Побудова математичної моделі оцінювання опціонів

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Факультет кібернетики

Кафедра дослідження операцій

Випускна кваліфікаційна робота бакалавра

На тему

Побудова математичної моделі оцінювання опціонів

Студента 4 курсу

Чорножука Сергія

Науковий керівник: асистент,

Кандидат фізико-математичних наук

Полоцький Сергій Вікторович

Вступ

Деякі теоретичні відомості про опціони.

Опціон - фінансовий контракт, який діє аналогічно страховим контрактам. Як і в будь-якому контракті тут обговорюється сума угоди, ціна виконання, термін виконання, права та забов'язаності сторін. Не дивлячись на все, є деяка спіцифіка...

Іншими словами, опціон- це право купити чи продати деякий актив по деякій ціні через фіксований час. За це право також треба платити певну суму грошей. Зрозуміло, що людина, яка купує це право, може як і виграти, так і програти певну кількість свого капіталу. Наприклад, на момент купівлі опціону золото коштує 300$ за унцію, а покупець придбав собі право через місяць купити це золото по 290$ за унцію. Якщо золото буде коштувати більше 290$, то покупець вийграє суму грошей, яка вираховуюється за формулою - s, де q- кількість унцій, p- ціна через місяць, s- вартість самого опціону. Якщо ж вартість золота буде менша, ніж 290$ за унцію, то покупець втратить просто кількість грошей рівну s. Введемо ж тепер певну термінологію, пов'язану з опціонами.

Оскільки опціон є фінансовим інструментом, ціна якого залежить від ціни іншого актива, то опціони також називають похідними фінансовими інструментами (derivative instruments). Актив, від якого залежить вартість даного опціона, називається базовим активом. Власне кажучи вартість самого опціону (s) називається його премією (premium).

Зрозуміло, що «час життя» самого опціону обмежений. Він завершуюється в дату закінчення (expiration date), обумовлену в контракті. В цей день по умовам опціонного контракту покупець отримує право купити або продати базовий актив. Продавець приймає на себе обов'язок задовільнити право покупця. Ціна, по якій може бути виконана транзакція по бажанню покупця по закінченні терміну опціона, називається ціною виконання (strike price).

При настанні дати закінчення покупець може, як вже сказано вище, і не скористатися опціоном. У цьому випадку опціон спливає (expire). Якщо ж покупець скористається правами, даними йому опціонним контрактом, то він його виконає (exercise).

Необхідно зазанчити, що опціони поділяються на дві групи (опціони на покупку (call) і опціони на продаж (put). Якщо ви копупець опціона, то

Call- право, але не обов'язок, купити базовий актив в наперед визначений час по наперед заданій ціні.

Put- право, але не обов'язок, продати базовий актив в наперед визначений час по наперед заданій ціні.

Постановка задачі.

Як було вже визначено раніше, кожен опціон має свою премію. Нашою задачею буде побудова математичної моделі для аналізу поведінки ціни премії в залежності від певних факторів.

Множину цих факторів майже неможливо визначити однозначно, адже вони дуже гарно приховані і невідомі для звичайних торговців опціонами. Незважаючи на це, в залежності від початкової ціни актива, ціни виконання, дати початку та закінчення контракту можна побудувати математичні моделі, які будуть давати досить точні результати.

Однією з таких моделей є біноміальна модель оцінювання опціонів, розбір і побудова якої і є нашою головною задачею. Після цього ми оцінемо її роботу, порівнюючи вихідні дані, що пов'язані з ціною премії опціона, з даними, які ми отримали шляхом збору з деякого он-лайн сервісу. Побудуємо графіки розходження. Останнім нашим кроком буде формулювання певних висновків, щодо роботи біноміальної моделі оцінювання опціонів.

Деякі відомості про біноміальну модель оцінювання опціонів

В фінансах, біноміальна модель оцінки вартості опціонів дає чисельні методи для оцінки опціонів. Біноміальна модель була вперше запропонована Джоном Коксом, Стефаном Россом та Марком Рубінштейном у 1979 році. По суті є "дискретно-часовою" (гратковою) моделлю зміни ціни базового активу чи інструменту протягом певного часового інтервалу. Модель отримала назву біноміальної тому, що в кожному періоді в ній передбачається існування тільки двох можливих альтернатив поточної ринкової вартості акції, кожна з яких відбувається з деякою ймовірністю. Крім того ці альтернативи є рекомбінантними (пояснення буде надано дещо пізніше). Формується біноміальне дерево, що наочно ілюструє процес визначення вартості опціону.

Ця модель широко використовується, так як вона здатна працювати за таких умов, за яких інші моделі не можуть бути легко застосовані. Це пояснюється значною мірою тому, що БМОП (біноміальна модуль оцінки премії опціонів) базується на описі похідного фінансового інструменту протягом певного періоду часу, а не в одній точці. Як наслідок, вона використовується для оцінки американських опціонів, що можуть бути виконані в будь-який момент в заданому інтервалі часу. Будучи відносно простою, модель дуже часто використовується і вже має багато своїх варіацій у програмному забезпеченні комп'ютера.

Хоча вона працює повільніше, ніж модель Блека-Шоулза, її результати є більш точним, особливо для довгострокових опціонів на певний актив. З цих причин, різні версії біноміальної моделі широко використовуються на ринках опціонів.

Для опціонів з декількома джерелами невизначеності (наприклад, для реальних опціонів), а також для опціонів зі складними рисами (наприклад, для Азіатських), біноміальна модель застосовується більш рідко через певні труднощі, і модель Монте-Карло для опціонів зазвичай використовуються у таких випадках. При моделюванні за невеликої кількісті часових кроків модель Монте-Карло буде працювати довше, ніж БМОП. Тим не менше, у найгіршому випадку час роботи БМОП буде O (), де n- число часових кроків у моделюванні. Моделювання за методом Монте-Карло, як правило, має поліноміальну складність, і буде швидшою для великого числа кроків симуляції.

Побудова моделі

Як вже було сказано, біноміальна модель простежує еволюцію ціни певного актива в дискретному часі. Це робиться за допомогою біноміальної решітки (дерева), яка показує поведінку актива на певних часових вузлах, які утворюється внаслідок дискретизації різниці часу між закінченням та початком опціону. Кожен вузол в решітці представляє можливу ціну базового актива в даний момент часу.

Оцінка самої премії виконується ітеративно, починаючи з кожного з кінцевих вузлів (тобто з тих цінович категорій, які може досягнути актив на момент дати закінчення опціону). Після того ми оцінюємо премію у попередніх вузлах, закінчуючи процес на почтаковому вузлі (дата початку «життя» опціону). Значення, обчислені на кожному етапі є вартістю опціону на той момент часу.

Отже, оцінка опціону, як написано вище, виконується у три етапи:

1) Генерація біноміального дерева ціни

2) Розрахунок премії опціону на кожному з кінцевих вузлів

3) Послідовний розрахунок премії опціону на кожному попередньому вузлі.

Тепер розглянемо кожний крок детально.

КРОК 1: генерація біноміального дерева ціни

Як вже зазначолось раніше, дерево будується за рахунок того, що ціна актива змінюється від початку опціону до дати його закінчення.

На кожному кроці передбачається, що ціна актива буде рухатись вгору або вниз за рахунок специфічних факторів (u чи d).

Було висунуто гіпотезу, шо ці фактори залежать від часу, протягом якого можуть спостерігатися зміни курсу актива та його стандартного відхилення. Ймовірності, з якими має місце зміна ціни за тим чи іншим фактором та, власне, самі фактори, Кокс, Росс і Рубінштейн обрали таким чином, щоб зміни ціни актива підпорядковувалися геометричному броунівському руху з параметрами r та , який є розумним наближенням до реальної динаміки цін акцій. Нагадаємо, що випадковий процес є геометричним броунівським рухом, якщо він задовільняє стохастичному диференціальному рівнянню

де - Вінерівський процес, - коофіцієнт зносу (в нашому випадку r), - параметр волатильності.

В наслідок цього було встновлено, що ,

Ймовірність з якою ціна змінюється з фактором u рівна

Ймовірність же з якою ціна змінюється з фактором d рівна 1-p.

Параметр- параметр волатильності ціни актива. Він показує як змінюється ціна підпорядкованого інструменту протягом певного періоду часу. Його, як правило, оцінюють коренем з вибіркової дисперсії по вибірці, яка складається зі спостереженнь щодо ціни актива в деякі моменти часу. Як правило, мають на увазі річну волатильність (вибірка формується за період рівний одному календарному року). В різних місцях волатильність різна. На сервісі, де ми виконували збір даних волатильність є рівною 0,054. Саме це значення ми будемо використовувати при побудові моделі.

Параметр r- безризикова відсоткова ставка. Цей параметр показує відсоток, який отримає інвестор при умові абсолютної відсутності ризику інвестиції. У свою чергу q- дивідендна прибутковість, яка показує відношення дивіденду за одну акцію до ціни за одну акцію. Ці два параметри є більш закритими для користувачів, ніж волатильність. Окрім цього вони дуже нестабільні, і часто змінюються, що робить їх вивчення досить важкою справою. Незважаючи на це, відомо, що вони майже завжди набувають своїх значеннь із множини (0, 0,1]. Саме тому при побудові моделі шляхом утворення сітки з кроком 0,01 по цій множині та перебором усіх можливих варіацій r та q по вузлач сітки (зрозуміло, що за комбінаторним правилом добутку всього таких варіантів 10*10 = 100 штук) ми виберемо такі значення цих параметрів, при яких відхилення премії, отриманої із нашої моделі, від реального її значення при першій же множині вхідних даних буде мінімальним. Ці значення ми зафіксуємо та будемо викорисутовувати і при всіх інших вхідних даних.

Отже, якщо S є поточною ціною актива, то в наступному періоді ціна буде або

, або

В наслідок цього, і формується, згадане нами вище, біноміальне дерево ціни актива (див малюнок)

опціон біноміальний ціна алгоритм



Як бачимо, наша модель гарантує, що дерево є рекомбінантним. Тобто, якщо базовий актив рухається вгору, а потім вниз (u, d), ціна буде такою ж, як якби він рухався спочатку вниз, а потім вгору (d, u) - тут два шляхи «зливаються» або «рекомбінуються». Ця властивість знижує кількість вузлів дерева, і таким чином прискорює обчислення ціни опціону.

Ця властивість також дозволяє нам обрахувати значення ціни актива в кожному з кінцевих вузлів без явної побудови дерева. Це значення обчислюється за формулою

де - це число під'йомів ціни, а - число падіннь. Зрозуміло, що

, =0 ..n

КРОК 2: розрахунок премії опціону на кожному з кінцевих вузлів

На кожному кінцевому вузлі дерева, тобто на дату закінчення опціону, вартість опціону є просто різницею між ціною актива (значеннями в кінцевих точках) та ціною виконання і дорівнює

, для опціону типу call

, для опціону типу put

де K- ціна виконання, а - можлива ціна актива в n-й період.

КРОК 3: Послідовний розрахунок премії опціону на кожному попередньому вузлі

Після того, як завершуються перші два кроки, при відомій ціні премії на кожному з останніх вузлів починаємо обраховувати вартість опціону на кожному з попередніх вузлів, закінчуючи на першому («корені дерева»). Отриманий результат там і буде шуканим значенням премії.

Обрахування значень премій на попередніх вузлах виконується таким чином:

У світлі припущення нейтральності ризику, сьогоднішня «чиста» ціна актива дорівнює своєму очікуваному майбутньому значенню з урахуванням безризиковості ставки. Таким чином, очікуване значення премії опціону розраховується з урахуванням значень опціонів з двох більш пізніх вузлів (нижнього та верхнього, див. малюнок дерева), «зважених» з їх відповідними ймовірностями- ймовірністю р висхідного руху ціни, і ймовірністю 1-р руху донизу.

З урахуванням вище сказаного отримуємо відповідну формулу для розрахунку

де - значення ціни премії опціону і-ї вершини у час t. Значення ймовірності p обраховується так, як було написано раніше.

Важливо зазначити, що для того, щоб ймовірність p була в інтервалі (0, 1) необхідно, щоб на накладалось наступне обмеження

Отже, теоретична викладка алгоритму знаходження премії опціону на цьому завершена, і ми готові перейти до детального обговорення практичного представлення даної моделі.

Аналіз інтерфейсу програми та головного її алгоритму

Практична складова роботи представляє собою програму, написану на мові С++. Для побудови цієї програми було побудовано наступний інтерфейс:

class BinomialModel

{

public:

BinomialModel():m_volatity(0.054) {};

- Конструктор без параметрів, якій створює біноміальну модель з заданою волатильністю.

void init (double i_start_value, double i_wanted_value, double i_time, bool i_ifcall);

- В цьому методі моделі надаються такі параметри як початкова ціна актива, ціна виконання, «час життя» опціону та індикатор на вид опціону (call чи put).

double StartCalculateFirst(double i_expected);

- Метод, який обчислює значення премії, враховуючи її значення, здобуте з он-лайн сервісу. Під час його виконання встановлюються значення безризикової відсоткової ставки та дивідендної прибутковості, які використовуються надалі.

double StartCalculate();

- Метод, який обчислює значення премії з вже встановленими параметрами

double GetRate();

- Метод, який повертає значення безризикової відсоткової ставки, яка використовується у моделі.

double GetYield();

- Метод, який повертає значення дивідендної прибутковості, яка використовується у моделі.

private:

double p_StartCalculate(double i_interest_rate, double i_dividened_yield);

- Прихований метод, який безпосередньо обчислює значення премії шляхом виконання головного алгоритму програми.

private:

double m_start_value;

- Початкова ціна активу на момент заключення контракту.

double m_wanted_value;

- Ціна виконання.

double m_time;

- Час між моментом заключення контракту та моментом виконання («час життя» опціону).

bool m_ifcall;

- Індикатор виду опціону (якщо false, то опціон виду put).

double m_interest_rate;

- Значення безризикової відсоткової ставки.

double m_volatity;

- Значення волатильності.

double m_dividened_yield;

- Значення дивідендної прибутковості.

std::vector<std::vector<double>> m_option_matrix;

- Таблиця (матриця), яка представляє собою біноміальне дерево ціни нашої моделі.

};

void StartProgramme(const std::wstring& i_fileroot, const std::wstring& o_fileroot);

- Функція, яка запускає виконання програми. Вхідними параметрами є файл, з якого зчитується вибірка іноформації по вартості актива та премії опціону з он-лайн сервісу та файл, у який ми будемо виводити результати роботи нашої моделі. Останні виводяться у такому форматі: «тип опціону» «обрахована премія» «премія з сервісу» «дата заключення контракту» «дата виконання» «інтервал часу між цими датами у роках» «ціна на час заключення контракту» «ціна виконання»

Тепер докладно опишемо імплементацію головного алгоритму моделі (того, який реалізовує три кроки побудови моделі). Його реалізація відбувається у прихованому методі

double p_StartCalculate(double i_interest_rate, double i_dividened_yield);-

Отже, розглянемо цей метод детально:

double BinomialModel::p_StartCalculate(double i_interest_rate, double i_dividened_yield)

{

m_interest_rate=i_interest_rate;

m_dividened_yield=i_dividened_yield;

- Тут проходить ініціалізація відповідних параметрів.

double k = (m_time * pow(m_interest_rate - m_dividened_yield,2)/

pow(m_volatity,2);

int steps=int(k)+1;

if(steps<=2)

steps*=10;

if(steps>2 && steps <=5)

steps*=4;

- Враховуючи обмеження на , виберемо необхідну кількість кроків (steps) при побудові дерева ціни

(=).

if(m_option_matrix.size()==0)

{

m_option_matrix.resize(steps+1);

for(int i=0;i<=steps;i++)

m_option_matrix[i].resize(steps+1);

}

- Будуємо таблицю, яка буде представляти дерево ціни у нашій моделі таким чином:

0.0	0.0	0.0	…
...
0.0	0.0
0.0

де pr(k)- значення премії опціону при можливій ціні актива k. Значення n = steps.

for(int i=0;i<=steps;i++)

for(int j=0;j<=steps;j++)

m_option_matrix[i][j]=0.0;

- Спочатку заповнюємо таблицю нулями.

double u=std::exp(std::sqrt(m_time/double(steps))*m_volatity);

- Обчислюємо значення фактору під'йому ціни актива u. Фактор d обчислюється як 1/u.

if(m_ifcall)

{

for(int i=0;i<=steps;i++)

{

double a=m_start_value*pow(u,steps-2*i)-m_wanted_value;

m_option_matrix[i][steps]=std::max(a,0.0);

}

}

else

{

for(int i=0;i<=steps;i++)

{

double a=m_wanted_value-m_start_value*pow(u,steps-2*i);

m_option_matrix[i][steps]=std::max(a,0.0);

}

}

- Враховуючи крок 2 нашої моделі, в залежності від виду опціону заповнюємо останній стовбчик таблиці, тобто значення премії опціону на кінцевих вузлах дерева ціни актива.

double delta_t=m_time/steps;

- Знаходимо значення .

double d=std::exp(-1*std::sqrt(m_time/double(steps))*m_volatity);

double p=(std::exp((m_interest_rate-m_dividened_yield)*delta_t)-d)/

(u-d);

- Знаходимо значення ймовірності p, про яку неодноразово згадувалось вище та явно задаємо фактор спуску ціни актива d.

double help_mult=std::exp(-m_interest_rate*delta_t);

for(int j=steps-1;j>=0;j--)

for(int i=steps-j;i<=steps;i++)

m_option_matrix[i][j]=help_mult*(p*m_option_matrix[i-1][j+1] +

(1-p)*m_option_matrix[i][j+1]);

- Циклічно заповнюємо й інші стовбці матриці в залежності від стовбця, який є сусіднім справа від даного (імплементація кроку 3 побудови моделі).

return m_option_matrix[steps][0];

- Повертаємо значення шуканої премії опціону.

};

Аналіз результатів виконання програми

Як вже зазначалось раніше, вхідні дані для моделі надаються з файлу. Щоб мати представлення, як виглядає вхідний файл, покажемо частину зібраних даних з он-лайн сервісу

UER/USD	0.1	CALL	07.04.2014	18:35:00	22.04.2014	1,3745	1,3743	43,00	76,00
UER/USD	0.1	PUT	07.04.2014	18:36:00	22.04.2014	1,3745	1,3743	45,00	78,00
UER/USD	0.1	CALL	07.04.2014	18:37:00	22.04.2014	1,3735	1,3743	49,00	82,00
UER/USD	0.1	PUT	07.04.2014	18:39:00	22.04.2014	1,3735	1,3742	40,00	73,00
UER/USD	0.1	CALL	08.04.2014	17:40:00	16.04.2014	1,3795	1,3794	26,00	59,00
UER/USD	0.1	PUT	08.04.2014	17:40:00	16.04.2014	1,3795	1,3794	28,00	61,00
UER/USD	0.1	CALL	08.04.2014	17:46:00	16.04.2014	1,3785	1,3792	31,00	64,00
UER/USD	0.1	PUT	08.04.2014	17:46:00	16.04.2014	1,3785	1,3792	24,00	57,00
UER/USD	0.1	CALL	08.04.2014	17:48:00	16.04.2014	1,3800	1,3792	23,00	56,00
UER/USD	0.1	PUT	08.04.2014	17:48:00	16.04.2014	1,3800	1,3792	32,00	65,00
UER/USD	0.1	CALL	08.04.2014	17:50:00	16.04.2014	1,3780	1,3790	34,00	67,00
UER/USD	0.1	PUT	08.04.2014	17:50:00	16.04.2014	1,3780	1,3790	22,00	55,00
UER/USD	0.1	CALL	08.04.2014	17:52:00	16.04.2014	1,3800	1,3788	22,00	55,00
UER/USD	0.1	PUT	08.04.2014	17:52:00	16.04.2014	1,3800	1,3788	33,00	66,00
UER/USD	0.1	CALL	08.04.2014	17:55:00	16.04.2014	1,3770	1,3790	38,00	71,00
UER/USD	0.1	PUT	08.04.2014	17:55:00	16.04.2014	1,3800	1,3790	18,00	51,00
UER/USD	0.1	CALL	08.04.2014	17:57:00	16.04.2014	1,3800	1,3790	17,00	50,00
UER/USD	0.1	PUT	08.04.2014	17:57:00	16.04.2014	1,3800	1,3790	38,00	71,00
UER/USD	0.1	CALL	08.04.2014	18:00:00	23.04.2014	1,3795	1,3794	43,00	76,00
UER/USD	0.1	PUT	08.04.2014	18:00:00	23.04.2014	1,3795	1,3794	45,00	78,00
UER/USD	0.1	CALL	08.04.2014	18:04:00	23.04.2014	1,3785	1,3792	48,00	81,00
UER/USD	0.1	PUT	08.04.2014	18:04:00	23.04.2014	1,3785	1,3792	42,00	75,00
UER/USD	0.1	CALL	08.04.2014	18:06:00	23.04.2014	1,3795	1,3792	43,00	76,00
UER/USD	0.1	PUT	08.04.2014	18:06:00	23.04.2014	1,3795	1,3792	47,00	80,00
UER/USD	0.1	CALL	08.04.2014	18:08:00	23.04.2014	1,3780	1,3792	51,00	84,00
UER/USD	0.1	PUT	08.04.2014	18:08:00	23.04.2014	1,3780	1,3792	39,00	72,00
UER/USD	0.1	CALL	08.04.2014	18:10:00	23.04.2014	1,3800	1,3793	41,00	74,00
UER/USD	0.1	PUT	08.04.2014	18:10:00	23.04.2014	1,3800	1,3793	48,00	81,00

Тепер покажемо частину інформації вихідного файлу, який буде побудований за вище розглянутими вхідними даними

Call 75.9086 76 07.04.2014 22.04.2014 0.0410959 1.3743 1.3745

Put 78.1727 78 07.04.2014 22.04.2014 0.0410959 1.3743 1.3745

Call 82.3755 82 07.04.2014 22.04.2014 0.0410959 1.3743 1.3735

Put 73.4707 73 07.04.2014 22.04.2014 0.0410959 1.3742 1.3735

Call 56.3863 59 08.04.2014 16.04.2014 0.0219178 1.3794 1.3795

Put 57.565 61 08.04.2014 16.04.2014 0.0219178 1.3794 1.3795

Call 61.794 64 08.04.2014 16.04.2014 0.0219178 1.3792 1.3785

Put 53.5432 57 08.04.2014 16.04.2014 0.0219178 1.3792 1.3785

Call 53.1043 56 08.04.2014 16.04.2014 0.0219178 1.3792 1.38

Put 62.5339 65 08.04.2014 16.04.2014 0.0219178 1.3792 1.38

Call 63.9064 67 08.04.2014 16.04.2014 0.0219178 1.379 1.378

Put 52.1195 55 08.04.2014 16.04.2014 0.0219178 1.379 1.378

Call 51.2171 55 08.04.2014 16.04.2014 0.0219178 1.3788 1.38

Put 65.3614 66 08.04.2014 16.04.2014 0.0219178 1.3788 1.38

Call 70.9753 71 08.04.2014 16.04.2014 0.0219178 1.379 1.377

Put 50.7603 51 08.04.2014 16.04.2014 0.0219178 1.379 1.38

Call 49.6991 50 08.04.2014 16.04.2014 0.0219178 1.379 1.38

Put 63.9476 71 08.04.2014 16.04.2014 0.0219178 1.379 1.38

Call 76.5786 76 08.04.2014 23.04.2014 0.0410959 1.3794 1.3795

Put 77.8295 78 08.04.2014 23.04.2014 0.0410959 1.3794 1.3795

Call 80.3422 81 08.04.2014 23.04.2014 0.0410959 1.3792 1.3785

Put 75.3731 75 08.04.2014 23.04.2014 0.0410959 1.3792 1.3785

Call 75.7191 76 08.04.2014 23.04.2014 0.0410959 1.3792 1.3795

Put 79.2356 80 08.04.2014 23.04.2014 0.0410959 1.3792 1.3795

Call 83.8248 84 08.04.2014 23.04.2014 0.0410959 1.3792 1.378

Put 71.4801 72 08.04.2014 23.04.2014 0.0410959 1.3792 1.378

Call 73.8705 74 08.04.2014 23.04.2014 0.0410959 1.3793 1.38

Put 80.386 81 08.04.2014 23.04.2014 0.0410959 1.3793 1.38

Call 93.1933 94 08.04.2014 23.04.2014 0.0410959 1.3798 1.377

Для гарної наочності аналізу виконання програми побудуємо графіки залежності різниці по модулю теретичного (з сервісу) значення премії та практичного (обрахованого) від початкової ціни та ціни виконання при відомому міжчасовому інтервалі у роках між датою виконання та заключення контракту. Якщо зафіксувати різні значення цього «часу життя опціону», то отримаємо всього чотири можливих його стани: 0.0219178, 0.0410959, 0.060274 та 0.0794521 роки. Це дає нам можливість побудувати 4 різних графіки для того, щоб оцінити як змінюєстья відхилення між теоретичним і практичним значеннями премії при різних інтервалах існування контракту.

Отже, графіки виглядають так (кожен із них було поміщено у своєрідну «коробку» осей для більшої наочності):

t=0.021917

t=0.0410959

t=0.060274

t=0.0794521

На кожному графіку вертикальна вісь- шукана різниця, вісь з меншим діапазоном- початкова ціна вактива, з більшим- ціна виконання.

Як бачимо, багато спостережень було виконано з інтервалом 1-2 тижні «часу життя» опціону. Цікаво зазначити, що найбільше відхилення як раз спостерігається з найменшою різницею між часом початку та кінця опціону, що, на перший погляд, може здатися досить парадоксальним. Це пояснюється тим, що волатильність обраховується потижнево, щомісячно, або щорічно. Останній факт, в свою чергу, може означати, що, чим більший «час життя» опціону, тим більшою буде ймовірноість того, що буде взято саме щомісячну волатильність, яка найменше з трьох відрізняється від значення волатильності в нашій моделі (там взято середнє значення місячної волатильності на Чиказькій біржі). Чим менший, в свою чергу, «час життя», тим більше ймовірність взяття щотижневої волатильності, яка може сильно відрізнятись від взятого нами значення. Крім того, безризикова відсоткова ставка та дивідендна прибутковість є, як вже зазначалось, дуже мінливими параметрами, що також зменшує точність алгоритму.

Висновки

Як бачимо, біноміальна модель є досить потужним засобом обрахунків ціни премії опціонів. Також, як вже зазначалось, вона дозволяє простежувати еволюцію ціни підлеглого інструменту (актива) за досить довгий період часу.

Біноміальна модель та її варіації є чи не єдиною моделлю, якак дозволяє ефективно оцінювати американські опціони, що можуть бути виконані в будь-який момент в заданому інтервалі часу. Враховуючи світову значимість американських фондових ринків, це є дуже сер'йозним плсюсом цієї моделі. Незважаючи на це, враховуючи, що спади і падіння ціни актива не завжди вдало вважати підпорядковуваними геометричному броунівському руху, адже вони можуть значно більше змінюватись за рахунок деяких факторів, а не так хаотично, як це описує броунівский рух. Наслідком цього є те, що модель не дуже доцільно прміняти для азіатских фондових ринків, що, в силу стрімкого розвитку отсанніх, може стати причиною втрати цінності модулі у майбутньому.

Варто зазначити, що всі математичні моделі оцінки опціонів потребують гарного знання природи деяких факторів (волатильності, наприклад). В силу поганого доступу до останніх, втрачається точність моделі. Крім того, моделі такого класу не враховують деякі аномальні зміни ціни актива, параметрв, тощо. Це може стати причиною раптових збитків користувачу при викорисатнні.

Завершуючи, необхідно сказати, що незважаючи на всі недоліки моделі вона є дуже широковживаною в наш час, що робить її вивчення дуже актуальним.

Література

- Саймон Вайн «Опціони. Повний курс для професіоналів»

- Стівен Шрев «Стохастична математика в фінансах»

- Роберт Пайк, Біл Ніл «Корпоративні фінанси та інвестуванняВ»

- Галанов В.Ф. «Ринок ціннихпаперів, 2-е видання»

- Кокс, Росс, Рубінштейн «Оцінювання опціонів»

- Четиркина Е.Н. «Фінансова математика»

Размещено на Allbest.ur

...