Основи вищої математики

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНИЙ АВІАЦІЙНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІНСТИТУТ ЕЛЕКТРОНІКИ ТА СИСТЕМ УПРАВЛІННЯ

Кафедра авіаційних комп'ютерно-інтегрованих комплексів

Контрольна робота

З дисципліни: "Адаптивні і оптимальні системи керування та контролю"

Керував: ст.викл. Калініченко В.В.

Перевірив: ст.викл. Калініченко В.В.

Вступ

У першій частині даної роботи розглянуто поняття екстремуму функціоналу (максимуму та мінімуму), його розрахунок для різних типів функціоналів. Для наочності наведено кілька прикладів знаходження екстремумів функціоналів.

У другій частині розраховано оптимальний закон керування об'єктом методом варіаційного числення.

Варіаційне числення -- це розділ функціонального аналізу, який займається диференціюванням функціоналів. Задачею цього метода є знаходження екстремуму функціонала через рівняння Ейлера.

За розрахованими коефіцієнтами отримано оптимальний закон керування.

1. Поняття екстремуму функціоналу

Визначення: Функціонал має локальний максимум при , якщо для будь-якої функції близької до виконується нерівність . Якщо близькість нульового порядку, то максимум називається сильним, якщо першого й вище, то слабким. Аналогічно визначається мінімум функціонала.

Як і для функцій необхідними умовами існування екстремуму безперервного функціонала, що має варіацію, є рівність нулю варіації функціонала.

Дійсно, нехай екстремальне значення функціонала досягається на кривій , а крива близька к. Розглянемо сімейство функцій

(1)

На кривих цього сімейства функціонал буде просто функцією змінної , тобто

З огляду на необхідні умови локального екстремуму функції однієї змінної при одержимо Оскільки відповідно до подання (1) для варіації функціонала

звідси треба необхідна умова екстремуму функціонала, а саме при локального екстремуму варіація функціонала повинна бути рівної нулю

(2)

Рівняння Ейлера. Розглянемо знаходження екстремуму функціоналів виду для функцій з умовами

Для розглянутого функціонала функція буде мати вигляд

, а її похідна по змінній буде відповідно такий

(3)

Розглянемо окремо похідні, що входять в (3)

(4)

З огляду на другу рівність (4), одержимо

У силу граничних умов варіація на границях, тобто при Тому умова рівності нулю варіації функціонала , згідно (3) прикмет вид

Оскільки ця умова повинне виконуватися для довільної варіації , звідси треба рівняння

(5)

або в розгорнутому виді

Рівняння (5), це одне з основних рівнянь варіаційного обчислення - рівняння Ейлера для знаходження функцій, на яких функціонал приймає екстремальне значення. Розглянемо кілька прикладів використання рівняння Ейлера.

Приклад 1. Знайти екстремальні криві функціонала

Знаходимо: Звідси рівняння Ейлера в даному конкретному випадку буде мати вигляд Екстремальні криві , а рішення нашого завдання

Приклад 2. Знайти криву, що проходить через дві задані на площину точки за умови мінімуму часу руху матеріальної точки по даній кривій у поле сил ваги, уважаючи зв'язок ідеальної (тертя немає) Рис 1.

Рис. 1

З огляду на, що одержимо для часу руху функціонал

Умови екстремуму функціонала приводять до рівняння

Підстановка приводить до послідовних результатів:

Це крива із сімейства циклоїд. По такій кривій рухається точка обіду колеса при коченні по прямій без проковзування.

Функціонал від декількох змінних ( наприклад ). Екстремум визначається аналогічно Екстремуму функції декількох змінних. Спочатку розглядається , потім У кожному із цих випадків виходить своє рівняння Ейлера, а разом вони дають систему двох звичайних диференціальних рівнянь:

(6)

Екстремум функціонала, що залежить від похідних більше високого порядку, чим перший.

Якщо взяти варіацію даного функціонала й проінтегрувати її частинами n раз, одержимо з урахуванням рівності нулю на границях варіацій

,

з якого отримуємо рівняння Ейлера - Пуассона

(7)

Розглянемо екстремум функціонала

.

Функціонали від функцій декількох змінних:

Розглянемо сімейство функцій

Як і раніше будемо користуватися поданням варіації функціонала у формі функціонал екстремум математичний ейлер

Введемо позначення: тоді

,

З урахуванням уведених позначень варіацію функціонала можна представити у вигляді

(8)

Скористаємося тим, що

(9)

Підстановка виражень дає

(10)

де означає повну похідну по при й аналогічно повну похідну по при Якщо розписати ці похідні, одержимо

Використовуючи формулу Остроградського

а також те, що на контурі варіація в силу граничних умов, одержимо

Тоді з (8),(10) треба, що

(11)

З умови рівності нулю варіації одержимо рівняння Остроградського:

(12)

де

Це рівняння в частинних похідних з відповідною граничною умовою дозволяє визначити екстремаль функціонала

Приклад 1. Знайти екстремаль функціонала

У розглянутому випадку

У такий спосіб екстремаль функціонала представляє рішення завдання Дірихле для рівняння Лапласа.

Приклад 2. Знайти екстремаль функціонала

Рівняння Остроградського дає

У такий спосіб екстремаль функціонала в цьому випадку представляє рішення рівняння Пуассона для даної області.

Екстремум функціонала при наявності зовнішніх зв'язків

Складемо нову функцію ( невизначені множники Лагранжа) і будемо шукати екстремум функціонала

У результаті одержимо систему рівнянь Ейлера

доповнену рівняннями зв'язків

2. Знайти оптимальний закон керування для об'єкту

Математична модель має вид

x"'(t) + (3n+n/10)x"(t) + (n/2+3n²/10)x'(t) + n²/20x(t) = 30u(t)

згідно критерію якості

I(x(t), u(t)) = J (ax² +bu²)dt

використовуючи метод варіаційного числення;

1) - математична модель об'єкту керування; критерій якості ;

2) - оптимальний закон керування - результат розрахунку;

3) - задана математична модель щодо збурення;

4) - задана математична модель виконавчого пристрою;

5) на інтервалі 0ч5 сек. - заданий програмний вплив;

6) - вихідний сигнал;

7) - заданий збурюючий вплив.

¦ а = п/(п+2) -- параметр критерію якості,

¦ b = п/(п+4) - параметр критерію якості.

Для виконання завдання необхідно виконати наступне.

1. Перетворити задану MM OK в аналітичний спосіб у MM простору станів, потім з простору станів у передатну функцію.

2. Використовуючи MM у просторі станів знайти оптимальний закон керування.

3. Дослідити дію одержаного закону керування на оптимальність, для чого виконати наступне:

· скласти в аналітичний спосіб математичні моделі одержаної динамічної системи щодо програмного та збурюю чого впливів (з урахуванням MM виконавчого пристрою W₂(s)) згідно наведеної схеми (рис.1);

· дослідити криві перехідних процесів відносно та (, у, м у програмний спосіб);

· дослідити криві ЛАЧХ, ЛФЧХ відносно та (у програмний спосіб);

· побудувати реакцію ДС на заданий програмний вплив (згідно варіанту) з урахуванням дії збурюючої перешкоди (у аналітичний та програмний спосіб).

Перетворимо диференційне рівняння в модель просторі станів:

Запишемо диференційне рівняння 3-го порядку у вигляді системи рівнянь:

В цьому випадку матриця A і B матимуть вигляд:

; .

Тоді математична модель динамічної системи у просторі станів матиме вигляд:

;

Щоб знайти передаточну функцію динамічної системи при нульових початкових умовах використаємо наступний алгоритм:

де Х(s) - вектор стану, А - матриця системи, U(s) - вектор керування, В - матриця керування.

Це рівняння приведемо до вигляду:

Вирішимо відносно :

Перетворимо по Лапласу друге рівняння отримаємо

де С - матриця виходу.

Підстановка в останнє рівняння дасть нам:

Звідси передатна функція системи матиме вид:

Звідки передатна функція динамічної системи.

Знайдемо оптимальний закон керування:

Підінтегральні функції функціоналів, що містять похідні більш високих порядків, чим перший, однієї незалежної змінної

для реалізації екстремуму повинні задовільняти одному диференціальному рівнянню порядку n Ейлера-Пуассона:

де

Для рівняння з похідними 3го порядку

.

Для функціоналу вигляду

Система рівнянь:

Перейдемо до операторного вигляду:

За допомогою команди ilaplace виконаємо зворотне перетворення Лапласа:

Отже одержимо функцію оптимального керування:

Модель зовнішніх збурень:

Виконавчий привід:

Передаточна функція прямих ланок:

Передаточна функція замкненої системи:

Передаточна функція розімкнутої системи:

Передаточна за зовнішнім збуренням:

Дослідження системи

Рис. 2 Перехідна характеристика розімкнутої системи

Рис. 3 Перехідна характеристика по помилці регулювання

Рис. 4 Перехідна характеристика по зовнішньому впливу

Рис. 5 ЛАЧХ розімкнутої системи

Рис. 6 ЛАЧХ розімкнутої системи

Рис. 7 ЛАЧХ по зовнішньому впливу

Рис. 8 Вплив синусоїдою

Рис. 9 Вплив імпульсами

Рис. 10 Вплив імпульсом по збуренню

Размещено на Allbest.ru

...