Апроксимативні характеристики слабких розв’язків операторних рівнянь за дискретною інформацією

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

УДК 517.5

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

АПРОКСИМАТИВНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛАБКИХ РОЗВ'ЯЗКІВ ОПЕРАТОРНИХ РІВНЯНЬ ЗА ДИСКРЕТНОЮ ІНФОРМАЦІЄЮ

01.01.01 - математичний аналіз

ГОРОХОВА Олена Миколаївна

Київ - 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник: академік НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор КОРНЄЙЧУК Микола Павлович

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор МАСЛЮЧЕНКО Володимир Кирилович, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, завідувач кафедри математичного аналізу;

кандидат фізико-математичних наук ГОЛУБ Анатолій Петрович, Інститут математики НАН України, старший науковий співробітник відділу теорії функцій.

Захист відбудеться “ 7 ” червня 2011 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601 Київ 4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий “ 21 ” квітня 2011 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Романюк А.С.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

В рамках інформаційного підходу в дисертаційній роботі досліджуються апроксимативні характеристики слабких розв'язків операторних рівнянь за неповною дискретною інформацією при наявності апріорної інформації про праву частину і оператор в лінійних просторах неперервних і інтегровних в сенсі Лебега функцій, а також в періодичних аналогах цих просторів, зі стандартними нормами (метриками).

Актуальність теми. Серед актуальних питань теорії наближень значне місце займає проблематика, пов'язана з інформаційним підходом до задач апроксимації, які можна інтерпретувати як задачі наближеного відновлення деякого математичного об'єкта за неповною дискретною інформацією. В 1999 році М.П.Корнєйчуком сформульовані три основні задачі відновлення елементів операторного рівняння Ax = y, де x належить лінійному нормованому простору , Ї лінійному нормованому простору , а оператор Ї простору лінійних обмежених операторів, що діють із в , і введено поняття відомих і слабко відомих елементів операторного рівняння. Одна з цих задач, з практичної точки зору, тісно пов'язана з інформаційно-математичними аспектами редукційної проблеми Релея, яка виникла в процесі дослідження деяких питань спектроскопії ще в 1871 році. Проблема Релея полягає в наступному: обробити математично деяку виміряну пристроєм функцію (вихідний сигнал ) таким чином, щоб відновити істинний сигнал, який поступає на вхід пристрою (вхідний сигнал ), враховуючи його апаратну функцію (оператор вимірювального пристрою ). Мова йде про таку математичну обробку функції, яка приводить результати вимірювань до ідеального вимірювального пристрою (пристрою, що вимірює безпосередньо шукану функцію, причому без похибок), з метою усунення спотворюючих чинників, а саме, згладжуючого ефекту апаратної функції і шумів. За часів Релея здавалося, що ця блискуча ідея цілком може бути втілена в життя, і тоді з'явиться можливість суто математичним шляхом усувати технічні недоліки різноманітних вимірювальних пристроїв. Проте пізніше, на початку XX століття, з'ясувалося, що більшість прикладних задач некоректні, тобто вони надто чутливі навіть до дуже малих похибок вимірювань, апроксимації оператора (зокрема, заміни інтеграла скінченною сумою тощо). В результаті редукційна проблема Релея з математичної точки зору виявилася значно складнішою.

Багато задач прикладного змісту потребують відшукання деякої адекватної математичної моделі для кожного реально існуючого об'єкта, явища або процесу. Опису таких математичних моделей для найбільш поширених на практиці задач присвячено значну кількість робіт таких математиків, як С.Л.Соболєв, Г.І.Василенко, А.Ф.Верлань, В.С.Сізіков, А.В.Гончарський, А.М.Черепащук, А.Г.Ягола та інших. Фундаментальні роботи потужних математичних шкіл А.М.Тихонова, М.М.Лаврентьєва, В.К.Іванова, серед яких і праці В.М.Фрідмана, С.Карліна, М.А.Красносєльського, А.Б.Бакушинського, В.В.Васіна, В.П.Танани, В.О.Морозова, Г.М.Вайнікко, Б.Г.Габдулхаєва, Д.Філіпса, В.Каммерера, М.З.Нашета, О.І.Гребєннікова, С.В.Переверзєва, С.Г.Солодкого та багатьох інших присвячені глибокому аналізу і різним підходам щодо розробки і реалізації математичних методів розв'язування некоректних задач.

Поняття розв'язку задачі відновлення елементів операторного рівняння може бути визначене по-різному в залежності від цілей дослідження, математичних особливостей цього рівняння (існування точного розв'язку, його єдиності, стійкості тощо), наявності і характеру похибок у вхідних даних. Аналітичне дослідження і розв'язок некоректної задачі, яка включає в себе операторне рівняння, як правило, вдається отримати досить рідко, тому застосовуються різні методи і підходи чисельного аналізу. При цьому вихідна задача замінюється наближеною, яка вже може бути розв'язана тим чи іншим способом. Основна умова такої заміни (апроксимації) Ї це близькість в певному сенсі отриманого розв'язку наближеної задачі до розв'язку вихідної. Заміна так званої точної задачі на наближену може бути здійснена на будь-якому етапі її розв'язання. Зокрема, можна з самого початку замінити задане операторне рівняння, наприклад, системою алгебраїчних рівнянь, яка є дискретним аналогом цього рівняння. А можна переходити до наближеної задачі на деякому проміжному чи кінцевому етапі розв'язку вихідної задачі. Одним з проміжних етапів під час розв'язання задачі відновлення розв'язків операторного рівняння є дискретизація його правої частини за інформацією, яка задається скінченним набором функціоналів, наприклад, значеннями правої частини цього рівняння в скінченному наборі точок.

Інформаційні аспекти задачі відновлення розв'язків операторного рівняння тісно пов'язані з потужними апаратами теорії наближень Ї сплайнами і алгебраїчними поліномами. Гарні апроксимаційні властивості поліноміальних сплайнів і алгебраїчних многочленів, які проявляються в успішному поєднанні використання дискретної і апріорної інформації про елементи операторного рівняння, дають змогу більш глибоко зрозуміти суть інформаційного підходу до задач апроксимативного змісту. Тому дослідження апроксимативних характеристик методів відновлення елементів операторного рівняння за допомогою сплайнів і поліномів є актуальними.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дисертаційна робота пов'язана з тематикою досліджень відділу теорії наближень Інституту математики НАН України в рамках наукової теми „Оптимізація методів наближення і екстремальні задачі аналізу”, номер державної реєстрації № 0101U000213.

Мета і завдання дослідження.

Об'єкт дослідження Ї слабкі розв'язки операторного рівняння. Предмет дослідження Ї вивчення апроксимативних характеристик слабких розв'язків операторного рівняння за дискретною інформацією. Метою роботи є встановлення властивостей апроксимативних характеристик слабких розв'язків операторних рівнянь за неповною дискретною інформацією при наявності апріорної інформації про його праву частину і оператор в функціональних просторах зі стандартними нормами (метриками) на прикладі інтегрального рівняння Фредгольма першого роду.

Основні завдання дослідження:

1. Дослідити апроксимативні характеристики слабких розв'язків інтегрального рівняння Фредгольма першого роду, побудованих за базисом з 1-періодичних моносплайнів Бернуллі натурального порядку з використанням інформаційного вектора інтерполяційного типу та апріорної інформації про гладкість його правої частини і ядра.

2. Встановити властивості апроксимативних характеристик слабких розв'язків інтегрального рівняння Фредгольма першого роду, зображених у вигляді лінійної комбінації В-сплайнів порядку .

3. Знайти оцінки нев'язки слабких розв'язків інтегрального рівняння Фредгольма першого роду при наявності апріорної інформації про диференціально-різницеві властивості його ядра та правої частини з урахуванням інформаційного вектора, заданого у вигляді коефіцієнтів Фур'є-Хаара і Фабера-Шаудера.

Методи дослідження. У дисертаційній роботі використовуються методи математичного і функціонального аналізу в поєднанні зі спеціальними розділами теорії наближень, які розроблені, зокрема, в роботах С.М. Нікольського, М.П. Корнєйчука, В.М.Тихомирова та ін.

Наукова новизна одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи є новими і полягають у такому:

§ досліджено апроксимативні характеристики слабких розв'язків інтегрального рівняння Фредгольма першого роду, побудованих за базисом з 1-періодичних моносплайнів Бернуллі натурального порядку з використанням інформаційного вектора інтерполяційного типу та апріорної інформації про гладкість його правої частини і ядра;

§ встановлено властивості апроксимативних характеристик слабких розв'язків інтегрального рівняння Фредгольма першого роду, зображених у вигляді лінійної комбінації В-сплайнів порядку ;

§ знайдено оцінки нев'язки слабких розв'язків інтегрального рівняння Фредгольма першого роду при наявності апріорної інформації про диференціально-різницеві властивості його ядра та правої частини з урахуванням інформаційного вектора, заданого у вигляді коефіцієнтів Фур'є-Хаара і Фабера-Шаудера.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Її результати можуть бути використані у наукових дослідженнях задач апроксимаційного змісту, які проводяться в Інституті математики НАН України, Інституті прикладної математики і механіки НАН України, Київському, Дніпропетровському, Донецькому, Львівському, Одеському, Чернівецькому національних університетах.

Особистий внесок здобувача. Напрям наукового дослідження та загальна постановка задач сформульовані академіком НАН України М.П.Корнєйчуком. Результати підрозділу 3.2 дисертації отримано спільно з М.О.Назаренком, якому належать окремі міркування ідейного характеру. Решта результатів отримано здобувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідалися і обговорювалися на:

конференції “Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі і статистиці” (Київ, 19-22 жовтня 2001р.);

дев'ятій Міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчука (Київ, 16-19 травня 2002 р.);

Міжнародній науковій конференції “Шості Боголюбовські читання” (Київ, 26-30 серпня 2003 р.);

Міжнародній конференції „Диференціальні рівняння та їх застосування”, присвячена 60-річчю кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка (Київ, 6-9 червня 2005р.);

одинадцятій Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 18-20 травня 2006 р.);

Міжнародній науковій конференції „Сучасні проблеми математики, механіки, інформатики”, присвяченій 85-річчю від дня народження Л.О. Толоконнікова (Росія, Тула, 17-21 листопада 2008 р.);

Українському математичному конгресі-2009, присвяченому 100-річчю від дня народження Миколи Миколайовича Боголюбова (Київ, 27-29 серпня 2009 р.);

тринадцятій Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 13-15 травня 2010 р.);

Міжнародній науковій конференції „Сучасні проблеми аналізу і викладання математики”, присвяченій 105-річчю академіка РАН С.М.Нікольського (Росія, Москва, 17-19 травня 2010 р.);

Міжнародній конференції “Теорія наближень та її застосування”, присвяченій 90-річчю з дня народження академіка НАН України М.П.Корнєйчука (Дніпропетровськ, 14-17 червня 2010 р.);

Міжнародній конференції „Сучасні проблеми аналізу”, присвяченій 70-річчю кафедри математичного аналізу Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича (Чернівці, 30 вересня - 3 жовтня 2010 р.);

наукових семінарах відділу теорії функцій (керівник семінару Ї доктор фізико-математичних наук А.С.Романюк), відділу диференціальних рівнянь з частинними похідними (керівник семінару Ї член-кореспондент НАН України М.Л.Горбачук) та відділу теорії наближень (керівник семінару Ї доктор фізико-математичних наук С.Г.Солодкий) Інституту математики НАН України;

науковому семінарі «Сучасний аналіз» Київського національного університету імені Тараса Шевченка (керівники семінару Ї доктор фізико-математичних наук, професор Ю.Г.Кондратьєв, доктор фізико-математичних наук, професор І.О.Шевчук);

розширеному засіданні наукового семінару «Сучасні проблеми механіки та обчислювальної математики» Інституту математики НАН України (керівники семінару - академік НАН України І.О.Луковський, академік НАН України В.Л.Макаров). Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в фахових виданнях [1-5] та в матеріалах наукових конференцій [6-16]. Структура дисертації. Робота складається з переліку умовних позначень, вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел із 123 найменувань. Обсяг дисертації становить 125 сторінок, із них 13 сторінок займає список літератури.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

інтегральний рівняння апроксимативний інформаційний

У вступі обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету і завдання, визначено об'єкт і предмет дисертаційного дослідження, описано структуру та дано короткий зміст роботи. Зміст першого розділу. У підрозділі 1.1 дисертації висвітлено основні аспекти інформаційного підходу до задач відновлення елементів операторних рівнянь в різних функціональних просторах. У підрозділі 1.2 в рамках інформаційного підходу розглянуто задачу відновлення слабких розв'язків операторних рівнянь за неповною дискретною інформацією.

Нехай X і Y Ї лінійні нормовані простори, L(X,Y) Ї простір лінійних обмежених операторів, що діють із X в Y. Розглядається задача відновлення елемента x Q X, де Q Ї область визначення оператора A L(X,Y), що задовольняє рівність A x = y, за неповною дискретною інформацією про елемент y із Y при відомому операторі A. Ця інформація задається за допомогою деякого набору функціоналів M_N = {µ₁, µ₂, … , µ_N }

з простору Y^* , спряженого до Y , у вигляді числового вектора значень на y M_N (у) = {µ₁(у), µ₂(у), …, µ_N (у)}.

Ефективно побудувати наближений розв'язок на базі інформації M_N (у), зазвичай, досить проблематично, але, використовуючи явний вигляд оператора А, можна шукати елемент , що задовольняє рівність

M_N (А) = M_N (у) , (1)

і який, якщо він існує, названий М.П.Корнєйчуком M_N-слабким розв'язком операторного рівняння A x = y. Однією з апроксимативних характеристик M_N-слабкого розв'язку цього рівняння є нев'язка . Дослідження поведінки величини представляє інтерес з точки зору відновлення неявно заданого елемента x в залежності від конкретної апріорної і дискретної інформації про оператор A і праву частину y.

Зміст другого розділу. Другий розділ дисертаційної роботи, пов'язаний з дослідженням апроксимативних характеристик слабких розв'язків інтегрального рівняння Фредгольма першого роду (надалі інтегральне рівняння)

, , х Х, y Y, (2)

які шукаються у вигляді лінійної комбінації з 1-періодичних моносплайнів Бернуллі натурального порядку, узгоджених з гладкістю правої частини y(u) і, принаймні, сумовного на квадраті ядра K(t,u).

Нехай Ї лінійний простір неперервних функцій f(t), заданих на відрізку [0, 1], а , 1 p Ї лінійний простір сумовних на [0,1] в p-му степені функцій f(t) зі стандартними нормами. Відповідні простори 1- періодичних функцій будемо позначати через і .

У випадку 0 < p < 1 клас є простором Фреше, тобто повним лінійним метричним простором вимірних на відрізку [0,1] функцій , у яких

,

з відстанню

, .

Якщо (t) - фіксований модуль неперервності, тотожно відмінний від нуля, то через будемо позначати множину функцій f з простору X, для яких (f , t)X ? (t), . Для просторів або , 1 p < , домовимося писати

; ,

а для їх періодичних аналогів або --

; .

Множину r-х інтегралів від функцій f з простору X позначимо через X ^(r) , r = 0, 1, 2, … (X⁽⁰⁾ : = X).

Таким чином, C^(r) є множина r раз неперервно диференційованих на відрізку [0, 1] функцій, а Ї це сукупність заданих на відрізку [0,1] функцій f , у яких (r - 1)-а похідна Ї локально абсолютно неперервна на [0, 1], а , 1 p . Множини 1-періодичних r-х інтегралів від функцій з просторів або , 1 p , будемо позначати відповідно або . Через

, r = 0,1,2,…

позначимо клас функцій f X ^(r), у яких (f ^(r), t)X ? (t), , для фіксованого модуля неперервності, тотожно відмінного від нуля. Відповідно для просторів або , 1 p < , будемо писати

=; =.

Нарешті, клас

, r = 0,1,2,…

Ї це множина r-х 1-періодичних інтегралів від функцій із і для просторів або , 1 p < ,

=; =.

Припустимо, що права частина y рівняння (2) належить класу , а ядро K за змінною u Ї класу , r = 1, 2, …., де ₁() і ₂(), , Ї задані модулі неперервності.

Нехай ,

,

Ї рівномірне розбиття відрізка за змінною , Ї підпростір 1_періодичних сплайнів порядку дефекту 1 за розбиттям .

Зафіксуємо набір функціоналів (вибір обумовлений періодичністю сплайнів)

_k (y) = y( u _k) ,

, , k = 1, 2, … , 2n, ,

де при непарному r і Ї при парному r.

Розглянемо систему 1-періодичних моносплайнів Бернуллі , яка є базисом в .

Розв'язок рівняння (2) шукаємо у вигляді 1-періодичного сплайна порядку мінімального дефекту за розбиттям і базисом .

Сплайн

, , ,

де коефіцієнти R задовольняють умову (1), є -слабким розв'язком рівняння (2).

Позначимо

.

Основними результатами цього розділу є наступні теореми.

Теорема 2.1.1. Нехай права частина рівняння (2) належить класу , а ядро за змінною Ї класу , r = 1, 2,…. Тоді для нев'язки -слабкого розв'язку мають місце оцінки

, ;

,

де , а Ї фундаментальні сплайни з .

Теорема 2.2.1. Для нев'язки -слабкого розв'язку при умові, що права частина рівняння (2) належить класу , а ядро за змінною u Ї класу , r = 1, 2, …, справедлива нерівність

, ,

де .

Для просторів і при наведено відповідні наслідки з цих теорем.

Зміст третього розділу. В третьому розділі встановлюються властивості апроксимативних характеристик слабких розв'язків інтегрального рівняння Фредгольма першого роду, зображених у вигляді лінійної комбінації В-сплайнів порядку , в просторах періодичних неперервних та інтегровних функцій.

Покладемо , де - ціла частина дійсного числа , і .

Вважаючи системи точок і , де при непарному r і Ї при парному r, продовженими на всю числову вісь з кроком , розглянемо систему _сплайнів , кожен з яких фіксований і нормований умовами

, .

, ,

Ї лінійний метод відновлення правої частини y(u) за інформацією , заданою набором функціоналів , де Ї базис із _cплайнів підпростору , .

Зафіксуємо набір лінійних неперервних функціоналів вигляду

,

де Ї числові коефіцієнти, вибрані з умов точності формули на алгебраїчних многочленах степеня не вище .

-слабкий розв'язок інтегрального рівняння (2) відносно базисних функцій має вигляд

, ,

якщо визначаються із (1).

Розглянемо інтегральне зображення різниці

, ,

, ,

і при фіксованому

Величина характеризується поведінкою похідної лише на проміжку , довжина і розташування якого визначаються при непарному рівностями:

=

а при парному Ї співвідношеннями:

=

Результати підрозділу 3.1 полягають у такому:

Теорема 3.1.1. Для нев'язки -слабкого розв'язку рівняння (2), права частина якого належить класу , а ядро за змінною Ї класу , , виконуються наступні оцінки

?, ;

?,

де .

Теорема 3.1.2. Нехай права частина рівняння (2) належить класу , а ядро за змінною Ї класу , . Тоді для нев'язки -слабкого розв'язку справедлива нерівність

?,

.

Для r = 2 і r = 3 сформульовано наслідки з теореми 3.1.1.

В підрозділі 3.2 у випадку інтегрального оператора Фредгольма першого роду, який діє із в , , для того ж набору функціоналів отримано оцінки нев'язки -слабкого розв'язку рівняння (2), а саме, доведена теорема.

Теорема 3.2.1. Нехай , , . Якщо права частина інтегрального рівняння (2) з класу , ядро для будь-якого належить класу за змінною u, , і виконується нерівність

,

то для нев'язки -слабкого розв'язку має місце оцінка

+

+.

Зміст четвертого розділу. В даному розділі в просторах неперервних і інтегровних в сенсі Лебега функцій, заданих на відрізку [0,1], отримано оцінки нев'язки -слабких розв'язків інтегрального рівняння Фредгольма першого роду при наявності апріорної інформації про гладкість ядра та правої частини рівняння (2) з урахуванням набору елементів інформаційного вектора у вигляді коефіцієнтів Фур'є-Хаара і Фабера-Шаудера. В підрозділі 4.1. дисертації наведені основні поняття та властивості систем функцій Хаара і Фабера-Шаудера .

В підрозділі 4.2. за дискретною інформацією про праву частину

=,

заданою у вигляді коефіцієнтів Фур'є-Хаара, одержано оцінки нев'язки слабких розв'язків рівняння (2) при умові, що , а за змінною u. Нехай і Ї простори або . За припущення, що ядро Ї неперервне на квадраті , -слабкий розв'язок відносно базисних функцій Хаара будується у вигляді лінійної комбінації

,

де задовольняють умову (1). Покладемо

,

Результати цього підрозділу сформульовано в таких теоремах.

Теорема 4.2.1. Для нев'язки -слабкого розв'язку відносно базисних функцій Хаара , при умові, що права частина рівняння (2) належить класу , а ядро за змінною Ї класу , справедлива нерівність

,

.

Теорема 4.2.2. Нехай права частина рівняння (2) належить класу , а ядро за змінною Ї класу . Тоді для нев'язки -слабкого розв'язку відносно базисних функцій має місце оцінка:

,

Для випадку, коли права частина належить класу Ліпшица порядку із сталою , а ядро за змінною Ї класу Ліпшица порядку із сталою , , наведено наслідки з цих теорем.

В підрозділі 4.3 встановлюються апроксимативні властивості нев'язки слабких розв'язків для інтегрального рівняння (2) за дискретною інформацією, заданою у вигляді коефіцієнтів Фабера-Шаудера.

При фіксованому наборі функціоналів

=,

-слабкий розв'язок рівняння відносно системи базисних функцій Фабера-Шаудера шукаємо у вигляді лінійної комбінації

,

де коефіцієнти задовольняють (1). Покладемо

і визначимо функцію на відрізку :

;

Доведено наступну теорему.

Теорема 4.3.1. Якщо права частина і ядро за змінною рівняння (2) належать відповідно класам і , то для -слабкого розв'язку відносно базисних функцій справедлива оцінка

,

; ; .

Сформульовано наслідок з цієї теореми для оцінки нев'язки -слабкого розв'язку рівняння (2) відносно базисних функцій в просторі неперервних функцій. Аналогічні результати встановлені в просторі , .

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі в рамках інформаційного підходу вивчалась поведінка апроксимативних характеристик слабких розв'язків операторних рівнянь за неповною дискретною інформацією при наявності апріорної інформації про його праву частину і оператор в функціональних просторах на прикладі інтегрального рівняння Фредгольма першого роду. Одержано такі результати:

1. Досліджено апроксимативні характеристики слабких розв'язків інтегрального рівняння Фредгольма першого роду, які шукаються у вигляді лінійної комбінації з 1-періодичних моносплайнів Бернуллі натурального порядку, узгодженої з гладкістю правої частини y(u) і ядра K(t, u). За умов, що права частина і ядро за змінною заданого рівняння належать відповідно класам і , одержано оцінки нев'язки -слабкого розв'язку в просторах і ,, з урахуванням набору інтерполяційних функціоналів .

2. Встановлено властивості апроксимативних характеристик слабких розв'язків інтегрального рівняння Фредгольма першого роду, зображених у вигляді лінійної комбінації В-сплайнів порядку мінімального дефекту, в просторах періодичних неперервних та інтегровних функцій. Для конкретного набору інтерполяційних функціоналів спеціального вигляду, за умов, що права частина і ядро за змінною інтегрального рівняння належать відповідно класам і , одержано оцінки нев'язки -слабкого розв'язку в просторах і , . У випадку інтегрального оператора Фредгольма першого роду, який діє із в , , для того ж набору функціоналів , , отримано оцінки нев'язки -слабкого розв'язку заданого рівняння. 3. Для набору функціоналів у вигляді коефіцієнтів Фур'є-Хаара, за умов, що права частина і ядро за змінною заданого рівняння належать відповідно класам і , знайдено оцінки нев'язки _слабкого розв'язку в просторах і , . Одержано аналогічні результати для оцінки нев'язки в метричному просторі , .

4. Встановлені апроксимативні характеристики слабких розв'язків інтегрального рівняння в просторах C і , , з урахуванням набору елементів інформаційного вектора у вигляді коефіцієнтів Фабера-Шаудера за умов, що права частина і ядро за змінною належать відповідно класам і .

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Назаренко О. М. Про сплайн-відновлення лінійних обмежених операторів за неповною дискретною інформацією / О. М. Назаренко // Вісник Київського університету. Серія: Математика, механіка. -- 2002. -- №7-8. -- С. 106-111.

2. Горохова О. М. Про сплайн-відновлення слабких розв'язків інтегрального рівняння Фредгольма першого роду за неповною дискретною інформацією / О. М. Горохова // Теорія наближення функцій та суміжні питання: Праці Ін-ту математики НАН України. -- 2003. -- Т.46. -- С.39-54.

3. Nazarenko M. O. On Spline-Recovery of M_N-weak Solutions of Integral Fredholm Equation of First Kind by Incomplete Discrete Information / M. O. Nazarenko, O. M. Gorokhova // East Journal On Approximations. -- 2004. -- Vol. 10, № 1-2. -- P. 41-55.

4. Горохова О. М. Про оцінки -слабких розв'язків інтегрального рівняння Фредгольма першого роду / О. М. Горохова // Проблеми теорії наближення функцій та суміжні питання: Зб. праць Ін-ту математики НАН України. -- 2005. -- Т.2, №2. -- С. 65-80.

5. Горохова О. М. Про наближене відновлення слабких розв'язків інтегрального рівняння Фредгольма першого роду за неповною дискретною інформацією у вигляді коефіцієнтів Фабера-Шаудера / О. М. Горохова // Вісник Київського університету. Серія: Математика, механіка. -- 2006. -- №16.-- С.58-62.

6. Назаренко О. М. Сплайн-відновлення слабких розв'язків інтегрального оператора Фредгольма І роду за неповною дискретною інформацією / О. М. Назаренко // Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі і статистиці: конф., 19-22 жовтня 2001 р.: тези допов. -- Київ: Київський університет імені Тараса Шевченка, 2001. -- C.53-55.

7. Назаренко О. М. Про сплайн-відновлення лінійних обмежених операторів за неповною дискретною інформацією / О. М. Назаренко // ІХ-а міжнародна наукова конференція імені академіка М.Кравчука: міжнар. наук. конф.: 16-19 травня 2002 р.: матеріали конф.-- К.: НТУУ „КПІ”, 2002. -- C.336

8. Горохова О. М. Про задачу відновлення M_N-слабкого розв'язку інтегрального рівняння Фредгольма першого роду за неповною дискретною інформацією / О. М. Горохова // Шості Боголюбовські читання: міжнар. наук. конф., 26-30 серпня 2003 р.: тези допов. -- Київ: Ін-т математики НАН України, 2003. -- C.50.

9. Nazarenko M. O. About The One Problem Of Spline-Recovery of M_N-weak Solutions of Integral Fredholm Equation of First Kind by Incomplete Discrete Information / M. O. Nazarenko, O. M. Gorokhova // Диференціальні рівняння та їх застосування: міжнар. конф., присвячена 60-річчю кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь Київського університету імені Тараса Шевченка, 6-9 червня 2005 р.: тези допов. -- Київ: Київський національний університет імені Тараса Шевченка, 2005. -- С. 123.

10. Горохова О. М. Про оцінки нев'язки M_N-слабких розв'язків інтегрального рівняння Фредгольма першого роду за дискретною інформацією, заданою коефіцієнтами Фур'є-Хаара і Фабера-Шаудера / О. М. Горохова // Одинадцята міжнародна конференція імені академіка М.Кравчука: міжнар. конф., 18-20 травня 2006 р. : матеріали конф. -- К.: ТОВ «Задруга», 2006. -- C.72.

11. Горохова Е. Н. О задаче В-сплайн-восстановления периодических решений интегрального уравнения Фредгольма I рода по неполной дискретной информации специального вида / Е. Н. Горохова // Современные проблемы математики, механики, информатики: междунар. науч. конф., 17 - 21 ноября 2008 г. : материалы конф.: -- Тула: ЗАО «Гриф и К», 2008. -- С.48-52.

12. Назаренко М. О. Про одну задачу відновлення ядра інтегрального рівняння Фредгольма першого роду за дискретною інформацією / М. О. Назаренко, О. М. Горохова // Український математичний конгрес-2009, 27-29 серпня 2009 р. [Електронний ресурс] : список зареєстрованих учасників та тези допов. -- Режим доступу:

http://www1.imath.kiev.ua/~congress2009/Abstracts/Gorohova.pdf

-- Останній доступ: 2010. -- Назва з екрану.

13. Горохова О. М. Оцінка похибки нев'язки періодичних слабких розв'язків інтегрального рівняння Фредгольма першого роду, побудованих за базисом із В-сплайнів, за неповною дискретною інформацією спеціального вигляду / О. М. Горохова // Тринадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М.Кравчука: міжнар. конф., 13-15 трав. 2010 р. : матеріали конф.-- К., НТУ України “КПІ”, 2010. -- Т.2.-- C.97.

14. Горохова Е. Н. Информационный подход в задачах восстановления операторов и их значений / Е. Н. Горохова // Современные проблемы анализа и преподавания математики: междунар. науч. конф, 17-19 мая 2010 г.: материалы конф. -- М.: Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ: 2010. -- C.72-73.

15. Горохова О.М. Про оцінки нев'язки слабких розв'язків інтегрального рівняння Фредгольма першого роду за неповною дискретною інформацією / О. М. Горохова // Теорія наближень та її застосування: міжнар. конф., присвячена 90-річчю з дня народження академіка НАН України М. П. Корнєйчука, 14-17 червня 2010 р.: тези допов. -- Дніпропетровськ: Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара, 2010. -- C.40.

16. Gorokhova O.M. On Approximating Specifications of Weak Solutions of Fredholm Integral Equation of First Kind by Incomplete Discrete Information / O. M. Gorokhova // Сучасні проблеми аналізу: міжнар. конф., присвячена 70-річчю кафедри математичного аналізу Чернівецького університету, 30 вересня - 3 жовтня 2010 р.: тези допов. -- Чернівці: Книги - ХХІ, 2010. -- C.160-161.

АНОТАЦІЇ

Горохова О.М. Апроксимативні характеристики слабких розв'язків операторних рівнянь за дискретною інформацією. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 -- математичний аналіз. -- Інститут математики НАН України, Київ, 2010.

В дисертації розглядаються деякі аспекти, пов'язані з інформаційним підходом М.П.Корнєйчука до задач апроксимаційного змісту, які можна інтерпретувати як задачі наближеного відновлення деякого математичного об'єкта за неповною дискретною інформацією. При дослідженні цих задач зручним апаратом виявилися сплайни і поліноми, гарні апроксимаційні властивості яких проявляються в успішному поєднанні використання дискретної і апріорної інформації.

Встановлені властивості апроксимативних характеристик слабких розв'язків інтегрального рівняння Фредгольма першого роду, зображених у вигляді сплайнів і поліномів, з урахуванням інформаційного вектора, заданого скінченним набором лінійних неперервних функціоналів, при наявності умов гладкості на його праву частину і ядро в функціональних просторах зі стандартними нормами (метриками).

Ключові слова: операторне рівняння, дискретна інформація, апріорна інформація, слабкі розв'язки операторного рівняння, інтегральне рівняння Фредгольма першого роду, інформаційний вектор, лінійні неперервні функціонали, сплайни, поліноми.

Горохова Е.Н. Аппроксимативные характеристики слабых решений операторных уравнений по дискретной информации. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 -- математический анализ. -- Институт математики НАН Украины, Киев, 2010. Среди актуальных вопросов современного развития теории приближений значительное место занимает проблематика, связанная с информационным подходом к задачам аппроксимации, которые можно интерпретировать как задачи приближенного восстановления некоторого математического объекта по неполной дискретной информации. Начало этого направления положено в работах Н.П.Корнейчука в начале 90-х годов прошлого столетия. В 1999 году он сформулировал три основные задачи восстановления элементов операторного уравнения Ax = y, где принадлежит линейному нормированному пространству , Ї линейному нормированному пространству , а оператор Ї пространству линейных ограниченных операторов, действующих из в , а также введено понятие известных и слабо известных элементов операторного уравнения.

Диссертация посвящена некоторым аспектам информационного подхода к задачам восстановления элементов операторного уравнения, а именно, восстановления его решения. Одним из промежуточных этапов решения этой задачи есть дискретизация его правой части по информации, которая задается конечным набором функционалов (например, значениями правой части уравнения или ее производных в фиксированном наборе точек, коэффициентами Фурье по некоторой ортогональной системе и т.п.). В рамках информационного подхода в данной работе исследуются аппроксимативные характеристики слабых решений операторного уравнения, одной из которых является невязка.

Изучены свойства аппроксимативных характеристик слабых решений операторного интегрального уравнения Фредгольма первого рода (далее интегральное уравнение) , , х Х, y Y,

представимых в виде линейной комбинации 1-периодических моносплайнов Бернулли натурального порядка , согласованных с гладкостью правой части и ядра . При условиях, что и по переменной , найдены оценки невязки слабого решения в пространствах и , , с учетом вектора информации, координаты которого заданы конечным набором интерполяционных функционалов.

В пространствах и , , получены аппроксимационные характеристики слабых решений интегрального уравнения, которые строятся при помощи сплайна по базису из нормированных 1-периодических В-сплайнов порядка минимального дефекта при условии, что и по переменной , а дискретная информация определена набором интерполяционных функционалов специального вида. В случае интегрального оператора Фредгольма первого рода, действующего из в , , для того же вида информации получены оценки невязки слабого решения интегрального уравнения, когда правая часть принадлежит классу , ядро -- классу по переменной для любого при .

Исследованы свойства аппроксимативных характеристик слабых решений интегрального уравнения в пространствах и , , с учетом набора координат информационного вектора в виде коэффициентов Фурье-Хаара при наличии априорной информации , по переменной .

При условиях, что правая часть и ядро по переменной принадлежат соответственно классам и , приведены оценки невязки слабого решения интегрального уравнения в пространствах и , , по дискретной информации, заданной коэффициентами Фабера-Шаудера.

Ключевые слова: операторное уравнение, дискретная информация, априорная информация, слабые решения операторного уравнения, интегральное уравнение Фредгольма первого рода, информационный вектор, линейные непрерывные функционалы, сплайны, полиномы.

Gorokhova O.M. Approximate characteristics of weak solutions of operator equations by discrete information. -- Manuscript.

The thesis is presented for the scientific degree of the Candidate of Physics and Mathematics by speciality 01.01.01 -- mathematical analysis. -- Institute of Mathematics of the National Academy of Science of Ukraine, Kyiv, 2010.

The thesis is devoted to the issues related to the informational approach to problems of approximation outlined M.P.Korneichuk early 90-ies and can be interpreted as the problems of approximate recovery of some mathematical objects by incomplete discrete information.

Set approximate characteristics of weak solutions of Fredholm integral equation of first kind in the presence of a priori information about its kernel and right side in view of discrete information provided in the form of a finite set of continuous linear functionals in the functional spaces with the standard norms (metrics). For finding approximate characteristics of weak solutions of integral equation were used splines and algebraic polynomials coordinated with the smoothness of its right side and kernel.

Keywords: operator equation, discrete information, a priori information, weak solutions of operator equations, Fredholm integral equation of first kind, vector of information, continuous linear functionals, splines, polynomials.

Размещено на Allbest.ru

...