Система линейных алгебраических уравнений
Решение математической задачи методом Гаусса, с выбором главного элемента. Расчеты линейных алгебраических уравнений по Гауссу-Жордано, Зейделю с заданной точностью и простыми итерациями. Вычисление определителя системы. Нахождение обратной матрицы.
| Рубрика | Математика |
| Вид | задача |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 22.06.2015 |
| Размер файла | 48,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Постановка задачи
Необходимо:
1. Найти решение системы линейных алгебраического уравнений вида методом: Гаусса, с выбором главного элемента, Гаусса-Жордано, простых итераций, Зейделя с точностью = 10-3.
2. Вычислить определитель системы методом Гаусса
3. Найти обратную матрицу системы методом Гаусса.
Численное решение
Метод Гаусса
Основная идея: последовательное исключение неизвестных, приводящее к построению эквивалентной системы с треугольной матрицей.
Прямой ход (определение коэффициентов эквивалентной системы)
Идея прямого хода заключается в выборе ведущего элемента a 0 и нормировании всех уравнений системы.
, где ,k - уровень нормирования. Этапы вычисления представлены в таблице 1.
Таблица 1 - Решение СЛАУ с контролем вычислений методом Гаусса.
|
А |
В |
Si |
Sum_i |
||||
|
1 |
-2,01 |
2,04 |
0,17 |
0,18 |
1,38 |
1,38 |
|
|
0,33 |
-0,77 |
0,44 |
-0,51 |
0,19 |
-0,32 |
-0,32 |
|
|
0,31 |
0,17 |
-0,21 |
0,54 |
0,21 |
1,02 |
1,02 |
|
|
0,17 |
1 |
-0,13 |
0,21 |
0,31 |
1,56 |
1,56 |
|
|
-1 |
2,01 |
-2,04 |
-0,17 |
-0,18 |
-1,38 |
||
|
-0,1067 |
-0,2332 |
-0,5661 |
0,1306 |
-0,7754 |
-0,7754 |
||
|
0,7931 |
-0,8424 |
0,4873 |
0,1542 |
0,5922 |
0,5922 |
||
|
1,3417 |
-0,4768 |
0,1811 |
0,2794 |
1,3254 |
1,3254 |
||
|
-1 |
-2,18557 |
-5,30553 |
1,223993 |
-7,2671 |
|||
|
-2,57577 |
-3,72052 |
1,124948 |
-5,17134 |
-5,17134 |
|||
|
-3,40918 |
-6,93733 |
1,921631 |
-8,42487 |
-8,42487 |
|||
|
-1 |
-1,44443 |
0,436742 |
-2,00768 |
||||
|
-2,01303 |
0,432701 |
-1,58032 |
-1,58032 |
Обратный ход представлен в таблице 2.
Таблица 2 - Результаты выполнения обратного хода при использовании метода Гаусса.
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
||
|
X |
0,860814 |
0,192387 |
-0,12626 |
-0,21495 |
|
|
1,860814 |
1,192387 |
0,873738 |
0,78505 |
Метод Гаусса с выбором главного элемента
Прямой ход
Идея прямого хода заключается в выборе ведущего элемента m 0, причём m - максимальный элемент матрицы системы с последующим нормировании всех уравнений системы относительно m.
1. Выбор главного элемента из условия apq= max |aij|, без учёта bi.
2. Вычисление множителей
3. Исключение неизвестной, соответствующей главному элементу:
и так далее.
Таблица 3 - Последовательность решения СЛАУ методом Гаусса с выбором главного элемента.
|
mi |
aij |
bi |
||||
|
-1 |
1 |
-2,01 |
2,04 |
0,17 |
0,18 |
|
|
-0,21569 |
0,33 |
-0,77 |
0,44 |
-0,51 |
0,19 |
|
|
0,102941 |
0,31 |
0,17 |
-0,21 |
0,54 |
0,21 |
|
|
0,063725 |
0,17 |
1 |
-0,13 |
0,21 |
0,31 |
|
|
0,3859 |
0,114314 |
-0,33647 |
-0,54667 |
0,151176 |
||
|
0,042334 |
0,412941 |
-0,03691 |
0,5575 |
0,228529 |
||
|
-1 |
0,233725 |
0,871912 |
0,220833 |
0,321471 |
||
|
0,814057 |
0,204508 |
-0,46145 |
0,275232 |
|||
|
-1 |
0,422836 |
0,566849 |
0,242139 |
|||
|
0,548721 |
0,472347 |
Обратный ход
Объединение главных строк в систему.
Вычисление xi.Решение представлено в таблице 4.
Таблица 4 - Решение СЛАУ методом Гаусса с выбором главного элемента.
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
||
|
X |
0,860814 |
0,192387 |
-0,12626 |
-0,21495 |
Метод Гаусса-Жордана
Нормирование уравнений системы.
Исключение неизвестной хk.
Отличие: Выражение для xk подставляется во все уравнения, кромеk-го (с ведущим элементом). Последовательность вычислений представлена в таблице 5.
Таблица 5 - Последовательность решения СЛАУ этим методом Гаусса-Жордана.
|
aij |
bj |
||||
|
1 |
-2,01 |
2,04 |
0,17 |
0,18 |
|
|
0,33 |
-0,77 |
0,44 |
-0,51 |
0,19 |
|
|
0,31 |
0,17 |
-0,21 |
0,54 |
0,21 |
|
|
0,17 |
1 |
-0,13 |
0,21 |
0,31 |
|
|
1 |
-2,01 |
2,04 |
0,17 |
0,18 |
|
|
0 |
-0,1067 |
-0,2332 |
-0,5661 |
0,1306 |
|
|
0 |
0,7931 |
-0,8424 |
0,4873 |
0,1542 |
|
|
0 |
1,3417 |
-0,4768 |
0,1811 |
0,2794 |
|
|
1 |
0 |
6,43299 |
10,83411 |
-2,28022 |
|
|
0 |
1 |
2,185567 |
5,30553 |
-1,22399 |
|
|
0 |
0 |
-2,57577 |
-3,72052 |
1,124948 |
|
|
0 |
0 |
-3,40918 |
-6,93733 |
1,921631 |
|
|
1 |
0 |
0 |
1,542133 |
0,529332 |
|
|
0 |
1 |
0 |
2,148638 |
-0,26946 |
|
|
0 |
0 |
1 |
1,444427 |
-0,43674 |
|
|
0 |
0 |
0 |
-2,01303 |
0,432701 |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0,860814 |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0,192387 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
-0,12626 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
-0,21495 |
Метод простых итераций
Предварительно необходимо привести систему к виду
, где ,
В матричной форме: x = + x, где - матрица-столбец, - квадратная матрица.
Формирование последовательных приближений
xi(0) = i ( ii = 0),
( i = 1,2,...,n),
Достаточное условие сходимости итерационного процесса
Преобразование СЛУ к итерационному виду:
Выделение уравнений с коэффициентами .
Размещение выделенных уравнений по принципуaik=ajj- максимальный коэффициент - диагональный.
Заполнение свободных строк новой системы. Новое уравнение есть линейная комбинация выделенного(-ых) с одним из оставшихся от неиспользованных уравнений.
Цель преобразований получить эквивалентную матрицу с максимальными диагональными элементами.
Оценка погрешности приближений: x(k) - x(k-1).
Система выделенных уравнений:
Преобразованная система:
.
После выражения из этой системы соответствующих диагональных неизвестных можно начинать итерационный процесс, результаты которого представлены в таблице 7. В качестве начального приближения берется вектор свободных членов. система уравнение гаусс определитель
Таблица 6 - Результаты последовательных приближений к решению СЛАУ методом простых итераций.
|
k |
x1(k) |
х2(k) |
x3(k) |
x4(k) |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0,575758 |
0,31 |
0,088235 |
0,3888889 |
|
|
2 |
1,782454 |
0,141925134 |
0,079035 |
-0,004917 |
|
|
3 |
0,793937 |
0,018290043 |
-0,64527 |
-0,648316 |
|
|
4 |
0,47685 |
0,227292203 |
-0,2289 |
-0,323585 |
|
|
5 |
0,911222 |
0,267131206 |
0,1054 |
-0,045431 |
|
|
6 |
0,988319 |
0,178334734 |
-0,09145 |
-0,177328 |
|
|
7 |
0,839758 |
0,167335698 |
-0,20575 |
-0,270187 |
|
|
8 |
0,822973 |
0,197233562 |
-0,13602 |
-0,225886 |
|
|
9 |
0,868233 |
0,199848073 |
-0,10203 |
-0,198547 |
|
|
10 |
0,871258 |
0,190831982 |
-0,12391 |
-0,212133 |
|
|
11 |
0,858409 |
0,190325122 |
-0,13315 |
-0,219544 |
|
|
12 |
0,858087 |
0,192865205 |
-0,12673 |
-0,215599 |
|
|
13 |
0,861554 |
0,192925893 |
-0,1244 |
-0,213718 |
|
|
14 |
0,861493 |
0,19224458 |
-0,1262 |
-0,214821 |
|
|
15 |
0,860595 |
0,192252947 |
-0,12675 |
-0,21527 |
|
|
16 |
0,860653 |
0,192428561 |
-0,12626 |
-0,214971 |
|
|
17 |
0,860877 |
0,192419031 |
-0,12614 |
-0,21487 |
x(17) - x(16) 0,000454
Метод Зейделя
Данный метод является модификацией метода простых итераций, но в большинстве своем аналогичен ему. Отличается он использованием в качестве неизвестных переменных не их значения, полученные на прошлом шаге итераций, а вновь рассчитанных на текущем шаге (если это возможно) значений неизвестных.
Порядок выполнения итерации:
.
Достаточное условие сходимости метода Зейделя аналогично достаточному условию сходимости метода простых итераций. Итерационный процесс представлен в таблице 7. Оценка погрешности приближений: x(k) - x(k-1).
Таблица 7 - Результаты последовательных приближений к решению СЛАУ методом Зейделя.
|
k |
x1(k) |
х2(k) |
x3(k) |
x4(k) |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0,575758 |
0,212121212 |
0,015004 |
-0,00258 |
|
|
2 |
1,046711 |
0,134552048 |
-0,29207 |
-0,36794 |
|
|
3 |
0,7105 |
0,228513814 |
-0,00423 |
-0,09258 |
|
|
4 |
0,971528 |
0,163731036 |
-0,21897 |
-0,30554 |
|
|
5 |
0,777555 |
0,213513188 |
-0,05708 |
-0,1469 |
|
|
6 |
0,923037 |
0,176512202 |
-0,17807 |
-0,26582 |
|
|
7 |
0,814236 |
0,204252939 |
-0,0875 |
-0,17687 |
|
|
8 |
0,895665 |
0,183505275 |
-0,15527 |
-0,24344 |
|
|
9 |
0,834734 |
0,199032931 |
-0,10455 |
-0,19363 |
|
|
10 |
0,880329 |
0,187414055 |
-0,1425 |
-0,2309 |
|
|
11 |
0,846211 |
0,196108539 |
-0,11411 |
-0,20301 |
|
|
12 |
0,871741 |
0,189602486 |
-0,13536 |
-0,22388 |
|
|
13 |
0,852637 |
0,194470961 |
-0,11946 |
-0,20826 |
|
|
14 |
0,866933 |
0,190827888 |
-0,13135 |
-0,21995 |
|
|
15 |
0,856235 |
0,193553995 |
-0,12245 |
-0,21121 |
|
|
16 |
0,86424 |
0,191514052 |
-0,12911 |
-0,21775 |
|
|
17 |
0,85825 |
0,193040539 |
-0,12413 |
-0,21285 |
|
|
18 |
0,862732 |
0,191898271 |
-0,12786 |
-0,21652 |
|
|
19 |
0,859378 |
0,192753029 |
-0,12507 |
-0,21378 |
|
|
20 |
0,861888 |
0,192113415 |
-0,12716 |
-0,21583 |
|
|
21 |
0,86001 |
0,192592037 |
-0,12559 |
-0,21429 |
|
|
22 |
0,861415 |
0,192233884 |
-0,12676 |
-0,21544 |
|
|
23 |
0,860364 |
0,19250189 |
-0,12589 |
-0,21458 |
|
|
24 |
0,861151 |
0,192301342 |
-0,12654 |
-0,21523 |
|
|
25 |
0,860562 |
0,192451412 |
-0,12605 |
-0,21474 |
|
|
26 |
0,861002 |
0,192339114 |
-0,12642 |
-0,2151 |
|
|
27 |
0,860673 |
0,192423146 |
-0,12614 |
-0,21483 |
x(27) - x(26) 0,000958 .
Вычисления определителей при помощи метода Гаусса
Вычисления производятся по схеме отвечающей прямому ходу метода Гаусса, с той лишь разницей, что отсутствуют действия над столбцом свободных членов, а определитель вычисляется по формуле: detA=
Для нашего случая: detA = 1*(-0,1067)*(-2,57577)*(-2,01303)=- 0,55325
Применение метода Гаусса для обращения матриц
Если А- невырожденная (т.е. det 0), то А-1 существует.
По определению: обратной называется матрица, удовлетворяющая условию AA-1 = E, где E- единичная матрица, т.е. E=.
Полученные системы A|E, имеющие одну и ту же матрицу коэффициентов А, но различные векторы свободных членов, одновременно можно решить методом Гаусса.
|
A |
E |
|
|
a11a12 ...a1n |
1 0 ... 0 |
|
|
a21a22 ...a2n |
0 1 ... 0 |
|
|
.................... |
||
|
an1an2 ...ann |
0 0 ... 1 |
Результат расчетов обратной матрицы представляет собой транспонированное решение нескольких уравнений.
Таблица 8 - Вычисление обращенной матрицы методом Гаусса.
|
А |
Е |
|||||||
|
1 |
-2,01 |
2,04 |
0,17 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0,33 |
-0,77 |
0,44 |
-0,51 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
0,31 |
0,17 |
-0,21 |
0,54 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
0,17 |
1 |
-0,13 |
0,21 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
-1 |
2,01 |
-2,04 |
-0,17 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
-0,1067 |
-0,2332 |
-0,5661 |
-0,33 |
1 |
0 |
0 |
||
|
0,7931 |
-0,8424 |
0,4873 |
-0,31 |
0 |
1 |
0 |
||
|
1,3417 |
-0,4768 |
0,1811 |
-0,17 |
0 |
0 |
1 |
||
|
-1 |
-2,18557 |
-5,30553 |
-3,09278 |
9,372071 |
0 |
0 |
||
|
-2,57577 |
-3,72052 |
-2,76289 |
7,43299 |
1 |
0 |
|||
|
-3,40918 |
-6,93733 |
-4,31959 |
12,57451 |
0 |
1 |
|||
|
-1 |
-1,44443 |
-1,07264 |
2,885731 |
0,388233 |
0 |
|||
|
-2,01303 |
-0,66276 |
2,736544 |
-1,32355 |
1 |
||||
|
-1 |
-0,32923 |
1,359418 |
-0,6575 |
0,496765 |
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
|
|
-0,19153 |
1,822421 |
1,483554 |
0,766077 |
|
|
0,041043 |
-0,14421 |
-0,56421 |
1,067368 |
|
|
0,597088 |
-0,92215 |
-1,33794 |
0,71754 |
|
|
0,329235 |
-1,35942 |
0,657495 |
-0,49676 |
Выводы
Точное решение искомой СЛАУ вида представляет собой вектор вида: {0,860814; 0,192387; -0,12626; -0,21495}. Анализ решения системы линейных алгебраического уравнений вида итерационными методами представлен в таблице 9.
Таблица 9 - Сводные данные о результатах выполнения работы.
|
№ |
Метод |
Количество итераций |
|
|
1. |
Простых итераций |
17 |
|
|
2. |
Зейделя |
27 |
Определитель системы, вычисленный методом Гаусса равен: detA = -0,55325
Обратная матрица коэффициентов системы, вычисленная методом Гаусса имеет вид:
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Изучение основ линейных алгебраических уравнений. Нахождение решения систем данных уравнений методом Гаусса с выбором ведущего элемента в строке, в столбце и в матрице. Выведение исходной матрицы. Основные правила применения метода факторизации.
лабораторная работа [489,3 K], добавлен 28.10.2014Задачи вычислительной линейной алгебры. Математическое моделирование разнообразных процессов. Решение систем линейных алгебраических уравнений большой размерности. Метод обратной матрицы и метод Гаусса. Критерии совместности и определенности системы.
курсовая работа [220,0 K], добавлен 21.10.2011Рассмотрение систем линейных алгебраических уравнений общего вида. Сущность теорем и их доказательство. Особенность трапецеидальной матрицы. Решение однородных и неоднородных линейных алгебраических уравнений, их отличия и применение метода Гаусса.
реферат [66,4 K], добавлен 14.08.2009Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы. Нахождение ранга матрицы. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Исследование на совместимость системы уравнений, нахождение общего решения методом Гауса.
контрольная работа [97,3 K], добавлен 24.05.2009Разложение определителя 4-го порядка. Проверка с помощью функции МОПРЕД() в программе Microsoft Excel. Нахождение обратной матрицы. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Гаусса. Составление общего уравнения плоскости.
контрольная работа [138,7 K], добавлен 05.07.2015Основные правила решения системы заданных уравнений методом Гаусса с минимизацией невязки и методом простых итераций. Понятие исходной матрицы; нахождение определителя для матрицы коэффициентов. Пример составления блок-схемы метода минимизации невязок.
лабораторная работа [264,1 K], добавлен 24.09.2014Вычисление и построение матрицы алгебраических дополнений. Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса. Определение главной и проверка обратной матрицы. Аналитическая геометрия на плоскости.
контрольная работа [126,9 K], добавлен 20.04.2016Понятие и специфические черты системы линейных алгебраических уравнений. Механизм и этапы решения системы линейных алгебраических уравнений. Сущность метода исключения Гаусса, примеры решения СЛАУ данным методом. Преимущества и недостатки метода Гаусса.
контрольная работа [397,2 K], добавлен 13.12.2010Метод Гаусса - последовательное исключение переменных из системы уравнений. Определение понятия расширенной матрицы. Метод Крамера, расчет определителя системы. Метод обратной матрицы. Расчет алгебраических дополнений для элементов полученной матрицы.
презентация [184,4 K], добавлен 21.09.2013Определение алгебраического дополнения элемента определителя, матрицы, ее размера и видов. Неоднородная система линейных алгебраических уравнений. Решение системы уравнений методом Крамера. Скалярные и векторные величины, их примеры, разложение вектора.
контрольная работа [239,4 K], добавлен 19.06.2009Решение задач систем линейных алгебраических уравнений, матричных уравнений, методы Гаусса и Кремера. Нахождение длины и координат вектора и исчисление его скалярного произведения. Уравнение прямой и определение координат точек неравенства; пределы.
контрольная работа [220,9 K], добавлен 06.01.2011Решение системы линейных уравнений методом Гауса. Преобразования расширенной матрицы, приведение ее к треугольному виду. Средства матричного исчисления. Вычисление алгебраических дополнений матрицы. Решение матричного уравнения по правилу Крамера.
задача [26,8 K], добавлен 29.05.2012Расчет произведения заданных матриц. Решение системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса. Координаты вектора в базисе. Определение ранга заданной матрицы. Система с базисом методом Жордана-Гаусса.
контрольная работа [88,2 K], добавлен 19.01.2014Назначение и определение алгебраического дополнения элемента определителя. Особенности неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Определение размера матрицы. Решение системы уравнений методом Крамера. Скалярные и векторные величины.
контрольная работа [320,1 K], добавлен 13.07.2009Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
контрольная работа [63,2 K], добавлен 24.10.2010Линейные операции над матрицами. Умножение и вычисление произведения матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду и вычисление ранга матрицы. Вычисление обратной матрицы и определителя матрицы, а также решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
учебное пособие [658,4 K], добавлен 26.01.2009Решение системы уравнений по формулам Крамера, методом обратной матрицы и методом Гаусса. Преобразование и поиск общего определителя. Преобразование системы уравнений в матрицу и приведение к ступенчатому виду. Алгебраическое дополнение элемента.
контрольная работа [84,5 K], добавлен 15.01.2014Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.
лекция [24,2 K], добавлен 14.12.2010Сущность и содержание метода Крамера как способа решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы. Содержание основных правил Крамера, сферы и особенности их практического применения в математике.
презентация [987,7 K], добавлен 22.11.2014Решение системы линейных алгебраических уравнений большой размерности с разреженными матрицами методом простого итерационного процесса. Понятие нормы матрицы и вектора. Критерии прекращения итерационного процесса. Выбор эффективного итерационного метода.
лабораторная работа [21,8 K], добавлен 06.07.2009
