Работы академика А.А. Маркова по математическому анализу

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Биография Андрея Андреевича

2. Научная деятельность

3. Достижения в математике

4. Работы академика А.А. Маркова по математическому анализу

4.1 Неравенство для производной алгебраического многочлена

4.2 Классическая теорема А. А. Маркова о сходимости непрерывных дробей

4.3 Исследования П. Л. Чебышева и А. А. Маркова об экстремальных значениях интегралов

Заключение

Список литературы

Введение

В качестве темы курсовой работы я выбрала одного из представителей петербургской математической школы - Андрея Андреевича Маркова.

А.А. Марков был страстным и убежденным борцом против произвола и несправедливости царского режима, выступал против попыток подчинить преподавание математики в школе религиозным взглядам и энергично протестовал против различных вредных экспериментов в этой области. Резкие выпады против веры в чудеса содержатся в учебнике А.А. Маркова "Исчисление вероятностей", опубликованном в дореволюционное время. После выхода книги ученого обвинили в безбожии и "подрыве основ". От преследований его избавил лишь крах царского режима.

Цель моей курсовой, ознакомиться с биографией российского математика А.А. Маркова, с его основными работами, и достижениями.

математика алгебраический многочлен дробь

1. Биография Андрея Андреевича

Андрей Андреевич Марков - выдающийся русский математик, представитель петербургской математической школы, специалист по теории чисел, теории вероятностей и математическому анализу.

А.А. Марков родился 2 июня (ст. ст.) 1856 г. в Рязани. Он был сыном чиновника Андрея Григорьевича Маркова, служившего в Лесном департаменте в чине коллежского советника, а затем вышедшего в отставку и работавшего частным поверенным. Дед Андрея Андреевича, Григорий Маркович Марков, был сельским дьяконом где-то близ Рязани.

Андрюша Марков был болезненным ребенком. Он страдал туберкулезом коленного сустава и ходил на костылях. Впрочем, он умел обходиться и без низ, но тогда скакал на одной ноге, - другая была согнута в колене и не разгибалась. В этих способах передвижения он достиг, однако, большого совершенства и мог даже с успехом играть в горелки.

Когда Андрюше было 10 лет, ему сделали операцию. Известный хирург разогнул ему ногу, и он получил возможность ходить нормально. Правда, он потом, всю жизнь, слегка прихрамывал, но это не помешало ему стать хорошим пешеходом, любителем дальних прогулок. "Будешь жив, пока на ходу", - любил он цитировать слова одного врача.

В 1866 г. Андрюшу отдали в Петербургскую 5-ю гимназию. Это "классическое" учебное заведение с его казенщиной пришлось мальчику не по вкусу. На всю жизнь он сохранил мрачное воспоминание об этом месте, где его старались не столько учить, сколько муштровать и отуплять, чему в особенности способствовало преподавание древних языков (латинского и греческого), построенное на зубрежке бесчисленных правил и исключений. По большинству предметов он учился плоховато и часто получал неудовлетворительные оценки. Исключение составлял только один предмет - математика, по которому Андрюша неизменно получал пятерки. Его отец говорил: "Ничем Андрей не хочет заниматься, кроме математики!"

Андрей действительно был очень увлечен математикой еще в школьный период и изучал эту науку самостоятельно. Одно время ему казалось, что он изобрел новый метод интегрирования обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Об этом своем открытии он сообщил известным русским математикам того времени: Буняковскому, Золотареву и Коркину. Из них первый ничего не ответил на письмо гимназиста Маркова, а два других подробно и обстоятельно разъяснили ему, что этот способ в действительности не является новым. Так завязалось знакомство Андрея Андреевича с профессорами Петербургского университета А.Н. Коркиным и Е.И. Золотаревым.

Андрей Григорьевич Марков, однако ошибался, когда полагал, что его Андрей ничем кроме математики не интересуется. На самом деле он зачитывался статьями великих публицистов-шестидесятников - Чернышевского, Добролюбова, Писарева, под влиянием которых находилась тогда лучшая часть учащейся молодежи.

2. Научная деятельность

В 1874 г. Андрей Андреевич окончил гимназию и поступил на физико-математический факультет Петербургского университета. Там он слушал лекции Пафнутия Львовича Чебышева, влияние которого отразилось на всей его научной деятельности. Под влиянием П.Л. Чебышева А.А. Марков занялся теорией непрерывных дробей и теорией чисел.

В 1878 г. Марков окончил Петербургский университет по математическому разряду физико-математического факультета со степенью кандидата. В том же году он был награжден золотой медалью за сочинение на предложенную факультетом тему "Об интегрировании дифференциальных уравнений при помощи непрерывных дробей" и был оставлен при университете "для приготовления к профессорскому званию".

В 1880 г. он защитил свою знаменитую магистерскую диссертацию "О бинарных квадратичных формах положительного определителя", сразу выдвинувшую его в первые ряды русских математиков. Результаты, полученные им в этой работе, послужили основой дальнейших исследований в этой области в СССР и за рубежом.

В 1884 г. Марков защитил докторскую диссертацию "О некоторых приложениях алгебраических непрерывных дробей", посвященную непрерывным дробям, в которой доказал и обобщил некоторые неравенства Чебышева, опубликованные ранее без доказательств.

В 1880 г. началась преподавательская деятельность Андрея Андреевича в Петербургском университете в качестве приват-доцента. Он читал курсы дифференциального и интегрального исчислений, "Введения в анализ". В 1883 г. из университета ушел Чебышев, и Марков первый раз читал курс теории вероятностей. С 1885 г. он читал этот курс непрерывно из года в год.

13 декабря 1886 г., по предложению Чебышева, А.А. Марков был избран адъюнктом Петербургской Академии Наук, 3 марта 1890 г. за глубокие научные исследования - экстраординарным академиком, 2 марта 1896 г. - ординарным академиком. В 1886 г. он был назначен экстраординарным профессором Петербургского университета, а в 1893 г. - ординарным. В 1905 г. Андрей Андреевич вышел из университета в отставку, но курс теории вероятностей продолжал читать. Стремясь найти полезное практическое применение для своей научной специальности, он принимал деятельное участи в расчетах Эмеритальной кассы Министерства юстиции при ее основании и обзорах ее действий.

А.А. Марков скончался 20 июля 1922 г.

3. Достижения в математике

В 1880г. Марков защитил диссертацию на тему «О бинарных квадратичных формах положительного определителя». Он написал около 70 работ по теории чисел, теории приближения функций, теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей, в том числе 2 классических произведения - «Исчисление конечных разностей» и «Исчисление вероятностей». Труды Маркова по теории чисел касаются главным образом теории неопределенных квадратичных форм. Почти все они посвящены нахождению экстремальных квадратичных форм данного определителя.

Марков внес важный вклад в своеобразную область геометрии чисел, которая в настоящее время интенсивно развивается. Обогатил важными открытиями и методами также теорию вероятностей: развил метод моментов П. Л. Чебышева настолько, что стало возможным доказательство центральной предельной теоремы, существенно расширил сферу применения закона больших чисел и центральной предельной теоремы, распространив их не только на независимые, но и на зависимые опыты.

В цикле работ, опубликованном в 1906-1912гг., заложил основы одной из общих схем естественных процессов, которые можно изучать методами математического анализа. Впоследствии эта схема была названа цепями Маркова и привела к развитию нового раздела теории вероятностей -теории случайных процессов. В качестве примера случайных процессов можно назвать диффузию газов, химические реакции, лавинные процессы и т. д. Важное место в творчестве Маркова занимают вопросы математической статистики. Он вывел принцип, эквивалентный понятиям несмещенных и эффективных статистик, которые получили теперь широкое применение, В математическом анализе Марков развил теорию моментов и теорию приближения функций, а также аналитическую теорию непрерывных дробей. Ученый широко использовал непрерывные дроби для приближенных вычислений в теории конечных разностей, интерполировании и т. д.

4. Работы академика А. А. Маркова по математическому анализу

Как и все выдающиеся русские математики, А.А. Марков занимался многими проблемами математического анализа. Его внимание привлекали теория непрерывных дробей, исчисление конечных разностей, теория интерполирования функций, экстремальные задачи в функциональных пространствах, проблема моментов, теория ортогональных многочленов, квадратурные формулы, дифференциальные уравнения, теория функций, наименее уклоняющихся от нуля, и другие вопросы. По многим разделам математического анализа А.А. Марков получил выдающиеся результаты, которые играют важную роль и в наши дни.

В общем списке научных трудов А.А. Маркова работы по математическому анализу составляют более одной третьей части. Наиболее важные из этих работ содержатся в сборнике избранных трудов А.А. Маркова, опубликованном в 1948 г..

А.А. Марков воспринял идеи своего учителя великого русского математика Пафнутия Львовича Чебышева и занимался решением многих задач, поставленных в его трудах. В результате этого классические работы П. JI. Чебышева и А. А. Маркова о предельных величийах интегралов составили основы теории моментов и теории экстремальных задач в функциональных пространствах.

Многие результаты А. А. Маркова имеют различные интерпретации, обобщения и продолжения. При изучении научного наследия А.А. Маркова некоторые авторы по-разному понимают результаты, полученные ученым, ибо во многих случаях его оригинальные доказательства, обладая большим запасом общности, позволяют усилить формулировки и применить эти доказательства в других, более сложных случаях.

Самой характерной особенностью научных работ А.А. Маркова является то, что наиболее важные его результаты постоянно упоминаются и цитируются во многих работах по математическому анализу и в настоящее время. При этом некоторые теоремы А.А. Маркова называются классическими и формулируются в несколько ином виде, чем в работах самого А.А. Маркова. Например, сейчас наиболее цитируема классическая теорема А.А. Маркова о сходимости подходящих дробей некоторой непрерывной дроби, в которую разлагается интеграл типа Коши вне сегмента-носителя меры.

Выдающимся научным произведением является монография А. А. Маркова «Исчисление конечных разностей», изданная в 1910 г. В этой монографии А.А. Марков с большим научным и педагогическим мастерством изложил многие важные вопросы математического анализа. Эта монография -- одна из самых популярных книг по математическому анализу. Она постоянно упоминается и даже конкретно цитируется не только во многих работах по математическому анализу, но и в некоторых книгах по вычислительной математике.

В настоящей работе рассматриваются наиболее важные результаты А. А. Маркова по математическому анализу, описывается также развитие и продолжение этих результатов и значение их в современной математике.

4.1 Неравенство для производной алгебраического многочлена

В 1889 г. вышла работа А.А. Маркова «Об одном вопросе Д. И. Менделеева». В одной из своих работ по химии Д. И. Менделеев поставил вопрос об оценке производной квадратного трехчлена через максимальное значение абсолютной величины самого трехчлена. Рассматривая этот вопрос, А. А. Марков обобщил задачу Менделеева и получил очень важное неравенство, которое впоследствии оказалось исходным пунктом многочисленных исследований по теории приближения функций.

Пусть дан алгебраический многочлен с действительными коэффициентами



Предположим, что на сегменте этот многочлен удовлетворяет неравенству

А.А. Марков ставит вопрос об оценке производной многочлена (1) при условии (2). При этом

А.А. Марков четко различает два случая. В первом случае число фиксировано в интервале . Во втором случае является произвольным числом из сегмента , т. е. рассматривается максимум величины на сегменте . В соответствии с этим А. А. Марков решает следующие задачи.

Задача 1. Для фиксированного найти наибольшее значение при условии (2).

Задача 2. Найти максимум величины на сегменте \ при условии (2).

Решая вторую задачу, А. А. Марков установил, что при условии (2) имеет место формула

В настоящее время этот результат формулируется как теорема А.А. Маркова. Если алгебраический многочлен (1) степени не выше удовлетворяет условию (2), то для его производной выполняется неравенство

В той же работе А. А. Марков показывает, что неравенство (3) является неулучшаемым относительно всех величин, входящих в него, если рассматривать весь класс многочленов степени не выше п. Впоследствии очень важное неравенство (3) получило название неравенства Маркова об оценке производной алгебраического многочлена на всем сегменте.

При решении задачи 1 А. А. Марков фактически доказал еще одно неравенство

В этом неравенстве производная алгебраического многочлена оценивается во внутренних точках интервала в зависимости от положения точки на этом интервале.

Неравенство (4) именно в таком виде впервые опубликовал С. Н. Бернштейн [II, 171], но при этом он заметил, что доказательство этого неравенства, а также его другая, не совсем удачная форма содержатся в вышеупомянутой работе А. А. Маркова.

4.2 Классическая теорема А. А. Маркова о сходимости непрерывных дробей

Пусть дана аналитическая в окрестности бесконечно удаленной точки функция

Если все определители Ганкеля для последовательности отличны от нуля, то функции сопоставляется некоторая чебышевская непрерывная дробь



Подходящая дробь порядка для непрерывной дроби (2) имеет вид

где и -- некоторые алгебраические многочлены степеней соответственно и . Эта подходящая дробь обладает замечательным аппроксимационным свойством, а именно справедливо разложение

Иными словами, имеет место равенство

Таким образом , определяемой разложением (1), соответствует последовательность рациональных дробей

Соотношение (3) означает, что каждая рациональная дробь (4) является наилучшим локальным приближением функции (1) в окрестности точки . Разумеется, равенство (3) можно принять в качестве определения рациональных дробей (4) как дробей наилучшего локального приближения функции (1). Это экстремальное свойство подходящих дробей (4) лежит в основе многочисленных приложений непрерывных дробей к различным вопросам математического анализа (механические квадратуры, ортогональные многочлены, теория интерполирования функций, проблема моментов).

Наиболее важные результаты о непрерывных дробях получены в классических трудах П. JI. Чебышева, А. А. Маркова, Т. Стилтьеса. Здесь мы приведем только один результат А. А. Маркова.

Теорема А. А. Маркова. Если функция f (z) имеет вид

где функция g (.х) неотрицательна и интегрируема на сегменте , то последовательность рациональных дробей (4) сходится к функции f (z) равномерно на всяком замкнутом множестве, расположенном вне сегмента .

Впервые эта теорема была доказана А.А. Марковым в работе «Доказательство сходимости многих непрерывных дробей», опубликованной в 1885 г. Затем эта теорема была опубликована повторно в работе А. А. Маркова.

В настоящее время теорема А. А. Маркова формулируется в более общем виде, ибо ее доказательство позволяет установить более общий результат.

Пусть на действительной оси задана конечная положительная мера с компактным носителем, который принадлежит сегменту . Тогда вместо (5) можно рассмотреть функцию

В этом случае аналогично формуле (1) для интеграла (6) имеем разложение

При этом коэффициенты разложения определяются по формуле

и называются степенными моментами меры

При этих условиях последовательность рациональных дробей (4) сходится к функции (6) равномерно на всяком замкнутом множестве, расположенном вне сегмента. Именно так формулируется теорема А. А. Маркова в настоящее время.

4.3 Исследования П. Л. Чебышева и А. А. Маркова об экстремальных значениях интегралов

Во многих работах П. JI. Чебышева и А. А. Маркова рассматривается задача о нахождении предельных величин интегралов при некоторых интерполяционных условиях. Интересная сама по себе, эта экстремальная задача явилась исходным пунктом исследований в различных направлениях (экстремальные задачи в функциональных пространствах, проблема моментов, чебышевские и марковские системы функций).

Пусть дан сегмент и конечная система чисел . Требуется найти такую положительную функцию , что выполняются условия



и, кроме того, интеграл

при фиксированных и и v (а ? и ? v ? b) имеет минимальное (или максимальное) значение. Эту задачу рассматривал П. JI. Чебышев в 1874 г. при различных условиях (n -- четное либо отдельно n -- нечетное, и = а либо v = b).

В 1884 г. А. А. Марков в работе, «О некоторых приложениях алгебраических непрерывных дробей» обобщил приведенную выше задачу П. JI. Чебышева следующим образом.

Пусть на сегменте [a, b] дана некоторая функция g (х). Вместо функционала (2) А. А. Марков рассматривает функционал

и ставит задачу об определении экстремальных значений этого функционала при тех же условиях (1).

В 1896 г. вышла работа А. А. Маркова «Новые приложения непрерывных дробей». В этой работе искомая функция f (х) удовлетворяет условию

а функция , определяющая функционал (3), непрерывно дифференцируема раз на сегменте , причем производная g(n+1) (x) сохраняет знак. При условиях (1) и (4) А. А. Марков находит максимум и минимум интеграла (3) и определяет обе экстремальные функции. Исследуя эту экстремальную задачу, А. А. Марков подробно изучает разложения в непрерывные дроби двух выражений:

которые рассматриваются при тех же условиях (1) и (4).

Начиная с 1886 г. А. А. Марков в своих работах рассматривает более общую экстремальную задачу, а именно вместо степеней независимого переменного, 1, х, х2, . . ., хп вводится некоторая система непрерывно дифференцируемых на сегменте [a,b] функций

Далее вводятся моменты неизвестной функции

и ищутся экстремумы интеграла (3) при условиях (4) и (6).

Относительно функций (5) предполагается, что для них при x [a,b] положительны все определители

(7)

При этом А. А. Марков замечает, что положительность определителей (7) нужна только для того, чтобы на полиномы вида

(8)

можно было бы перенести некоторые свойства обычных алгебраических многочленов. В частности необходимо, чтобы любой нетривиальный полином (8) имел на сегменте не более n нулей. А вспомогательная функция g (х) вместе с системой функций (5) должна удовлетворять дополнительному условию

(9)

В 1898 г. вышла самая главная работа А. А. Маркова по теории экстремальных задач и проблеме моментов «О предельных величинах интегралов в связи с интерполированием». В книге эта работа занимает 85 с. В этой работе наряду с исследованием экстремальных задач ставятся и частично решаются некоторые вопросы, которые в целом составляют основы теории моментов.

Прежде всего в этой работе А. А. Марков продолжает исследование систем функций (5) при положительности определителей (7). Пусть на сегменте [a, b] дана система точек {xk} с условием

(10)

В начале работы А. А. Марков доказывает, что если все определители (7) положительны, то при условии (10) определитель (11) тоже положителен.

Первая экстремальная задача в этой работе А. А. Маркова формулируется следующим образом. Пусть даны моменты неизвестной функции

(12) и два произвольных числа А < В. Требуется найти такую функцию f (x), которая удовлетворяет интерполяционным условиям (12) и условию

(13)

причем интеграл

(14)

имеет экстремальное значение. При решении этой задачи А. А. Марков замечает, что числа {ск} в равенствах (12) не могут быть произвольными, а должны удовлетворять определенным условиям, и исследует эти условия.

Во второй экстремальной задаче при тех же условиях (12) и (13) вместо интеграла (14) рассматривается интеграл

, (15)

где v фиксировано с условием а < v ? b. При этом функция g (х) удовлетворяет условию (9) с заменой числа n + 1 числом n. Рассматриваются также и другие экстремальные задачи.

Заключение

Ознакомившись с биографией Маркова и его основными работами и достижениями, можно сделать вывод, что он внес непосильный вклад в развитие российской математики.

По многим разделам математического анализа А. А. Марков получил выдающиеся результаты, которые играют важную роль и в наши дни. Его идеи и результаты - знаменитые "марковские цепи", доказательство закона больших чисел, теоремы о минимумах квадратичных форм и другие блестящие достижения - вошли в основной фонд науки, и будут жить века.

Данная работу я написала, опираясь на книгу С. Я. Гродзенского. Она написана на основании изучения трудов ученого и документов из архива семьи Маркова, в ней показана многогранная деятельность ученого, являвшегося также одним из сильнейших шахматистов своего времени. Рекомендую данную книгу всем, кто интересуется развитием отечественной науки и историей шахмат.

Я считаю, что нужно изучать и знать российских ученых, их открытия, достижения и какую роль играют их работы в наше время.

Список литературы

1. Гродзенский С.Я. (1987). Андрей Андреевич Марков. Москва: Наука.

2. Ожигова Е.П. (1972). Развитие теории чисел в России. Ленинград: Наука.

3. Савин А.П. (1985). Энциклопедический словарь юного математика для среднего и старшего школьного возраста. Москва: Педагогика.

Размещено на Allbest.ru

...