Математическое описание линейных моделей систем управления
Дифференциальное уравнение системы. Вычисление переходной и импульсной переходной характеристики. Построение частотных характеристик в пакете MatLab. Уравнения состояния системы в нормальной и в канонической форме. Проверка коэффициента усиления.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 18.06.2015 |
| Размер файла | 199,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Математическое описание линейных моделей систем управления
Содержание
1. Дифференциальное уравнение системы
2. Вычисление переходной и импульсной переходной характеристики
3. Построение переходных характеристик w(t) и h(t)
4. Построение асимптотических ЛАЧХ и ЛФЧХ
5. Построение частотных характеристик в пакете MatLab
6. Уравнения состояния системы в нормальной форме
7. Уравнения состояния системы в канонической форме
8. Решение уравнений состояния в нормальной форме
9. Решение уравнений состояния в канонической форме
10. Проверка коэффициента усиления
1. Дифференциальное уравнение системы
Исходные данные:
Передаточная функция системы имеет вид:
(1.1.1)
Таким образом:
Передаточной функцией элемента или системы W(S) называется отношение изображений по Лапласу сигнала на выходе к изображению по Лапласу на входе при нулевых начальных условиях (до момента подачи сигнала все характеристики были нулевыми). Передаточная функция обычно правильная рациональная дробь. Передаточная функция не зависит от входного воздействия, а зависит только от вида дифференциального уравнения и параметров системы. Зная y(s) и U(s), можно найти:
(1.1.2)
Таким образом, получим:
где: y(s) - выходной сигнал в области изображений по Лапласу,
u(s) - входной сигнал в области изображений по Лапласу.
C учетом того, что, то дифференциальное уравнение системы можно записать следующим образом:
Запишем характеристическое уравнение системы и вычислим его корни:
Определяем корни: .
2. Вычисление переходной и импульсной переходной характеристики
Разложим передаточную функцию на сумму простых слагаемых:
(1.2.1)
Таким образом:
Из этого уравнения найдем a, b, c:
a) положим , тогда:
б) положим , тогда:
в) положим , тогда:
В результате получим:
От разложения передаточной функции перейдем к импульсной переходной характеристике в аналитической форме:
(1.2.2)
Таким образом, импульсная переходная характеристика имеет вид:
Получим аналитическую форму переходной характеристики, как импульсную переходную характеристику системы, дополненную интегралом:
(1.2.3)
Вычислим переходную характеристику:
Таким образом, окончательное выражение имеет вид:
3. Построение переходных характеристик w(t) и h(t)
Рис. 1.3.1 Импульсная переходная характеристика
Рис. 1.3.2 Переходная характеристика
Рис. 1.3.3 Импульсная переходная характеристика impulse(W).
Рис. 1.3.4 Переходная характеристика step(W).
Таким образом, рассчитанные импульсная переходная характеристика w(t) и переходная характеристика h(t) совпадают с соответствующими характеристиками, построенными в пакете MatLab с помощью функций impulse и step.
4. Построение асимптотических ЛАЧХ и ЛФЧХ
Построение частотных характеристик в логарифмическом масштабе позволяет сократить число работ, т.к. все степенные функции становятся линейными, а степень s определяет наклон линий. По оси ординат при построении ЛАЧХ откладывается величина (дБ). По оси абсцисс откладывается угловая частота щ в логарифмическом масштабе (за единицу длинны одна декада).
Декада - отрезок на оси частот, соответствующий десятикратному усилению частоты. Длина отрезка, равного декаде, не зависит от частоты.
Представим передаточную функцию в виде:
(1.4.1)
где - количество интегрирующих звеньев,
- количество форсирующих звеньев,
- количество периодических звеньев.
Вычисляются все сопрягающие частоты и откладываются на оси частот в порядке их возрастания.
Первый наклон в области низких частот определяется значением: дБ/дек. Этот наклон проводится через точку ,
= 1 - наклон -20 дБ/дек
= 0 - наклон 0 дБ/дек - параллельно оси частот
= -1 - наклон 20 дБ/дек
На каждой из сопрягающих частот наклон будет изменяться, при этом, если сопрягающая частота принадлежит, стоящему в числителе звену (его передаточной функции), то наклон изменяется на 20 дБ/дек, а если в знаменателе, то -20 дБ/дек. Последующий наклон складывается с предыдущим:
(1.4.2) числительзнаменатель
- частота, в которой характеристика пересекает ось щ - частотой среза.
Наша передаточная функция будет выглядеть следующим образом:
Отсюда видим, что: .
Сопрягающие частоты вычисляются следующим образом:
- прямая с наклоном 1, т.к. , проходящая до первой сопрягающей частоты через характерную точку: , .
- в точке наклон прямой изменится на -1. Это объясняется тем, что частота соответствует звену, стоящему в знаменатале. Следовательно, на этом участке будет прямая с наклоном 0.
- в точке наклон прямой изменится на -1. Это объясняется тем, что частота соответствует звену, стоящему в знаменатале. Следовательно, на этом участке будет прямая с наклоном -1.
- в точке наклон прямой изменится на -1. Это объясняется тем, что частота соответствует звену, стоящему в знаменатале. Следовательно, на этом участке будет прямая с наклоном -2.
Для построения ЛФЧХ используется выражение:
(1.4.3)
Таким образом, запишем выражение для ФЧХ системы:
.
дифференциальный уравнение коэффициент усиление
Рис. 1.4.1 Представление асимптотической ЛАЧХ системы.
Рис. 1.4.2 Представление ЛФЧХ системы.
5. Построение частотных характеристик в пакете MatLab
Рис. 1.5.1 ЛАЧХ и ЛФЧХ системы bode(W).
Рис.1.5.2 АФЧХ системы nyquist(W).
Таким образом, построенные асимптотические частотные характеристики соответствуют частотным характеристикам, построенным в пакете MatLab с помощью функции bode. Так же приведена амплитудно-фазово частотная характеристика системы.
6. Уравнения состояния системы в нормальной форме
Дифференциальное уравнение системы:
Модальная форма уравнений состояния имеет следующий вид:
(1.6.1)
Запишем Матрицу Фробениуса A. Матрица Фробениуса А - это квадратная матрица порядка n, размер которой определяется порядком дифференциального уравнения. Элементы, стоящие над главной диагональю - единицы, элементы последней строки - коэффициенты левой части дифференциального уравнения, взятые с противоположным знаком и в обратном порядке. Все остальные элементы - нули.
(1.6.2)
Таким образом:
C - вектор-строка из n элементов, где на первом месте единица, а остальные нули:
(1.6.3)
D - скаляр, который вычисляется следующим образом:
(1.6.4)
B - вектор-столбец, который имеет вид:
(1.6.5)
Коэффициенты будут вычисляться следующим образом:
(1.6.6)
Таким образом, получим матрицу D:
Таким образом, матрица B имеет вид:
В итоге получим:
Перемножив матрицы, получим следующую систему уравнений:
Представим блок-схему нормальной формы:
Рис. 1.6.1 Блок-схема модели системы по результатам разложения передаточной функции в нормальную форму.
7. Уравнения состояния системы в канонической форме
Характеристическое уравнение системы будет выглядеть следующим образом:
(1.7.1)
где А - матрица Фробениуса, а E - единичная матрица:
Таким образом, получим выражение:
решая это уравнение, получим корни:
.
Найдем модальную матрицу, представляющую собой матрицу порядка n, образованную из характеристических чисел следующим образом:
(1.7.2)
В нашем случае модальная матрица будет иметь следующий вид:
Представим уравнения состояния в присоединенной форме:
(1.7.3)
где Л - диагональная матрица, вычисляемая следующим образом:
(1.7.4)
Для корней характеристического уравнения получим:
Переход к присоединенной форме осуществляется так:
(1.7.5)
(1.7.6)
(1.7.7)
(1.7.8)
Найдем :
(1.7.9)
где - это присоединенная матрица (транспонированная матрица алгебраических дополнений).
Вычислим определитель модальной матрицы M: .
Вычислим алгебраические дополнения модальной матрицы М:
дифференциальный уравнение частотных
Вычислим обратную матрицу:
Вычислим матрицу B1:
Вычислим матрицу C1:
Вычислим матрицу D1:
В итоге получим:
Перемножив матрицы, получим следующую систему уравнений:
Построим блок-схему присоединенной канонической формы:
Рис. 1.7.1 Блок-схема модели системы по результатам разложения передаточной функции в присоединенную каноническую форму.
8. Решение уравнений состояния в нормальной форме
Запишем начальные условия:
Решение уравнений состояния можно записать в виде:
(1.8.1)
где - фундаментальная матрица или матрица перехода,
А - матрица Фробениуса.
Вычислим ее, представляя ее в виде ряда из n членов:
(1.8.2)
где - неизвестные коэффициенты. Вычислить их можно, решая систему из 3-х уравнений:
(1.8.3)
Используя корни характеристического уравнения:
Получаем систему уравнений:
Данную систему уравнений решаем методом Крамера:
Вычислим определитель:
Найдём коэффициент :
Найдём коэффициент:
Найдём коэффициент:
Определим матрицу :
Таким образом, запишем выражение для фундаментальной матрицы:
Таким образом, окончательное выражение имеет вид:
Выделим свободную и вынужденную составляющие:
(1.8.4)
Запишем выражение для свободной составляющей, используя начальные условия и фундаментальную матрицу:
Запишем выражение для вынужденной составляющей, используя значение входного сигнала и фундаментальную матрицу:
Таким образом, вынужденная составляющая имеет вид:
В связи с тем что , запишем окончательное выражение для свободной и вынужденной составляющей:
Запишем аналитическое выражение y(t):
При , т.е. к .
При , т.е. стремится к значению .
9. Решение уравнений состояния в канонической форме
Запишем начальные условия:
Учитывая соотношение , получим:
(1.9.1)
Подставив начальные условия, имеем систему уравнений:
По аналогии с решением дифференциального уравнения первого порядка запишем:
(1.9.2)
Отсюда найдем:
Запишем аналитическое выражение y(t):
(1.9.3)
Таким образом:
При , т.е. к .
При , т.е. стремится к значению .
10. Проверка коэффициента усиления
Проверим значение коэффициента усиления по передаточной функции:
По переходной характеристике:
По моделям в пространстве состояний:
- каноническая форма:
- нормальная форма:
По аналитической записи импульсной переходной характеристики:
Проверяем:
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Операторы преобразования переменных, классы, способы построения и особенности структурных моделей систем управления. Линейные и нелинейные модели и характеристики систем управления, модели вход-выход, построение их временных и частотных характеристик.
учебное пособие [509,3 K], добавлен 23.12.2009Дифференциальные уравнения при входном воздействии типа скачка для заданной электрической цепи. Применение преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях. Решение уравнения операторным методом. Построение частотных характеристик цепи. Ее динамика.
курсовая работа [721,0 K], добавлен 27.05.2008Определение динамических свойств объектов с помощью дифференциальных уравнений для сравнительно простых объектов. Выражение входной и выходной величины элемента в долях, введение безразмерных координат. График кривой разгона, коэффициент усиления.
реферат [12,5 K], добавлен 16.05.2010Вычисление и исследование предела и производной функции, построение графиков. Вычисление неопределенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Нахождение решения дифференциального уравнения и построение графиков частных решений.
контрольная работа [153,6 K], добавлен 19.01.2010Схематическое изображение и краткое описание заданной гидравлической системы, выражение работы данной системы с помощью уравнений. Написание уравнения системы виде входа-выхода, решение задачи в символьном виде. Разложение уравнения в ряд Тейлора.
лабораторная работа [92,4 K], добавлен 11.03.2012Определение и порядок расчета для многомерной системы трех имеющихся матриц: передаточной и частотной передаточной функции, годографа, импульсной и переходной характеристики. Порядок составления структурной схемы полученной системы матриц А, В и С.
контрольная работа [206,5 K], добавлен 13.09.2010Симплексный метод как универсальное решение задач линейного программирования. Применение метода Жордана-Гаусса для системы линейных уравнений в канонической форме. Опорное решение системы ограничений. Критерий оптимальности. Задача канонической формы.
презентация [2,0 M], добавлен 11.04.2013Методика проверки совместности системы уравнений и ее решение. Вычисление параметров однородной системы линейных алгебраических уравнений. Нахождение по координатам модуля, проекции вектора, скалярного произведения векторов. Составление уравнения прямой.
контрольная работа [104,2 K], добавлен 23.01.2012Порядок решения дифференциального уравнения 1-го порядка. Поиск частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего указанным начальным условиям. Особенности применения метода Эйлера. Составление характеристического уравнения матрицы системы.
контрольная работа [332,6 K], добавлен 14.12.2012Разложение определителя 4-го порядка. Проверка с помощью функции МОПРЕД() в программе Microsoft Excel. Нахождение обратной матрицы. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Гаусса. Составление общего уравнения плоскости.
контрольная работа [138,7 K], добавлен 05.07.2015Ознакомление с основными элементами управления редактора Matlab. Выполнение элементарных вычислений с помощью данной программной системы. Структура справочной системы, принципы ее функционирования. Решение системы линейных уравнений в матричном виде.
лабораторная работа [289,8 K], добавлен 20.09.2015Анализ динамических процессов в системе на основе использования построенной аналитической модели. Моделирование с использованием пакета расширения Symbolic Math Tolbox. Построение модели в виде системы дифференциальных уравнений, записанных в форме Коши.
курсовая работа [863,4 K], добавлен 21.06.2015Математическая модель линейной непрерывной многосвязной системы. Уравнение движения и общее решение неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений. Сигнальный граф системы и структурная схема. Динамики САУ и определение ее характеристик.
реферат [55,7 K], добавлен 26.01.2009Рассмотрение статических и динамических характеристик машины. Выбор математической модели систем электроприводов. Расчет параметров двигателя постоянного тока. Аппроксимация полученной переходной характеристики элементарными динамическими звеньями.
курсовая работа [833,3 K], добавлен 18.04.2014Решение системы линейных уравнений методом Гауса. Преобразования расширенной матрицы, приведение ее к треугольному виду. Средства матричного исчисления. Вычисление алгебраических дополнений матрицы. Решение матричного уравнения по правилу Крамера.
задача [26,8 K], добавлен 29.05.2012Математические и педагогические основы исследования системы линейных уравнений. Компьютерная математика Mathcad. Конспекты уроков элективного курса "Изучение избранных вопросов по математике с использованием системы компьютерной математики Mathcad".
дипломная работа [1001,0 K], добавлен 03.05.2013Поиск общего интеграла дифференциального уравнения. Расстановка пределов интегрирования. Координаты вершины параболы. Объем тела, ограниченного поверхностями. Вычисление криволинейного интеграла. Полный дифференциал функции. Вычисление дуги цепной линии.
контрольная работа [298,1 K], добавлен 28.03.2014Способы решения системы уравнений с двумя переменными. Прямая как график линейного уравнения. Использование способов подстановки и сложения при решении систем линейных уравнений с двумя переменными. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
реферат [532,7 K], добавлен 10.11.2009Построение сигнального графа и структурной схемы системы управления. Расчет передаточной функции системы по формуле Мейсона. Анализ устойчивости по критерию Ляпунова. Синтез формирующего фильтра. Оценка качества эквивалентной схемы по переходной функции.
курсовая работа [462,5 K], добавлен 20.10.2013Решение дифференциальных уравнений математической модели системы с гасителем и без гасителя. Статический расчет виброизоляции. Определение собственных частот системы, построение амплитудно-частотных характеристик и зависимости перемещений от времени.
контрольная работа [1,6 M], добавлен 22.12.2014
