод нахождения характеристического многочлена, предложенный А.М. Данилевским. Получение формы Жордано: form.exe.
курсовая работа [53,4 K], добавлен 29.08.2010История интегрального и дифференциального исчисления. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики. Моменты и центры масс плоских кривых, теорема Гульдена. Дифференциальные уравнения. Примеры решения задач в MatLab.
реферат [323,3 K], добавлен 07.09.2009Определение производной, понятие интеграла и определение предела функции. Дифференцирование и применение производной к решению задач. Исследование функции, вычисление интегралов и доказательство неравенств. Порядок вычисления пределов, Правило Лопиталя.
курсовая работа [612,2 K], добавлен 01.06.2014Структура текстовой задачи. Условия и требования задач и отношения между ними. Методы и способы решения задач. Основные этапы решения задач. Поиск и составление плана решения. Осуществление плана решения. Моделирование в процессе решения задачи.
презентация [247,7 K], добавлен 20.02.2015Понятие "задача" и процесс ее решения. Технология обучения приемам восприятия и осмысления, поиска и составления плана решения. Методика обучения решению задач различными методами. Сущность, смысл и обозначение дробей, практические способы их сравнения.
методичка [242,5 K], добавлен 03.04.2011Развитие аналитического, логического, конструктивного мышления учащихся и формирование их математической зоркости. Изучение тригонометрии в курсе геометрии основной школы, методы решения нестандартных задач из курса 8 класса и из альтернативных учебников.
курсовая работа [396,0 K], добавлен 01.03.2014Векторы на плоскости и в пространстве. Расстояние между началом и концом. Коллинеарные и нулевые векторы. Условие коллинеарности и перпендикулярности векторов. Определение суммы и разницы векторов. Свойства операций сложения и умножения вектора на число.
презентация [98,6 K], добавлен 21.09.2013Сущность понятия "скалярное произведение векторов". Законы векторного произведения. Практический пример нахождения площади треугольника. Общее понятие о правой и левой тройке. Содержание закона круговой переместительности. Объём треугольной пирамиды.
презентация [373,9 K], добавлен 16.11.2014Методика расчета скалярного произведения заданных векторов. Расчет определителей и рангов матриц, нахождение обратных матриц. Разрешение уравнений по методу Крамера, обратной матрицы, а также встроенной функции lsolve. Анализ полученных результатов.
лабораторная работа [86,8 K], добавлен 13.10.2014Метод замены переменной при решении задач. Тригонометрическая подстановка. Решение уравнений. Решение систем. Доказательство неравенств. Преподавание темы "Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач".
дипломная работа [461,7 K], добавлен 08.08.2007Общая характеристика факультативных занятий по математике, основные формы и методы проведения. Составление календарно-тематического плана факультативного курса по теме: "Применение аппарата математического анализа при решении задач с параметрами".
курсовая работа [662,1 K], добавлен 27.09.2013
