Приближенное вычисление определенного интеграла, дифференциальных уравнений и вычисление значений функций

Размещено на http://www.allbest.ru/

ТАШКЕНТСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНАЛОГИЙ

УРГЕНЧСКИЙ ФИЛИАЛ

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

По высшей математике

На тему

Приближенное вычисление определенного интеграла, приближенное решение дифференциальных уравнений, приближенное вычисление значений функций

Подготовил студент 914-14 группы

Джуманиязова Мардона



Приближенное вычисление определенного интеграла

Пусть требуется найти определенный интеграл от непрерывной функции ѓ(х). Если можно найти первообразную F(x) функции ѓ(х), то интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

Но отыскание первообразной функции иногда весьма сложно; кроме того, как известно, не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. В этих и других случаях (например, функция

у = ѓ(х)

задана графически или табличнo) прибегают к приближенным формулам, с помощью которых определенный интеграл находится с любой степенью точности.

Рассмотрим три наиболее употребительные формулы приближенного вычисления определенного интеграла -- формулу прямоугольников, формулу трапеций, формулу парабол (Симпсона), основанные на геометрическом смысле определенного интеграла.

Формула прямоугольников

Пусть на отрезке [а; b], а < b, задана непрерывная функция ѓ(х). Требуется вычислить интеграл численно равный площади соответствующей криволинейной трапеции.



Разобьем основание этой трапеции, т. е. отрезок [а; b], на n равных частей (отрезков) длины

(шаг разбиения) с помощью точек х₀ = а, x₁, х₂,..., х_n = b. Можно записать, что

х_i= х₀+h* i,

где i = 1,2,..., n (см. рис. 200).

В середине

каждого такого отрезка построим ординату

y_i =ѓ(с_i)

графика функции у = ѓ(х).

Приняв эту ординату за высоту, построим прямоугольник с площадью h * y_i.

Тогда сумма площадей всех n прямоугольников дает площадь ступенчатой фигуры, представляющую собой приближенное значение искомого определенного интеграла

Формула (42.1) называется формулой средних прямоугольников.

Абсолютная погрешность приближенного равенства (42.1) оценивается с помощью следующей формулы:

где М₂ -- наибольшее значение |ѓ"(х)| на отрезке [а; b],

Отметим, что для линейной функции

ѓ(х)=kх+b

формула (42.1) дает точный ответ, поскольку в этом случае

ѓ"(х)=0.

Формула трапеций

Формулу трапеций получают аналогично формуле прямоугольников: на каждом частичном отрезке криволинейная трапеция заменяется обычной.

Разобьем отрезок [а; b] на n равных частей длины

Абсциссы точек деления а = х₀, x₁,х₂,...,b = х_n (рис. 201). Пусть у₀,у₁...,у_n соответствующие им ординаты графика функции. Тогда расчетные формулы для этих значений примут вид

х_i = a+h*i, у_i=ѓ(x_i), i= 0,1,2,..., n;

Заменим кривую у=ѓ(х) ломаной линией, звенья которой соединяют концы ординат y_i и y_i+1 (i = 0,1,2,.. .,n). Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями у_i, y_i+1 и высотой

Или

Формула (42.2) называется формулой трапеций.

Абсолютная погрешность R_n приближения, полученного по формуле трапеций, оценивается с помощью формулы

* М₂,

Где

Снова для линейной функции

у=kх +b

формула (42.2) -- точная.

Формула парабол (Симпсона)

Если заменить график функции у=ѓ(х) на каждом отрезке [x_i-1;x_i] разбиения не отрезками прямых, как в методах трапеций и прямоугольников, а дугами парабол, то получим более точную формулу приближенного вычисления интеграла

Предварительно найдем площадь S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком параболы

у = ах² + bх + с,

сбоку -- прямыми х = --h, х = h и снизу -- Отрезком [-h; h].

Пусть парабола проходит через три точки M₁(-h;у₀), М₂(0; y₁), М₃(h; у₂), где

у₀ = ah₂ -bh + c

-- ордината параболы в точке х = -h; y₁ = с -- ордината параболы в точке х = 0;

у₂ = аh₂ + bh+c

ордината параболы в точке х = h (см. рис 202). Площадь S равна

Выразим эту площадь через h, у₀, y₁, у₂. Из равенств для ординат у (находим, что с=y₁,

Подставляя эти значения с и а в равенство (42.3), получаем

Получим теперь формулу парабол для вычисления интеграла

Для этого отрезок [а; b] разобьем на 2n равных частей (отрезков) длиной

Точками

x_i=х₀ + ih (i= 0,1,2,..., 2n).

В точках деления а = х₀, x₁, x₂,..., x_2n-2 ,x_2n-1, x_2n = b вычисляем значения подынтегральной функции ѓ(х): у₀, у₁,у₂,..., у_2n-2, у_2n-1, у_2n, где

у_i=ѓ(х_i)

(см. рис. 203).

Заменяем каждую пару соседних элементарных криволинейных трапеций с основаниями, равными h, одной элементарной параболической трапецией с основанием, равным 2h. На отрезке [х₀;х₂] парабола проходит через три точки (х₀;у₀), (x₁;y₁), (x₂;y₂). Используя формулу (42.4), находим

Аналогично находим

Сложив полученные равенства, имеем

Или

Формула (42.5) называется формулой парабол (или Симпсона).

Абсолютная погрешность вычисления по формуле (42.5) оценивается соотношением

Отметим, что формула (42.5) дает точное значение интеграла во всех случаях, когда ѓ(х) -- многочлен, степень которого меньше или равна трем (тогда f^IV = 0).

Пример 42.1. Вычислить, разбив отрезок интегрирования [0; 2] на 4 части.

Решение: Имеем:



ѓ(х) = х^3,

(см.рис. 204)

а) по формуле прямоугольников:

б) по формуле трапеции:

в) по формуле парабол:

Приближенное решение дифференциальных уравнений

Если решение дифференциального уравнения не выражается через элементарные функции в конечном виде или способ его решения слишком сложен, то для приближенного решения можно воспользоваться рядом Тейлора.

Рассмотрим два способа решения дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

Способ последовательного дифференцирования

При решении задачи Коши

,

используется ряд Тейлора

,

Где

,

а остальные производные находятся путем последовательного дифференцирования уравнения

и подстановки начальных данных в выражения для этих производных.

Надо отметить, что способ последовательного дифференцирования применим для решения дифференциальных уравнений любого порядка.

Пример 3.12. Найти пять первых членов (отличных от нуля) разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения

,

Если

.

Решение. Находим решение дифференциального уравнения (при ) в виде

.

.

.

Далее находим производные высших порядков и значения производных при .

.

Тогда

.

.

Тогда

.

.

Тогда

.

Подставляя найденные значения производных в искомый ряд, получаем:

.

Способ неопределенных коэффициентов

Этот способ приближенного решения наиболее удобен для линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Пусть, например, требуется решить уравнение

с начальными условиями

.

Предполагая, что коэффициенты и свободный член разлагаются в ряды по степеням , сходящиеся в некотором интервале , искомое решение

находится в виде степенного ряда

с неопределенными коэффициентами.

При помощи начальных условий находим коэффициенты и . Для нахождения последующих коэффициентов степенной ряд дифференцируем два раза (каков порядок уравнения) и подставляем выражения для функции и ее производных в исходное уравнение, заменив в нем , их разложениями. В результате получаем тождество, из которого методом неопределенных коэффициентов находим недостающие коэффициенты.

Построенный степенной ряд сходится в том же интервале и является решением исходного уравнения.

Пример 3.13. Найти решение уравнения

.

используя метод неопределенных коэффициентов.

Решение. Разложим коэффициенты уравнения и при в степенные ряды

,

.

Решение исходного дифференциального уравнения находим в виде степенного ряда

.

Тогда

,

.

Из начальных условий находим: . Подставляем полученные ряды в дифференциальное уравнение:

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях .



Приближенное вычисление значений функций

Абсолютная и условная сходимость числовых рядов

Знакопеременный ряд называют абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится. Знакопеременный ряд называют условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды занимают особое место: на такие ряды переносятся основные свойства конечных сумм (переместительность, сочетательность, распределительность).

Т.е. абсолютно сходящиеся ряды суммируются, вычитаются как обычные ряды. Суммы таких рядов не зависят от порядка записи членов. В случае условно сходящихся рядов, такие свойства, вообще говоря, не имеют места.

Ряд, членами которого являются функции от , называется функциональным.

.

приближенный интеграл дифференциальный степенной

Придавая определенное значение х₀ мы получаем числовой ряд , который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Если полученный числовой ряд сходится, то точка называется точкой сходимости ряда, если ряд расходится - точкой расходимости. Совокупность числовых значений аргумента , при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости. В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой суммой от :

.

Определяется она в области сходимости ряда равенством

,

Где

- частичная сумма ряда. Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях особая роль принадлежит рядам, членами которых являются степенные функции аргумента , т.е. так называемые степенные ряды.

Действительные или комплексные числа , , …, … называются коэффициентами ряда, а - действительной переменной. Ряд расположен по степеням . Рассматривают такие степенные ряды, расположенные по степеням , т.е. ряд вида

,

где - некоторое постоянное число. Этот ряд легко приводится к первому, если положить

.

Сходимость степенных рядов

Область сходимости степенного ряда содержит, по крайней мере, одну точку: , в которой ряд сходится.

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится при

,

то он абсолютно сходится при всех значениях , удовлетворяющих неравенству

.

Доказательство. По условию ряд

сходится. Следовательно, по необходимому признаку сходимости

.

Отсюда следует, что величина ограничена, т.е. найдется такое число , что для всех выполняется неравенство

, .

Пусть

,

тогда величина

и следовательно,

, ,

т.е. модуль каждого члена ряда не превосходит соответствующего члена сходящегося ряда геометрической прогрессии. Поэтому по признаку сравнения при степенной ряд абсолютно сходящийся.

Следствие. Если ряд (степенной) расходится при , то он расходится и при всех , удовлетворяющих неравенству

|x|>|x₀|.

Интервал и радиус сходимости степенного ряда

Из теоремы Абеля следует, что если есть точка сходимости степенного ряда, то интервал весь состоит из точек сходимости данного ряда при всех значениях вне этого интервала ряд расходится.

Интервал называют интервалом сходимости степенного ряда. Положив

,

интервал сходимости можно записать в виде . Число называется радиусом сходимости степенного ряда, т.е. - это такое число, что при всех , для которых , ряд абсолютно сходится, а при ряд расходится. В частности, когда степенной ряд сходится лишь в одной точке , то считаем, что . Если же степенной ряд сходится при всех значениях , то .

Отметим, что на концах интервала сходимости (при и =-R) сходимость ряда проверяется отдельно.

Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда можно поступить следующим образом. Составим ряд из модулей членов данного степенного ряда и применим к нему признак Даламбера. Допустим, что существует предел

, .

По признаку Даламбера ряд сходится, если

,

т.е. ряд сходится при тех значениях , для которых

.

Ряд, составленный из модулей членов степенного ряда, расходятся при тех значениях , для которых

.

Таким образом, для степенного ряда радиус абсолютной сходимости

(1).

Аналогично, воспользовавшись радикальными признаками, можно установить, что

(2).

Дополнение:

1) Если

,

то можно убедиться, что ряд степенной абсолютно сходится на всей числовой оси. В этом случае .

Если

,

R=0

2) Интервал сходимости степенного ряда по степеням находят их неравенства

и имеет вид .

3) Если степенной ряд содержит не все степени , т.е. задан неполный степенной ряд, то интервал сходимости ряда находят без определения радиуса сходимости в соответствии с формулами (1) и (2), а непосредственно применяя признак Даламбера (или Коши) для ряда, составленного из модулей членов данного ряда.

Пример 1. Найти область сходимости ряда . Воспользуемся формулой (1)

,

следовательно, данный ряд абсолютно сходится на всей числовой оси.

Пример 2. Найти область сходимости ряда . Данный ряд неполный. Воспользуемся признаком Даламбера. Для данного ряда имеем

, . .

Ряд абсолютно сходится, если или . Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости. При имеем ряд , который сходится по признаку Лейбница. При имеем ряд , это тоже сходящийся лейбницевский ряд. Следовательно, областью сходимости исходного ряда является отрезок .

Свойства степенных рядов

1) Сумма степенного ряда является непрерывной функцией в интервале сходимости .

2) Степенные ряды и , имеющие радиусы сходимости соответственно R₁ и R_2, можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности этих рядов не меньше, чем меньшее из чисел R₁ и R_2,.

3) Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать, при этом для ряда

при выполняется равенство

(1)

4) Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости; при этом для степенного ряда при

выполняется равенство

(2).

Ряды (1) и (2) имеют тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд. Свойства степенных рядов широко используются в теоретических исследованиях и приближенных расчетах.

Пусть требуется вычислить значение функции при с заданной точностью . Если функцию в интервале можно разложить в степенной ряд

,

то точное значение равно сумме этого ряда при

,

т.е.

,

а приближенное - частичной сумме , т.е.

Точность этого равенства увеличивается с ростом , абсолютная погрешность этого приближенного равенства равна модулю остатка ряда, т.е.

,

Где

Таким образом, ошибку можно найти, оценив остаток ряда.

Для рядов лейбницевского типа

.

В остальных случаях ряд знакопеременный или знакоположительный составляют ряд из модулей членов ряда и для него стараются найти (подобрать) положительный ряд с большими членами (обычно это сходящийся ряд геометрической прогрессии), который легко бы суммировался и в качестве оценки берут величину остатка этого нового ряда.



Литература

1. Анцупов А.Я., Шипилов А.И. Конфликтология М., 1999

2. Здравомыслов А. Г. Социология конфликта. М., 1995

3. Конфликтология / Под. Ред. А.С. Кармина. СПб., 1999

4. Пряжников Н.С. Профессиональное и личностное самоопределение. Москва. 1996

Размещено на Allbest.ru

...