Статистическая математика
Составление группированных статистических рядов. Расчет среднего значения и дисперсии группированных выборок, значения состоятельных и несмещенных оценок генеральных дисперсий. Нормальное распределение генеральных совокупностей, критерий Пирсона.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 23.06.2015 |
| Размер файла | 258,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Исходные данные
|
X |
Y |
|
|
8,161492 |
1,825781 |
|
|
7,26272 |
5,400781 |
|
|
6,763949 |
4,575781 |
|
|
5,865178 |
6,150781 |
|
|
0,894271 |
3,325781 |
|
|
4,467635 |
2,900781 |
|
|
6,204932 |
2,075781 |
|
|
5,306161 |
3,650781 |
|
|
4,807389 |
2,825781 |
|
|
6,144689 |
6,400781 |
|
|
5,645915 |
5,475781 |
|
|
2,511076 |
5,150781 |
|
|
4,248373 |
2,325781 |
|
|
3,349601 |
5,900781 |
|
|
5,086898 |
9,075781 |
|
|
6,424195 |
4,650781 |
|
|
5,925424 |
7,825781 |
|
|
7,26272 |
6,775781 |
|
|
4,527881 |
1,950781 |
|
|
3,62911 |
7,525781 |
|
|
0,894271 |
4,700781 |
|
|
4,467635 |
8,275781 |
|
|
6,204932 |
5,450781 |
|
|
3,070093 |
7,025781 |
|
|
4,807389 |
0,200781 |
|
|
3,908618 |
1,775781 |
|
|
7,881983 |
2,950781 |
|
|
4,747144 |
4,525781 |
|
|
4,248373 |
5,700781 |
|
|
3,349601 |
7,275781 |
|
|
8,860262 |
4,450781 |
|
|
3,489355 |
4,025781 |
|
|
5,226652 |
5,200781 |
|
|
-0,144255 |
4,775781 |
|
|
6,065178 |
5,950781 |
|
|
9,638543 |
5,525781 |
|
|
4,667635 |
6,700781 |
|
|
8,241 |
6,275781 |
|
|
2,571322 |
4,200781 |
|
|
7,681983 |
7,150781 |
|
|
2,711076 |
6,325781 |
|
|
7,122966 |
1,275781 |
|
|
4,388127 |
3,200781 |
|
|
4,327881 |
4,150781 |
|
|
7,602475 |
4,075781 |
|
|
6,703703 |
8,400781 |
|
|
8,729508 |
8,950781 |
|
|
1,952059 |
3,900781 |
|
|
2,152059 |
7,825781 |
|
|
1,952059 |
4,525781 |
Задание 1. Составить группированные статистические ряды, разбив выборки на 5 интервалов
Для составления интервального вариационного ряда необходимо разбить весь интервал варьирования на равные частичные интервалы.
Для этого сначала определяем минимальное и максимальное значения во всем интервале:
9,638543
-0,144255
9,075781
0,200781
Далее находим размах R
9,782798
8,875000
Нам необходимо разбить весь интервал на частичные интервалы равной длины h
1,956560
1,775000
Далее определяем нижнюю границу первого частичного интервала
-0,144255
0,200781
находим границы всех интервалов по формуле:
Составим группированный статистический ряд для признака X:
|
№ интервала |
Левая граница интервала |
Правая граница интервала |
n |
|
|
1 |
-0,144255 |
1,812305 |
3 |
|
|
2 |
1,812305 |
3,768864 |
11 |
|
|
3 |
3,768864 |
5,725424 |
16 |
|
|
4 |
5,725424 |
7,681983 |
14 |
|
|
5 |
7,681983 |
9,638543 |
6 |
|
|
Сумма |
50 |
Составим группированный статистический ряд для признака Y:
|
№ интервала |
Левая граница интервала |
Правая граница интервала |
n |
|
|
1 |
0,200781 |
1,975781 |
5 |
|
|
2 |
1,975781 |
3,750781 |
8 |
|
|
3 |
3,750781 |
5,525781 |
18 |
|
|
4 |
5,525781 |
7,300781 |
12 |
|
|
5 |
7,300781 |
9,075781 |
7 |
|
|
Сумма |
50 |
где n - частота (количество чисел выборки попадающих в соответствующей интервал)
Задание 2. Вычислить среднее значение и дисперсии группированных выборок
Так как у нас интервальный вариационный ряд, то будут использоваться следующие формулы:
Среднее арифметическое:
где xi - середина i-го интервала, ni - частота i-го интервала
Выборочная дисперсия:
для удобства, вычисления сведем в таблицу
Вычислим среднее значение и дисперсию для признака X:
|
№ интервала |
Левая граница интервала |
Правая граница интервала |
Частота n |
середина интервала xi |
|||
|
1 |
-0,144255 |
1,8123046 |
3 |
0,8340248 |
2,5020744 |
54,578351 |
|
|
2 |
1,8123046 |
3,7688642 |
11 |
2,7905844 |
30,696428 |
58,633101 |
|
|
3 |
3,7688642 |
5,7254238 |
16 |
4,747144 |
75,954304 |
1,9845003 |
|
|
4 |
5,7254238 |
7,6819834 |
14 |
6,7037036 |
93,85185 |
36,036442 |
|
|
5 |
7,6819834 |
9,6385431 |
6 |
8,6602633 |
51,96158 |
76,081699 |
|
|
Сумма |
50 |
254,96624 |
227,31409 |
статистический выборка дисперсия распределение
Вычислим среднее значение и дисперсию для признака Y:
|
№ интервала |
Левая граница интервала |
Правая граница интервала |
Частота n |
середина интервала xi |
|||
|
1 |
0,200781 |
1,975781 |
5 |
1,088281 |
5,441405 |
73,49778 |
|
|
2 |
1,975781 |
3,750781 |
8 |
2,863281 |
22,906248 |
33,915848 |
|
|
3 |
3,750781 |
5,525781 |
18 |
4,638281 |
83,489058 |
1,451808 |
|
|
4 |
5,525781 |
7,300781 |
12 |
6,413281 |
76,959372 |
26,676972 |
|
|
5 |
7,300781 |
9,075781 |
7 |
8,188281 |
57,317967 |
74,667292 |
|
|
Сумма |
50 |
246,11405 |
210,2097 |
Задание 3. Составить программу и провести расчет средних значений и дисперсий выборок
Вводим исходные данные в ячейки первого и второго столбца. Для расчета среднего значения воспользуемся стандартной функцией СРЗНАЧ, а для расчета дисперсии - функцией ДИСП.
Получим следующие значения:
Для признака X:
5,040185
5,0010035
Для признака Y:
5,011281
4,4031656
Задание 4. Вычислить значения состоятельных и несмещенных оценок генеральных дисперсий D(X) и D(Y)
Значения состоятельных и несмещенных оценок генеральных дисперсий D(X) и D(Y) находим по формулам:
4,6390631
4,2899939
где n - число элементов выборки
Задание 5. Построить гистограммы, разбив выборки, на пять интервалов
ось x - количество элементов в интервале, ось y - середина интервала.
Задание 6. Проверить гипотезу о том, что генеральные совокупности X и У распределены по нормальному закону. Использовать критерий Пирсона
Для признака X:
Определим границы интервалов по формуле:
для удобства вычислений составим таблицу:
|
i |
Границы интервалов |
Границы интервалов |
|||
|
xi |
xi+1 |
zi |
zi+1 |
||
|
1 |
-0,144255 |
1,8123046 |
-2,434517 |
-1,5261149 |
|
|
2 |
1,8123046 |
3,7688642 |
-1,526115 |
-0,6177132 |
|
|
3 |
3,7688642 |
5,7254238 |
-0,617713 |
0,2906885 |
|
|
4 |
5,7254238 |
7,6819834 |
0,290689 |
1,1990902 |
|
|
5 |
7,6819834 |
9,6385431 |
1,19909 |
2,107492 |
Найдем фактические вероятности pi и теоретические частоты n`i, по формулам:
где Ф(zi) - значение функции Лапласа в точке zi
где n = 50 - количество элементов выборки
Результаты расчетов запишем в таблицу:
|
i |
Границы интервалов |
Ф(zi) |
Ф(zi+1) |
pi |
ni`=pi*50 |
||
|
zi |
zi+1 |
||||||
|
1 |
-2,4345166 |
-1,5261149 |
-0,492544 |
-0,4365094 |
0,0560348 |
2,8017391 |
|
|
2 |
-1,5261149 |
-0,6177132 |
-0,436509 |
-0,2316178 |
0,2048916 |
10,244579 |
|
|
3 |
-0,6177132 |
0,2906885 |
-0,231618 |
0,1143552 |
0,345973 |
17,298651 |
|
|
4 |
0,2906885 |
1,1990902 |
0,114355 |
0,3847536 |
0,2703983 |
13,519917 |
|
|
5 |
1,1990902 |
2,107492 |
0,384754 |
0,4824625 |
0,097709 |
4,8854475 |
|
|
Сумма |
0,9750067 |
48,750334 |
Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона по формуле:
для удобства, вычисления сведем в таблицу
|
i |
ni |
ni` |
ni-ni` |
(ni-ni`)^2 |
X^2набл |
|
|
1 |
3 |
2,8017391 |
0,198261 |
0,0393074 |
0,0140296 |
|
|
2 |
11 |
10,244579 |
0,755421 |
0,5706604 |
0,0557036 |
|
|
3 |
16 |
17,298651 |
-1,298651 |
1,6864939 |
0,0974928 |
|
|
4 |
14 |
13,519917 |
0,480083 |
0,2304797 |
0,0170474 |
|
|
5 |
6 |
4,8854475 |
1,114552 |
1,2422272 |
0,2542709 |
|
|
Сумма |
50 |
48,750334 |
0,4385444 |
0,4385444
По уровню значимости =0,05 и количеству степеней свободы k=n-3=5-3=2 находим по таблице критических точек распределения «хи-квадрат»:
Так как , то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности признака X.
Для признака Y:
Определим границы интервалов по формуле:
для удобства вычислений составим таблицу:
|
i |
Границы интервалов |
Границы интервалов |
|||
|
xi |
xi+1 |
zi |
zi+1 |
||
|
1 |
0,200781 |
1,975781 |
-2,279563 |
-1,4225846 |
|
|
2 |
1,975781 |
3,750781 |
-1,422585 |
-0,5656059 |
|
|
3 |
3,750781 |
5,525781 |
-0,565606 |
0,2913728 |
|
|
4 |
5,525781 |
7,300781 |
0,291373 |
1,1483514 |
|
|
5 |
7,300781 |
9,075781 |
1,148351 |
2,0053301 |
Найдем фактические вероятности pi и теоретические частоты n`i, по формулам:
где Ф(zi) - значение функции Лапласа в точке zi
где n = 50 - количество элементов выборки
Результаты расчетов запишем в таблицу:
|
i |
Границы интервалов |
Ф(zi) |
Ф(zi+1) |
pi |
ni`=pi*50 |
||
|
zi |
zi+1 |
||||||
|
1 |
-2,2795633 |
-1,4225846 |
-0,488683 |
-0,4225717 |
0,0661115 |
3,3055751 |
|
|
2 |
-1,4225846 |
-0,5656059 |
-0,422572 |
-0,2141692 |
0,2084025 |
10,420127 |
|
|
3 |
-0,5656059 |
0,2913728 |
-0,214169 |
0,1146169 |
0,328786 |
16,439301 |
|
|
4 |
0,2913728 |
1,1483514 |
0,114617 |
0,3745882 |
0,2599714 |
12,998568 |
|
|
5 |
1,1483514 |
2,0053301 |
0,374588 |
0,4775361 |
0,1029479 |
5,1473936 |
|
|
Сумма |
0,9662193 |
48,310966 |
Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона по формуле:
для удобства, вычисления сведем в таблицу
|
i |
ni |
ni` |
ni-ni` |
(ni-ni`)^2 |
X^2набл |
|
|
1 |
5 |
3,3055751 |
1,694425 |
2,8710758 |
0,8685556 |
|
|
2 |
8 |
10,420127 |
-2,420127 |
5,8570157 |
0,5620868 |
|
|
3 |
18 |
16,439301 |
1,560699 |
2,4357801 |
0,1481681 |
|
|
4 |
12 |
12,998568 |
-0,998568 |
0,997139 |
0,0767114 |
|
|
5 |
7 |
5,1473936 |
1,852606 |
3,4321504 |
0,6667744 |
|
|
Сумма |
50 |
48,310966 |
1,689034 |
2,8528365 |
2,3222963 |
2,3222963
По уровню значимости =0,05 и количеству степеней свободы k=n-3=5-3=2 находим по таблице критических точек распределения «хи-квадрат»:
Так как , то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности признака X.
Задание 7. Из выборки, для которой гипотеза о нормальном распределении подтвердилась, взять первые 10 элементов. Найти доверительный интервал для генеральной средней. В качестве дисперсии генеральной совокупности взять значение дисперсии, полученное на ЭВМ
Для признака X:
Рассчитаем среднее значение и дисперсию для n = 10.
|
xi |
|
|
8,161492 |
|
|
7,262720 |
|
|
6,763949 |
|
|
5,865178 |
|
|
0,894271 |
|
|
4,467635 |
|
|
6,204932 |
|
|
5,306161 |
|
|
4,807389 |
|
|
6,144689 |
, 3,9503151
Находим среднее квадратическое отклонение: 1,98754
Доверительный интервал - интервал, который с заданной вероятностью «накрывает» неизвестное истинное значение генеральной характеристики. Границы, в которые попадает генеральная средняя, задаются неравенствами:
где - предельная ошибка выборки, t - коэффициент доверия, который определим из соотношения:
где Ф(х) - интегральная функция Лапласа,
по условию p = 0,95
из таблицы значений интегральной функции Лапласа определим t тогда
Границы, в которые попадает генеральная средняя, будут:
4,35595157 ? a ? 6,8197316
Для признака Y:
Рассчитаем среднее значение и дисперсию для n = 10.
|
yi |
|
|
1,825781 |
|
|
5,400781 |
|
|
4,575781 |
|
|
6,150781 |
|
|
3,325781 |
|
|
2,900781 |
|
|
2,075781 |
|
|
3,650781 |
|
|
2,825781 |
|
|
6,400781 |
2,6890625
Находим среднее квадратическое отклонение:
1,6398361
Доверительный интервал - интервал, который с заданной вероятностью «накрывает» неизвестное истинное значение генеральной характеристики. Границы, в которые попадает генеральная средняя, задаются неравенствами:
где - предельная ошибка выборки, t - коэффициент доверия, который определим из соотношения:
где Ф(х) - интегральная функция Лапласа, по условию p = 0,95
из таблицы значений интегральной функции Лапласа определим t тогда
Границы, в которые попадает генеральная средняя, будут:
2,89690004 ? a ? 4,929662
Задание 8. Составить корреляционную таблицу
Числовой характеристикой, измеряющей степень тесноты линейной связи между случайными перехменными X и У. является коэффициент корреляции между X и У, который обозначим P(Х,У).
Составим корреляционную таблицу:
|
p (X,Y) |
0,200781 |
1,975781 |
3,750781 |
5,525781 |
7,300781 |
ni |
||
|
1,975781 |
3,750781 |
5,525781 |
7,300781 |
9,075781 |
||||
|
-0,144255 |
1,812305 |
1 |
2 |
3 |
||||
|
1,812305 |
3,768864 |
2 |
4 |
4 |
1 |
11 |
||
|
3,768864 |
5,725424 |
3 |
4 |
4 |
2 |
3 |
16 |
|
|
5,725424 |
7,681983 |
1 |
1 |
5 |
5 |
2 |
14 |
|
|
7,681983 |
9,638543 |
1 |
3 |
1 |
1 |
6 |
||
|
nj |
5 |
5 |
8 |
18 |
12 |
7 |
где ni nj частоты интервалов для выборки X и Y соответственно
Задание 9. Используя корреляционную таблицу, вычислить значения выборочного коэффициента корреляций
Точечной оценкой теоретического коэффициента корреляции р(Х,У) является выборочный коэффициент корреляции который находится по формуле:
где xi yi - середины интервалов, - среднее по выборке X и Y соответственно, nxy - частота на пересечении x и y в корреляционной таблице
5,0401847
5,011281
для удобства, вычисления сведем в таблицу
|
середины интервалов |
(xi-X) |
(yi-Y) |
(xi-X)^2 |
(yi-Y)^2 |
p (X,Y) |
(xi-X)*(yi-Y)*p(X,Y) |
|||
|
1 |
xi |
yi |
|||||||
|
2 |
0,8340248 |
1,088281 |
-4,20616 |
-3,923 |
17,691781 |
15,389929 |
0 |
0 |
|
|
3 |
2,7905844 |
2,863281 |
-2,2496 |
-2,148 |
5,0607016 |
4,613904 |
2 |
9,664283 |
|
|
4 |
4,747144 |
4,638281 |
-0,293041 |
-0,373 |
0,0858729 |
0,139129 |
4 |
0,437217 |
|
|
5 |
6,7037036 |
6,413281 |
1,663519 |
1,402 |
2,7672951 |
1,965604 |
5 |
11,66127 |
|
|
6 |
8,6602633 |
8,188281 |
3,620079 |
3,177 |
13,104969 |
10,093329 |
1 |
11,50099 |
|
|
? |
38,710619 |
32,201895 |
12 |
33,26376 |
0,0785117
Задание 10. Составить программу и вычислить значение выборочного коэффициента корреляций
Рассчитаем в Ехсеlе значение выборочного коэффициента корреляции, воспользовавшись стандартной функцией КОРРЕЛ: 0,0585882
Задание 11. Проверить гипотезу о независимости генеральных совокупностей X и У. Для проверки использовать критерий, значение которого вычисляется с помощью корреляционной таблицы
Рассчитаем по формуле:
где n = ?ni + ?nj
для удобства, вычисления сведем в таблицу
|
nij^2/(ni*nj) |
1,975781 |
3,750781 |
5,525781 |
7,300781 |
9,075781 |
ni |
|
|
1,8123046 |
0 |
0,041667 |
0,0740741 |
0 |
0 |
3 |
|
|
3,7688642 |
0 |
0,045455 |
0,0808081 |
0,1212121 |
0,012987 |
11 |
|
|
5,7254238 |
0,1125 |
0,125 |
0,0555556 |
0,0208333 |
0,0803571 |
16 |
|
|
7,6819834 |
0,0142857 |
0,008929 |
0,0992063 |
0,1488095 |
0,0408163 |
14 |
|
|
9,6385431 |
0,0333333 |
0 |
0,0833333 |
0,0138889 |
0,0238095 |
6 |
|
|
nj |
5 |
8 |
18 |
12 |
7 |
0 |
23,68601
Задаем уровень значимости 0,05
Находим число степеней свободы
.
По таблицам находим
Т.к. , то можно принять гипотезу о независимости генеральных совокупностей X и Y.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Основные понятия математической статистики, интервальные оценки. Метод моментов и метод максимального правдоподобия. Проверка статистических гипотез о виде закона распределения при помощи критерия Пирсона. Свойства оценок, непрерывные распределения.
курсовая работа [549,1 K], добавлен 07.08.2013Критерий Пирсона, формулировка альтернативной гипотезы о распределении случайной величины. Нахождение теоретических частот и критического значения. Отбрасывание аномальных результатов измерений при помощи распределения. Односторонний критерий Фишера.
лекция [290,6 K], добавлен 30.07.2013Критерий согласия – критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе распределения генеральной совокупности. Критерий Колмогорова-Смирнова и его практическое применение. Критические значения статистик Стефенса. Критерии Пирсона и Смирнова-Крамера.
курсовая работа [629,9 K], добавлен 26.08.2012Нахождение вероятности события, используя формулу Бернулли. Составление закона распределения случайной величины и уравнения регрессии. Расчет математического ожидания и дисперсии, сравнение эмпирических и теоретических частот, используя критерий Пирсона.
контрольная работа [167,7 K], добавлен 29.04.2012Числовые характеристики для статистических распределений. Построение интервального вариационного ряда, многоугольника частостей, графика выборочной функции распределения и определения среднего значения выборки и выборочной дисперсии двумя способами.
презентация [140,3 K], добавлен 01.11.2013Расчет параметров экспериментального распределения. Вычисление среднего арифметического значения и среднего квадратического отклонения. Определение вида закона распределения случайной величины. Оценка различий эмпирического и теоретического распределений.
курсовая работа [147,0 K], добавлен 10.04.2011Закон и свойства нормального распределения случайной величины. На основе критерия согласия Пирсона построение гистограммы, статистической функции и теоретической кривой и определение согласованности теоретического и статистического распределения.
курсовая работа [894,5 K], добавлен 30.10.2013Использование вероятностной модели для описания неопределенностей. Распределение Пирсона, Стьюдента и Фишера при статистической обработке данных. Использование "Хи-квадрата" при оценивании дисперсии, проверке гипотез согласия качественных переменных.
контрольная работа [794,7 K], добавлен 02.02.2011Определение математического ожидания и среднеквадратического отклонения с целью подбора закона распределения к выборке статистических данных об отказах элементов автомобиля. Нахождения числа событий в заданном интервале; расчет значения критерия Пирсона.
контрольная работа [336,3 K], добавлен 01.04.2014Закон больших чисел. Нахождение точечных оценок. Построение неизвестной дисперсии погрешности измерений. Выборочная функция распределения. Теорема Ляпунова и распределение Стьюдента. Вычисление доверительных интервалов. Построение интервальных оценок.
курсовая работа [4,3 M], добавлен 18.12.2011Расчет площади треугольника АВС, при условии, что размер каждой клетки равняется 1*1 см. Определение корня уравнения (4x+5)=5. Поиск значения выражения 7*5log52. Определение наибольшего значения заданной функции y=4x-4tgx+п-9 на отрезке [-п/4;п/4].
контрольная работа [13,5 K], добавлен 27.12.2013Оценки параметров распределения, наиболее важные распределения, применяемые в математической статистике: нормальное распределение, распределения Пирсона, Стьюдента, Фишера. Факторное пространство, формулирование цели эксперимента и выбор откликов.
реферат [105,5 K], добавлен 01.01.2011Проведение статистического анализа зависимости массы тела (кг) новорожденных детенышей гамадрилов от массы тела их матерей. Графическое представление экспериментальных данных. Определение границы доверительных интервалов для генеральных средних значений.
контрольная работа [1,3 M], добавлен 18.01.2011Определение среднего квадратичного отклонения. Расчет значения критерия Стьюдента, значения доверительных границ с его учетом. Обоснование выбора математической модели прогнозирования. Параметры по методу наименьших квадратов, наработка до отказа.
контрольная работа [394,1 K], добавлен 18.06.2014Случайная выборка объема как совокупность независимых случайных величин. Математическая модель в одинаковых условиях независимых измерений. Определение длины интервала по формуле Стерджесса. Плотность относительных частот, критерий согласия Пирсона.
контрольная работа [90,4 K], добавлен 17.10.2009Ознакомление с математическим аппаратом анализа временных рядов и моделями авторегрессии. Составление простейших моделей авторегрессии стационарных временных рядов. Оценка дисперсии и автоковариации, построение графика автокорреляционной функции.
лабораторная работа [58,7 K], добавлен 14.03.2014Нахождение вероятности того, что наудачу взятое натуральное число не делится. Построение гистограммы для изображения интервальных рядов, расчет средней арифметической дискретного вариационного ряда, среднего квадратического отклонения и дисперсии.
контрольная работа [140,8 K], добавлен 18.05.2009Методы определения достоверного значения измеряемой физической величины и его доверительных границ, используя результаты многократных наблюдений. Проверка соответствия экспериментального закона распределения нормальному закону. Расчет грубых погрешностей.
контрольная работа [52,5 K], добавлен 14.12.2010Определение математического ожидания и дисперсии параметров распределения Гаусса. Расчет функции распределения случайной величины Х, замена переменной. Значения функций Лапласа и Пуассона, их графики. Правило трех сигм, пример решения данной задачи.
презентация [131,8 K], добавлен 01.11.2013Изучение изменений анализируемых показателей во времени как важнейшая задача статистики. Понятие рядов динамики (временных рядов). Числовые значения того или иного статистического показателя, составляющего ряд динамики. Классификация рядов динамики.
презентация [255,0 K], добавлен 28.11.2013
