Використання фібоначчієвої системи числення для дослідження фрактальних властивостей математичних об'єктів зі складною локальною будовою

Размещено на http://www.allbest.ru/

Автореферат

Дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

ВИКОРИСТАННЯ ФІБОНАЧЧІЄВОЇ СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ ДЛЯ ДОСЛІДЖЕННЯ ФРАКТАЛЬНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ МАТЕМАТИЧНИХ ОБ'ЄКТІВ ЗІ СКЛАДНОЮ ЛОКАЛЬНОЮ БУДОВОЮ

Спеціальність: Алгебра і теорія чисел

Василенко Наталія Миколаївна

Київ, 2010 рік

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Сьогодні у математиці та її застосуваннях використовується багато різних систем зображення чисел. Одні з них мають алфавіт скінченний, інші - нескінченний, одні з них визначаються одним числом (основою системи числення), інші - кількома або ж нескінченною числовою послідовністю. Кожна система зображення чисел породжує свою геометрію, яка є простою, однорідною, самоподібною або ж принципово не самоподібною, не однорідною, і часто, досить непростою. Найпростішою в геометричному відношенні є традиційна система числення.

Поряд з нею для завдання математичних об'єктів з фрактальними властивостями використовуються системи числення з від'ємною та ірраціональною основами. З такими можна ознайомитися в роботах Стахова А.П. (2006). Більшість систем зображення чисел пов'язані з рядами, які володіють певною умовою однорідності, що забезпечує можливість теоретичного аналізу локальних властивостей математичних об'єктів.

Серед найпоширеніших двопараметричних числових послідовностей найпростішими є прогресії (арифметична та геометрична) і класична послідовність Фібоначчі Геометрична прогресія широко використовується в різних системах числення, а також у конструкціях для завдання та дослідження фракталів.

Класична послідовність Фібоначчі, яка є складнішою, ніж прогресії, теж може використовуватися в подібних цілях.

Послідовність, кожний наступний член якої, починаючи з третього, є сумою двох попередніх, називається послідовністю Фібоначчі. Природним способом введені лінійні операції на множині таких послідовностей перетворюють її на двовимірний лінійний простір, у якому різними способами можуть бути введені скалярний добуток, норма, метрика, міри Хаусдорфа дробових порядків, а також фрактальні розмірності, зокрема, розмірність Хаусдорфа-Безиковича. Серед систем зображення дійсних чисел багатий клас утворюють двосимвольні системи (системи з двосимвольним алфавітом), які прийнято вважати зручними в технічному відношенні. Деякі з них мають нульову надлишковість, наприклад, класична двійкова система, що прийнято вважати недоліком в теорії кодування. Тому інтерес до систем з ненульовою надлишковістю природний. Одні системи мають простішу геометрію і, відповідно, є зручнішими при задані і дослідженні математичних об'єктів зі складною локальною будовою, зокрема, тих що володіють фрактальними властивостями. У пошуках нових, відносно простих та зручних у використанні систем, ми зупинились на можливості використання для їх побудови послідовності Фібоначчі. Ця ідея не є новою. Ще в 1957 році Bergman G. розглядав систему числення з ірраціональною основою. Використання рядів у подібних цілях є традиційним напрямом у дослідженнях. На цьому шляху працювали Торбін Г.М. (2005), Фещенко О.Ю (2005). Як слідує з відомої теореми Kakeya S. (1914) про тополого-метричні властивості множини підсум знакододатного ряду, яка передоводилась в кількох роботах (Hornich H. (1941), Menon P.K. (1948), Guthrie J.A. і Nymann J.E. (1988), кожний знакододатний ряд, який задовольняє співвідношенням може бути основою для побудови системи зображення дійсних чисел.

Ми для цього використовуємо ряд з обернених чисел Фібоначчі. Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Роботу виконано відповідно до плану наукових досліджень, які здійснюються на кафедрі вищої математики НПУ імені М.П. Драгоманова та у відділі фрактального аналізу ІМ НАНУ. Дослідження проводилось в рамках науково-дослідницьких тем:

- „Дослідження фрактальних об'єктів алгебри, геометрії, функціонального аналізу і теорії ймовірностей” (номер державної реєстрації 0104U004017);

- „Фрактальний аналіз математичних об'єктів зі складною локальною будовою” (номер державної реєстрації 0107U000583).

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є вивчення: властивостей довільної послідовності Фібоначчі, структур у просторі послідовностей Фібоначчі, зокрема, розмірності Хаусдорфа-Безиковича, фракталів, геометрії двох зображень дійсних чисел з використанням нескінченно малої послідовності Фібоначчі з першим членом та послідовності обернених чисел до членів класичної послідовності Фібоначчі, побудові метричної теорії таких зображень.

Основними завданнями дослідження є такі:

- Вивчити властивості довільних послідовностей Фібоначчі, зокрема, знайти критерії: наявності у послідовності наперед заданого числа, належності до класу нескінченно малих послідовностей;

- Ввести в лінійному просторі послідовностей Фібоначчі природні неевклідові норму та метрику і на їх основі побудувати міру Хаусдорфа дробового порядку, означити розмірність Хаусдорфа-Безиковича, дослідити тополого-метричні, самоподібні і фрактальні властивості деяких множин;

- Використати нескінченно малу послідовність Фібоначчі для завдання системи числення, закласти основи метричної теорії дійсних чисел в такій системі зображення;

- Вивчити систему представлення дійсних чисел підсумами ряду, елементами якого є числа, обернені членам класичної послідовності Фібоначчі;

- Вивчити геометрію обох зображень дійсних чисел (властивості циліндричних множин, специфіку їх перекриттів, метричні відношення, геометричне значення цифр), розв'язати питання про кількість зображень одного і того ж числа;

- Використати вказані зображення для завдання та дослідження математичних об'єктів зі складною локальною будовою (множин, функцій, розподілів випадкових величин).

Методи дослідження. У роботі використовувалися методи алгебри, метричної теорії чисел, математичного аналізу, теорії міри, фрактальної геометрії тощо. Наукова новизна одержаних результатів, полягає в тому, що основними науковими результатами, що виносяться на захист, є такі:

- Для довільних послідовностей Фібоначчі узагальнено ряд відомих тотожностей та нерівностей для класичної послідовності. Доведено критерій належності наперед заданого числа (зокрема, нуля) даній послідовності;

- У просторі послідовностей Фібоначчі введено до розгляду оператор зсуву (на елемент послідовності) і вказано на його застосування, обчислено точні константи еквівалентності двох розглянутих метрики;

- У повному метричному просторі послідовностей Фібоначчі з метрикою введено мірнy міру Хаусдорфа, розмірність Хаусдорфа-Безиковича та проведено фрактальний аналіз деяких множин;

- Досліджено два представлення дійсних чисел підсумами рядів:

1) збіжного знакозмінного ряду, елементами якого є члени послідовності Фібоначчі (зображення);

2) ряду з обернених чисел класичної послідовності Фібоначчі (зображення).

- Вивчено геометрію (властивості циліндричних множин, специфіку їх перекриттів, метричні відношення, геометричне значення цифр) вказаних зображень;

- Вичерпно вивчено питання кількості різних зображень одного й того ж дійсного числа: кінці циліндрів мають зліченну кількість різних зображень, решта точок має їх континуальну множину;

- Для ряду, утвореного з обернених чисел Фібоначчі (з ряду), встановлено ряд співвідношень між його членами і залишками;

- Описано топологометричні і фрактальні властивості множин канторівського типу з періодичним обмеженням на вживання символів зображення та зображення. Доведено співпадання їх розмірностей Хаусдорфа-Безиковича;

- Обґрунтовано факт існування у кожного дійсного числа досліджуваного інтервалу континуальної кількості різних зображень.

- Доведено, що множина чисел, які мають зображення з однаковими цифрами на послідовних непарних і парних місцях є ніде не щільною нуль-множиною Лебега, обчислено її фрактальну розмірність Хаусдорфа-Безиковича;

- Введено в розгляд найбільш економне зображення, зручне для порівняння чисел і побудови арифметики, так зване канонічне зображення. Доведено критерій канонічності зображення (як раціонального, так і ірраціонального) числа.

Практичне значення одержаних результатів. Робота має теоретичний характер. Основні результати збагачують метричну та ймовірнісну теорії чисел і будуть використані в подальших теоретичних дослідженнях. Запропоновані в дисертації методи можуть бути корисними для побудови метричної теорії чисел, представлених за допомогою інших числових рядів, а також в дослідженнях математичних об'єктів зі складною локальною будовою, заданих за допомогою інших систем представлень чисел.

Особистий внесок здобувача. Основні результати, що виносяться на захист, отримані автором самостійно.

Зі статей, опублікованих у співавторстві, до дисертації включені лише ті результати, що належать автору.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційного дослідження доповідалися на конференціях різного рівня та наукових семінарах. Це такі конференції:

- International conference materials Modern Stochastics: Theory and Applications, Kyiv, June 19-23, 2006;

- International conference Skorokhod Space. 50 Years On, Kyiv, June 17-23, 2007.;

- 6-th International Algebraic Conference in Ukraine, Kamyanets-Podilsky, July 1-7, 2007.;

- Міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука, Київ, 18-20 травня 2006 р., 15-17 травня 2008 р. 13-15 травня 2010 р.;

- International Conference Analysis and Topology, Lviv, 27 May - 7 June, 2008;

- Міжуніверситетська наукова конференція з математики та фізики для студентів та молодих вчених, Київ, 21-22 травня 2009 р.;

- 7-th International Algebraic Conference in Ukraine, Kharkov, August 18-23, 2009.;

- Український математичний конгрес - 2009 (до 100-річчя від дня народження Миколи М. Боголюбова), Київ, 27-29 серпня 2009 р.;

- International Conference of Humboldt-Kolleg Series in Kiev, November 19-22, 2009;

- Конференція Фрактали і сучасна математика, Київ, 24 грудня 2009 р.

Це такі семінари:

- семінар з фрактального аналізу при кафедрі вищої математики НПУ імені М.П. Драгоманова (керівник семінару: доктор фіз. мат. наук Працьовитий М.В.);

- семінар з математики в Національному університеті Києво-Могилянська академія (керівник семінару: доктор фіз. мат. наук Боднарчук Ю.В.).

Структура дисертації.

Дисертаційне дослідження складається зі вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Обсяг дисертації 132 сторінки машинописного тексту, список використаних джерел.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі проведено огляд робіт, пов'язаних з темою дисертаційного дослідження, обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету та завдання дослідження. Простір послідовностей Фібоначчі та його підпростори є підготовчим для побудови метричної теорії дійсних чисел, зображених з допомогою послідовностей Фібоначчі. У ньому вивчаються властивості довільних послідовностей Фібоначчі, досліджуються структури в двовимірному лінійному просторі послідовностей Фібоначчі, доводиться, що нескінченно малі послідовності Фібоначчі утворюють одновимірний підпростір. Послідовність дійсних чисел $, яка має властивість:

$a (n + 2) = a (n + 1) + a (n)

- називається послідовністю Фібоначчі. Для довільних послідовностей Фібоначчі узагальнено ряд відомих тотожностей та нерівностей для класичної послідовності, зокрема, тотожність Касіні. Доведено критерій належності. Для того, щоб в послідовності Фібоначчі, був рівним достатньо:

В просторі послідовностей Фібоначчі розглядається оператор зсуву (на елемент послідовності):

У просторі послідовностей вводяться до розгляду дві метрики:

Зображення дійсних чисел і фрактали з ним пов'язані досліджується зображення чисел підсумами (неповними сумами) ряду, елементами якого є числа, обернені до членів класичної послідовності Фібоначчі: $-ряду. Ми цікавимося питаннями геометрії цього зображення, розв'язуємо задачі метричної та ймовірнісної теорій таких зображень, виділяємо найекономніше зображення (канонічне) і доводимо ознаки та критерій канонічності.

Встановлено ряд співвідношень між членами і залишками ряду, необхідних для вивчення геометрії і побудови метричної теорії таких зображень. При цьому отримані наступні результати:

Оскільки:

То послідовність обернених чисел Фібоначчі має асимптотичну властивість:

Зокрема, дослідженню специфіки їх перекриттів:

Причому:

У роботі обґрунтовано факт існування у кожного дійсного числа інтервалу (0,S) континуальної кількості різних зображень.

У останньому пункті третього розділу розглядаються деякі застосування отриманих результатів в теорії розподілів випадкових величин.

ВИСНОВКИ

Числові послідовності Фібоначчі є ефективним засобом для кодування дійсних чисел і побудови відповідної метричної теорії. Нескінченно мала послідовність Фібоначчі з першим членом породжує систему числення з від'ємною ірраціональною основою (зображення), яка має відносно просту геометрію. Ця система має двосимвольний алфавіт і ненульову надлишковість, що є важливим у питаннях кодування та технічного її використання. Зображення чисел підсумами ряду (зображення), членами якого є числа, обернені до елементів класичної послідовності Фібоначчі, породжує двосимвольну систему з ненульовою надлишковістю і складною геометрією, в основі якої лежать неоднорідні співвідношення між членами та залишками ряду. У своїй роботі ми вивчали геометрію двох вказаних систем зображення дійсних чисел, з'ясували геометричний зміст цифр (символів), описали властивості циліндричних множин, специфіку їх перекриттів, вивчили їх метричні відношення. Принциповою відмінністю цих систем числення є те, що кожна точка досліджуваного відрізка має континуальну кількість різних зображень, тоді як існують числа, що мають лише зліченну кількість різних -зображень. Кожна з систем дозволяє формально просто задавати математичні об'єкти зі складною локальною будовою (фрактальні множини, сингулярні міри, неперервні недиференційовні функції тощо).

Отримані результати дозволяють розвивати далі метричну теорію зображень дійсних чисел у даних системах, проводити фрактальний аналіз множин з умовами на використання символів, використовувати систему циліндричних множин для еквівалентного означення розмірності Хаусдорфа-Безиковича, будувати фрактальні системи координат на прямій, вивчати динамічні системи, породжені символьною динамікою тощо. Цікавим напрямом досліджень могла би бути фрактальна геометрія в метричному просторі послідовностей Фібоначчі з метрикою. Якщо розгляд вказаної нескінченно малої послідовності Фібоначчі в якості твірної послідовності для побудови системи числення в підпросторі нескінченно малих послідовностей Фібоначчі вичерпує інтерес до таких, то вважаємо перспективним використання довільної знакододатної послідовності для подання дійсних чисел підсумами відповідних рядів. математика геометричний числення

Вважаємо, що результати третього розділу мали би бути цікавими фахівцям в області нескінченних згорток Бернуллі та їх узагальнень.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Самкіна Н.М. Факторіальна система числення та пов'язані з нею розподіли ймовірностей / Н.М. Самкіна, О.В. Школьний // Фрактальний аналіз та суміжні питання. - 1998. - №2. - С. 157-165.

2. Василенко Н.М. Фібоначчієві подання дійсних чисел / Н.М. Василенко // Науковий часопис НПУ імені М.П. Драгоманова. Серія 1. Фіз. мат. науки. - Київ: НПУ імені М.П. Драгоманова, 2005. - 6. - С. 261-271.

3. Василенко Н.М. Деякі метричні співвідношення, породжені - зображенням дійсних чисел / Н.М. Василенко // Науковий часопис НПУ імені М.П. Драгоманова. Серія 1. Фіз. мат. науки. - Київ: НПУ імені М.П. Драгоманова, 2006. - 7. - С. 190-203.

4. Василенко Н.М. Математичні структури в просторі послідовностей Фібоначчі / Н.М. Василенко, М.В. Працьовитий // Науковий часопис НПУ імені М.П. Драгоманова. Серія 1. Фіз. мат. науки. - Київ: НПУ імені М.П. Драгоманова, 2008. - 9. - С. 129-150.

5. Василенко Н.М. Фібоначчієві представлення дійсних чисел / Н.М. Василенко // Матеріали наукової конференції Фрактали і сучасна математика - К.: НПУ імені М.П. Драгоманова, 2005. - С. 26-27.

6. Василенко Н.М. Числа Фібоначчі та представлення з ними повязані / Н.М. Василенко // Матеріали одинадцятої міжнародної наукової конференції імені академіка М. Кравчука, 18-20 травня, 2006 р., Київ. - К.: ТОВ Задруга, 2006. - С. 358.

7. Vasylenko N. Fibonacci representation of real numbers / N.M. Vasylenko // International conference materials Modern Stochastics: Theory and Applications, June 19-23, 2006, Kyiv. - K.: Kyiv National Taras Shevchenko University, 2006. - P. 268.

8. Василенко Н.М. Деякі оцінки основного метричного відношення для чисел, представлених у фібоначчієвій системі числення / Н.М. Василенко // Матеріали наукової конференції присвяченої пам'яті доктора фіз. мат. наук, професора С.С. Левіщенка. - К.: НПУ імені М.П. Драгоманова, 2006. - С. 26-27, 29-31.

9. Vasylenko N. Fibonacci representations for real numbers and related probability distributions / N.M. Vasylenko // International conference Skorokhod Space. 50 Years On, Kyiv, June 17-23, 2007. Abstracts. - Book 2, Sect. 7-8. - Kyiv: Institute of Mathematics of National academy of Sciences of Ukraine. 2007. - P. 173-174.

Размещено на Allbest.ru