Варіаційні проблеми та узагальнена оптимізація лінійних систем
Доведення типовості існування розв'язків класів залежних від параметра неопуклих екстремальних задач. Дослідження параболічних, псевдопараболічних і параболічно-гіперболічних систем з різними умовами спряження і сингулярними керуючими впливами.
| Рубрика | Математика |
| Вид | автореферат |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 12.07.2015 |
| Размер файла | 61,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Національна академія наук України
Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова
УДК 517.972 : 517.977 : 517.988 : 517.956
ВАРІАЦІЙНІ ПРОБЛЕМИ ТА УЗАГАЛЬНЕНА ОПТИМІЗАЦІЯ ЛІНІЙНИХ СИСТЕМ
01.05.01 - теоретичні основи інформатики та кібернетики
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
доктора фізико-математичних наук
Семенов Володимир Вікторович
Київ 2010
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана на кафедрі обчислювальної математики факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка
Науковий консультант: член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор Ляшко Сергій Іванович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, факультет кібернетики, завідувач кафедри
Офіційні опоненти: член-кореспондент НАН України, доктор технічних наук, старший науковий співробітник Губарєв В'ячеслав Федорович, Інститут космічних досліджень НАН та НКА України, завідувач відділу
доктор фізико-математичних наук, професор Бєлов Юрій Анатолійович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри
доктор фізико-математичних наук, професор Остапенко Валентин Володимирович, Інститут прикладного системного аналізу НАН та МОН України, завідувач відділу
Захист відбудеться 23 квітня 2010 р. об 11 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.194.02 в Інституті кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України за адресою: 03680, МСП, Київ-187, пр. акад. Глушкова, 40.
З дисертацією можна ознайомитися у науково-технічному архіві Інституту імені В.М. Глушкова НАН України за адресою: 03680, МСП, Київ-187, пр. акад. Глушкова, 40.
Автореферат розісланий 20 березня 2010 р.
Учений секретар спеціалізованої вченої ради О.А. Вагіс
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Якісні дослідження задач оптимізації та моделювання, а та-кож розробка відповідних алгоритмів - традиційні розділи кібернетики, в розвиток яких вагомий внесок в Україні зробили Ю.А.Бєлов, Б.М.Бублик, Ф.Г.Гаращенко, В.Ф.Губарєв, А.М.Гупал, Ю.М.Данилін, В.С.Дейнека, О.І.Єгоров, Ю.М.Єрмольєв, В.О.Капустян, М.Ф.Кириченко, П.С.Кнопов, В.М.Кунцевич, І.І.Ляшко, С.І.Ляшко, В.С.Мельник, В.С.Михалевич, О.Г.Наконечний, В.І.Норкін, В.В.Остапенко, Б.М.Пшеничний, Ю.І.Самойленко, І.В.Сергієнко, В.В.Скопецький, А.О.Чикрій, Н.З.Шор та інші вчені.
В останній час зросла увага до задач оптимізації розподілених систем із узагальненими впливами, які широко використовуються як математичні моделі в приклад-них задачах. Просторово-часова сингулярність ускладнює дослідження моделей класичними методами теорії керування. У 80-х рр. 20 ст. було запропоновано вивчати задачі імпульсної оптимізації грунтуючись на теорії оснащених просторів і методі апріорних оцінок в негативних нормах. Це дозволило створити оригінальну теорію узагальненої оптимізації лінійних систем і розв'язати чимало питань щодо існування оптимальних керувань, керованості систем, побудови необхідних умов оптимальності і чисельних методів. Розвиток, узагальнення цієї теорії та дослідження в її рамках задач узагальненого керування для конкретних систем є актуальними науковими проблемами.
Теорія задач багатокритеріальної оптимізації є одним із розділів сучасної теорії екстремальних задач, який інтенсивно розвивається останнім часом. Важливою ланкою в дослідженні лінійних систем є розвинення теорії задач оптимального керування з векторним критерієм якості та побудова збіжних алгоритмів розв'язання цих задач Відмітимо роботи В.В. Гороховика, П.І. Когута, С.С. Кутателадзе, М.Е. Салуквадзе, J. M. Borwein, Chr. Tammer та ін..
Багато оптимізаційних моделей мають неопуклий характер. Важливий клас не-опуклих задач утворюють задачі максимізації опуклих функціоналів на опуклих множинах. Вже цим задачам властива багатоекстремальність, яка ускладнює розробку алгоритмів пошуку глобального екстремуму Важливі результати отримано Б.М. Пшеничним, О.С. Стрекаловським, J.-B. Hiriart-Urruty та ін. . Для нескінченновимірних задач при традиційних припущеннях теорії керування питання існування оптимальних розв'язків у багатьох випадках теж є проблемою. З іншого боку, наявність опуклої структури часто дозволяє отримати змістовні результати.
Для неопуклих задач оптимізації відомо дуже небагато загальних результатів про існування та єдиність роз'язків. У нескінченновимірному випадку та при відсутності компактності залишається не так вже і багато засобів аналізу. Поширена песимісти-на думка, що в цій ситуації взагалі не варто сподіватись на загальні теореми існування та єдиності. Тому важливим є дослідження типовості існування розв'язків різних класів залежних від параметра неопуклих екстремальних задач C.Б. Стєчкін, С.В. Конягін, В.С. Мельник, Б.Ш. Мордухович, M. Edelstein, E. Asplund, I. Ekeland, G. Lebourg, J. Baranger, K.-S. Lau, J. M. Borwein, D. Preiss, R. Deville, G. Godefroy, V. Zizler, C. Stegall, P. Kenderov та ін. . Незважаючи на велику кількість робіт, в цій галузі існує ще багато нерозв'язаних задач, частина з яких вивчається в даній дисертації.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна ро-бота виконувалась у відповідності до плану наукових досліджень кафедри обчислювальної математики факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка в межах наступних науково-дослідних тем: "Моделювання та оптимізація інформаційних систем", № ДР 0101U002178; "Методи оптимізації некласичних лінійних розподілених систем з узагальненим керуванням", № ДР 0106U004481; "Моделі і методи оптимізації некласичних лінійних розподілених систем", № ДР 0108U010308.
Мета і завдання дослідження. Метою дисертації є розробка наближених методів розв'язання задач оптимізації лінійних розподілених систем з узагальненими впли-вами, а також розв'язання проблем якісного характеру: існування та властивості розв'язків рівнянь стану систем та задач оптимізації в цілому. При цьому конкрет-ними завданнями є:
· доведення типовості існування розв'язків класів залежних від параметра неопуклих екстремальних задач;
· дослідження розв'язності нескінченновимірних задач максимізації опуклих функціоналів і близьких класів задач;
· знаходження узагальненої постановки опуклих екстремальних задач;
· доведення збіжності і стійкості варіантів градієнтних методів для задач узагальненої оптимізації лінійних систем при різних припущеннях про поведінку похибок розв'язання підзадач;
· дослідження задач векторної оптимізації лінійних систем з узагальненим керуванням і побудова відповідних алгоритмів;
· дослідження параболічних, псевдопараболічних і параболічно-гіперболічних систем з різними умовами спряження і сингулярними керуючими впливами;
· узагальнення теореми Вішика-Лакса-Мільграма і дослідження узагальнених розв'язків операторних рівнянь в рівномірних просторах.
Об'єкт дослідження. Задачі оптимізації, у тому числі векторної, лінійних систем з узагальненими впливами; неопуклі задачі оптимізації; опуклі задачі оптимізації в банахових просторах; алгоритми оптимізації систем з розподіленими параметрами.
Предмет дослідження. Коректність задач оптимізації лінійних систем з узагаль-неними впливами; збіжність ітераційних методів оптимізації лінійних систем з уза-гальненими керуваннями; розв'язність нескінченновимірних задач оптимізації; ке-рованість розподілених систем з узагальненими впливами. екстремальний задача спряження параболічний
Методи дослідження. У дисертації використані методи функціонального аналізу, топології, оптимального керування, багатокритеріальної оптимізації, теорії чисель-них методів оптимізації та теорії рівнянь в частинних похідних.
Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати дисертації є но-вими. Одержано нові результати про типовість розв'язності залежних від параметра неопуклих екстремальних задач. Одержано нові теореми існування розв'язків задач максимізації опуклих функціоналів на опуклих обмежених множинах нескінченно-вимірних банахових просторів, зокрема, доведено лінійний варіаційний принцип - узагальнення теореми Лінденштраусса про щільність множини лінійних операторів, що досягають норми. Запропоновано і досліджено конструкцію -розширення по-будови узагальненої постановки опуклих задач мінімізації. Для задач узагальненої оптимізації лінійних систем досліджено збіжність і стійкість декількох нових варіантів градієнтних методів при різних припущеннях про поведінку похибок розв'язання підзадач. Для абстрактної задачі оптимального керування доведено умови глобальної оптимальності. Вперше проведено дослідження задач оптимізації ліній-них систем з узагальненим керуванням і векторним критерієм якості. Для параболічних систем з неоднорідними умовами спряження типу неідеального контакту або з умовами спряження типу зосередженої теплоємності методом апріорних оцінок в негативних нормах доведено існування узагальнених розв'язків. Для псевдопараболічної системи з умовами спряження типу неідеального контакту та для параболічно-гіперболічних моделей одержано теореми існування узагальнених розв'язків та критерії керованості у класах сингулярних керувань. Одержано узагальнення теореми Вішика-Лакса-Мільграма. Вперше досліджено конструкцію узагальнених розв'язків рівнянь з ін'єктивними операторами, що діють в рівномірних просторах.
Практичне значення одержаних результатів. Запропоновані чисельні методи оптимізації систем можуть бути використані для побудови програмних комплексів проектування, розрахунку і керування складними процесами, що зазнають сингуляр-них впливів. Результати роботи знайшли відображення в курсах математичного мо-делювання, чисельних методів і оптимального керування, які читаються на факуль-теті кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.
Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертації одержані автором особисто. У роботах, опублікованих у співавторстві, автору дисертації належить: у монографії [1] - параграфи 4.5 і 5.8, розділ 8; в [4] - означення 1, теореми 1, 2; у статті [5] - постановки задач і теореми 1, 2; в [10] - теореми 2, 3; в [11] - загальна схема дослідження, апріорні оцінки; в [13] - постановка задач, теорема 4 і лема 1; в [14] - постановка задачі, теорема 1; в [15] - алгоритм та ідея доведення теореми 1; в [17] - лема 1, теореми 1, 2; в [19] - розділи 3, 4 і 5; в [21] - алгоритм 1 і теореми 1, 3; в [22] - теорема 1, результати розділів 2, 3 і 4; в [24] - результати розділів, присвя-чених керованості лінійних систем і умовам оптимальності; в [25] - постановка задачі, розділ 3; в [27] - результати розділів 2, 3 і 5; в [30] - результати розділів 2, 3.
У [1] C.І. Ляшку належить розділ 2, параграфи 4.1-4.4, Д.А. Номіровському - роз-діли 3 і 6, параграф 4.6, Ю.І. Петуніну - вступ, розділи 1, 5 і 7. В [4] cпівавторам на-лежать леми 1 і 3. В [5] Р.Я. Апостолу належить ідея доведення теореми 1. В [10] А.А. Гриненко належить приклад, а О.В. Чубенко - теорема 1. В [11] співавторам належить оптимізаційна частина роботи. В [13] М.В. Кацев отримав теорему 5. В [14] співавторам належить теорема 2 і лема. В [15] Лисюку В.М. та іншим належать зауваження і реалізація алгоритмів. В [17] С.В. Денисову належать розділ 1 і теоре-ма 3. В [19] С.В. Денисов отримав результати розділу 2 і написав розділ 1. В [21] співавторам належить теорема 2. В [22] Семенова Н.В. написала розділ 1. В [24] вне-сок С.І. Ляшка полягав у загальному керівництві, Д.А. Номіровський написав роз-діли, присвячені існуванню узагальнених розв'язків параболічних рівнянь. В [25] співавторам належать розділи 1, 2. В [27] С.І. Ляшку належать результати розділів 1, 4. В [30] С.І. Ляшку належать результати розділу 1, інші співавтори приймали участь в обговоренні постановок задач і результатів.
Решта 14 статей написані без співавторів.
Апробація результатів дисертації. Основні положення та результати наукових досліджень, що увійшли до дисертації, доповідались на таких наукових конферен-ціях, симпозіумах та семінарах: конференції «Functional Methods in Approximation Theory, Operator Theory, Stochastic Analysis and Statistics» (Київ, 2001); ІІІ міжнарод-ній конференції «Обчислювальна та прикладна математика» (Київ, 2009); Х міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 2004); конференціях «Математическое программирование и приложения» (Єкатеринбург, 2003 і 2007); міжнародних конференціях «Dynamical systems modelling and stability investigation» (Київ, 2003 і 2009); міжнародному симпозіуму «Питання оптимізації обчислень» (Кацивелі, 2009); міжнародній конференції «Дифференциальные уравнения и топология», присвяченій 100-річчю Л.С. Понтрягіна (Москва, 2008); міжнародних конференціях «Problems of Decision Making under Uncertainties» (Алушта, 2003; Алушта, 2006; Східниця, 2009); міжнародній школі-семінарі «Problems of Decision Making under Uncertainties» (Кам'янець-Подільський, 2009).
Матеріали дисертації доповідалися та обговорювалися на наукових семінарах Київського національного університету імені Тараса Шевченка (керівники - член-кор. НАН України С.І. Ляшко, проф. Ф.Г. Гаращенко, проф. О.Г. Наконечний), Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України (керівник - член-кор. НАН України В.В. Скопецький), Інституту прикладного системного аналізу НАН та МОН України (керівник - проф. В.В. Остапенко).
Публікації. Основні результати дисертації викладено у монографії [1], 29 статтях [2-30], із них 28 - у наукових провідних фахових виданнях, що входять до переліку ВАК України, і 1 - у виданнях інших країн. Результати роботи опубліковано в збірках тез 10 наукових конференцій [31-40].
Структура та обсяг роботи. Робота складається із вступу, 7 розділів, висновків і списку використаних джерел, що містить 369 найменувань. Загальний обсяг дисер-тації - 328 сторінок, основний текст роботи викладено на 290 сторінках.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ
У вступі обґрунтовано актуальність роботи, сформульовано тему, задачі та об'єкт дослідження. Перший розділ присвячено огляду літератури за темою роботи та ви-бору напрямків досліджень.
У другому розділі категорними методами досліджується існування розв'язків деяких класів неопуклих задач, які залежать від параметра, що є елементом повного метричного простору.
У третьому розділі проведено дослідження проблеми існування розв'язків нескінченновимірних задач максимізації опуклих функціоналів на опуклих множинах та ряду близьких питань.
У параграфі 3.4 одержано два нелінійні варіанти теореми Лінденштраусса про щільність множини лінійних операторів, що досягають норми.
У четвертому розділі дисертації запропоновано і досліджено конструкцію узагальненої або слабкої постановки опуклих екстремальних задач.
П'ятий розділ присвячено аналізу чисельних методів оптимізації лінійних роз-поділених систем з узагальненим керуванням. Для задач керування з опуклими та неопуклими допустимими множинами доведено збіжність декількох алгоритмів першого та другого порядків із похибками в ітераційних підзадачах.
У параграфі 5.5 досліджено граничну поведінку мінімізуючих послідовностей допустимих керувань в задачах оптимізації лінійних розподілених систем з узагальненими впливами. Отримано варіаційний принцип, за допомогою якого доведено існування мінімізуючих послідовностей, що задовольняють секвенційний аналог необхідних умов оптимальності другого порядку Секвенційні аналоги умов оптимальності 1-го порядку див. у роботах М.І. Суміна та С.Я. Серовайського..
У шостому розділі для розподілених систем з узагальненими впливами досліджено задачі оптимального керування з векторним критерієм якості. Увагу приділено існуванню ефективних розв'язків, умовам ефективності, побудові і доведенню збіжності наближених методів.
У сьомому розділі досліджується існування та єдиність узагальнених розв'язків граничних задач з умовами спряження для рівнянь параболічного, псевдопараболічного та параболічно-гіперболічного типів з узагальненими функціями скінченного порядку у правих частинах. Мотивацією є аналіз задач траєкторної та фінальної керованості систем, що описуються вказаними граничними задачами і зазнають зосереджених впливів типу імпульсних або точкових. Також отримано узагальнення проекційної теореми Вішика-Лакса-Мільграма і вивчено загальну конструкцію узагальнених розв'язків операторних рівнянь в рівномірних просторах.
ВИСНОВКИ
Дисертація є новим комплексним дослідженням, що розв'язує важливі наукові проблеми якісного аналізу і побудови наближених алгоритмів розв'язання задач оп-тимізації лінійних систем з розподіленими параметрами і сингулярним керуванням.
Основні результати дисертаційного дослідження такі:
1. Нові результати про типовість існування розв'язків залежних від параметра неопуклих екстремальних задач. Зокрема,
· для екстремальних задач з функціоналами , де - функціонал Мінковського замкненого опуклого околу нуля банахова простору , одержано теореми типовості існування розв'язків;
· розглянуто застосування цих результатів для доведення типовості розв'-язності задач векторного оптимального керування лінійними системами;
· для задач векторної оптимізації в метричних просторах отримано новий ва-ріант варіаційного принципу Девілля-Годфруа-Зізлера та теорему про -по-ристість множини нерозв'язних задач.
2. Нові теореми існування розв'язків задач максимізації опуклих функціоналів на опуклих обмежених підмножинах нескінченновимірних банахових просторів. Зокрема,
· доведено лінійний варіаційний принцип; одержано варіант принципу для задач максимізації на підмножинах спряженого банахова простору і для задач векторної максимізації; доведено існування в WCG-просторі, без властивості Радона-Нікодима, задачі опуклої максимізації, для якої не виконується лінійний варіаційний принцип;
· для задачі опуклої максимізації на замкненій кулі банахова простору з властивістю Шахермайєра одержано лінійний варіаційний принцип;
· одержано нелінійні варіанти теореми Лінденштраусса про щільність множи-ни лінійних операторів, що досягають норми;
· одержано теореми існування для задач мінімізації на передопуклих множинах та охарактеризовано клас заданих у рефлексивному банаховому просторі опуклих функціоналів, що досягають супремуму на довільній обмеженій замкненій і опуклій підмножині простору.
3. Теорія узагальненої розв'язності опуклих задач мінімізації. Зокрема,
· запропоновано та досліджено конструкцію -розширення побудови узагальненої або слабкої постановки опуклих задач мінімізації в сепарабельному банаховому просторі;
· отримано «регуляризацію» задачі максимізації опуклого функціоналу на опуклій замкненій обмеженій множині сепарабельного банахова простору; для некоерцитивних екстремальних задач досліджено питання побудови узагальненої постановки.
4. Проведено дослідження методів розв'язання неопуклих задач узагальненої оптимізації лінійних розподілених систем та суміжних питань. Зокрема,
· для задач узагальненої оптимізації лінійних розподілених систем отримано теорему про диференціальні властивості другого порядку;
· доведено збіжність та стійкість варіантів градієнтних методів при різних припущеннях про поведінку похибок розв'язання підзадач;
· для задач узагальненого оптимального керування лінійними системами запропоновано та обґрунтовано два алгоритми з довірчою областю;
· досліджено збіжність і стійкість алгоритмів узагальненої оптимізації ліній-них систем з передопуклими допустимими множинами;
· доведено існування мінімізуючих послідовностей, що задовольняють секвенційний аналог необхідних умов мінімуму другого порядку;
· для абстрактної задачі оптимального керування доведено критерій глобаль-ної оптимальності.
5. Проведено дослідження задач оптимізації лінійних розподілених систем з узагальненим керуванням та векторним критерієм якості. Зокрема,
· доведено теореми існування ефективних розв'язків та теорему про збіжність методу скінченновимірної апроксимації;
· вивчено диференціальні властивості векторного критерію якості та отрима-но необхідні умови ефективності та -апроксимаційної ефективності;
· запропоновано ітераційні алгоритми для розв'язання задач векторної оптимізації лінійних розподілених систем з узагальненим керуванням і доведено збіжність алгоритмів з похибками в ітераційних підзадачах до множини керувань, що задовольняють необхідні умови ефективності.
6. Проведено дослідження існування узагальнених розв'язків деяких моделей математичної фізики з умовами спряження та одержано ряд результатів, важливих для аналізу операторних рівнянь і задач керування. Зокрема,
· для параболічних систем з неоднорідними умовами спряження типу не-ідеального контакту або з умовами спряження типу зосередженої теплоємності методом апріорних оцінок в негативних нормах доведено теореми існування та єдиності узагальнених розв'язків з різних класів;
· для псевдопараболічної системи з умовами спряження типу неідеального контакту одержано оцінки в негативних нормах, доведено теорему існування та єдиності узагальнених розв'язків і критерії траєкторної керованості;
· для параболічно-гіперболічних моделей одержано апріорні оцінки в негативних нормах і досліджено траєкторно-фінальну керованість;
· одержано узагальнення теореми Вішика-Лакса-Мільграма про представлення лінійних неперервних функціоналів та операторів за допомогою заданого білінійного неперервного оператора;
· запропоновано конструкцію побудови узагальнених розв'язків рівнянь з ін'єктивними операторами, що діють у рівномірних просторах.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Ляшко С.И. Двадцатая проблема Гильберта. Обобщенные решения оператор-ных уравнений / С.И. Ляшко, Д.А. Номировский, Ю.И. Петунин, В.В. Семенов. М.: OOO «И.Д. Вильямс», 2009. 192 с.
2. Семенов В.В. О разрешимости задач максимизации в сопряженных пространст-вах / В.В. Семенов // Проблемы управления и информатики, 2009. №2. С. 89-93.
3. Семенов В.В. Выпуклая максимизация и условие Шахермайера / В.В. Семе-нов // Кибернетика и системный анализ, 2009. №2. С. 166-169.
4. Семенов В.В. Варіант принципу Девілля-Годфруа-Зізлера для векторної оптимізації / В.В. Семенов, Р.Я. Апостол, Т.А. Войтова // Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки, вип. 1. 2009. С. 145-148.
5. Апостол Р.Я. Задачі максимізації і умова Лінденштраусса / Р.Я. Апостол, В.В. Семенов // Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки, вип. 4. 2008. С. 169-172.
6. Семенов В.В. Типовість розв'язності деяких задач оптимального керування / В.В. Семенов // Доповіді НАН України, 2008. №8. С. 36-42.
7. Семенов В.В. Проекционная теорема для банаховых и локально выпуклых пространств / В.В. Семенов // Кибернетика и системный анализ, 2008. №5. С. 109-116.
8. Семенов В.В. Типовість розв'язності деяких неопуклих екстремальних задач / В.В. Семенов // Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки, вип. 4. 2007. С. 191-195.
9. Семенов В.В. Узагальнені екстремальні елементи опуклих функціоналів / В.В. Семенов // Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки, вип. 3. 2007. С. 189-193.
10. Гриненко А.А. Мінімізація на передопуклих множинах: існування розв'язків / А.А. Гриненко, В.В. Семенов, О.В. Чубенко // Журнал обчислювальної та прикладної математики, №2 (95). 2007. С. 32-35.
11. Клюшин Д.А. Лагранжово-ейлеровий підхід до розв'язання оберненої задачі конвективної дифузії / Д.А. Клюшин, С.І. Ляшко, В.В. Семенов, К.В. Шевченко // Доповіді НАН України, 2007. №10. С. 38-43.
12. Семенов В.В. Линейный вариационный принцип для выпуклой векторной максимизации / В.В. Семенов // Кибернетика и системный анализ, 2007. №2. С. 105-114.
13. Кацев М.В. Лінійний варіаційний принцип в опуклій максимізації / М.В. Кацев, В.В. Семенов // Доповіді НАН України, 2007. №3. С. 51-58.
14. Ляшко С.И. Замечания о достижимости супремума выпуклым функционалом / С.И. Ляшко, М.В. Кацев, В.В. Семенов // Проблемы управления и информа-тики, 2006. №1. C. 81-86.
15. Лисюк В.M. Метод послідовної квадратичної оптимізації розв'язання задач на передопуклих множинах / В.М. Лисюк, В.В. Семенов, Вік.В.Семенов, Ю.Б. Сорока // Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки, вип. 4. 2006. С. 186-190.
16. Семенов В.В. Про щільність множин лінійних операторів та білінійних форм, що досягають норми / В.В. Семенов // Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки, вип. 3. 2006. С. 255-259.
17. Денисов С.В. Задача сопряжения параболических уравнений. Неидеальный кон-такт / С.В. Денисов, В.В. Семенов // Доповіді НАН України, 2005. №9. С. 14-19.
18. Семенов В.В. Разрешимость параболической задачи сопряжения с условием обобщенного собственного сосредоточенного источника / В.В. Семенов // Диф-ференциальные уравнения, 2005. №6. С. 836-843.
19. Денисов С.В. Оптимизация и обобщенное решение в задачах сопряжения параболических систем / С.В. Денисов, В.В. Семенов // Проблемы управления и информатики, 2005. №1. C. 58-74.
20. Семенов В.В. Обобщенное решение псевдопараболической задачи сопряжения с условием неидеального контакта / В.В. Семенов // Журнал обчислювальної та прикладної математики, №2 (93). 2005. С. 107-115.
21. Клюшин Д.А. Об одном методе точечной оптимизации / Д.А. Клюшин, Н.И. Ляшко, Д.А. Номировский, В.В. Семенов // Журнал обчислювальної та при-кладної математики, №2 (93). 2005. С. 79-84.
22. Семенов В.В. О задаче векторного управления в гильбертовом пространстве / В.В. Семенов, Н.В. Семенова // Кибернетика и системный анализ, 2005. №2. С. 117-130.
23. Семенов В.В. Задача векторной оптимизации линейных распределенных систем с сингулярным управленим / В.В. Семенов // Доповіді НАН України, 2004. №10. С. 74-80.
24. Ляшко С.І. Дослідження лінійних розподілених систем з узагальненим керуванням / С.І. Ляшко, Д.А. Номіровський, В.В. Семенов // Журнал обчислю-вальної та прикладної математики, №2 (91). 2004. С. 31-45.
25. Волощук В.Н. Обобщенная разрешимость граничной задачи для параболико-гиперболических уравнений / В.Н. Волощук, С.В. Денисов, С.Н. Ковтуненко, В.В. Семенов // Журнал обчислювальної та прикладної математики, №1 (90). 2004. С. 25-31.
26. Семенов В.В. Про оптимізацію параболічних систем з умовами спряження / В.В. Семенов // Доповіді НАН України, 2003. №5. С. 58-64.
27. Ляшко С.И. Оптимальное управление и обобщенное решение в параболических системах с условиями сопряжения / С.И. Ляшко, В.В. Семенов // Журнал обчислювальної та прикладної математики, №2 (89). 2003. С. 41-54.
28. Семенов В.В. Про глобально оптимальні керування в нелінійних операторних системах / В.В. Семенов // Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки, вип. 4. 2003. C. 294-296.
29. Семенов В.В. Модификация метода условного градиента для решения экстремальных задач на одном классе невыпуклых множеств / В.В. Семенов // Журнал обчислювальної та прикладної математики, №1 (87). 2002. С. 72-76.
30. Ляшко С.І. До чисельних методів оптимізації розподілених систем з сингулярним керуванням / С.І. Ляшко, В.В. Cеменов, Т.І. Сергієнко, О.Б. Стеля // Вісник Київського університету. Серія: кібернетика, вип. 3. 2002. C. 52-58.
31. Семенов В.В. Секвенціальні аналоги необхідних умов оптимальності другого порядку / В.В. Семенов // Праці міжнародного симпозіуму «Питання оптимізації обчислень (ПОО-ХХХV)», Київ, 2009. Т. 2. С. 283-288.
32. Маліцький Ю.В. До теорії узагальнених розв'язків операторних рівнянь / Ю.В. Ма-ліцький, В.В. Семенов // ІІІ Міжнародна конференція «Обчислювальна та прикладна математика» (присвячена пам'яті академіка НАНУ Івана Івановича Ляшка), Україна, Київ, 11-12 вересня 2009 року, Матеріали конференції, Київ, 2009. С. 52.
33. Семенов В.В. Збіжність методів розв'язання задач векторної оптимізації лінійних розподілених систем / В.В. Семенов // International Conference "Dynamical systems modelling and stability investigation". Thesis of conference reports. Kyiv: 2009. P. 309.
34. Семенов В.В. Алгоритми з довірчими областями для оптимізації лінійних розподіле-них систем з узагальненим керуванням / В.В. Семенов // International Conference "Problems of Decision Making under Uncertainties (PDMU-2009)", Abstracts, April 27-30, 2009, Skhidnytsia, Ukraine. P.168-169.
35. Семенов В.В. Лінійні збурення та еквівалентні перенормування / В.В. Семенов // International Workshop "Problems of Decision Making under Uncertainties (PDMU-2008)", Crimea (Novy Svit), Ukraine, 2008. P.109-110.
36. Рысай Е.М. Типичность разрешимости и обобщенное решение некоторых экстремальных задач / Е.М. Рысай, В.В. Семенов // Дифференциальные уравнения и топология: Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Л.С.Понтрягина: Тезисы докладов. М.: Изд. отдел факультета ВМиК МГУ имени М.В.Ломоносова; МАКС Пресс, 2008. С. 396.
37. Семенов В.В. Линейный вариационный принцип для задачи выпуклой векторной максимизации / В.В. Семенов // Конференция "Математическое программирование и приложения". Информационный бюллетень Ассоциации математического програм-мирования, № 11, Екатеринбург, 2007. C. 257-258.
38. Кацев М.В. О разрешимости задач выпуклой максимизации / М.В. Кацев, Е.М. Рысай, В.В. Семенов // International Conference "Problems of Decision Making under Uncertainties (PDMU-2006)", Alushta, Ukraine, 2006. P. 108-110.
39. Семенов В.В. Оптимальное управление и обобщенное решение в параболических сис-темах с условиями сопряжения / В.В. Семенов // Конференция "Математическое программирование и приложения". Информационный бюллетень Ассоциации матема-тического программирования, № 10, Екатеринбург, 2003. C. 210-211.
40. Семенов В.В. О глобально оптимальных управлениях в нелинейных операторных системах / В.В. Семенов // International Conference "Problems of Decision Making under Uncertainties (PDMU-2003)", Alushta, Ukraine, 2003. C. 156-157.
АНОТАЦІЯ
СЕМЕНОВ В.В. Варіаційні проблеми та узагальнена оптимізація лінійних систем. - Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.01 - теоретичні основи інформатики та кібернетики. - Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, Київ, 2010.
Одержано нові результати про типовість існування розв'язків залежних від пара-метра неопуклих екстремальних задач. Для задач векторної оптимізації в метричних просторах отримано новий варіант варіаційного принципу Девілля-Годфруа-Зізлера. Одержано нові теореми існування розв'язків задач максимізації опуклих функціоналів на опуклих обмежених підмножинах нескінченновимірних банахових просто-рів. Розроблено теорію узагальненої розв'язності опуклих задач мінімізації. Проведено дослідження розроблених чисельних методів розв'язання неопуклих задач узагальненої оптимізації лінійних розподілених систем. Розвинуто теорію чисельного та аналітичного аналізу задач оптимізації лінійних розподілених систем з узагальненим керуванням та векторним критерієм якості. Проведено дослідження існування узагальнених розв'язків і керованості параболічних, псевдопараболічних і параболічно-гіперболічних моделей з умовами спряження. Одержано узагальнення теореми Вішика-Лакса-Мільграма та запропоновано теорію узагальнених розв'язків рівнянь з операторами, що діють в рівномірних просторах.
Ключові слова: типовість, екстремальна задача, узагальнений розв'язок, чисельні методи, векторна оптимізація, апріорні нерівності, умови спряження, керованість.
АННОТАЦИЯ
СЕМЕНОВ В.В. Вариационные проблемы и обобщенная оптимизация линейных систем. - Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.05.01 - теоретические основы информатики и киберне-тики. - Институт кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины, Киев, 2010.
Целью диссертации является разработка приближенных методов для задач опти-мизации линейных распределенных систем с обобщенными воздействиями, а также анализ проблем качественного характера: существование и свойства решений урав-нений состояния систем и задач оптимизации в целом. Конкретными задачами яв-ляются: исследование типичности (в смысле категории Бэра) существования реше-ний зависящих от параметра невыпуклых экстремальных задач; исследование раз-решимости бесконечномерных задач выпуклой максимизации и близких задач; построение теории обобщенной разрешимости выпуклых экстремальных задач; изу-чение сходимости и устойчивости градиентных методов для задач обобщенной оп-тимизации линейных распределенных систем при наличии ошибок решения под-задач; развитие теории векторной оптимизации линейных распределенных систем с обобщенным управленим и построение соответствующих алгоритмов; исследование параболических, псевдопараболических и параболическо-гиперболических систем с различными условиями сопряжения и сингулярными управляющими воздействия-ми; развитие теории обобщенной разрешимости операторных уравнений.
Диссертационное исследование проводилось с использованием: методов функци-онального анализа, топологии, теории уравнений в частных производных, теории оптимального управления, теории многокритериальной оптимизации и теории численных методов оптимизации.
Доказаны теоремы типичности разрешимости экстремальных задач для функцио-налов вида , где - функционал Минковского замкнутой выпуклой окрестности нуля банахова пространства. Для задач векторной оптимизации в ме-трических пространствах получен вариант вариационного принципа Девилля-Год-фруа-Зизлера и доказана теорема о -пористости множества неразрешимых задач.
Получены новые теоремы разрешимости задач максимизации выпуклых функцио-налов на выпуклых ограниченных подмножествах бесконечномерных банаховых пространств, в частности, доказан линейный вариационный принцип - обобщение теоремы Линденштраусса о плотности множества достигающих нормы линейных операторов. Получен вариант принципа для задач векторной максимизации.
При помощи предложенной в работе конструкции -расширения построена тео-рия обобщенной разрешимости выпуклых задач минимизации в сепарабельных ба-наховых пространствах. Для некоэрцитивных невыпуклых задач минимизации изу-чен вопрос возможности построения разрешимых -расширений.
В рамках предложенных С.И. Ляшко постановок проведено исследование методов решения невыпуклых задач обобщенной оптимизации линейных распределенных систем. Изучены задачи с предвыпуклыми множествами допустимых управлений. В диссертации получен новый вариационный принцип, позволивший доказать существование минимизирующих последовательностей, удовлетворяющих секвенциальный аналог необходимых условий минимума 2-го порядка. Для абстрактной задачи оптимального управления, используя методику А.С. Стрекаловского, доказаны условия глобальной оптимальности.
Проведено исследование задач оптимизации линейных распределенных систем с обобщенным управленим и векторным критерием качества. Доказаны теоремы су-ществования эффективных решений и условия эффективности. Для -аппро-ксимационно эффективных решений получены необходимые условия -аппроксимационной эффективности. Доказана сходимость метода конечномерной ап-проксимации. Предложены и обоснованы итерационные методы решения задач век-торной оптимизации линейных распределенных систем с обобщенным управленим.
При помощи априорных оценок в негативних нормах получены теоремы сущест-вования и единственности для следующих моделей: параболических с неоднородными условиями сопряжения типа неидеального контакта и с условиями сопряжения типа сосредоточенной теплоемкости; псевдопараболических систем с условиями со-пряжения типа неидеального контакта; параболическо-гиперболических систем. Это позволило сформулировать и доказать теоремы управляемости в классах обобщен-ных воздействий (импульсных, точечных).
Получены обобщения теоремы Вишика-Лакса-Мильграма о представлении линей-ных непрервных функционалов и операторов при помощи билинейного непрерыв-ного оператора.
Предложена теория обобщенных решений уравнений с операторами, действую-щими в равномерных пространствах.
Ключевые слова: типичность, экстремальная задача, обобщенное решение, чис-ленные методы, векторная оптимизация, априорные неравенства, условия сопряже-ния, управляемость.
SUMMARY
SEMENOV V.V. Variational problems and generalized optimization of linear systems. - Manuscript.
Thesis for a doctor's degree of physics and mathematics by speciality 01.05.01 - theoretical bases of informatics and cybernetics. - V.M. Glushkov Institute of Cybernetics of NAS of Ukraine, Kyiv, 2010.
New results about genericity of solvability nonconvex extremal problems which depend on parameters are obtained. The new variant of Deville-Godefroy-Zizler variational prin-ciple for vector optimization problems in metric spaces is proved. New solvability theo-rems for convex functionals maximization on convex bounded subsets of infinitedimen-sional Banach spaces are obtained. A theory of generalized solvability for convex minimi-zation problems is developed. Numerical algorithms of solving of nonconvex linear distributed systems generalized optimization problems are offered and investigated. A theory for numerical and analytical analysis of vector optimization problems of linear distributed systems with singular controls is developed. Generalized solutions existence and controllability properties of the parabolic, pseudoparabolic and parabolic-hyperbolic models with the interface conditions are investigated. Generalization of Vishik-Lax-Milgram theorem is obtained. An approach for generalized solvability of operator equations in uniform spaces is offered.
Key words: genericity, extremal problem, generalized solution, numerical algorithms, vector optimization, a priori inequalities, interface conditions, controllability.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса. Еквівалентні перетворення системи, їх виконання як елемент методів розв’язування системи рівнянь. Базисні та вільні змінні. Лінійна та фундаментальна комбінації розв’язків, таблиці коефіцієнтів.
контрольная работа [170,2 K], добавлен 16.05.2010Сумісність лінійних алгебраїчних рівнянь. Найвищий порядок відмінних від нуля мінорів матриці. Детермінант квадратної матриці. Фундаментальна система розв’язків та загальний розв'язок системи лінійних однорідних рівнянь. Приклади розв’язання завдань.
курсовая работа [86,0 K], добавлен 15.09.2008Умова існування цілих розв’язків лінійних діофантових рівнянь, алгоритм Евкліда. Розв’язування лінійних рівнянь з двома змінними в цілих числах. Методика вивчення діофантових рівнянь в загальноосвітніх школах. Діофантові рівняння вищих порядків.
курсовая работа [758,4 K], добавлен 15.05.2019Обчислення меж гіперболічних функцій та замінна змінного. Порівняння гіперболічних і зворотних до них функцій. Диференціювання зворотних гіперболічних функцій, невизначений інтеграл. Розкладання гіперболічних функцій по формулах Тейлора та Маклорена.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 11.02.2011Застосування методу Гауса (або методу послідовного виключення невідомих) для розв'язання систем лінійних рівнянь. Економний спосіб запису за допомогою компактної схеми Гауса. Алгоритм знаходження рангу матриці, метод Гауса з вибором головного елемента.
курсовая работа [879,9 K], добавлен 02.10.2010Класифікація та типи чисельних методів розв’язування систем лінійних рівнянь і обернення звернення матриць точні, ітераційні та комбіновані. Їх порівняльна характеристика та умови використання в окремих випадках. Вектори та операції над ними, норми.
презентация [85,6 K], добавлен 06.02.2014Максимуми і мінімуми в природі (оптика). Завдання на оптимізацію. Варіаційні методи розв’язання екстремальних задач. Найбільш відомі екстремальні задачі в геометрії: задача Дідони, Евкліда, Архімеда, Фаньяно, Ферма-Торрічеллі-Штейнера та Штейнера.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 12.09.2014Поняття приватного інтеграла. Побудова квадратичних двовимірних стаціонарних систем із приватним інтегралом у вигляді параболи, окружності або гіперболи. Умови існування в системи двох часток інтегралів. Якісне дослідження побудованих класів систем.
дипломная работа [290,0 K], добавлен 14.01.2011Поняття математичного моделювання. Форми завдання моделей: інваріантна; алгоритмічна; графічна (схематична); аналітична. Метод ітерацій для розв’язку систем лінійних рівнянь, блок-схема. Інструкція до користування програмою, контрольні приклади.
курсовая работа [128,6 K], добавлен 24.04.2011Лінійні діофантові рівняння. Невизначені рівняння вищих порядків. Невизначене рівняння Ферма. Приклади розв’язання лінійних діофантових рівнянь та системи лінійних діофантових рівнянь. Алгоритми знаходження всіх цілочисельних розв’язків рівнянь.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 29.12.2010Історія створення теорії алгебраїчних рівнянь. Сутність системи лінійних алгебраїчних рівнянь в лінійній алгебрі. Повна характеристика методів розв'язання рівнянь: точні, ітераційні та ймовірнісні. Особливості теорем Гауса-Жордана та Габріеля Крамера.
реферат [543,7 K], добавлен 23.04.2015Визначення системи лінійних рівнянь та її розв’язання. Поняття рангу матриці, правило Крамера та види перетворень з матрицею. Способи знайдення оберненої матриці А–1 до невиродженої матриці А. Контрольні запитання та приклади розв’язування задач.
задача [73,5 K], добавлен 25.03.2011Задача Коші і крайова задача. Двоточкова крайова задача для диференціального рівняння другого порядку. Види граничних умов. Метод, заснований на заміні розв’язку крайової задачі розв’язком декількох задач Коші. Розв'язування систем нелінійних рівнянь.
презентация [86,2 K], добавлен 06.02.2014Означення і основні властивості інтеграла Стілтьєса, його зв’язок, особливості і відмінності від інших визначених інтегралів і загальні умови існування. Приклади застосування інтеграла для розв’язку різних класів задач. Узагальнення інтегралу Рімана.
курсовая работа [370,2 K], добавлен 21.05.2009Поняття математичної та арифметичної задачі, ступені у навчанні розв’язування. Аналіз системи математичних задач, які вивчаються в початкових класах. Математична задача як засіб активізації учіння. Індивідуальний підхід до дитини і диференціація завдань.
курсовая работа [46,9 K], добавлен 25.12.2014Основні поняття поворотної симетрії. Означення, задання та властивості повороту площини. Формула повороту площини в координатах. Поворотна симетрія в природі. Розв'язання задач з геометрії за допомогою повороту (на обчислення, на побудову, на доведення).
курсовая работа [2,6 M], добавлен 02.11.2013Теоретичні основи розв’язування рівнянь з параметрами. Функція пряма пропорційність. Загальне поняття про аналітичний та графічний метод. Дробово-раціональні рівняння з параметрами, що зводяться до лінійних. Система розв’язування задач для 9 класу.
курсовая работа [596,8 K], добавлен 21.03.2013Метод простої ітерації Якобі і метод Зейделя. Необхідна і достатня умова збіжності методу простої ітерації для розв’язання системи лінейних рівнянь. Оцінка похибки. Діагональне домінування матриці як умова збіжності ітерації. Основні переваги цих методів.
презентация [79,9 K], добавлен 06.02.2014Дослідження історії виникнення та розвитку координатно-векторного методу навчання розв'язування задач. Розкриття змісту даного методу, розгляд основних формул. Розв'язання факультативних стереометричних задач з використанням координатно-векторного методу.
курсовая работа [2,5 M], добавлен 10.04.2011Вивчення теоретичних положень про симетричні многочлени і їх властивості: загальне поняття і характеристика властивостей. Математичне вживання симетричних многочленів: розв'язування систем рівнянь, доведення тотожності, звільнення від ірраціональності.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 04.04.2011
