Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Филиал военно-космической академии имени А.Ф. Можайского

(г. Ярославль)

Кафедра №12 (Математики)

КУРСОВАЯ РАБОТА

По разделу №1 «Математический анализ» учебной дисциплины «Математика»

Специальность 210602 «Специальные радиотехнические системы»

Исполнитель курсант 611 учебной группы

рядовой Кольчак Артем Сергеевич

Руководитель работы - доцент кафедры математики

Осташков Владимир Николаевич

Ярославль 2015



Оглавление

Введение

1.1 Историческая справка

1.2 Понятие математических рядов

1.3 Свойства рядов и необходимого признака сходимости

1.4 Понятие дифференциального уравнения

2.1 Решение уравнений Эйри и Бесселя

2.2 Решение уравнений Тэйлора и Маклорена

2.3 Применение интегрирования

Заключение

Библиографический список

уравнение интегрирование дифференциальный сходимость



Введение

Решение многих задач сводится к вычислению значений функций и интегралов или к решению дифференциальных уравнений, содержащих производные или дифференциалы неизвестных функций. Большинство дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений, которые возникают в математике, физике и других естественных науках, не интегрируется в квадратурах. Как правило, для них не существует и универсальных численных методов нахождения решений. Использование прямых численных способов решений этих задач не всегда приводит к цели, так как численные расчеты имеют большую неточность по сравнению с аналитическими, а также ограничены возможностями даже современных вычислительных систем. В ситуации, когда универсального способа получить решение не существует, приходиться искать более оптимальные вычислительные методы для конкретных математических моделей.

Вместе с тем, точное выполнение указанных математических операций во многих случаях оказывается весьма затруднительным или невозможным. В этих случаях можно получить приближенное решение многих задач с любой желаемой точностью при помощи рядов.

Ряды представляют собой простой и совершенный инструмент математического анализа для приближенного вычисления функций, интегралов и решений дифференциальных уравнений.

Цель данной работы: показать применение рядов при интегрировании дифференциальных уравнений.

Объектом исследования выступает процесс интегрирования дифференциальных уравнений с помощью рядов.

Предметом исследования являются формы, методы и средства интегрирования дифференциальных уравнений с помощью рядов.



1.1 Историческая справка

Теория рядов создавалась в тесной связи с теорией приближенного представления функций в виде многочленов. Впервые это сделал И. Ньютон в 1676г.

Во второй половине 1660-х годов молодой кембриджский математик Исаак Ньютон разработал общий метод в области, которая известна нам ныне как математический анализ. Совершенно очевидно, что Ньютон не представлял себе всей важности своего исследования и пользовался неуклюжей и неустоявшейся терминологией. В 1669 году Ньютон написал трактат, посвященный этому предмету, а вскоре стал работать над пространным трактатом о «методе флюксий», который так и не был закончен ученым.

В его письме к секретарю Лондонского Королевского Общества появилась формула, которую мы знаем как формулу бинома Ньютона. В ней мы видим функцию , представленную в виде многочлена. Но если число не является натуральным, в правой части равенства получается не полином, а бесконечная сумма слагаемых, то есть ряд.

Развивая идею Ньютона, английский математик Брук Тейлор (1685 - 1731) в 1715г. доказал, что любой функции, имеющей в точке производные всех порядков, можно сопоставить ряд:

.

Мы не можем пока поставить знак равенства между функцией , принимающей конечное значение для любого значения , и стоящим справа функциональным рядом.

Для того, чтобы вместо знака «» можно было поставить знак равенства, необходимо провести некоторые дополнительные рассуждения, связанные именно с бесконечностью числа слагаемых в правой части равенства и касающиеся области сходимости ряда.

При формула Тейлора принимает вид, в котором называется формулой Маклорена:

В работе «Трактат о флюксиях» (1742) Колин Маклорен установил, что степенной ряд, выражающий аналитическую функцию, - единственный, и это будет ряд Тейлора, порожденный такой функцией. Брук Тейлор, имея степень доктора прав, независимо от этого изучал математику, и уже в 1708 году появилась его статья о центре качаний. Ему принадлежит сочинение «New princip leoflinear perspective» (1715) и большой трактат «Method usincrementor umdirectaetin versa» (1715--1717), в котором, кроме вывода его знаменитой формулы, находится теория колебания струн, в которой он приходит к тем же самым результатам, к которым его коллеги пришли значительно позже.

Итак, ряды возникли в XVIII в. как способ представления функций, допускающих бесконечное дифференцирование. Однако функция, представляемая рядом, не называлась его суммой, и вообще в то время не было еще определено, что такое сумма числового или функционального ряда, были только попытки ввести это понятие.

Например, Л. Эйлер, выписав для функции соответствующий ей степенной ряд, придавал переменной конкретное значение . Получался числовой ряд. Суммой этого ряда Эйлер cчитал значение исходной функции в точке . Но это не всегда верно.

О том, что расходящийся ряд не имеет суммы, ученые стали догадываться только в XIX в., хотя в XVIII в. многие, и прежде всего Л. Эйлер, много работали над понятиями сходимости и расходимости. Эйлер называл ряд

сходящимся, если его общий член стремится к нулю при возрастании .

В теории расходящихся рядов Эйлер получил немало существенных результатов, однако результаты эти долго не находили применения. Результаты Эйлера нашли обоснование лишь в конце XIX в.

В формировании понятия суммы сходящегося ряда большую роль сыграл французский ученый О.Л. Коши, который разработал фундамент математического анализа, внёс огромный вклад в анализ, алгебру, математическую физику и многие другие области математики; один из основоположников механики сплошных сред.

Он сделал чрезвычайно много не только в теории рядов, но и теории пределов, в разработке самого понятия предела. В 1826г. Коши заявил, что расходящийся ряд не имеет суммы.

В 1768г. французский математик и философ Ж.Л. Д'Аламбер исследовал отношение последующего члена к предыдущему в биномиальном ряде и показал, что если это отношение по модулю меньше единицы, то ряд сходится. В теории рядов его имя носит широко употребительный достаточный признак сходимости. Основные математические исследования Д'Аламбера относятся к теории дифференциальных уравнений, где он дал метод решения дифференциального уравнения 2-го порядка в частных производных, описывающего поперечные колебания струны (волнового уравнения). Д'Аламбер представил решение как сумму двух произвольных функций, и по т. Н. граничным условиям сумел выразить одну из них через другую.

Коши в 1821г. Доказал теорему, излагающую в общем виде признак сходимости знакоположительных рядов, называемых теперь признаком Д'Аламбера.

Для исследования сходимости знакочередующихся рядов используется признак Лейбница.

1675 г.: Лейбниц создал дифференциальное и интегральное исчисления, опередив Ньютона.

1684 г.: Лейбниц опубликовал первую в мире крупную работу по дифференциальному исчислению: «Новый метод максимумов и минимумов».

1686 г.: Лейбниц дал подразделение вещественных чисел на алгебраические и трансцендентные. Впервые в печати ввёл символ для интеграла (и указал, что эта операция обратна дифференцированию).

1693 г.: Лейбниц рассматривал вопрос о разрешимости линейных систем; его результат фактически ввёл понятие определителя.

1695 г.: Лейбниц ввёл показательную функцию в самом общем виде: .

1702 г.: Лейбниц открыл приём разложения рациональных дробей на сумму простейших. Это решило многие вопросы интегрирования рациональных дробей.

1.2 Понятие математических рядов

Решение задачи, представленной в математических терминах, например, в виде комбинации различных функций, их производных и интегралов, нужно уметь «довести до числа», которое чаще всего и служит окончательным ответом. Для этого в различных разделах математики выработаны различные методы.

Раздел математики, позволяющий решить любую корректно поставленную задачу с достаточной для практического использования точностью, называется теорией рядов.

Даже если некоторые тонкие понятия математического анализа появились вне связи с теорией рядов, они немедленно применялись к рядам, которые служили как бы инструментом для испытания значимости этих понятий. Такое положение сохраняется и сейчас.

Выражение вида,

где ;;;…;;… - члены ряда; - n-ый или общий член ряда, называется бесконечным рядом (рядом).

Если члены ряда:

· числа, то ряд называется числовым;

· числа одного знака, то ряд называется знакопостоянным;

· числа разных знаков, то ряд называется знакопеременным;

· положительные числа, то ряд называется знакоположительным;

· числа, знаки которых строго чередуются, то ряд называется знакочередующимся;

· функции, то ряд называется функциональным;

· степени, то ряд называется степенным;

· тригонометрические функции, то ряд называется тригонометрическим.

1.2.1 Основные понятия числового ряда

Числовым рядом называется сумма вида

, (1.1)

где ,,,…,,…, называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; членназывается общим членом ряда.

Суммы

,

составленные из первых членов ряда (1.1), называются частичными суммами этого ряда.

Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм . Есл и при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда стремится к пределу, то ряд называется сходящимся, а число - суммой сходящегося ряда, т.е.

и .

Эта запись равносильна записи

Если частичная сумма ряда (1.1) при неограниченном возрастании n не имеет конечного предела (стремится к или ), то такой ряд называется расходящимся.

Если ряд сходящийся, то значение при достаточно большом n является приближенным выражением суммы ряда S.

Разность называется остатком ряда. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, т.е., и наоборот, если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.

Примеры числовых рядов

Пример 1. Ряд вида (1.2) называется геометрическим .

Геометрический ряд образован из членов геометрической прогрессии.

Пример 2.

Ряд вида (1.3)

называется гармоническим.

Пример 3.

Ряд вида (1.4)

называется обобщенным гармоническим.

Знакопеременный ряд

Числовой ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки.

, где для всех (т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно). Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости (установленный в 1714г. Лейбницем в письме к И.Бернулли).

Функциональный ряд

Ряд, членами которого являются функции от , называется функциональным:

Придавая определенное значение , получим числовой ряд

, который может быть как сходящимся, так и расходящимся. Если полученный числовой ряд сходится, то точка называется точкой сходимостифункционального ряда; если же ряд расходится - точкой расходимости функционального ряда.

Совокупность числовых значений аргумента , при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.

В области сходимости функционального ряда его сумма является функцией от :. Определяется она в области сходимости равенством , где - частичная сумма ряда.

Степенные ряды

Степенным рядом называется ряд вида,

где числа называются коэффициентами ряда, а член - общим членом ряда.

1.2.2 Ряды Тэйлора и Маклорена

Важно уметь разлагать функцию в степенной ряд, т.е. функцию представлять в виде суммы степенного ряда.

Рядом Тейлора для функции называется степенной ряд вида

.

Если , то получим частный случай ряда Тейлора

,

который называется рядом Маклорена.

Степенной ряд внутри его промежутка сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать сколько угодно раз, причем полученные ряды имеют тот же промежуток сходимости, что и исходный ряд.

Два степенных ряда можно почленно складывать и умножать по правилам сложения и умножения многочленов. При этом промежуток сходимости полученного нового ряда совпадает с общей частью промежутков сходимости исходных рядов. Для разложения функции в ряд Маклорена необходимо: Вычислить значения функции и ее последовательных производных в точке , т.е.,,,…,

Составить ряд Маклорена, подставив значения функции и ее последовательных производных в формулу ряда Маклорена;

Найти промежуток сходимости полученного ряда по формуле:

, .

1.3 Свойства рядов и необходимого признака сходимости

Выражение вида или, подробнее, (10.1) называется числовым рядом, числа называются его членами.

Для определенности будем считать первым членом ряда, хотя ряд может начинаться и с любого другого члена.

Сумма первых слагаемых ряда (10.1) называется его частичной суммой, она обозначается через . При этом

,

,

,

................................

.

Определение. Если существует конечный предел частичных сумм ряда (10.1) при , то это число называется суммой ряда , а ряд в этом случае называется сходящимся: .

Если предел частичных сумм не существует (например, равен ),то ряд называется расходящимся. У расходящегося ряда сумма не определена.

Пример1. Рассмотрим геометрическую прогрессию.

Это ряд вида: .

Здесь - первый член геометрической прогрессии, а называется ее знаменателем.

Частичная сумма геометрической прогрессии определяется формулой

.

Если и , то и геометрическая прогрессия расходится.

Если и , то , и геометрическая прогрессия расходится.

Если и , то не существует и прогрессия расходится. Итак, при геометрическая прогрессия сходится только при .

При геометрическая прогрессия всегда сходится.

2. Рассмотрим теперь простейшие свойства рядов.

1) Пусть числовые ряды (10.1) и (10.2)

сходятся, и имеют суммы соответственно и , тогда ряд

(10.3) также сходится и его сумма равна .

2) Если ряд (10.1) сходится, число , то ряд (10.4) также сходится и его сумма равна .

Если же ряд (10.1) расходится и , то ряд (10.4) расходится.

Это свойство означает, что постоянный множитель можно выносить из всех членов сходящегося ряда.

3) Если в ряде (10.1) изменить, добавить или отбросить конечное число членов, то сходимость этого ряда не изменится, т.е. если ряд (10.1) сходился, то новый ряд также сходится, а если ряд (10.1) расходился, то новый ряд расходится.

Пример 2. Так как ряд

сходится (это геометрическая прогрессия с ), то ряд также сходится.

Теорема 1. (Необходимый признак сходимости). Если ряд

сходится, то предел его членов при равен ; т.е. .

Доказательство. Поскольку последовательность частичных сумм ряда сходится, то и .

Вычитая из первого соотношения второе получим

, т.е.

что и требовалось доказать.

Условие является только необходимым, оно не является достаточным для сходимости ряда. Об этом свидетельствует пример гармонического ряда

.

Как будет проверено в дальнейшем, этот ряд является расходящимся, хотя у него

.

Поэтому с помощью необходимого признака невозможно установить сходимость ряда. Чаще применяется обратное утверждение, равносильное доказанной теореме.

Следствие. Если не равен нулю, то ряд (10.1) расходится.

Пример 3. Рассмотрим ряд

Найдем предел его членов.

Поскольку он не равен нулю, то записанный ряд расходится.

1.4 Понятие дифференциального уравнения

Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких переменных, причем в уравнения входят не только сами функции, но и их производные или дифференциалы. Если неизвестными функциями являются функции многих переменных, то уравнения называются уравнениями в частных производных. Если же входящая в дифференциальное уравнение функция является функцией только одного переменного, то уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Порядок старшей производной или старшего дифференциала искомой функции в уравнении называется порядком уравнения.

Пример. Даны уравнения:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Уравнение 1) - обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка; уравнение 2) - обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка; уравнение 3) - дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных; уравнение 4) не является дифференциальным уравнением.

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождество.

К дифференциальным уравнениям приводят многие задачи физики, техники и других наук в тех случаях, когда не удается непосредственно установить зависимость между величинами, но имеется возможность показать связь между величинами и скоростями их изменений относительно других переменных. Такие процессы описываются уравнениями, в которых неизвестные функции входят под знак производной.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение вида , (1), где независимая переменная, - неизвестная функция аргумента , - заданная функция переменных на некотором множестве. Иногда уравнение удается привести к виду , (2), которое называется дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной; - заданная функция.

Решением дифференциального уравнения вида (1) или (2) называется такая функция (или в неявном виде ), определенная на некотором интервале конечном или бесконечном, что при подстановке ее вместо в соотношение (1.1) или (1.2), мы получаем тождество на всем интервале . Интервал называется интервалом определения решения.

Решение в неявном виде называется общим интегралом уравнения.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием уравнения.



2.1 Решение уравнений Эйри и Бесселя

УРАВНЕНИЕ ЭЙРИ

Если коэффициенты линейного дифференциального уравнения являются аналитическими функциями, т. е. представимы в виде степенных рядов, то решение уравнения можно искать в виде степенного ряда с неопределенными коэффициентами . Для этого разложим коэффициенты уравнения также в степенные ряды и подставим искомое решение, получим уравнение для коэффициентов , которые отыскивается методом неопределенных коэффициентов.

Рассмотрим применение метода на следующем примере.

Найти общее решение уравнения Эйри .

Ищем решение в виде степенного ряда :

.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:

Отсюда следует . Из этой системы равенств имеем

Полагая сначала , найдем

(1)

Затем , получим

(2)

По признаку Даламбера сходимости рядов легко устанавливается интервал сходимости этих рядов - он равен .

Покажем теперь, что функции и являются линейно независимыми частными решениями уравнения Эйри (1). Предположим противное при . Положим . Следовательно, должно выполняться равенство . Тогда имеем , а это противоречит условию .

Итак, решения и образуют фундаментальную систему решений уравнения (1). Общее решение уравнения Эйри имеет вид:

,

Где и - произвольные постоянные.

Уравнение Бесселя

Линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами, имеющее вид , ,(2.1)

называется уравнением Бесселя.

Решение уравнения (2.1) будем искать в виде обобщенного степенного ряда, т.е. произведения некоторой степени на степной ряд:

(2.2)

Подставляя обобщенный степенной ряд в уравнение (2.1) и приравнивая нулю коэффициенты при каждой степени в левой части уравнения, получим систему

Считая, что из данной системы находим Пусть Тогда из второго уравнения системы находим а из уравнения придавая значения 3,5,7,…, заключаем, что Для коэффициентов с четными номерами получаем выражения

Подставляя найденные коэффициенты в ряд (2.2), получим решение

где коэффициент остается произвольным.

При все коэффициенты аналогично определяются только в случае, когда не равно целому числу. Тогда решение можно получить, заменяя в предыдущем решении величину на :

Полученные степенные ряды сходятся для всех значений , что легко устанавливается на основании признака Даламбера. Решения и линейно независимы, так как их отношение не является постоянным.

Решение умноженное на постоянную называется функцией Бесселя (или цилиндрической функцией) порядка первого рода и обозначается символом Решение обозначают

В общепринятом выборе постоянной участвует гамма-функция которая определяется несобственным интегралом:

Следовательно, общее решение уравнения (2.1) при не равном целому числу, имеет вид где и - произвольные постоянные величины.

2.2 Решение уравнений Тейлора и Маклорена

Решения многих дифференциальных уравнений не выражаются в элементарных функциях. В этих случаях пользуются приближенными методами интегрирования дифференциальных уравнений. Одним из таких методов является представление решения уравнения в виде степенного ряда; сумма конечного числа членов этого ряда будет приближенно равна искомому решению. Указанный степенной ряд находят способом неопределенных коэффициентов или способом, основанным на применении ряда Тейлора (Маклорена).

Способ неопределенных коэффициентов особенно удобен в применении к линейным уравнениям, т. е. уравнениям вида

И состоит в следующем. Если все коэффициентыэтого уравнения и свободный членразлагаются в ряды по степеням, сходящиеся в интервале, то искомое решениетакже представляется степенным рядом

сходящимся в этом же интервале. Подставляя в уравнение функциюи ее производные, приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях Из полученных при этом уравнений и заданных начальных условий находят коэффициенты

Необходимо найти частное решение дифференциального уравнения. Приближённо - с помощью ряда.

Типовая задача формулируется следующим образом:

Найти приближённо частное решение дифференциального уравнения …, удовлетворяющее начальному условию , в виде трёх (реже - 4-х, 5-х) отличных от нуля членов ряда Тейлора.

Искомое частное решение раскладывается в данный ряд по известной формуле:

Идея и смысл данного действия состоит в том, что для некоторых дифференциальных уравнений и при некоторых построенный степенной ряд будет сходиться к искомому частному решению . То есть, чем больше членов ряда рассмотрено, тем точнее график соответствующего многочлена приблизит график функции .Следует отметить, что вышесказанное применимо и к самым простым случаям.

Пример 1. Найти приближённо частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию в виде четырёх первых отличных от нуля членов ряда Тейлора.

Решение: в условиях данной задачи , поэтому общая формула Тейлора

трансформируется в частный случай разложения в ряд Маклорена:

В практических заданиях значительно чаще встречается именно этот, более компактный ряд. Разбираемся со значениями . Этапы решения удобно занумеровать:

0) На нулевом шаге записываем значение , которое всегда известно из условия. Следует отметить, что данное значение не равно нулю! Т.к. по условию требуется найти четыре отличных от нуля членов ряда.

1) Вычислим . Для этого в правую часть исходного уравнения вместо «игрека» подставляем известное значение получаем

2) Вычислим . Сначала находим вторую производную:

Подставляем в правую часть найдённое в предыдущем пункте значение получаем

Найдено три ненулевых члена разложения, необходим ещё один:

3) Находим третью производную - это производная от второй производной:

Так получается, что в данном задании каждая следующая производная оказывается выраженной через предыдущую производную.

Подставляем в правую часть найденное в предыдущем пункте значение получаем

Теперь подставим найденные значения в формулу Маклорена и проведём упрощения:

Ответ:

Условие рассматриваемого задания, как правило, не требует чертежа, но построение демонстрационного графика, может наглядно разъяснить сущность выполненных действий.

Изобразим точное частное решение и его приближение:

Рисунок 1

Из графического рисунка 1. видно, что уже 4 члена ряда дают достаточную точность - на довольно длинном участке дуга кубической функции практически совпала с идеальным решением. При этом оба графика проходят через точку начального условия, и естественно, что вблизи неё точность будет максимальной. Очевидно, что чем больше членов ряда мы рассмотрим, тем лучше соответствующий многочлен приблизит экспоненту.

Часто в решении задействованы производные более высоких порядков. Повторим материал:

четвёртая производная - это производная от третьей производной;

пятая производная - это производная от четвёртой и т.д.;

- обозначения 6-ой, 7-ой, 8-ой, 9-ой и 10-й производных соответственно.

Помимо римских цифр, в часто используется и такой вариант:

- обязательно со скобками, чтобы не путать производную с «игреком в степени».

Для успешного выполнения данной задачи необходимо уметь дифференцировать неявную функцию.

Далее нами будут широко применяться правило дифференцирования произведения и правило дифференцирования сложной функции

Здесь новизна в производной (вторая строка), где в качестве внешней функции выступает степень (квадрат), а в качестве вложения - производная .

Алгоритм и технику решения рассмотрим с общего случая разложения в ряд Тейлора:

Пример 2.

Найти приближённо частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию в виде трёх первых отличных от нуля членов ряда Тейлора.

Решение начинается стандартно:

Разложение частного решения дифференциального уравнения при начальном условии имеет вид:

В данной задаче , следовательно:

Теперь последовательно находим значения - до тех пор, пока не будут получены три ненулевых результата. В случае успеха, отличны от нуля будут - это идеальный случай с минимальным количеством работы.

Проводим пункты решения:

0) По условию .

1) Вычислим . Сначала разрешим исходное уравнение относительно первой производной, то есть, выразим . Подставим в правую часть известные значения

:

Данный результат не удовлетворяет, поскольку нас интересуют ненулевые значения.

2) Находим вторую производную и подставляем в правую часть известные значения:

3) Находим - производную от второй производной:

Подставим в правую часть известные значения

:

Третье ненулевое значение.

Подставляем «выделенные жирным шрифтом» числа в нашу формулу:

Ответ: искомое приближенное разложение частного решения:

В рассмотренном примере присутствовал всего один ноль на втором месте, что является хорошим результатом. В общем случае нулей может встретиться сколько угодно и где угодно. Нули очень важно выделять наряду с ненулевыми результатами, чтобы не запутаться в подстановках на завершающем этапе.

На практике заметно чаще встречается разложение в ряд Маклорена:

Пример 3.

Представить приближенно частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданному начальному условию , в виде суммы трех первых отличных от нуля членов степенного ряда.

Решение: можно сразу записать разложение Маклорена, но оформление задачи академичнее начать с общего случая:

Разложение частного решения дифференциального уравнения при начальном условии имеет вид:

В данном случае , следовательно:

Вперёд:

0) По условию .

1) Вычислим . Первая производная готова.

Подставим значения :

2) Найдём вторую производную:

И подставим в неё

:

3) Находим . Распишем подробно:

К производным применимы обычные алгебраические правила: приведение подобных слагаемых на последнем шаге и запись произведения в виде степени: (там же).

Подставим в найденное ранее

:

Три ненулевых значения получены.

Подставляем «выделенные жирным шрифтом» числа в формулу Маклорена, получая тем самым приближенное разложение частного решения:

Ответ:

Пример 4.

Решить дифференциальное уравнение приближённо с помощью разложения частного решения в ряд Маклорена, ограничившись тремя первыми ненулевыми членами ряда

Решение: перед нами дифференциальное уравнение второго порядка. По условию и нам необходимо воспользоваться рядом Маклорена. Запишем знакомое разложение, используя возможно больше слагаемых:

Алгоритм работает следующим образом:

0) - по условию.

1) - по условию.

2) Разрешим исходное уравнение относительно второй производной: .

И подставим :
Получено первое ненулевое значение.

Находим производные и выполняем подстановки:

3)

Подставим и :

4)

Подставим :

Второе ненулевое значение.

5) -приводим подобные производные.

Подставим : :

6)

Подставим :

Таким образом, приближенное разложение искомого частного решения:

Ответ:

2.3 Применение интегрирования

Интегральное исчисление раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения к решению различных математических, физических и дру-гих задач. Вместе с дифференциальным исчислением интегральное исчисление составляет основу математического анализа.

Для операции интегрирования необходимо решить два вопроса: вопрос об осуществимости операции интегрирования и вопрос об единственности операции интегрирования. Перейдем к точным математическим формулировкам. Если задана функция f ( x ) то функция h (x ), заданная для тех же значений аргумента, что и f ( x ), и удовлетворяющая условию h / ( x )= f ( x ), называется интегралом функции f ( x ) или первообразной для функции f ( x ). Переход от заданной функции f ( x) к функции h ( x ), удовлетворяющей уравнению h / ( x )= f ( x ), является операцией интегрирования.

Интегрирование возникает в математике не только как операция, обратная к дифференцированию, но также и при решении многих других задач.

Интегрирование, как процесс нахождения решения дифференциального уравнения, имеет большое прикладное значение -широко используется в механике, астрономии, физике и других науках. Такое широкое применение интегрирования объясняется тем, что многие явления и процессы, происходящие в природе, количественно описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

В медицинских приложениях:

Для определения скорости кровотока, скорости движения клапанов и стенок сердца (эхокардиография), определения вязкости крови других параметров гемодинамики;

Для описания медико-биологических приложений ультразвука: эхоэнцефалограмма, УЗИ, ультразвуковая физиотерапия и т.п.;

Для описания процессов физиологической акустики, которая изучает устройство и работу звуковоспринимающих и звуковоспроизводящих органов человека и животных.

Самая распространенная область, в которой применяются дифференциальные уравнения - математическое описание природных явлений. Также их применяют при решении задач, где невозможно установить прямую связь между некоторыми значениями, описывающими какой-либо процесс.

Такие задачи возникают в биологии, физике, экономике.

В биологии: Первой содержательной математической моделью, описывающей биологические сообщества была модель Лотки -- Вольтерры. Она описывает популяцию, состоящую из двух взаимодействующих видов. Первый из них, именуемый хищниками, при отсутствии второго вымирает по закону x? = -ax (a > 0), а второй -- жертвы -- при отсутствии хищников неограниченно размножается в соответствии с законом Мальтуса. Взаимодействие двух этих видов моделируется так. Жертвы вымирают со скоростью, равной числу встреч хищников и жертв, которое в данной модели предполагается пропорциональным численности обеих популяций, т. е. равной dxy (d > 0). Поэтому y? = by - dxy. Хищники же размножаются со скоростью, пропорциональной числу съеденных жертв: x? = -ax + cxy (c > 0). Система уравнений: x? = -ax + cxy, (1) y? = by - dxy, (2) описывающая такую популяцию хищник -- жертва и называется системой (или моделью) Лотки -- Вольтерры.

В физике: Второй закон Ньютона можно записать в форме ДУ: m((d^2)x)/(dt^2) = F(x,t), где m -- масса тела, x -- его координата, F(x, t) -- сила, действующая на тело с координатой x в момент времени t. Его решением является траектория движения тела под действием указанной силы.

В экономике: Модель естественного роста выпуска.

Будем полагать, что некоторая продукция продается по фиксированной цене Р. Обозначим через Q(t) количество продукции, реализованной на момент времени t; тогда на этот момент времени получен доход, равный PQ(t). Пусть часть указанного дохода расходуется на инвестиции в производство реализуемой продукции, т.е. I(t)=mPQ(t), (1) где m -- норма инвестиции -- постоянное число, причем 0 < т < 1.

Если исходить из предположения о полной реализации производимой продукции, то в результате расширения производства будет получен прирост дохода, часть которого опять будет использована для расширения выпуска продукции. Это приведет к росту скорости выпуска, причем скорость выпуска пропорциональна увеличению инвестиций, т.е. Q? = lI, (2) где 1/l -- норма акселерации. Подставив в (2) формулу (1), получим Q? = kQ, k=lmP. (3) ДУ (3) представляет собой уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Общее решение этого уравнения имеет вид Q = C^ekt, где С -- произвольная постоянная.

Таким образом, дифференциальные уравнения имеют достаточно широкое применение в различных областях и тем более важным представляется решение данных уравнений, в том числе и интегрирование их с помощью рядов.



Заключение

В своей работе я постарался, учитывая достаточную сложность рассматриваемого вопроса, максимально раскрыть возможности практического приложения теории рядов для интегрирования дифференциальных уравнений.

На практике встречается большое количество дифференциальных уравнений, неразрешимых аналитически точно (во всяком случае, известными на сегодняшний день способами). Иными словами, такое уравнение - проинтегрировать не удастся. Но общее решение (семейство линий на плоскости) может существовать. В этом случае на помощь приходят методы вычислительной математики.

В работе мною использованы исторические справки в кратком изложении по существу изучаемой тематики с целью более полного раскрытия и понимания рассматриваемых вопросов. В раскрытии основного вопроса использовались практические примеры с подробным описанием хода решения для более четкого понимания и осмысления решаемых задач. Примеры имеют несколько различных вариантов как поставленных задач, так и их решений.

По результатам проведенной работы, считаю поставленные цели достигнутыми.



Библиографический список

1. Аносов Д.В. Дифференциальные уравнения: то решаем, то рисуем- Издательство МЦНМО, 2008.

2. Богатова С.В. Дифференциальные уравнения. Ряды: Учебное пособие / Рязан. гос. радиотехн. акад. Рязань, 2006. 112 c.

3. Боронина Е.Б. Математический анализ. Конспект лекций. 2007 год. 160 стр.

4. Демидович Б.П. Моденов В.П. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие Лань, 3-е издание, 2008.

5. Демидович Б. П., Моденов В. П. Дифференциальные уравнения: Учебноепособие. 3-е изд., стер. СПб.: Издательство «Лань», 2008. 288 с: ил.

6. Лукьяненко А. Н. Разработка символьно-численных преобразований при интегрировании некоторых классов дифференциальных уравнений: диссертация кандидата физико-математических наук : 05.13.18 / Лукьяненко Алла Николаевна; Белгород, 2009. 140 с.

7. Пушкарь Е.А. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. М.: МГИУ, 2007. 254 с.

8. Пушкарь Е.А. Дифференциальные уравнения в задачах и примерах: Учебно-методическое пособие. М.: МГИУ, 2007. 158 с.

9. Теляковский С. А. Курс лекций по математическому анализу. Семестр II, Лекц. курсы НОЦ, 17, МИАН, М., 2011, 3-192.

10. ТеляковскийС. А. Курс лекций по математическому анализу. Семестр I, Лекц. курсы НОЦ, 11, МИАН, М., 2009, 3-210.

Размещено на Allbest.ru

...