Основи вищої математики
Ознайомлення з основними методами визначення математичних моделей об’єктів та процесів в системах із самоналаштуванням. Долідження особливостей безінерційної стабілізації. Характеристика методу пошуку екстремуму в системах екстремального керування.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 24.06.2015 |
| Размер файла | 87,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
НАЦІОНАЛЬНИЙ АВІАЦІЙНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ІНСТИТУТ ЕЛЕКТРОНІКИ ТА СИСТЕМ УПРАВЛІННЯ
Кафедра авіаційних комп'ютерно-інтегрованих комплексів
Контрольна робота
З дисципліни: "Адаптивні і оптимальні системи керування та контролю"
Перевірив:
ст. викл. Калініченко В.В.
1. Методи визначення математичних моделей об'єктів та процесів в СНС
Системи із самоналаштуванням (СНС) - системи, у котрих у процесі функціонування автоматично змінюються деякі параметри керуючої частини або ОК з метою забезпечення заданої якості керування в умовах нестаціонарності ОК, збурюючих впливів.
Розглянемо стаціонарний об'єкт, що описується рівнянням
Для побудування моделі існую два випадки: 1. коли збурення вимірюються або відомі (); 2. коли відомі лише границі їх можливих відхилень або стохастичні параметри (закон розподілу і т.д.).
У першому випадку (за відсутності збурень) отримуємо рух об'єкту
(1.1)
Аналізуючи сигнал можна отримати параметри об'єкту. Уточнимо отримані параметри: визначення матриці А та векторів b та d по сигналах входу та виходу не є однозначним визначенням параметрів.
Разом із (1.1) розглянемо систему рівнянь
(1.2)
де М - довільна невироджена матриця.
Якщо , то вихідні сигнали співпадають, хоча параметри матриць співпадають.
У цьому можна можна переконатися через перетворення Лапласа:
при .
Набором параметрів, що однозначно характеризує спостерігаємі та керовані об'єкти є параметри об'єкта, що описується рівнянням (1.1). Далі під ідентифікацією об'єкта будемо розуміти пошук його параметрів по моделі «вхід-вихід».
Процес ідентифікації можна описати виразом
, (1.3)
де - оцінка параметрів в момент часу , - відома вектор-функція, яка залежить від методу ідентифікації.
Ідентифікація - визначення по входу і виходу об'єкту його моделі.
Нехай є об'єкт із невизначеними параметрами
- вектор стану регулятора, деяка матриця, , - деякі вектори, - скляр, що залежить від невідомого вектора ().
Якщо після ідентифікації отримаємо , то отримаємо регулятор після .
Перед початком роботи необхідно отримати матриці , та скаляр .
Використовуючи з (1.3), отримуємо
(1.4)
Рівняння (1.3), (1.4) описують ідентифікаційний алгоритм адаптивного керування. Такі системи називають параметрично адаптивними.
1.4 також можна записати у вигляді
Якщо параметри регулятора (1.3) змінюються у залежності від критерію якості системи, алгоритм називається прямим алгоритмом адаптивного керування.
Наприклад:
де - параметри, що налаштовуються; - функції, що залежать від критеріїв якості системи.
Наприклад: маємо дискретний об'єкт, що описується рівнянням
(1.5)
y(k) якої піддається безпосередньому вимірюванню, а збурення f(k) є обмеженою послідовністю невідомих чисел
(1.6)
де - задане число.
Параметри невідомі.
Нехай відомий знак коефіцієнту та його верхня оцінка - число у нерівності .
Нехай мета керування
(1.7)
де - задане число.
Нехай .
Необхідно побудувати регулятор, вихідний сигнал якого забезпечує досягнення ОК (1.5) мети керування (1.7).
Зазначимо, що в залежності від природи ОК, призначення системи і т.д. рівняння (1.7) може приймати вигляд:
(1.8)
де визначається як
1. - при стабілізації з заданою динамікою;
2. або - при слідкуванні за задающим впливом ;
3. - при слідкуванні за еталонною моделлю, яку задано рівнянням
Для безінерційної стабілізації нев'язка , і тоді (1.5) та (1.6) збігаються.
Якщо прийняти
(1.9)
То підставляючи (1.9) у (1.5) отримаємо
(1.10)
і мета керування буде досягнута.
Якщо у меті керування (1.8) нев'язка визначається за вищенаведеними формулами, закони регулювання мають вигляд:
1. при стабілізації з заданою динамікою
(1.11)
2. при ідеальному слідкуванні
(1.12)
Наведемо (1.9) у компактній формі. Для цього введемо - мірний вектори
;(1.13)
(1.14)
Тоді (1.9) прийме вигляд
(1.15)
Цей вираз називається ідеальним законом регулювання.
Вирази (1.11) та (1.12) також приймають вигляд (1.15), якщо для (1.11):
,
а для (1.12):
Враховуючи (1.15), запишемо рівняння об'єкту (1.5) у еквівалентній формі:
Замінюючи невідомий вектор вектором настоюваних параметрів , отримаємо регулятор
2. Метод пошуку екстремуму в системах екстремального керування за градієнтним методом
Сутність градієнтного методу першого порядку полягає у пошуку напряму руху, що збігається з поточним напрямком вектора градієнта функції мети (при пошуку максимуму) і в протилежному йому (при пошуку мінімуму): математичний безінерційний екстремум
.
Пошук екстремуму виконується у два етапи: на першому знаходять значення частинних похідних по всім незалежним змінним, які дають напрямок градієнта в розглянутій точці.
Вони можуть бути отримані по двом вимірюванням значення у близьких точках :
На другому пошук здійснюється у напрямку, що збігається з напрямком градієнта (для максимуму) або протилежному йому (для мінімуму) за допомогою одночасної зміни всіх незалежних змінних. Кожна з них одержує приріст, пропорційний відповідній складовій градієнта по даній осі. Алгоритм градієнтного методу може бути записаний у такий спосіб:
де h - робочий крок.
Тобто метод складається із двох етапів:
Виконується пробний крок для визначення величини і напряму градієнта:
де - координата вектору початкового стану, - координата вектору пробного стану, - одиничний вектор відхилення по заданій координаті, g - пробний крок.
Зміщення у напрямі градієнту по всіх осях координат:
де h - робочий крок.
Рис. 1.
На Рис.1 Показано траєкторії руху від початкових точок А, В, С у напрямі градієнта.
Момент закінчення пошуку екстремуму встановлюється по виконанню певних умов, подібних розглянутим. Характерна риса градієнтного методу полягає в тому, що рух при пошуку екстремуму здійснюється в загальному випадку ортогонально до поверхонь (у двомірному випадку - до ліній) постійного рівня цільової функції. Крім таких переваг, як висока точність, досить гарна збіжність, градієнтний метод першого порядку має недоліки: можливість визначення тільки локального екстремуму функції при заданих початкових умовах, порівняно великий об'єм обчислень, труднощі застосування при наявності обмеження.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Історія розвитку математичної науки. Математичне моделювання і дослідження процесів і явищ за допомогою функцій, рівнянь та інших математичних об`єктів. Функції, їх основні властивості та графіки, множина раціональних чисел. Розв`язання типових задач.
книга [721,3 K], добавлен 01.03.2011Математична постановка задач пошуку умов повної керованості в лінійних стаціонарних динамічних системах керування. Представлення систем диференційних рівнянь управління в просторі станів. Достатні умови в критеріях повної керованості Е. Гільберта.
дипломная работа [2,0 M], добавлен 16.06.2013Функція двох змінних, методика визначення її головних параметрів. Поняття екстремуму функцій двох змінних, необхідні та достатні умови її існування. Особливості визначення екстремуму функції за деяких умов, які обмежують область зміни аргументів.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 22.10.2014Діагностика турбіни трьома основними методами — ММР, ММП, ММКПР, тобто визначення Хо для всіх випадків. Ідентифікація параметрів математичної моделі на основі авторегресії 2-го порядку для заданого часового ряду, оцінка адекватності отриманої моделі.
контрольная работа [98,3 K], добавлен 16.08.2011Теоретичні основи формування математичних понять. Поняття, як логіко-гносеологічна категорія. Об’єкт, поняття. Схожість їх і різниця. Суттєві і несуттєві властивості понять. Прийоми їх виявлення. Зміст і об’єм поняття, зв'язок між ними. Види понять.
дипломная работа [328,4 K], добавлен 21.07.2008Вивчення поняття випадкових подій. Ознайомлення із класичним, статистичним, геометричним, аксіоматичним означеннями, предметом та методами аналізу (комбінаторний), основними співвідношеннями теорії ймовірності. Розгляд залежності та сумісністю подій.
реферат [202,5 K], добавлен 11.06.2010Визначення поняття математики через призму іонійського раціоналізму. Основні властивості правильних багатокутників і правильних багатогранників. Загальна характеристика внеску в розвиток головних засад сучасної математики видатних давньогрецьких вчених.
реферат [91,5 K], добавлен 15.02.2010Аналіз математичних моделей технологічних параметрів та методів математичного моделювання. Задачі технологічної підготовки виробництва, що розв’язуються за допомогою математичного моделювання. Суть нечіткого методу групового врахування аргументів.
курсовая работа [638,9 K], добавлен 18.07.2010Ознайомлення з нестандартними методами рішення рівнянь і нерівностей. Відомості з історії математики про рішення рівнянь. Розгляд та застосування на практиці методів рішення рівнянь і нерівностей, заснованих на використанні властивостей функції.
дипломная работа [1,4 M], добавлен 26.01.2011Суть принципу Діріхле та найпростіші задачі, пов’язані з ним. Використання методів розв’язування математичних задач олімпіадного характеру при вивченні окремих тем шкільного курсу математики та на факультативних заняттях. Індукція в геометричних задачах.
дипломная работа [239,7 K], добавлен 15.03.2013Теория массового обслуживания – область прикладной математики, анализирующая процессы в системах производства, в которых однородные события повторяются многократно. Определение параметров системы массового обслуживания при неизменных характеристиках.
курсовая работа [439,6 K], добавлен 08.01.2009Использование кривых второго порядка в компьютерных системах. Кривые второго порядка в 3d grapher. Жезл, гиперболическая спираль. Спираль Архимеда, логарифмическая спираль. Улитка Паскаля, четырех и трехлепестковая роза. Эпициклоида и гипоциклоида.
реферат [221,1 K], добавлен 26.12.2014Поняття математичного моделювання. Форми завдання моделей: інваріантна; алгоритмічна; графічна (схематична); аналітична. Метод ітерацій для розв’язку систем лінійних рівнянь, блок-схема. Інструкція до користування програмою, контрольні приклади.
курсовая работа [128,6 K], добавлен 24.04.2011Зразки вирішення задач по дискретній математиці. Обчислювання череди функцій універсальних множин методами дискретної математиці. Визначення ймовірності послідовного вибору з колоди певних карт. Використання відомих алгоритмів для обчислення шляхів графа.
контрольная работа [42,1 K], добавлен 22.10.2009Психолого-педагогічні основи навчання прийомам розумової діяльності. Аналіз стану проблеми формування розумової культури учнів у процесі навчання математики. Формування вміння порівнювати в процесі навчання математики. Рівні оволодіння знаннами.
дипломная работа [122,1 K], добавлен 22.05.2008История становления математики как науки. Период элементарной математики. Период создания математики переменных величин. Создание аналитической геометрии, дифференциального и интегрельного исчисления. Развитие математики в России в XVIII-XIX столетиях.
реферат [38,2 K], добавлен 09.10.2008Стационарное распределение вероятностей. Построение математических моделей, графов переходов. Получение уравнения равновесия систем массового обслуживания с различным числом приборов, требованиями различных типов и ограниченными очередями на приборах.
дипломная работа [2,4 M], добавлен 23.12.2012Греческая математика. Средние века и Возрождение. Начало современной математики. Современная математика. В основе математики лежит не логика, а здравая интуиция. Проблемы оснований математики являются философскими.
реферат [32,6 K], добавлен 06.09.2006Характеристика основних класів математичних функцій. Роль задачі про апроксимацію (наближення) більш складніших об’єктів менш складнішими. Особливості встановлення та розрахунку асимптотичні рівності відхилень найкращих наближень лінійних комбінацій.
дипломная работа [1,3 M], добавлен 20.10.2013Происхождение термина "математика". Одно из первых определений предмета математики Декартом. Сущность математики с точки зрения Колмогорова. Пессимистическая оценка возможностей математики Г Вейля. Формулировка Бурбаки о некоторых свойствах математики.
презентация [124,5 K], добавлен 17.05.2012
