Марк Аронович Наймарк. Личность. Изыскания. Вклад в науку

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

(МИНОБРНАУКИ РОССИИ)

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ТГУ)

Физико-технический факультет

Реферат

На тему: Марк Аронович Наймарк. Личность. Изыскания. Вклад в науку

Выполнил

Закиров В. А.

Томск

2015

Оглавление

• Биография
• Труды
• Нормированные кольца и представление об алгебрах
• Линейные дифференциальные операторы
• Теория групп
• Группы Ли
• Теоремы Гельфанда-Наймарка
• Список использованной литературы
• 
• Биография
• Марк Аронович Наймарк

Биография

Родился: 5 декабря 1909 в Одессе, Украина

Умер: 30 декабря 1978 в Москве, СССР

Отец Марка Ароновича Наймарка, Арон Иэковлевич Наймарк, был профессиональным художником. Марк Аронович воспитывался его еврейскими родителями в Одессе, где он проявлял большой интерес к математике во время учебы в школе. В 1924, в возрасте пятнадцати лет, он поступил в технический колледж, но также работал на литейном заводе, чтобы зарабатывать на жизнь. К 1928 году, он изучил университетский курс математики. В 1929 Марк Аронович поступил на Физико-Математический Факультет Одесского Института Национального Образования (вскоре после этого, этот Институт был переименован в Физико-Химико-Математический Институт ). В 1932 он женился на Ларисе Петровне Щербаковой; у них было два сына. Затем, в 1933, после окончания Физико-Химико-Математического Института, он пошел в Одесский Государственный Университет, чтобы поступить в аспирантуру на Кафедру Теории Функций.

В Одесском государственном университете исследования Наймарка контролировались Марком Григорьевичем Крейном, который был всего на два года старше, чем Наймарк, но защитил свою докторскую степень в 1929 и начал создавать функциональную аналитическую исследовательскую группу. С Крейном Наймарк работал над применением детерминанта Безута к проблеме разделения корней алгебраического уравнения. Они принимали участие в написании трех статей об этой теме: "О преобразовании Безулианта, что приводящего к теореме Шторма" (1933); "Применении Безулианта к разделению корней алгебраических уравнений" (1935); "Метод симметричных и эрмитових форм в теории разделения корней алгебраических уравнений" (1936). В 1936 году Наймарк защитил кандидатскую диссертацию о теории нормальных операторов в Гильбертовом пространстве, затем поехал в Москву (1938). В Москве он обучался в Математическом Институте им. В. А. Стеклова Академии наук СССР. Именно в это время его главные научные интересы, касающиеся спектральной теории операторов в Гильбертовом пространстве и теории представления в местном масштабе компактных групп, были окончательно сформированы.

Развитая им теория самосопряженных расширений симметрических операторов с расширением исходного Гильбертова пространства дополняет то, что было разработано фон Нейманом. В Математическом Институте им. В.А. Стеклова Наймарк посетил семинар по функциональному анализу, который вел Исраиль Моисеевич Гельфанд, с которым он начал плодотворное сотрудничество. В совместной работе с Гельфандом он работал над некоммутативными нормированными кольцами с запутанностью. Они показали, что эти кольца могли всегда представляться как кольцо линейных операторов в Гильбертовом пространстве: "О вложении нормированных колец в кольцо операторов в Гильбертовом пространстве" (1943). В апреле 1941 он получил свою докторскую степень в Математическом Институте им. В. А. Стеклова, после чего он был назначен председателем Сейсмологического Института Академии наук СССР в Москве. самосопряженный наймарк дифференциальный теорема

В начале войны он приступил к военной работе в различных местах, переехав в Ташкент в конце 1941, так как Сейсмологический Институт был эвакуирован туда из Москвы. По окончанию войны Наймарк вернулся обратно.

Он продолжал публиковать совместные работы с Гельфандом, в частности в 1946-47 они опубликовали работы: "Об унитарных представлениях комплексной унимодулярной группы"; "Унитарные представления группы Лоренца"; "Унитарные представления группы комплексных матриц второго порядка (группы Лоренца)"; "Унитарные представления группы линейных преобразований прямой"; "Унитарные представления группы линейных преобразований прямой"; "Вспомогательная и выродившаяся серия представлений унимодулярной группы". Они опубликовали четыре совместных работы по подобным темам в 1948 и в каждом из годов с 1950 до 1953.

В 1954 Наймарк был назначен преподавателем в Московском Физическо-техническом Институте. Здесь он преподавал курсы математического анализа, дифференциальных уравнений и функционального анализа, также руководил группой аспирантов и организовал научно-исследовательские семинары.

В 1962 году, после многих лет борьбы с дискриминацией, Наймарк стал профессором на кафедре теории функций и функционального анализа в Математическом институте им. В. А. Стеклова. Эту должность он занимал до конца своей жизни. За эти годы был единственным евреем-математиком, работавшим в Институте. После своего назначения он много путешествовал, и мы должны особо отметить его турне по Канаде в 1967 году, которое внесло большой вклад в улучшение отношений между советскими и западными учеными.

Мы уже отметили, что первая работа Наймарка была на разделении корней алгебраических уравнений, но, как только он зарекомендовал себя в Москве, он работал над функциональным анализом и представлениями группы. В 1943 он доказал теорему Гельфанда-Наймарка на самосопряженной алгебре операторов в Гильбертовом пространстве. В том же самом году он обобщил спектральную теорему фон Неймана. Он сделал подробный анализ бесконечно-размерных представлений полупростых групп Ли. В 1950 был издан его важный трактат "Унитарные представления классических групп с Гельфандом на непреодолимых представлениях классических матричных групп". Эта работа сформировала основание для более поздних вкладов Хариш-Чандры на представлениях полупростых групп Ли.

Наймарк также внес существенный вклад в Банахову алгебру. Он написал известный текст: "Нормированные кольца" в 1956 году. Его книга "Линейные дифференциальные операторы" была издана двумя годами ранее, в 1954. В 1958 Наймарк издал "Линейные представления группы Лоренца". Он также приложил значительные усилия к переводам и дальнейшим выпускам книг. Например, он упорно работал, чтобы произвести второй выпуск "Нормированных колец", и это случилось в 1968. После того, как первый российский выпуск был издан в 1956, были выполнены английские и немецкие переводы. Они содержали улучшения и дополнительный материал. Эти улучшения были включены во второй российский выпуск в 1968. В дополнение к этим улучшениям и обновлению, он полностью переписал последнюю главу. В общей сложности Наймарк написал 123 работы и 5 книг.

Его последней книгой была "Теория представлений группы", изданная в 1976. К этому времени Наймарк очень сильно страдать от болезни сердца, которая преследовала его в течение последних десяти лет жизни. Измученный болезнью Наймарк даже не мог сидеть и писать "Теорию представлений группы". Но он смог продиктовать текст книги своей жене. Книга касается только конечно-размерных представлений группы, но, несмотря на болезнь, Наймарк заявляет в предисловии, что надеется написать продолжение на аналитической и бесконечно-размерной теории. К сожалению, он умер прежде, чем справился с этой задачей.

Научная деятельность М.А. Наймарка была неразрывно связана с его педагогической работой и работой по воспитанию молодежи. Он щедро делился своим богатым опытом со своими коллегами и учениками. Каждый, кто приходил к нему за советом получил гораздо больше: он не только помогал им преодолеть свои научные трудности, но и был в состоянии стимулировать их, вселить в них веру в свои силы. Он обладал удивительным даром объяснять вещи просто и доходчиво. Это уникальное свойство проявлялось, как в лекциях для студентов, так и в научных докладах и статьях. Его лекции и доклады вызывали интерес не только математиков, но и физиков.

Огромный вклад М. А. Наймарка в науку и его международная репутация не способствовали его росту в официальном советском "табели о рангах". Он так и не стал полноценным академиком, не был причислен к выдающимся математикам страны и в "Большой Советской Энциклопедии" не нашлось места для него.

• Труды

· Нормированные кольца. М., 1968

· Линейные дифференциальные операторы. М., 1969

· Теория представлений групп. М., 1976

· Формулирование Теоремы Гельфанда-Наймарка

· Работы в области групп Ли.

• Нормированные кольца и представление об алгебрах
• Множество называется линейным или векторным пространством, если для всех элементов (векторов) этого множества определены операции сложения и умножения на число и справедливо:

· Каждой паре элементов отвечает элемент , называемый суммой , причём:

·

? сложение коммутативно;

·

? сложение ассоциативно:

·  ?

существует единственный нулевой элемент 0;

·

? для каждого элемента существует единственный противоположный элемент .

1. Каждой паре , где ? число, а , отвечает элемент , называемый произведением , причём:

·

·

2. Операции сложения и умножения на число связаны соотношениями:

· -

умножение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;

·

? умножение на вектор дистрибутивно относительно сложения чисел.

Скалярное поле определяется скалярной функцией точки где - точка пространства, - ее радиус-вектор.

Линейное пространство над некоторым скалярным полем называется алгеброй или кольцом над полем ,если для каждой пары элементов однозначно определено произведение , удовлетворяющее следующим условиям :

(ассоциативность),

(дистрибутивность),

Если существует элемент , называемый единицей алгебры, такой, что для всех , то называется алгеброй с единицей. Единица алгебры , если она существует, определяется однозначно. Действительно, если допустить что - другая единица алгебры ,то .

Если операция умножения коммутативна, т.е. для любой пары , то называется коммутативной алгеброй. Пусть -некоторая алгебра с единицей . Если для данного элемента существует такой элемент , что, то называется элементом, обратным к . Если элемент , обратный к , существует, то он определен единственным образом. В самом деле, если - другой элемент, обратный к , то

Элемент ,обратный к (если он существует), будет обозначаться через .

Алгебра называется банаховой или, кратко, В-алгеброй, если она является В-пространством и выполняется условие:

Пример: Пусть - некоторое В-пространство. Пространство c операциями сложения операторов и умножения образует В-алгебру с единицей. Единицей алгебры служит тождественный оператор , а нормой элемента алгебры является норма оператора .

Нормированные кольца - коммутативные В-алгебры с единицей , для которых .

• Линейные дифференциальные операторы
• Пусть -- некоторое подмножество в линейном пространстве . Всякая функция , которая каждому элементу из ставит в соответствие некоторый элемент
• из , называется оператором в пространстве с областью определения .
• Оператор называется линейным,
• если -- подпространство, и если для любых векторов и для любого числа
• Линейным дифференциальным выражением называется выражение вида
• Теория групп
• Теория групп -- раздел общей алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами, и их свойства. Группа является центральным понятием в общей алгебре, так как многие важные алгебраические структуры, такие как кольца, поля, векторные пространства, являются группами с расширенным набором операций и аксиом. Группы возникают во всех областях математики, и методы теории групп оказывают сильное влияние на многие разделы алгебры. В процессе развития теории групп построен мощный инструментарий, во многом определивший специфику общей алгебры в целом, сформирован собственный глоссарий, элементы которого активно заимствуются смежными разделами математики и приложениями. Наиболее развитые ветви теории групп -- линейные алгебраические группы и группы Ли -- стали самостоятельными областями математики.
• Понятие группы возникло в результате формального описания симметрии и эквивалентности геометрических объектов. В эрлангенской программе Феликса Клейна изучение геометрии было связано с изучением соответствующих групп преобразований. Например, если заданы фигуры на плоскости, то группой движений выясняется их равенство.
• Группа в математике -- множество элементов с определённой на нём ассоциативной бинарной операцией, унарной операцией взятия обратного элемента и выделенным нейтральным элементом, связанное некоторыми естественными свойствами -- групповыми аксиомами.
• Наиболее известный пример группы -- множество целых чисел, снабжённое операцией сложения: сумма любых двух целых чисел, также даёт целое число, число с противоположным знаком даёт обратный элемент, а роль нейтрального элемента играет нуль. Другие примеры -- множество вещественных чисел с операцией сложения, множество вращений плоскости вокруг начала координат. Благодаря абстрактному определению группы через систему аксиом, не привязанной к специфике образующих множеств, в теории групп создан универсальный аппарат для изучения широкого класса математических объектов самого разнообразного происхождения с точки зрения общих свойств их структуры. Вездесущность групп в математике и за её пределами делает их важнейшей конструкцией в современной математике и её приложениях.
• Группы Ли
• Группы Ли (названы в честь Софуса Ли) -- это группа, которая одновременно является дифференцируемым многообразием над полем K (в роли последнего могут выступать поля действительных или комплексных чисел), причём умножение элементов группы G Ч G > G и операция взятия обратного элемента G > G оказываются гладкими отображениями (в комплексном случае требуется голоморфность введённых отображений)). При этом всякая комплексная n-мерная группа Ли является одновременно вещественной группой Ли размерности 2n.
• Естественным образом группы Ли возникают при рассмотрении непрерывных симметрий; так, группу Ли образуют изометрии вида E > E, где E -- евклидово точечное пространство (полученная группа, обозначаемая Is(E), является подгруппой другой группы Ли -- аффинной группы пространства E, обозначаемой Aff(E).
• Группы Ли являются (в плане богатства имеющейся на них структуры) лучшими из многообразий и, как таковые, очень важны в дифференциальной геометрии и топологии. Они также играют видную роль в геометрии, математическом анализе, механике и физике.
• Теоремы Гельфанда-Наймарка
• С*-АЛГЕБРА - банахова алгебра А над полем комплексных чисел, снабженная такой инволюцией, x > x^*, х ? А, что норма и инволюция связаны соотношением ||х^*х|| = ||x||для любого элемента х ? А. С^*-А. были введены в 1943 под назв. вполне регулярных колец, их наз. также B^*-алгебрами.
• Теорема 1(коммутативная теорема Гельфанда-Наймарка).
• Каждая коммутативная -алегбра совпадает, с точностью до изометрического *-изоморфизма алгебр, с на некотором локально компактном пространстве .
• Теорема 2(некоммутативная теорема Гельфанда-Наймарка).
• Произвольная-алгебра совпадает, с точностью до изометрического *-изоморфизма алгебр, с некоторой операторной -алгебр.

• Список использованной литературы
• 1. И.М. Гельфанд, М.И. Граев, Д.П. Желобенко, М.Г. Крейн Л.Д. Кудряцев, С.М. Никольский, А.Я. Хелемский М, А, Наймарк Успехи мат. Наук 35 (4) (214) (1980), 135-140.
• 2. Д.Ф. Джонсон, Обзор: Линейное представление групп Лоренца. M. A. Наймарк, Математическая газета 52 (379) (1968), 101-102.
• 3. М.Г. Крейн и Г. Е. Шилов, М.А. Наймарк,Успехи Мат. Наук15 (2)(92) (1960), 231-236
• 4. М.Г. Крейн и Г. Е. Шилов, М.А. Наймарк,Российские Математические Обзоры 15 (2) (1960), 169-174.
• 5. М.А. Наймарк, Функциональный Анализ 13 (2) (1979), 79.
• 6. М.А. Наймарк, Успехи Мат. Наук 35 (4) (214) (1980), 135-140.
• 7. Д.П. Желобенко, Труды Математического Института им. Стеклова 182 (1988), 250-254.
• Размещено на Allbest.ru