Вiльнi напiвгрупи та групи, що породжуються функцiональними перетвореннями

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦIОНАЛЬНИЙ УНIВЕРСИТЕТ

IМЕНI ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

УДК 512.53/54

01.01.06 - алгебра i теорiя чисел

АВТОРЕФЕРАТ

дисертацiї на здобуття наукового ступеня

кандидата фiзико-математичних наук

ВIЛЬНI НАПIВГРУПИ ТА ГРУПИ, ЩО ПОРОДЖУЮТЬСЯ ФУНКЦIОНАЛЬНИМИ ПЕРЕТВОРЕННЯМИ

Сумарюк Михайло Iллiч

Київ - 2 0 10



Дисертацiєю є рукопис

Робота виконана на кафедрi алгебри та математичної логiки Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка.

Науковий керiвник доктор фiзико-математичних наук, професор ОВСIЄНКО Сергiй Адамович,

Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка, професор кафедри алгебри та математичної логiки.

Офiцiйнi опоненти: доктор фiзико-математичних наук, професор СЕМКО Микола Миколайович, Нацiональний унiверситет державної податкової служби України, завiдувач кафедри вищої математики, професор;

кандидат фiзико-математичних наук ДЯЧЕНКО Сергiй Миколайович, старший викладач кафедри математики Нацiонального унiверситету "Києво-Могилянська академiя".

Захист вiдбудеться 22 березня 2010 року о 14 годинi на засiданнi спецiалiзованої вченої ради Д 26.001.18 при Київському нацiональному унiверситетi iменi Тараса Шевченка за адресою: 03127, м. Київ, проспект акад. Глушкова, 2, корпус 7, механiко-математичний факультет.

З дисертацiєю можна ознайомитись у бiблiотецi Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка за адресою: 01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розiсланий “12» лютого 2010 року

Вчений секретар спецiалiзованої вченої ради ПЛАХОТНИК В.В.



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. У теорiї вiльних напiвгруп та вiльних груп важливою є задача побудови конкретних зображень за допомогою рiзноманiтних алгебро-комбiнаторних об'єктiв. Добре вiдомi, наприклад, зображення Магнуса вiльної групи скiнченного рангу формальними степеневими рядами вiд некомутативних змiнних за допомогою якого охарактеризовано її нижнiй центральний ряд [. Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. Пер. с англ. - М.: Наука, 1979. - 456с.], матричне зображення Санова невиродженими цiлочисельними матрицями другого порядку [. Санов И.Н. Свойство одного представления свободной группы // Докл. АН СССР. - 1947. - 57. - С. 657-659.], яке дозволило встановити, що вiльнi групи апроксимуються скiнченними -групами для довiльного простого числа , також побудованi зображення вiльних груп у вiнцевих добутках [. Олiйник А.С. Вiльнi групи автоматних пiдстановок // Доп. НАН України. - 1998. - №7. - С. 40-44.], зображення унiтрикутними матрицями нескiнченного порядку над полем iз двох елементiв [. Олийнык А.С., Сущанский В.И. Свободная группа бесконечных унитреугольных матриц // Мат. заметки. - 2000. - 67, №3, - С. 386-391.], зображення вiльних напiвгруп автоматними перетвореннями [. Олийник А.С. О свободных полугруппах автоматных преобразований // Матем. заметки. - 1998. - 63. - С. 248-259] i т. iн., якi нинi широко використовуються у рiзноманiтних роздiлах сучасної алгебри i на даному етапi iнтерес до таких конструкцiй неухильно зростає.

Як вiдомо, вiльна група (напiвгрупа) рангу 2 мiстить iзоморфну копiю будь-якої вiльної групи (напiвгрупи) скiнченного або злiченного рангу. Тому, якщо обмежитися розглядом лише злiченних вiльних груп (напiвгруп), то, як правило, будують зображення вiльних 2-породжених алгебраїчних конструкцiй, тобто будують зображення вiльної групи (напiвгрупи) з двоелементною вiльною базою. Однак, у той же час Бахмут i Мочiзукi [. Bachmuth S., Mochizuki H.Y. Triples of matrices which generate free groups // Proc. Amer. Math. Soc. - 1976. - 59. - P.25-28.] розглядають питання про знаходження вiльних пiдгруп рангу бiльшого, нiж 2 у лiнiйнiй групi матриць другого порядку над полем комплексних чисел , що не мiстяться у вiльних пiдгрупах рангу 2.

Серед усiх зображень вiльних алгебраїчних структур тими чи iншими об'єктами, видiляються зображення певними функцiями над полями нульової характеристики. Задача про побудову таких зображень виникла ще у першiй половинi ХХ столiття. Зокрема, у 1949 роцi Б. Нейман довiв [. Neumann B.H. On ordered groups // Amer. J. Math. - 1949. - 71, №1-2. - P. 1-18.], що у групi всiх дiйсних монотонних функцiй над iснує вiльна пiдгрупа континуального рангу. Доведення результату цiєї статтi є громiздким i складним, яке не дало змогу побудувати конкретнi зображення вiльних груп монотонними функцiями. Це зумовило дослiдникiв до знаходження саме таких конкретних зображень, щоб певним чином спростувати доведення, яке запропоноване Б. Нейманом.

Х. Фрiдманом було висловлено гiпотезу, що напевно, перетворення дiйсного поля та породжують вiльну групу i ця гiпотеза отримала назву проблеми Фрiдмана, розв'язанням якої займався Г. Цассенхауз [. Zassenhaus H. On a problem Harvey Friedman // Comm. Algebra. - 1978. - 6. - P. 1629-1634.]. Однак, як зазначає С. Уайт [. White S. The group generated by and is free // Journal of Algebra. - 1988. - 118. - P. 408-422.], що розв'язання проблеми Фрiдмана, яке наводиться Г. Цассенхаузом, є неповним. У свою чергу С. Уайт доводить, що перетворення дiйсного поля та , де - деяке фiксоване просте число, вiльно породжують вiльну групу, звiдки при значеннi випливає позитивна вiдповiдь стосовно проблеми Фрiдмана. Це було першим конкретним зображенням вiльної групи рангу 2 дiйсними монотонними функцiями над полем дiйсних чисел , яке супроводжувалося повним доведенням. Однак, доведення С. Уайта також є громiздким i опирається на декiлька складних теорем теорiї полiв та алгебраїчної геометрiї. Пiзнiше С. Коеном було отримано бiльш загальнiший результат, який формулюється таким чином [. Cohen S.D. The group of translations and positive rational powers is free // Quart. J.Math. Oxford. - 1995. - 46, №2. -- P. 21-93.]: перетворення дiйсного або комплексного поля та , де - довiльне фiксоване непарне натуральне число у випадку дiйсного поля та довiльне фiксоване натуральне число у випадку комплексного поля , вiльно породжують вiльну групу.

К. Беннет [. Bennett C.D. Explicit free subgroups of // Proc. Amer. Math. Soc. - 1997. - 125, №5. - P. 1305-1308.] наводить значно простiше розв'язання задачi про побудову конкретних зображень вiльних груп дiйсними монотонними функцiями i вказує конкретнi аналiтичнi задання набору дiйсних монотонних функцiй, якi породжують вiльну групу рангу . Хоча вказанi К. Беннетом функцiї мають дещо складнiше задання, нiж тi функцiї, що запропонованi С. Уайтом та С. Коеном, бiльш того, функцiї К. Беннета не вiдносяться до класу елементарних функцiй.

Одним iз фундаментальних результатiв теорiї вiльних груп одержаний у роботi Тiтса [. Tits J. Free subgroups in linear groups // Journal of Algebra. - 1972. - 20. - P. 1-18.], який вiдомий пiд назвою альтернатива Тiтса i формулюється у такому виглядi: над полем характеристики 0 довiльна лiнiйна група або мiстить неабелеву вiльну пiдгрупу, або в неї є розв'язна пiдгрупа скiнченного iндексу.

Цей результат був певним поштовхом у напрямку дослiдження не тiльки окремих зображень вiльної групи (напiвгрупи), а поведiнки множини вiльних пiдгруп (пiднапiвгруп) тiєї чи iншої групи (напiвгрупи). У зв'язку з цим з'явилася серiя результатiв, у яких стверджується, що у тому або iншому сенсi, ``бiльшiсть'' пiдгруп (пiднапiвгруп) даної групи (напiвгрупи) є вiльними. У якому розумiннi тут вживається слово ``бiльшiсть''?

По-перше, ``бiльшiсть'' може розглядатися у розумiннi мiри. А саме, на данiй групi (напiвгрупi) вводиться деяка мiра, вона розповсюджується на -й () декартiв степiнь цiєї групи (напiвгрупи) i доводиться, що множина тих елементiв цього степеня, компоненти яких породжують не вiльну групу, має мiру 0. Зокрема, Д. Епштейн довiв [. Epstein D. Almost all subgroups of a Lie group are free // Journal of Algebra. - 1988. - 118. - P. 408-422.], що вiдносно мiри Хаара ''бiльшiсть'' скiнченно породжених пiдгруп зв'язної скiнченновимiрної нерозв'язної групи Лi вiльнi.

По друге, - у категорному розумiннi. На групi (напiвгрупi), як на множинi елементiв, будується певна топологiчна структура, наприклад, породжена деякою метрикою. Тодi ця топологiя поширюється на довiльний скiнченний степiнь утвореного топологiчного простору. Тепер розглядається множина тих кортежiв цього степеня, компоненти яких вiльну групу (напiвгрупу) не породжують i доводиться, що така множина є множиною першої категорiї Бера, тобто її можна отримати як не бiльш, нiж злiченне об'єднання нiде не щiльних (мiзерних) множин, а доповнення цiєї множини є вiдповiдно множиною другої категорiї Бера. Якщо ж це доповнення є щiльним у цьому декартовому степенi, то можна говорити про ``всюдисущiсть'' вiльних груп (напiвгруп) серед скiнченно породжених пiдгруп (пiднапiвгруп) даної групи (напiвгрупи).

Наприклад, Д. Дiксон [. Dixon J.D. Most finitely generated permutation groups are free // Bull. London Math. Soc. - 1990. - 22. - P. 222-226.] розглянув у симетричнiй групi пiдстановок нескiнченного степеня метрику, вiдносно якої двi рiзнi пiдстановки знаходяться на вiдстанi тодi i тiльки тодi, коли - найменше таке натуральне число, що його образи або прообрази вiдносно цих пiдстановок є рiзними. Тодi, у розумiннi категорiї, ``бiльшiсть'' скiнченно породжених пiдгруп є вiльнi. Вiдомо, що ``бiльшiсть'' -породжених () пiднапiвгруп напiвгрупи скiнченно автоматних пiдстановок є вiльними напiвгрупами рангу у категорному розумiннi Бера; також у цьому розумiннi ``бiльшiсть'' -породжених пiднапiвгруп метабелевої групи додатно-орiєнтованих рухiв площини, якi є перетвореннями iзометрiї (тобто зберiгають вiддаль мiж точками площини), вiльнi [. Vorobets Ya. On faithful actions of groups and semigroups by orientation-preserving plane isometries // Algebra and Discrete Mathematics. - 2003. - 4. - P. 118-125.]. Нарештi, М. Бхатачаржи показала [Bhattacharjee M. The ubiquity of free subgroups in certain inverse limits of groups // Journal of Algebra. -- 1995. -- 172. -- P. 134-146.], що ``бiльшiсть'' скiнченно породжених пiдгруп вiнцевих добуткiв за нескiнченними послiдовностями нетривiальних груп є вiльними як у категорному розумiннi, так i в розумiннi мiри.

Отже, конкретнi зображення вiльних напiвгруп та вiльних груп тими чи iншими алгебро-комбiнаторними об'єктами, часто використовуються при доведеннi деяких характерних властивостей даних вiльних алгебраїчних конструкцiй. Часто такi властивостi мають абстрактний характер i не залежать вiд природи самих елементiв. Тому будуються найрiзноманiтнiшi зображення однiєї i тiєї ж вiльної групи чи вiльної напiвгрупи, якi використовуються при встановленнi вiдповiдних властивостей.

Вiдмiтимо, що задача про побудову конкретних зображень вiльних груп елементарними функцiями, є однiєю з найперших задач в теорiї вiльних груп. А спецiально зображення вiльних напiвгруп елементарними функцiями, не розглядалося взагалi. Це пов'язано з тим, що методи дослiджень, якi використовуються, а це часто методи алгебри, топологiї, теорiї полiв, алгебраїчної геометрiї i т. iн., приводять до громiздких i неконструктивних доведень. Також невiдомi результати, якi б описували вiльнi напiвгрупи (групи) дещо у загальному виглядi - використовуючи лише функцiональнi властивостi їх вiльних породжуючих елементiв. У зв'язку з цим виникає потреба розробки таких пiдходiв до розв'язання задач, поставлених як багато рокiв тому, так i задач, що виникають на сучасному етапi розвитку алгебри, якi були б бiльш наочними i простими у застосуваннi.

У дисертацiйнiй роботi дослiджуються вiльнi напiвгрупи та групи, що породжуються функцiями дiйсної або комплексної змiнної, з рiзними функцiональними властивостями та способами їх задання. Встановлюються достатнi умови аналiтичного характеру, при виконаннi яких напiгрупа чи група, породжена певним типом функцiональних перетворень буде вiльною. Зокрема, будуються окремi зображення вiльних 2-породжених напiвгруп тими чи iншими функцiями та зображення вiльної групи злiченного рангу дiйсними елементарними та строго монотонними функцiями; дослiджується множина вiльних -породжених () пiднапiвгруп метабелевої групи цiлих лiнiйних перетворень числових полiв, яка порiвнюється у категорному розумiннi Бера з сукупнiстю її -породжених пiднапiвгруп, якi не є вiльними; вивчаються вiльнi напiвгрупи, породженi найпростiшими елементарними функцiями: лiнiйними, дробово- та кусково-лiнiйними перетвореннями числових полiв, областей та iнших числових множин; вивчаються вiльнi напiвгрупи аналiтичних функцiй, що розкладаються у степеневi ряди певного вигляду i, в окремому випадку, вiльнi напiвгрупи полiномiв натурального степеня, а також вiльнi напiвгрупи та групи, породженi функцiями з певними умовами щодо їх гладкостi на заданiй областi визначення такими, як неперервнiсть, диференцiйовнiсть тощо.

Мета роботи. Метою дисертацiйної роботи є:

- розвинути технiчний апарат дослiдження вiльних напiвгруп та вiльних груп, що породжуються функцiями дiйсної або комплексної змiнної;

- порiвняти у категорному розумiннi Бера множину всiх вiльних -породжених () пiднапiвгруп метабелевої групи цiлих лiнiйних перетворень числових полiв, з множиною її -породжених пiднапiвгруп, якi не є вiльними;

- навести простi достатнi умови аналiтичного характеру при виконаннi яких напiвгрупи (групи), породженi певними, найбiльш уживаними типами функцiй з рiзноманiтними функцiональними властивостями та способами їх задання, будуть вiльними напiвгрупами (групами) з вiдповiдною вiльною функцiональною базою;

- проiлюструвати застосування цих умов у конкретних випадках, зокрема, навести просте розв'язання задачi про побудову конкретного зображення вiльної групи, породженої дiйсними монотонними елементарними функцiями.

Об'єктом дослiджень є напiвгрупи та групи, що породжуються функцiональними перетвореннями. Предметом дослiджень є нерозв'язанi задачi теорiї вiльних функцiональних напiвгруп та груп.

Методи дослiджень. У дисертацiйнiй роботi використовуються методи комбiнаторної теорiї напiвгруп та груп, топологiї та геометрiї, теорiї функцiй дiйсної та комплексної змiнної.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертацiї пов'язана з науковими дослiдженнями, якi проводяться на кафедрi алгебри та математичної логiки механiко-математичного факультету Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка.

Наукова новизна. У дисертацiйнiй роботi отримано такi новi результати:

- доводиться, що множина усiх вiльних -породжених () пiднапiвгруп метабелевої групи цiлих лiнiйних перетворень у випадку злiченних числових полiв є множиною першої категорiї Бера (теорема 2.4), а у випадку незлiченних числових полiв вiдповiдно множиною другої категорiї Бера (теорема 2.7);

- встановлено, що у категорному розумiннi ``бiльшiсть'' -породжених пiднапiвгруп напiвгрупи цiлих лiнiйних перетворень незлiченних числових полiв є вiльними (теорема 2.9);

- наведено ряд тверджень аналiтичного характеру, якi дають достатнi умови вiльностi напiвгруп та груп, що породжуються функцiями дiйсної або комплексної змiнної (теореми 2.1, 2.2, 3.1, 3.2, 4.1, 4.4, 4.6);

- побудовано конкретнi зображення вiльних напiвгруп та груп функцiями дiйсної або комплексної змiнної (леми 2.2, 2.3, 3.8, теореми 3.3, 4.2, 4.3, 4.5, 4.7, 4.8 та наслiдок 4.1); при цьому запропоновано безпосереднє доведення вiльностi напiвгрупи Коена-Уайта, що породжується перетвореннями дiйсного або комплексного поля та , узагальнивши показник на випадок довiльного фiксованого натурального числа такого, що (наслiдок 4.1);

- наводиться найпростiше розв'язання задачi про побудову конкретного зображення вiльної групи злiченного рангу строго монотонними елементарними функцiями над дiйсним полем (теорема 4.8);

- за допомогою функцiонально-геометричних методiв описано множину двох породжуючих елементiв для вiльної пiднапiвгрупи групи пiдстановок нескiнченного степеня (лема 3.9 та теорема 3.2) i побудовано конкретне зображення такої напiвгрупи.

Теоретична i практична цiннiсть дисертацiї. Результати дисертацiйної роботи мають теоретичне значення; вони є певним внеском у комбiнаторну теорiю напiвгруп та груп. Побудованi зображення вiльних алгебраїчних структур функцiями дiйсної або комплексної змiнної та розроблена технiка дослiджень, може бути використана при розв'язаннi аналiтичних задач теорiї напiвгруп та груп, а можливо, деяких узагальнень до бiльш складнiших алгебро-комбiнаторних конструкцiй. Всi науковi положення i висновки дисертацiї є цiлком обгрунтованими i достовiрними.

Апробацiя роботи. Результати дисертацiї апробувалися на мiжнароднiй конференцiї, присвяченiй 100-рiччю М.М. Боголюбова та 70-рiччю М.I. Нагнибiди у Чернiвцях, на 7-й мiжнароднiй алгебраїчнiй конференцiї в Українi, на Українському математичному конгресi до 100-рiччя М.М. Боголюбова. Крiм того, вони доповiдалися на науковому семiнарi "Методи алгебри та аналiзу в сучаснiй математицi" у Чернiвцях (керiвник -- проф. Р.I. Григорчук), наукових семiнарах факультету прикладної математики Чернiвецького нацiонального унiверситету iменi Ю. Федьковича та науковому семiнарi кафедри алгебри та математичної логiки Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка.

Публiкацiї. Основнi результати дисертацiї опублiкованi в 6 наукових працях [18-23], з них 3 - у збiрниках наукових праць, 3 - у тезах конференцiй. Серед публiкацiй 3 працi опублiкованi у наукових фахових виданнях з перелiку ВАК України.

Особистий внесок дисертанта. Всi результати, включенi в дисертацiю, отриманi автором самостiйно.

Структура i об'єм роботи. Дисертацiйна робота складається iз вступу, перелiку основних умовних позначень, чотирьох роздiлiв роздiлених на 12 пунктiв, а деякi з них мають пiдпункти та списку використаних джерел, який мiстить 40 найменувань. Повний об'єм роботи складає 118 аркушiв. Iз них 115 сторiнок основного тексту та 3 сторiнки перелiку використаних джерел.

Основний змiст дисертацiї. У вступi обгрунтовується актуальнiсть теми дослiдження, ставляться мета i завдання дослiдження, вказується на зв'язок дисертацiї з науковою темою кафедри, де вона виконувалася, вiдзначається їх новизна, практичне значення i апробацiя.

У першому роздiлi розглядаються необхiднi допомiжнi вiдомостi, якi потрiбнi для роботи. У п. 1.1 розглядається поняття вiльної групи та вiльної напiвгрупи, формулюються допомiжнi твердження, якi описують данi структури. У п. 1.2, який у свою чергу подiляється на окремi пп. 1.2.1-1.2.7, наводяться вiдомi зображення вiльних груп та вiльних напiвгруп тими чи iншими алгебро-комбiнаторними об'єктами. У п. 1.3 описується загальна конструкцiя вiльної групи та вiльної напiвгрупи, якi породжуються системою функцiй виду , iндексованих множиною i заданих на - деякiй пiдмножинi розширеної комплексної множини . Також у цьому пунктi iдейно описано основнi методи, якi використовуються при перевiрцi функцiональних спiввiдношень, що виникають при дослiдженнi груп (напiвгруп) на вiльнiсть, а саме:

1) нехай F - сукупнiсть деяких плоских геометричних фiгур. Вважатимемо, що певним чином визначено дiю напiвгрупи (або групи ) на фiгурах множини F. Тодi можна розглядати перетворення довiльної фiгури F пiд дiєю деяких функцiй та i для перевiрки аналогiчної тотожностi , , достатньо показати, що геометричнi фiгури та є рiзними;

2) нехай - оператор диференцiювання -го () порядку по змiннiй . Якщо функцiї та є достатньо гладкими, то для перевiрки вiдповiдної тотожностi , , можна показати, що iснує така точка , яка задовольняє умову при деякому значеннi .

3) нехай функцiї та є неперервними в областi i мають спiльну нерухому точку , то для перевiрки тотожностi , , достатньо перевiрити, чи iснує деякий окiл точки такий, що , крiм того, за рахунок неперервностi функцiй та отримуємо околи точки для яких виконується умова .

Другий роздiл присвячений дослiдженню вiльних пiднапiвгруп цiлих лiнiйних перетворень над числовими полями. У п. 2.1 доводяться наступнi твердження, якi дають достатнi умови вiльностi 2-породжених напiвгруп лiнiйними перетвореннями числових полiв.

Теорема 2.1. Нехай дано , , , - лiнiйнi перетворення поля , де їх коефiцiєнти задовольняють наступнi умови: 1) ; 2) при всiх таких, що маємо ; 3) ;

Тодi напiвгрупа , породжена перетвореннями та , є вiльною напiвгрупою рангу 2 з вiльною базою .

Теорема 2.2. Нехай дано , , , - лiнiйнi перетворення поля , де їх коефiцiєнти задовольняють наступнi умови:

1) ; 2) , .

Тодi напiвгрупа , породжена перетвореннями та , є вiльною напiвгрупою рангу 2 з вiльною базою .

Умови наведених теорем легко перевiряються, що дозволило застосувати цi твердження у конкретних випадках напiвгруп (лема 2.2).

Нехай - напiвгрупа усiх цiлих лiнiйних перетворень деякого числового поля , а - довiльний -й () декартiв степiнь напiвгрупи . У п. 2.4 дослiджується множина усiх кортежiв довжини , якi породжують вiльну пiднапiвгрупу напiвгрупи . Для довiльної фiксованої обмеженої пiдмножини , , поля на напiвгрупi вводиться метрика , яка для довiльних двох перетворень визначається так: Таким чином, отримуємо метричний простiр . Метрика розповсюджується на довiльний -й декартiв степiнь i для довiльних впорядкованих наборiв та iз , вiддаль мiж ними визначається наступним чином: У результатi дiстанемо метричний простiр .

Нехай . У випадку, коли - злiченне числове поле, то маємо таке твердження.

Теорема 2.4. Множини та є множинами першої категорiї Бера.

Якщо - незлiченне числове поле, то у цьому випадку доводяться наступнi твердження.

Теорема 2.5. Правильним є вкладення множин .

Наслiдок 2.3. Має мiсце вкладення множин .

Наслiдок 2.4. Множина є всюди щiльною в .

Теорема 2.6. Правильною є умова .

Теорема 2.7. Множина є множиною другої категорiї Бера.

Теорема 2.8. Множина - нiде не щiльна в , а отже, є множиною першої категорiї Бера.

На основi цих тверджень, у випадку незлiченного поля , одним iз основних результатiв другого роздiлу є наступне твердження.

Теорема 2.9. Бiльшiсть -породжених пiднапiвгруп напiвгрупи , де - незлiченне числове поле, є вiльними у категорному розумiннi Бера.

Для вiльних напiвгруп, що вивчаються у третьому роздiлi використовується геометричний пiдхiд. Зокрема, у п. 3.1 дослiджуються вiльнi напiвгрупи дробово-лiнiйних перетворень розширеної комплексної множини . Вiдомо, що дробово-лiнiйнi перетворення вiдображають кола та прямi на комплекснiй площинi в кола та прямi [8]. Розглядаючи дiю напiвгрупи, що породжується дробово-лiнiйними перетвореннями де їх дiйснi коефiцiєнти задовольняють наступнi умови:

на множинi деяких кiл та прямих (леми 3.1-3.7), в теоремi 3.1 доводиться, що ця напiвгрупа є вiльною вiдносно вiльної бази .

У п. 3.2 за допомогою функцiонально-геометричних методiв описано множину двох породжуючих елементiв для вiльної пiднапiвгрупи групи пiдстановок (лема 3.9 та теорема 3.2) i побудовано конкретне зображення такої напiвгрупи. Така вiльна напiвгрупа породжується двома пiдстановками, якi у виглядi функцiй подаються наступним чином:

де

У п. 3.3 побудовано зображення вiльної 2-породженої напiвгрупи неперервними кусково-лiнiйними перетвореннями

вiльний функцiя монотонний напiвгрупа



розглядаючи при цьому дiю напiвгрупи , породженої перетвореннями та на множинi деяких вiдрiзкiв, що мiстяться в .

У четвертому роздiлi дослiджуються вiльнi напiвгрупи та вiльнi групи, що породжуються певними диференцiйовними функцiями. Зокрема, у п. 4.1 дослiджуються вiльнi напiвгрупи, що породжуються аналiтичними функцiями. Отже, нехай - аналiтичнi функцiї, що розкладаються у степеневi ряди вигляду

якi збiгаються у данiй областi i впорядкованi за степенями , де .

Символом позначимо сукупнiсть усiх аналiтичних функцiй , якi розкладаються у степеневий ряд першого виду; символом позначатимемо сукупнiсть усiх аналiтичних функцiй , якi разом iз своїми -кратними суперпозицiями () розкладаються у степеневий ряд другого виду. Данi функцiї вiдносно дiї суперпозицiї функцiй породжують напiвгрупу, яку позначимо лiтерою . Нехай або . Тодi доводиться таке твердження.

Теорема 4.1. Нехай , i виконуються наступнi умови:

1) данi функцiї є сюр'єктивними;

2) множина мiститься у областi i функцiї та переводять її в себе;

3) довiльна -кратна суперпозицiя , , вiдмiнна вiд тотожного перетворення ;

4) для довiльного значення виконується нерiвнiсть , причому ;

5) для довiльного значення виконується нерiвнiсть ;

6) правильною є нерiвнiсть .

Тодi напiвгрупа , породжена функцiями та , є вiльною напiвгрупою рангу 2 вiдносно вiльної бази .

Iз теореми 4.1 отримується твердження, яке є певним узагальненням напiвгрупи Коена-Уайта, що породжується перетвореннями дiйсного або комплексного поля та , де - довiльне фiксоване непарне натуральне число у випадку дiйсного поля та довiльне фiксоване натуральне число у випадку комплексного поля . У нашому випадку воно формулюється наступним чином.

Наслiдок 4.1. Перетворення дiйсного або комплексного поля , , де - довiльне фiксоване натуральне число, породжують вiльну напiвгрупу рангу 2.

Одним iз основних результатiв дисертацiйної роботи є наступне твердження (п. 4.3), яке дає достатнi умови вiльностi груп, породжених певними диференцiйовними функцiями з нерухомою точкою.

Теорема 4.6. Нехай - система строго монотонних неперервних дiйсних функцiй над деякою областю i виконуються наступнi умови:

1) для довiльних двох рiзних функцiй наступнi функцiї

не здiйснюють тотожного перетворення областi ;

2) iснує точка , яка є спiльною нерухомою точкою для всiх функцiй ;

3) кожна пара функцiй та , де , є двiчi неперервно диференцiйовними функцiями в областi , крiм того, маємо та .

Тодi група , що породжується системою , є вiльною групою з вiльною базою .

За допомогою теореми 4.6 запропоновано найпростiше розв'язання задачi про побудову зображення вiльної групи злiченного рангу монотонними елементарними функцiями над дiйсним полем та встановлено наступне твердження.

Теорема 4.8. Система функцiй

є злiченною базою вiльної групи.

Зазначимо також, що в теоремi 4.8 вперше побудовано зображення вiльної нециклiчної групи функцiональними перетвореннями дiйсного поля, де породжуючi функцiї не є многочленами деякого натурального степеня.



ВИСНОВКИ

Дисертацiя присвячена нерозв'язаним задачам теорiї вiльних напiвгруп та груп, що породжуються функцiональними перетвореннями.

Показано, що множина усiх вiльних -породжених () пiднапiвгруп метабелевої групи цiлих лiнiйних перетворень у випадку злiченних числових полiв є множиною першої категорiї Бера, а у випадку незлiченних числових полiв вiдповiдно множиною другої категорiї Бера. Також встановлено, що у категорному розумiннi ''бiльшiсть'' -породжених пiднапiвгруп напiвгрупи цiлих лiнiйних перетворень незлiченних числових полiв є вiльними. Розвинуто технiку дослiджень напiвгруп та груп, породжених функцiями дiйсної або комплексної змiнної з рiзноманiтними функцiональними властивостями та способами їх задання, завдяки чому наведено ряд тверджень аналiтичного характеру, якi дають достатнi умови вiльностi напiвгруп та груп, що породжуються функцiями дiйсної або комплексної змiнної, запропоновано безпосереднє доведення вiльностi напiвгрупи Коена-Уайта, що породжується перетвореннями дiйсного або комплексного поля та , узагальнивши показник на випадок довiльного фiксованого натурального числа такого, що , наведено найпростiше розв'язання задачi про побудову конкретного зображення вiльної групи злiченного рангу строго монотонними елементарними функцiями над дiйсним полем.

Для обгрунтування результатiв дисертацiї застосовуються методи комбiнаторної теорiї напiвгруп та груп, топологiї та геометрiї, теорiї функцiй дiйсної та комплексної змiнної.

Результати дисертацiйної роботи мають теоретичний характер i можуть бути використанi в комбiнаторнiй теорiї напiвгруп та груп, а також при розв'язаннi рiзноманiтних аналiтичних проблем сучасної алгебри.



РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦIЇ

1. Сумарюк М.I. Елементарнi функцiї, що породжують вiльнi напiвгрупи // Науковий вiсник Чернiвецького унiверситету: Збiрник наук. праць. Вип. 421. Математика. - Чернiвцi: Рута, 2008. - С.109-111.

2. Сумарюк М.I. Вiльнi напiвгрупи, що породжуються аналiтичними функцiями // Математичний вiсник НТШ. - Т.5. - 2008. - С.208-214.

3. Сумарюк М.I. Зображення вiльних напiвгруп та груп елементарними функцiями // Мiжнародна конференцiя до 100-рiччя М.М. Боголюбова та 70-рiччя М.I. Нагнибiди. Тези доповiдей. - Чернiвцi: Книги-ХХI, 2009. - С.173-174.

4. Сумарюк М.I. Вiльнi пiднапiвгрупи в групi лiнiйних перетворень числових полiв // Науковий вiсник Чернiвецького унiверситету: Збiрник наук. праць. Вип. 454. Математика. - Чернiвцi: Рута, 2009. - С.95-102.

5. Сумарюк М.I. Порiвняння у розумiннi категорiї сукупностi вiльних пiднапiвгруп напiгрупи цiлих лiнiйних перетворень // 7-а мiжнародна алгебраїчна конференцiя в Українi. Тези доповiдей. - К., 2009. - С.136-137.

6. Сумарюк М.I. Вiльнi групи, що породжуються монотонними функцiями // Український математичний конгрес до 100-рiччя М.М. Боголюбова. Тези доповiдей. - 2009. -

7. http://www.imath.kiev.ua/congress2009/Abstracts/sumaruk.pdf.



АНОТАЦIЯ

Сумарюк М.I. Вiльнi напiвгрупи та групи, що породжуються функцiональними перетвореннями. - Рукопис.

Дисертацiя на здобуття ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.06 - алгебра i теорiя чисел. - Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка, м. Київ, 2010.

У дисертацiйнiй роботi дослiджуються вiльнi напiвгрупи та групи, що породжуються функцiями дiйсної або комплексної змiнної, з рiзними функцiональними властивостями та способами їх задання. Встановлюються достатнi умови аналiтичного характеру, при виконаннi яких напiгрупа чи група, породжена певним типом функцiональних перетворень буде вiльною. Зокрема, будуються окремi зображення вiльних 2-породжених напiвгруп тими чи iншими функцiями та зображення вiльної групи злiченного рангу дiйсними елементарними та строго монотонними функцiями; доведено, що у категорному розумiннi Бера множина вiльних -породжених () пiднапiвгруп метабелевої групи цiлих лiнiйних перетворень незлiченних числових полiв є "бiльшою", нiж сукупнiсть її -породжених пiднапiвгруп, якi не є вiльними; вивчаються вiльнi напiвгрупи, породженi найпростiшими елементарними функцiями: лiнiйними, дробово- та кусково-лiнiйними перетвореннями числових полiв, областей та iнших числових множин; вивчаються вiльнi напiвгрупи аналiтичних функцiй, що розкладаються у степеневi ряди певного вигляду i, в окремому випадку, вiльнi напiвгрупи полiномiв натурального степеня, а також вiльнi напiвгрупи та групи, породженi функцiями з певними умовами щодо їх гладкостi на заданiй областi визначення такими, як неперервнiсть, диференцiйовнiсть, опуклiсть тощо.

Ключовi слова: вiльна напiвгрупа, вiльна група, базис вiльної групи, функцiональне перетворення.



АННОТАЦИЯ

Сумарюк М.И. Свободные полугруппы и группы, порожденные функциональними преобразованиями. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. - Киевский национальний университет имени Тараса Шевченко, г. Киев, 2010.

Диссертация посвящена изучению представлений свободных полугрупп и групп функциями действительной или комплексной переменной, з различними функциональними свойствами и способами их задания. Иследуються достаточные условия аналитического характера, при выполнении которых полугруппа или группа, порожденная некоторым типом функциональных преобразований будет свободной. Розвита техника иследования свободных функциональных полугрупп и групп, построено серию конкретных примеров таких свободных конструкций. В частности, строяться отдельные примеры представлений свободных 2-порожденных полугрупп линейными, кусочно-линейными, дробно-линейными преобразованиями числовых полей, областей, римановой сферы и других множеств, а также, аналитическими функциями, представлеными своими степенными рядами специального типа. Как отдельный случай степенных рядов иследуються свободные полугруппы, породженные многочленами натурального степеня над действительным или комплексным полем, что позволило доказать свободность полугруппы Коэна-Уайта и расмотреть некоторые обобщения этого результата. Также доказано, что в смысле Бэра, ''большинство'' конечно порожденных полугрупп метабелевой группы целых линейных преобразований несчетного числового поля являються свободными, более того, установлено "вездесущность" свободных полугрупп среди конечно порожденных подполугрупп даной группы. Иследуются свободные группы, порожденные функциями с некоторыми условиями на их гладкость в заданой области определения такими как непрерывность, дифференциируемость, вгнутость и др., что позволило впервые построить пример свободной группы, свободным базисом каторой являеться счетная система строго монотонных елементарных функций над действительным полем, при этом функции не являються полиномами.

Ключевые слова: свободная полугруппа, свободная группа, базис свободной группы, функциональное преобразование.



ABSTRACT

Sumaryuk M.I. Free semigroups and groups which are generated by functional transformations. - Manuscript.

Thesis of a dissertation for obtaining the degree of candidate of sciences in physical and mathematics, speciality 01.01.06 - algebra and number theory. - Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2010.

Free semigroups and groups which are generated by the functions of the real or complex variable are investigated in dissertation work, with different functional properties. New sufficient conditions of analytical character are determined. Under their implementation the semigroup or group, generated by specific type of functional transformations will be free. In particular, the concrete images of free 2-generated semigroups by those or other functions and image of free group of countable rank by monotonous and elementary functions with real variable are built. Proved that set of free -generated () subsemigroups of metabelian group of integer linear transformations of the uncountable numeric fields is more than collection of it k-generated subsemigroups, which are not free. The free semigroups of analytical functions, which are laid out in the rows of degree of certain kind are studied.

Keywords: free semigroup, free group, basis of a free group, functional transformation

Висловлюю щиру вдячнiсть своєму науковому керiвнику Овсiєнку Сергiю Адамовичу та Сущанському Вiталiю Iвановичу за кориснi поради та постiйну увагу до цiєї роботи.

Размещено на Allbest.ru

...