Математическая статистика

Размещено на http://www.allbest.ru/

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (Сибстрин)

Контрольная работа по математической статистике

Проверил: Федоров А.В.

Новосибирск 2013г.



Исходные данные

X	Y
4,469141	4,726199
3,956641	7,312685
3,844141	6,670743
3,331641	7,843014
1,219141	5,786859
2,706641	5,544918
3,594141	4,902976
3,081641	6,075247
2,969141	5,433306
3,456641	8,019791
3,344141	7,377849
1,831641	7,135908
2,719141	5,079752
2,206641	7,666238
3,094141	9,852724
3,581641	6,782354
3,469141	8,968840
3,956641	8,284957
2,844141	4,814587
2,331641	8,815286
1,219141	6,759131
2,706641	9,345616
3,594141	7,289461
2,081641	8,461732
2,969141	3,577151
2,456841	4,749423
4,344141	5,521694
2,831641	6,693966
2,719141	7,466238
2,206641	8,638509
4,781641	6,582354
2,269141	6,340413
3,156641	7,112685
0,644141	6,870743
3,531641	7,643014
5,019141	7,401073
2,906641	8,173345
4,394141	7,931403
1,969141	6,405578
4,144141	8,550121
2,031641	7,908180
3,894141	4,395869
2,781641	5,698471
2,644141	6,428801
4,219141	6,317189
3,706641	9,434004
4,719141	9,764335
1,581641	6,252024
1,781641	8,968840
1,581641	6,693966

статистический дисперсия интервал генеральный



Задание 1. Составить группированные статистические ряды, разбив выборки на 5 интервалов

Для составления интервального вариационного ряда необходимо разбить весь интервал варьирования на равные частичные интервалы.

Для этого сначала определяем минимальное и максимальное значения во всем интервале:

5,019141

0,644141

9,852724

3,577151

Далее находим размах R

4,375000

6,275573

Нам необходимо разбить весь интервал на частичные интервалы равной длины h

0,875000

1,255115

Далее определяем нижнюю границу первого частичного интервала

0,644141

3,577151



находим границы всех интервалов по формуле:

Составим группированный статистический ряд для признака X:

№ интервала	Левая граница интервала	Правая граница интервала	n
1	0,644141	1,519141	3
2	1,519141	2,394141	11
3	2,394141	3,269141	15
4	3,269141	4,144141	14
5	4,144141	5,019141	7
Сумма			50

Составим группированный статистический ряд для признака Y:

№ интервала	Левая граница интервала	Правая граница интервала	n
1	3,577151	4,832266	5
2	4,832266	6,087380	8
3	6,087380	7,342495	16
4	7,342495	8,597609	13
5	8,597609	9,852724	8
Сумма			50

где n - частота (количество чисел выборки попадающих в соответствующей интервал)



Задание 2. Вычислить среднее значение и дисперсии группированных выборок

Так как у нас интервальный вариационный ряд, то будут использоваться следующие формулы:

Среднее арифметическое:

где x_i - середина i-го интервала, n_i - частота i-го интервала

Выборочная дисперсия:

для удобства, вычисления сведем в таблицу

Вычислим среднее значение и дисперсию для признака X:

№ интервала	Левая граница интервала	Правая граница интервала	Частота n	середина интервала xi
1	0,644141	1,519141	3	1,081641	3,244923	11,319919
2	1,519141	2,394141	11	1,956641	21,523051	12,535119
3	2,394141	3,269141	15	2,831641	42,474615	0,5558438
4	3,269141	4,144141	14	3,706641	51,892974	6,5212874
5	4,144141	5,0191411	7	4,5816411	32,071487	16,980645
Сумма			50		151,20705	47,912814



Вычислим среднее значение и дисперсию для признака Y:

№ интервала	Левая граница интервала	Правая граница интервала	Частота n	середина интервала xi
1	3,577151	4,8322656	5	4,2047083	21,023542	38,818855
2	4,8322656	6,0873802	8	5,4598229	43,678583	18,757563
3	6,0873802	7,3424948	16	6,7149375	107,439	1,2199221
4	7,3424948	8,5976094	13	7,9700521	103,61068	12,459463
5	8,5976094	9,852724	8	9,2251667	73,801334	39,929765
Сумма			50		349,55314	111,18557

Задание 3. Составить программу и провести расчет средних значений и дисперсий выборок

Вводим исходные данные в ячейки первого и второго столбца. Для расчета среднего значения воспользуемся стандартной функцией СРЗНАЧ, а для расчета дисперсии - функцией ДИСП.

Получим следующие значения:

Для признака X:

3,017895

1,0096399

Для признака Y:

7,009391

2,217137

Задание 4. Вычислить значения состоятельных и несмещенных оценок генеральных дисперсий D(X) и D(Y)

Значения состоятельных и несмещенных оценок генеральных дисперсий D(X) и D(Y) находим по формулам:

0,9778125

2,2690932

где n - число элементов выборки

Задание 5. Построить гистограммы, разбив выборки, на пять интервалов

ось x - количество элементов в интервале, ось y - середина интервала.



Задание 6. Проверить гипотезу о том, что генеральные совокупности X и У распределены по нормальному закону. Использовать критерий Пирсона

Для признака X:

Определим границы интервалов по формуле:

для удобства вычислений составим таблицу:

i	Границы интервалов	Границы интервалов
	xi	xi+1	zi	zi+1
1	0,644141	1,519141	-2,406851	-1,5219792
2	1,519141	2,394141	-1,521979	-0,6371076
3	2,394141	3,269141	-0,637108	0,247764
4	3,269141	4,144141	0,247764	1,1326356
5	4,144141	5,0191411	1,132636	2,0175073

Найдем фактические вероятности p_i и теоретические частоты n`_i, по формулам:

где Ф(z_i) - значение функции Лапласа в точке z_i

где n = 50 - количество элементов выборки



Результаты расчетов запишем в таблицу:

i	Границы интервалов	Ф(zi)	Ф(zi+1)	pi	ni`=pi*50
	zi	zi+1
1	-2,4068508	-1,5219792	-0,491955	-0,4359928	0,0559618	2,798089
2	-1,5219792	-0,6371076	-0,435993	-0,2379726	0,1980202	9,9010121
3	-0,6371076	0,247764	-0,237973	0,0978415	0,3358141	16,790706
4	0,247764	1,1326356	0,097842	0,3713164	0,2734748	13,673742
5	1,1326356	2,0175073	0,371316	0,4781787	0,1068623	5,3431175
Сумма					0,9701333	48,506666

Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона по формуле:

для удобства, вычисления сведем в таблицу

i	ni	ni`	ni-ni`	(ni-ni`)^2	X^2набл
1	3	2,798089	0,201911	0,0407681	0,01457
2	11	9,9010121	1,098988	1,2077745	0,121985
3	15	16,790706	-1,790706	3,2066275	0,1909763
4	14	13,673742	0,326258	0,1064442	0,0077846
5	7	5,3431175	1,656883	2,7452596	0,5137936
Сумма	50	48,506666			0,8491094

0,8491094

По уровню значимости =0,05 и количеству степеней свободы k=n-3=5-3=2 находим по таблице критических точек распределения «хи-квадрат»:

Так как , то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности признака X.

Для признака Y:

Определим границы интервалов по формуле:

для удобства вычислений составим таблицу:

i	Границы интервалов	Границы интервалов
	xi	xi+1	zi	zi+1
1	3,577151	4,8322656	-2,266345	-1,4331302
2	4,8322656	6,0873802	-1,43313	-0,599915
3	6,0873802	7,3424948	-0,599915	0,2333003
4	7,3424948	8,5976094	0,2333	1,0665155
5	8,5976094	9,852724	1,066516	1,8997308

Найдем фактические вероятности p_i и теоретические частоты n`_i, по формулам:

где Ф(z_i) - значение функции Лапласа в точке z_i

где n = 50 - количество элементов выборки

Результаты расчетов запишем в таблицу:

i	Границы интервалов	Ф(zi)	Ф(zi+1)	pi	ni`=pi*50
	zi	zi+1
1	-2,2663455	-1,4331302	-0,488285	-0,4240897	0,0641952	3,2097596
2	-1,4331302	-0,599915	-0,42409	-0,2257186	0,1983711	9,9185569
3	-0,599915	0,2333003	-0,225719	0,0922359	0,3179544	15,897721
4	0,2333003	1,0665155	0,092236	0,3569047	0,2646688	13,23344
5	1,0665155	1,8997308	0,356905	0,4712658	0,1143611	5,7180551
Сумма					0,9595507	47,977533



Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона по формуле:

для удобства, вычисления сведем в таблицу

i	ni	ni`	ni-ni`	(ni-ni`)^2	X^2набл
1	5	3,2097596	1,79024	3,2049608	0,9985049
2	8	9,9185569	-1,918557	3,6808605	0,3711085
3	16	15,897721	0,102279	0,0104609	0,000658
4	13	13,23344	-0,23344	0,0544941	0,0041179
5	8	5,7180551	2,281945	5,2072724	0,910672
Сумма	50	47,977533	2,022467	4,0903744	2,2850613

2,2850613

По уровню значимости =0,05 и количеству степеней свободы k=n-3=5-3=2 находим по таблице критических точек распределения «хи-квадрат»:

Так как , то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности признака X.

Задание 7. Из выборки, для которой гипотеза о нормальном распределении подтвердилась, взять первые 10 элементов. Найти доверительный интервал для генеральной средней. В качестве дисперсии генеральной совокупности взять значение дисперсии, полученное на ЭВМ

Для признака X:

Рассчитаем среднее значение и дисперсию для n = 10.



xi
4,469141
3,956641
3,844141
3,331641
1,219141
2,706641
3,594141
3,081641
2,969141
3,456641

0,7812934

Находим среднее квадратическое отклонение:

0,883908

Доверительный интервал - интервал, который с заданной вероятностью «накрывает» неизвестное истинное значение генеральной характеристики. Границы, в которые попадает генеральная средняя, задаются неравенствами:

где - предельная ошибка выборки, t - коэффициент доверия, который определим из соотношения:

где Ф(х) - интегральная функция Лапласа,

по условию

p = 0,95

из таблицы значений интегральной функции Лапласа определим t

Тогда

Границы, в которые попадает генеральная средняя, будут:

2,71503913? a ?3,8107429

Для признака Y:

Рассчитаем среднее значение и дисперсию для n = 10.

yi
4,726199
7,312685
6,670743
7,843014
5,786859
5,544918
4,902976
6,075247
5,433306
8,019791

1,3909326

Находим среднее квадратическое отклонение:

1,1793781

Доверительный интервал - интервал, который с заданной вероятностью «накрывает» неизвестное истинное значение генеральной характеристики. Границы, в которые попадает генеральная средняя, задаются неравенствами:

где - предельная ошибка выборки, t - коэффициент доверия, который определим из соотношения:

где Ф(х) - интегральная функция Лапласа,

по условию

p = 0,95

из таблицы значений интегральной функции Лапласа определим t

Тогда

Границы, в которые попадает генеральная средняя, будут:

5,5005877? a ?6,9625599

Задание 8. Составить корреляционную таблицу

Числовой характеристикой, измеряющей степень тесноты линейной связи между случайными перехменными X и У. является коэффициент корреляции между X и У, который обозначим P(Х,У).



Составим корреляционную таблицу:

p (X,Y)	3,577151	4,832266	6,087380	7,342495	8,597609	ni
	4,832266	6,087380	7,342495	8,597609	9,852724
0,644141	1,519141		1	2			3
1,519141	2,394141		1	4	4	2	11
2,394141	3,269141	2	4	4	3	2	15
3,269141	4,144141	2	2	5	4	1	14
4,144141	5,019141	1		1	2	3	7
nj	5	5	8	16	13	8

где n_i n_j частоты интервалов для выборки X и Y соответственно

Задание 9. Используя корреляционную таблицу, вычислить значения выборочного коэффициента корреляций

Точечной оценкой теоретического коэффициента корреляции р(Х,У) является выборочный коэффициент корреляции который находится по формуле:

где x_i y_i - середины интервалов, - среднее по выборке X и Y соответственно, n_xy - частота на пересечении x и y в корреляционной таблице

3,017895

7,0093912

для удобства, вычисления сведем в таблицу

	середины интервалов		(xi-X)	(yi-Y)	(xi-X)^2	(yi-Y)^2	p (X,Y)	(xi-X)*(yi-Y)*p(X,Y)
1	xi	yi
2	1,081641	4,2047083	-1,936254	-2,8046829	3,7490796	7,8662464	0	0
3	1,956641	5,4598229	-1,061254	-1,5495683	1,1262601	2,401162	1	1,644486
4	2,831641	6,7149375	-0,186254	-0,2944537	0,0346906	0,086703	4	0,219373
5	3,706641	7,9700521	0,688746	0,9606609	0,4743711	0,9228693	4	2,646605
6	4,5816411	9,2251667	1,563746	2,2157755	2,4453019	4,9096609	3	10,39473
?					7,8297031	16,186642	12	14,90519

0,110333

Задание 10. Составить программу и вычислить значение выборочного коэффициента корреляций

Рассчитаем в Ехсеlе значение выборочного коэффициента корреляции, воспользовавшись стандартной функцией КОРРЕЛ:

0,0473414

Задание 11. Проверить гипотезу о независимости генеральных совокупностей X и У. Для проверки использовать критерий, значение которого вычисляется с помощью корреляционной таблицы

Рассчитаем по формуле:

где n = ?n_i + ?n_j

для удобства, вычисления сведем в таблицу

nij^2/(ni*nj)	4,8322656	6,08738	7,3424948	8,5976094	9,852724	ni
1,519141	0	0,041667	0,0833333	0	0	3
2,394141	0	0,011364	0,0909091	0,1118881	0,0454545	11
3,269141	0,0533333	0,133333	0,0666667	0,0461538	0,0333333	15
4,144141	0,0571429	0,035714	0,1116071	0,0879121	0,0089286	14
5,0191411	0,0285714	0	0,0089286	0,043956	0,1607143	7
nj	5	8	16	13	8	0

26,091117

Задаем уровень значимости 0,05

Находим число степеней свободы

.

По таблицам находим

26,296

Т.к. , то можно принять гипотезу о независимости генеральных совокупностей X и Y.

Размещено на Allbest.ru

...