Випадкові процеси дробового ефекту

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

01.01.05 _ Теорія ймовірностей і математична статистика

Випадкові процеси дробового ефекту

Дарійчук Ілля Васильович

Київ 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі теорії ймовірностей статистики та актуарної математики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Козаченко Юрій Васильович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри теорій ймовірностей, статистики та актуарної математики.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Булдигін Валерій Володимирович, Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут», завідувач кафедри математичного аналізу та теорії ймовірностей; кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Пашко Анатолій Олексійович, Європейський університет, завідувач кафедри інформаційних систем і технологій.

Захист відбудеться «25» жовтня 2010 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.26.001.37 Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 03022, м. Київ, просп. Академіка Глушкова, 6, корпус 7, механіко-математичний факультет

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Київського національно го університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01601, м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий «21» вересня 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Д.26.001.37 Моклячук М. П.

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Вивчення тих чи інших класів випадкових процесів, дослідження їх загальних властивостей, отримання оцінок розподілу їх супремуму та побудова математичних моделей цих процесів є однією з актуальних задач теорії випадкових процесів.

Властивості випадкових процесів дробового ефекту досліджувалися у роботах С.О. Райса, Р. Луганані, В.В. Булдигіна та Н.В. Ярової, В.В. Довалюка. В цих роботах вивчалися локальні властивості таких процесів, оцінки для розподілу супремуму, функціональні теореми. Ввели та досліджували -передгауссових В.В. Булдигіна та Ю.В. Козаченка.

У роботах В.В. Булдигіна та А.Б. Ільєнка вивчалися граничні теореми для часових рядів дробових процесів, а також рівняння теплопровідності з дробовими початковими умовами.

В.В. Булдигін та Н.В. Ярова вивчали умови неперервності, ліпшицевості, диференційовності майже всіх реалізацій процесів дробового ефекту; встановили умови виконання для цих процесів функціональної граничної теореми у просторі неперервних, неперервно диференційовних та ліпшицевих функцій. Також були встановлені оцінки для розподілу супремуму дробових процесів.

Умови обмеженості випадкових -субгауссових процесів (зокрема гауссових) на та оцінки ймовірностей , де - спеціально підібрана функція, що характеризує зростання при вивчалися у роботах Ю.В. Козаченко та О. І. Василик.

Для процесів з просторів Орліча випадкових величин ці питання вивчалися у роботах Ю.В. Козаченко та М.М. Перестюк.

Але, фактично, не вивчалося питання оцінки ймовірностей розподілу супремуму -передгауссових і дробових випадкових процесів на . Тому дослідження такої поведінки на , що проводиться у роботі є актуальним. Більше того, тут знайдені результати застосовуються до побудов моделей процесів дробового ефекту, що наближають їх із заданою надійністю та точністю.

Основним завданням дисертаційної роботи є узагальнення відомих результатів для оцінок розподілу супремуму як -передгауссових так і процесів дробового ефекту на скінченному інтервалі та дослідити їх поведінку при прямуванні аргументу до нескінченності. Застосування отриманих результатів для вивчення умов рівномірної збіжності вейвлет розкладів цих процесів та їх спрощення для побудови моделей, що наближають процеси дробового ефекту із заданою надійністю та точністю.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана у рамках державної бюджетної наукової дослідницької теми № 06БФ038-03 «Аналітичні та стохастичні методи дослідження динамічних систем», що виконується на кафедрі теорії ймовірностей, статистики та актуарної математики механіко-математичного факультету Київського Національного університету імені Тараса Шевченка, і входить до комплексного тематичного плану науково-дослідних робіт «Математичні проблеми природознавства та економіки» (номер державної реєстрації № 0106U005864).

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є подальший розвиток теорії -передгауссових та дробових випадкових процесів, розширення кола теоретичних та практичних застосувань даної теорії, зокрема, до задач вейвлет аналізу, моделювання випадкових процесів із заданою надійністю та точністю.

В роботі розглядались наступні задачі:

– вивчення розподілу супремуму -передгауссових випадкових процесів на скінченному інтервалі;

– дослідження розподілу супремуму нормованих -передгауссових випадкових процесів при прямуванні аргументу до нескінченності;

– вивчення розподілу супремуму випадкових процесів дробового ефекту на скінченному інтервалі;

– вивчення розподілу супремуму нормованих процесів дробового ефекту при прямуванні аргументу до нескінченності;

– дослідження умов рівномірної збіжності з імовірністю 1 на обмеженому інтервалі вейвлет розкладів -передгауссових та дробових випадкових процесів;

– побудова та дослідження точності й надійності моделей дробового процесу.

Об'єкт дослідження. Об'єктом дослідження є -передгауссові та дробові випадкові процеси, їх вейвлет розклади.

Предметом дослідження. Предметом дослідження є розподіл супремуму -передгауссових та дробових випадкових процесів, їх вейвлет розклади.

Методика дослідження. У роботі використовувалися методи теорії передгауссових випадкових процесів, вейвлет аналізу та методи теорії моделювання випадкових процесів.

Наукова новизна одержаних результатів. Основними науковими результатами, що виносяться на захист, є такі:

– знайдено оцінки розподілу супремуму -передгауссових випадкових процесів на скінченному відрізку;

– знайдено оцінки розподілу супремуму нормованих -передгауссо- вих випадкових процесів при прямуванні аргументу до нескінченності;

– знайдено оцінки розподілу супремуму випадкових процесів дробо- вого ефекту на скінченному відрізку:

– знайдено оцінки розподілу супремуму нормованих процесів дробо- вого ефекту при прямуванні аргументу до нескінченності;

– знайдено умови рівномірної збіжності з імовірністю одиниця вейв- лет розкладів -передгауссових та дробових випадкових процесів на скінченному інтервалі;

– запропоновано модель дробового випадкового процесу, що набли- жає його з даною точністю та надійністю.

Практичне значення одержаних результатів. Робота має теоретичний характер. Отримані результати можуть застосуватися у тео- рії випадкових процесів, вейвлет аналізі, теорії моделювання випадкових процесів та інших галузях науки, де використовуються випадкові процеси, вейвлет аналіз та методи стохастичного моделювання.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної робо- ти отримані автором самостійно. За результатами дисертації опубліковано шість робіт, з них дві разом з науковим керівником професором Козаченком Ю. В. Йому належить постановка задачі та загальне керівництво роботою.

Чотири роботи є авторськими.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дослідже- ння доповідалися на наукових конференціях та наукових семінарах, а са- ме:

– XII міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука (м. Київ, 2008 р.);

– міжнародні конференція "Stochastic Analysis and Random Dynami cs" (м. Львів, 2009 р.);

– засідання наукового семінару кафедри теорій ймовірностей і математичної статистики факультету прикладної математики Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича (8 квітня 2009 р., м. Чернівці, Україна);

– засідання наукового семінару кафедри теорії ймовірностей, стати- стики та актуарної математики механіко-математичного факуль- тету Київського національного університету імені Тараса Шевчен- ка (20 травня 2009 р., м. Київ, Україна);

– засідання наукового семінару кафедри математичного аналізу та теорії ймовірностей фізико-математичного факультету Національ- ного технічного університету України «Київський політехнічний інститут» (4 червня 2009 р., м. Київ, Україна).

Публікації. Основні результати роботи викладено у 6 статтях [1 - 6], опублікованих у виданнях, що внесені до переліку наукових фахових видань України, та додатково відображено в матеріалах конференцій [7], [8].

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, розбитих на підрозділи, висновків та списку використаних джерел. Основний текст дисертації складає 152 сторінки, список використаних джерел займає 12 сторінок і містить 114 найменувань.

2. Основний зміст роботи

супремум дробовий нескінченність вейвлет

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, визначено мету і задачі дослідження, виділено наукову новизну та практи- чну значущість отриманих результатів.

Перший розділ містить огляд літератури за тематикою даної дисертаційної роботи. А також висвітлені деякі результати щодо схожих проблем, які були отримані іншими авторами.

У другому розділі наводяться відомості з теорії -передгауссових випадкових процесів. Тут знаходяться оцінки розподілу супремуму цих процесів на скінченному інтервалі, а також досліджується їх поведінка при прямуванні аргументу до нескінченності.

Означення 2.1. Випадкову величину , , називають передгауссовою, якщо існують такі числа і , що для всіх виконується нерівність



Клас передгауссових випадкових величин, визначених на стандартному ймовірнісному просторі позначають .

Означення 2.2. Випадковий процес називається передгауссовим, якщо всі випадкові величини , , є передгауссовими.

Нехай є передгауссовим випадковим процесом, а - деяка переднорма на . Позначимо

Означення 2.5. Характеристики передгауссового випадкового процесу підпорядковані переднормі , якщо існують такі константи та що для :

а для :

Такі процеси називають -передгауссовими.

В наступній лемі знаходяться оцінки експоненційних моментів супремуму -передгауссових випадкових процесів.

Лема 2.1. Нехай - сепарабельний -передгауссовий випадковий процес і

,

 така неперервна зростаюча функція, що

(2.3)

Припустимо, що для всіх збігається такий інтеграл

(2.4)

де - функція, обернена до .

Тоді в залежності від значень :

– при для

, , ;

– при для

;

виконується така нерівність

(2.11)

(2.12)

Основними результатами цього розділу є наведена нижче теорема, яка дає оцінки розподілу супремуму -передгауссових випадкових процесів на скінченному інтервалі.

Теорема 2.1. Нехай випадковий процес задовольняє умовам леми 2.1. Тоді для всіх мають місце нерівності

(2.40)

(2.42)

а та ви

Далі знаходяться оцінки для розподілу супремуму нормованих -передгауссових випадкових процесів на .

Нехай розбиття на неперетинні множини

,

, , .

Теорема 2.5. Нехай - сепарабельний -передгауссовий випадковий процес і виконуються такі умови:

1) існують такі неперервні зростаючі функції такі, що на кожному



2) для , існують числа

,

, , ,

і додатна парна зростаюча при функція , , така, що:

a) збігаються ентропійні інтеграли:

b) збігаються ряди:

(2.101) де

(2.102)

Тоді для всіх

 (2.103)

(2.104)

виконуються наступні нерівності

(2.105)

Знайдено оцінки , де і , , є додатною зростаючою функцією (її можна назвати нормуючою).

Теорема 2.9. Нехай задовольняє умовам теореми 2.5. Тоді для всіх

(2.133)

(2.134)

а визначено в (2.104).

Оцінки для розподілу супремуму нормованого -передгауссового процесу на , знайдені у другому розділі, застосовуються до процесів дробового ефекту - цьому присвячено третій розділ.

Означення 3.1. Дробовим випадковим процесом назвемо процес вигляду

(3.4) де -

дійснозначний однорідний центрований випадковий процес з незалежними приростами,

дійснозначна функція, для якої

Функція називається функцією відгуку.

Зауважимо, що інтеграли (3.4) визначаються в як інтеграли по процесам з некорельованими приростами і надалі припускається, що

 розбиття на неперетинні множини

, де , , і .

Теорема 3.5. Нехай для сепарабельного процесу дробового ефекту при виконуються умови

(3.15)

(3.16)

а для функції відгуку , , на кожному відповідному справджується нерівність

(3.35)

де така, що при всіх

: , та

(3.36) а , , ,

такі неперервні зростаючі функції, що при та будь-якому збігаються інтеграли

 (3.37)

(3.38)

а також для деякої додатної парної зростаючої при функції , , збігаються ряди

(3.39) де , , ,

, .

(3.40)

Четвертий розділ присвячено дослідженню рівномірної збіжності з імовірністю 1 вейвлет розкладів -передгауссових та дробових випадкових процесів на скінченному інтервалі.

Нехай - деяка функція для перетворення Фур'є , для якої виконуються умови: , неперервна в точці і майже скрізь . Тоді, якщо існує така -періодична функція , що справджується рівність

,

то функцію називають -вейвлетом, а функцію , яка є оберненим перетворенням Фур'є функції

,

-вейвлетом.

Теорема 4.3. Нехай - сепарабельний -передгауссовий випадковий процес, - розбиття числової прямої, де , , , - деяка константа, і крім того виконуються такі умови:

1) існують такі неперервні зростаючі функції , , , що на кожному

2) для й та будь-якого й

 (4.8)

3) існує зростаюча при додатна парна функція , , що для досить великих : , де , , - деяка скінченна невід'ємна функція, і крім того існують такі числа ,

, , , ,

що збігаються такі ряди:

(4.9) де

(4.10)

4) на інтервалі існує така неспадна функція , , , що для будь-якого виконуються умови

(4.11)

5) є -вейвлетом, а - -вейвлетом, що відповідає , для яких виконується умова та



Тоді з імовірністю 1 існують величини

і має місце збіжність

рівномірно на кожному інтервалі .

Моделювання процесів дробового ефекту досліджується у п'ятому розділі. Тут запропонована модель, що наближає їх із заданою надійністю та точністю.

Висновки

Дисертаційна робота присвячена подальшому розвитку теорії -передгауссових та дробових процесів і можливості застосування цієї теорії до задач вейвлет аналізу та моделювання випадкових процесів з даною точністю та надійністю.

Отримані оцінки розподілу супремуму широкого класу випадкових процесів та умови рівномірної збіжності з імовірністю одиниця вейвлет розкладів цих процесів.

Отримано низку нових результатів.

– Встановлено оцінки розподілу супремуму для -передгауссо-вих випадкових процесів як на скінченному інтервалі, так і на нескінченному. Вони узагальнюють існуючі оцінки для випадку для -передгауссових випадкових процесів на випадок . А також знаходяться нові оцінки нормованого випадкового процесу на.

– Побудовано оцінки розподілу супремуму для дробових процесів на скінченному інтервалі.

– Встановлено оцінки розподілу нормованого процесу дробового ефекту на.

– Знайдено умови збіжності з імовірністю 1 вейвлет розкладів -передгауссових та дробових випадкових процесів.

– Отримані результати застосовуються до побудови моделей дробових процесів, що наближають ці процеси із заданою надійністю та точністю.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Dariychuk I. V. Uniformly convergence of wavelet expansions of -pre-Gaussian random processes // Науковий вісник Ужгородського університету. - 2008. № 16. С. 62-72.

2. Dariychuk I. V., Kozachenko Y. V. Estimates for the distribution of the supremum of a -pre-Gaussian random processes // Random Oper. and Stoch. Equ. - 2008. - Vol. 16, no. 1. - Pp. 39-78.

3. Дарійчук І. В. Застосування теорії субгауссових випадкових процесів до оцінювання точності та надійності моделювання гауссових процесів // Прикладна статистика. Актуарна та фінансова математика. - 2006. № 1-2. С. 92-100.

4. Дарійчук І. В. Про розподіл супремуму приростів -передгаусових випадкових процесів // Прикладна статистика. Актуарна та фінансова математика. - 2008. № 1-2. С. 118-131.

5. Дарійчук І. В. Рівномірна збіжність з імовірнісю одиниця вейвлет розкладу одного класу -передгауссових випадкових процесів //Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка. - 2009. -№ 19-20. - С. 84-88.

6. Дарійчук І. В., Козаченко Ю. В. Розподіл супремуму -передгауссових дробових процесів // Теорія ймовір. та матем. статистика. - 2009. № 80. - С. 70-84.

7. Dariychuk I. V. Uniform convergence of wavelet expansions of certain class of random processes // Дванадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука, 15-17 трав., 2008 р., Київ: Матеріали конф. - Київ: ТОВ Задруга, 2008. - С. 48.

8. Dariychuk I. V., Kozachenko Y. V. Some properties of pre-Gaussian shot noise processes // Stochastic Analysis and Random Dynamics. International Conference. Abstracts, June 14-20, 2009 Lviv, Ukraine. - Lviv, 2009. - Pp. 57-59.

Анотація

Дарійчук І.В. Випадкові процеси дробового ефекту -Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 - теорія ймовірностей і математична статистика. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2010.

У дисертаційній роботі подано оцінки розподілу супремуму -передгауссових і дробових процесів на скінченному відрізку, а також при прямуванні аргументу до нескінченності. Знайдені оцінки розподілу супремуму -передгауссових випадкових процесів на скінченному інтервалі є узагальненням існуючих. Знаходження аналогічних оцінок на є новим результатом.

Знайдені оцінки застосовуються до дробових процесів, щоб отримати їх оцінки розподілу супремуму. Також їх застосовано до дослідження збіжності вейвлет розкладів та до питання моделювання дробових процесів.

Ключові слова: дробові процеси, -передгауссові випадкові процеси, вейвлети, моделювання.

Анотация

Дарийчук И.В. Случайные процессы дробового эффекта -Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук за специальностью 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченка, Киев, 2010.

Диссертация посвящена развитию теории -предгауссовских и дробовых случайных процессов, а также обобщению известных результатов для оценок распределения супремума на конечном интервале и исследование их поведения на бесконечности.

Случайную величину , , называют предгауссовской, если существуют числа что для всех справедливо неравенство . Процесс называется предгауссовским, если для всех предгауссовская случайная величина.

Процесс называется -предгауссовским, если найдутся и , что для , а для , , где , , а - некоторая преднорма в пространстве предгауссовских случайных величин.

В работе найдены оценки распределения супремума для -предгауссовских случайных процессов на конечном отрезке. Оценки сформированы в терминах энтропийных интегралов. Эти оценки обобщают существующие, которые найдены для параметра , для случая . Они далее применяются к дробовым процессам, которые рассматриваются с позиции -предгауссовских случайных процессов.

Также была рассмотрена проблема оценивания распределения супремума нормированного -предгауссовского процесса на , где - специально подобранная функция, которая характеризует рост случайного процесса . Сначала находятся оценки для -предгауссовских потом для дробовых процессов.

В работе найдены условия равномерной сходимости с вероятностью 1 на конечном интервале вейвлет разложений -предгауссовских процессов. Рассматривались как общий так и стационарный случай для упрощения условий. Также были найдены условия равномерной сходимости вейвлет разложений для дробовых процессов.

Найденные оценки применяются к вопросу моделирования дробовых процессов с определенной точностью и надежностью.

Ключевые слова: дробовые процессы, -предгауссовские случайные процессы, вейвлеты, моделирование.

Annotation

Dariychuk Y.V. Shot noise random processes -Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical of Mathematical Sciences degree on the speciality 01.01.05 - Probability Theory and Mathematical Statistics. - National Taras Shevchenko University of Kyiv, Kyiv, 2010.

The thesis is dedicated to development of the random processes theory and to generalize known results for -pre-Gaussian and shot noise random processes.

It presents the estimations of distribution of the supremum of -pre-Gaussian random processes on finite interval and the problem of estimation of distribution of the supremum of weighted (with that characterizes the growth of the process ) random processes on when argument tends to infinity. Also it was researched uniformly convergent with probability one of wavelet expansions of -pre-Gaussian random processes on finite interval. As example we consider stationary case to simplify conditions of the theorems. The obtained results were applied to the shot noise random processes.

The problem of modelling of the shot noise processes was presented.

Key words: shot noise processes, -pre-Gaussian random processes, wavelets, modelling.

Размещено на Allbest.ru

...