Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут математики

УДК 512.544

01.01.06 - алгебра та теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Алгебри Лі з обмеженнями на систему доповнюваних підалгебр

Максименко Дмитро Володимирович

Київ - 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі алгебри та математичної логіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Петравчук Анатолій Петрович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри алгебри та математичної логіки

Офіційні опоненти:

- доктор фізико-математичних наук, професор Зайцев Михайло Володимирович, Московський державний університет імені М.В. Ломоносова, професор кафедри вищої алгебри;

- кандидат фізико-математичних наук, доцент Гаталевич Андрій Іванович, Львівський національний університет імені Івана Франка, доцент кафедри алгебри і логіки

Захист відбудеться 19 жовтня 2010~року о 15~годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.03 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м.~Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий 3 вересня 2010~року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Сергейчук В.В.

Анотації

Максименко Д.В. Алгебри Лі з обмеженнями на систему доповнюваних підалгебр. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра та теорія чисел. - Інститут математики НАН України, Київ, 2010.

Дисертація присвячена вивченню алгебр Лі з заданими властивостями системи підалгебр, зокрема, досліджуються алгебри Лі з доповнюваними ідеалами, суми алгебр Лі з певними властивостями.

В дисертаційній роботі дано опис скінченновимірних розв'язних алгебр Лі над алгебраїчно замкненим полем характеристики нуль в яких доповнювані всі одновимірні ідеали. Показано, що умова доповнюваності одновимірних ідеалів еквівалентна умові доповнюваності всіх підалгебр.

Також описані скінченновимірні нерозв'язні алгебри Лі над алгебраїчно замкненим полем характеристики нуль в яких доповнювані всі ідеали. Знайдені необхідні умови доповнюваності всіх ідеалів в FC алгебрі Лі над алгебраїчно замкненим полем характеристики 0.

В дисертації розглянуто поведінку нільпотентних ідеалів під дією зовнішніх диференціювань алгебри Лі. Хоча ідеал I під дією диференціювання D може переходити в підпростір алгебри Лі, але сума I+D(I) цього ідеалу і його образу вже буде ідеалом в алгебрі. Відомо, що ця сума може бути нерозв'язною, навіть коли ідеал I нільпотентний у випадку основного поля позитивної характеристики. Одним з основних результатів роботи є теорема про те, що для довільного диференціювання D алгебри Лі L ідеал I+D(I) буде нільпотентним одночасно з ідеалом I, якщо основне поле має нульову характеристику або достатньо велику характеристику p>0. Також знайдено верхню оцінку класу нільпотентності ідеалу I+D(I) в залежності від класу нільпотентності ідеалу I.

Доведено розв'язність алгебр Лі, які допускають лінійний оператор непарного порядку без ненульових нерухомих точок, що зберігає значення добутку в алгебрі Лі. Ці результати можуть бути використані при подальшому вивчені групи всіх таких перетворень J алгебри Лі L, що [J(x),J(y)]=[x,y] для довільних елементів x, y із L.

В роботі розглянуті алгебри Лі над довільним полем, які є сумою абелевої підалгебри та FC-підалгебри з нетривіальним центром. Показано, що такі алгебри Лі містять ненульовий FC-ідеал, що є аналогом для алгебр Лі відомих результатів з теорії груп.

Ключові слова: алгебра Лі, нільпотентний ідеал, диференціювання, доповнюваний ідеал, доповнювана підалгебра, FC-алгебра Лі.

Максименко Д.В. Алгебры Ли с ограничениями на систему дополняемых подалгебр - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. - Институт математики НАН Украины, Киев, 2010.

Диссертация посвящена изучению алгебр Ли с заданными свойствами своих подалгебр, в частности, исследуются алгебры Ли с дополняемыми идеалами, суммы алгебр Ли с теми или иными свойствами.

В диссертационной работе дано описание конечномерных разрешимых алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль, в которых дополняемы все одномерные идеалы. Показано, что условие дополняемости одномерных идеалов эквивалентно условию дополняемости всех подалгебр.

Также описаны конечномерные неразрешимые алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль, в которых дополняемы все идеалы. Найдены необходимые условия дополняемости всех идеалов в FC-алгебрах Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики 0.

В диссертации расмотрено поведение нильпотетных идеалов под действием внешних дифференцирований алгебры Ли. Хотя идеал I под действием дифференцирования D может перейти в подпространство алгебры Ли, но сумма I+D(I) идеала и его образа будет уже идеалом в алгебре. Известно, что эта сумма может быть неразрешимой даже тогда, когда идеал I нильпотентный в случае основного поля положительной характеристики. Одним из основных результатов роботы является теорема о том, что для произвольного дифференцирования D алгебры Ли L идеал I+D(I) будет нильпотентным вместе с идеалом I, если основное поле имеет нулевую характеристику или достаточно большую характеристику p>0. Также найдено верхнюю оценку класса нильпотентности идеала I+D(I) в зависимости от класса нильпотентности идеала I.

Доказана разрешимость алгебр Ли, которые допускают линейный оператор нечетного порядка без ненулевых неподвижных точек, который сохраняет значение произведения в алгебре Ли. Эти результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении группы всех таких преобразований J алгебры Ли L, где [J(x),J(y)]=[x,y] для произвольных элементов x,y із L.

В роботе рассмотрены алгебры Ли над произвольным полем, которые представляются в виде суммы абелевой подалгебры и FC-подалгебры с нетривиальным центром. Показано, что такие алгебры Ли содержат ненулевой FC-идеал, что является аналогом для алгебр Ли известных результатов из теории групп.

Ключевые слова: алгебра Ли, нильпотентный идеал, дифференцирование, дополняемый идеал, дополняемая подалгебра, FC-алгебра Ли.

Maksimenko D.V. Lie algebras with the restrictions on the system of complemented subalgebras - Manuscript.

Dissertation submitted in partial fulfillment of requirements for the degree of candidate of physical and mathematical sciences in speciality 01.01.06 - algebra and number theory. - Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2010.

The dissertation is devoted to the investigation of the Lie algebras with the prescribed properties of the system of their subalgebras.

In the first chapter we give a short review of the references connected with the topics studied in the dissertation.

In the second chapter we have collected some basic definitions and important facts that are widely used in the subsequent chapters.

The third chapter is devoted to Lie algebras over algebraically closed fields of characteristic zero in which all one-dimensional ideals are complemented (recall that a subalgebra A of a Lie algebra L is complemented in L if there exists a subalgebra B of L such that L=A+B, A?=0). It is shown that the following conditions for finite dimensional Lie algebras L are equivalent: (a) all one-dimensional ideals of L are complemented; (b) all subalgebras of L are complemented in L. Note that finite dimensional Lie algebras with complemented subalgebras were studied earlier by other authors (over perfect fields). A description of finite-dimensional non-solvable Lie algebras over an algebraically closed field of characteristic zero is obtained in which all ideals are complemented.

Infinite dimensional FC-algebras L with complemented ideals are also considered. We prove that such Lie algebras can be decomposed into a semidirect sum L=AxB of a metabelian ideal A of L and a subalgebra B which is a sum of finite dimensional simple Lie algebras.

The fourth chapter deals with finite dimensional Lie algebras L over arbitrary fields with an outer derivation D which acts on nilpotent ideals of L. Although the image D(I) is in general only a subspace of L but the sum I+D(I) is also an ideal of L. This ideal can be nonsolvable even in case I is abelian. One of the main result of the dissertation is the theorem which states that for an arbitrary derivation D of Lie algebra L the ideal I+D(I) is nilpotent simultaneously with the ideal I provided the base field is of characteristic zero or has characteristic p>n+1, where n is the nilpotency class of the ideal I. The known counterexamples from theory of Lie algebras show that these conditions cannot be omitted. The upper estimation of the nilpotency class of the ideal I+D(I) depending on the nilpotency class of the ideal I is also found. This nilpotency class does not exceed n(n+1)(2n+1/6+2n (this estimation is not the best possible).

Complex Lie algebras L which admit an orthogonal operator T (relatively to the Lie bracket on L, i.e. such that [T(x), T(y)]=[x, y] for all x, y from L) are studied in the fifth chapter of dissertation. Such orthogonal operators generalize the notion of abelian complex structure on Lie algebras which appear by study of some classes of complex manifolds. For such Lie algebras (maybe infinite dimensional) over the field of complex numbers it is proved that they are metabelian provided that the operator T has finite odd order and has no nonzero fixed points on L.

Lie algebras over an arbitrary field which can be represented as a sum of an abelian subalgebra and FC-subalgebra with non-trivial center are also considered in the work. FC-algebras (i.e. Lie algebras L in which the centralizer of any element is of finite codimension in L) are near simultaneously to finite dimensional and to abelian Lie algebras, so this allows us to prove that every sum of an abelian Lie algebra and an FC-algebra with nonzero center contains a non-zero FC-ideal. This is an analogue of some known results from group theory.

Keywords: Lie algebra, nilpotent ideal, derivation, complemented ideal, complemented subalgebra, FC-algebra Lie.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Дисертаційну роботу присвячено дослідженню алгебр Лі над полями (як скінченновимірних, так і нескінченновимірних) з певними обмеженнями на систему підалгебр. Ця тематика тісно пов'язана з дослідженням груп з обмеженнями на систему підгруп, які розпочалися в 60-70-ті роки минулого століття С.Н. Черніковим та його учнями (див. монографіюЧерников С.Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп. - М.: Наука, 1980. - 383с. ). Багато постановок задач, а також деякі підходи з цієї тематики в теорії груп були перенесені в інші розділи алгебри. Зокрема, в теорії алгебр Лі аналогічний напрям почав розвиватися в роботах О. КегеляKegel O. H. Zur Nilpotenz gewisser assiziativer Ringe // Мath. Ann. - 1963.- 149. - №3 - S.258-260. та М. ГотоGoto М. Note on a characterization of solvable Lie algebras // J. Sci. Hiroshima Univ. Ser. Al. - 1962.- 26. - №1 - P.1-2. , в подальшому алгебри Лі з обмеженнями на системи підалгебр вивчалися багатьма авторами (див. монографіюAmayo R., Stewart I. Infinite dimensional Lie algebras. - Leyden: Noordhoof, 1974).

Одним із обмежень на систему підалгебр алгебри Лі L є доповнюваність в ній тих чи інших підалгебр чи ідеалів. Цей напрям в теорії алгебр Лі тісно пов'язана з добре відомою аналогічною тематикою в теорії груп. Багато глибоких результатів в цьому напрямі в теорії груп було отримано в роботах С.М. Чернікова, Д.І. Зайцева, Н.В. Чернікової та інших. Зокрема, одним із важливих питань тут було питання про будову груп, в яких доповнювані всі нормальні дільники. Як показують результати Д.І. ЗайцеваЗайцев Д.И. Нормально факторизуемые группы // Сб. Группы с системами дополняемых подгрупп. - Киев: Ин-т математики АН УССР. - 1971. - С.6-33 такі групи (вони отримали назву нормально факторизованих груп) можуть бути достатньо складними. Тому цікавим є питання про будову алгебр Лі, в яких доповнювані всі ідеали або лише деякі з них, наприклад, одновимірні ідеали (нагадаємо, що підалгебра A алгебри Лі L доповнювана в L, якщо існує підалгебра B із L така, що L=A+B i A?B=0). Деякі властивості алгебр Лі зі схожими умовами на системи підалгебр були встановлені в робота Д. Тауерса, Н. Ємсірі та інших, але опису алгебр Лі з доповнюваними ідеалами не було. В роботі А.П. ПетравчукаПетравчук А.П. Алгебри Лі з доповнюваними одновимірними підалгебрами // Вісник Київського університету, "Мат. мех." - 1999. - вип.3. - С.32-37. була встановлена будова скінченновимірних алгебр Лі, в яких доповнювані всі підалгебри, над досконалим полем характеристики ?2 і довільним полем характеристики p=2 і була доведена еквівалентність доповнюваності всіх підалгебр і доповнюваності лише одновимірних підалгебр в скінченновимірних алгебрах Лі. Такі алгебри Лі є аналогом цілком факторизованих груп, які були описані Н.В. Черніковою в роботіЧерникова Н.В. Группы с дополняемыми подгруппами // Матем. сб. - 1956. - 3. - С.273-292 .

Питання про будову алгебр Лі, в яких доповнювані всі ідеали або доповнювані лише тільки одновимірні ідеали в загальному випадку навіть для скінченновимірних алгебр Лі виявилося достатньо складними. Але для деяких класів алгебр Лі з такими умовами доповнюваності можна досить багато сказати про їх структуру. В дисертаційній роботі вивчаються скінченновимірні розв'язні алгебри Лі, в яких доповнювані одновимірні ідеали, нерозв'язні скінченновимірні та FC-алгебри Лі, в яких доповнювані всі ідеали. Виявилося, що такі алгебри представляються у вигляді напівпрямої суми деяких своїх підалгебр з достатньо "гарними" властивостями. Дослідженню таких алгебр Лі і присвячено третій розділ дисертаційної роботи.

Іншим обмеженням на систему підалгебр алгебри Лі є розклад цієї алгебри в суму двох своїх підалгебр (як підпросторів) з певними властивостями. Зокрема, в теорії алгебр Лі ще в 60-х роках минулого століття О.Кегель поставив питання про алгебри Лі, які є сумою двох своїх нільпотентних підалгебр (під впливом відомої теореми Кегеля-Віландта про розв'язність скінченної групи, яка є добутком попарно переставних нільпотентних підгруп). Це питання привернуло увагу багатьох математиків (М. Гото, А.І. Кострикіна, Ю.А. Бахтуріна, О. Гейна, В. Панюкова, А.П. Петравчука та інших) і для скінченновимірних алгебр Лі воно було розв'язано: позитивно М. Гото у випадку основного поля характеристики нуль і В.В. ПанюковимПанюков В.В. О разрешимости конечномерной алгебры Ли положительной характеристики // Успехи мат. наук - 1990.- 45. - №4 - С.163-164. у випадку поля характеристики p>2, і негативно А.П. ПетравчукомПетравчук А.П. Алгебры Ли, разложимые в сумму абелевой и нильпотентной подалгебр// Укр. мат. журнал. - 1988.- 40. - №3 - С.385-388. у випадку поля характеристики p=2. В загальному ж випадку питання О.Кегеля залишається відкритим: невідомо чи буде розв'язною нескінченновимірна алгебра Лі над полем характеристики ?2, яка є сумою двох своїх нільпотентних підалгебр. Зауважимо, що в деяких випадках відповідь позитивна: якщо L=A+B, де підалгебри A i B абелеві, то L розв'язна ступеня ?2, розв'язною така алгебра Лі буде і у випадку коли A - абелева і B - нільпотентна підалгебри. Мало досліджені також суми абелевої алгебри Лі та алгебри Лі з певними обмеженнями.

Близькими до сум нільпотентних алгебр Лі є суми вигляду I+D(I), які виникають при вивченні поведінки нільпотентного ідеалу I алгебри Лі L під дією довільного диференціювання D Неважко довести, що ця сума є ідеалом алгебри Лі L і її властивості у випадку основного поля характеристики нуль вивчалися Б. Хартлі в роботіHartley B. Locally nilpotent ideals of a Lie algebra // Proc. Cambridge Phil. Soc., (1967), 257-272. . Зауважимо, що питання такого сорту часто зустрічаються в теорії груп, де розглядається поведінка нормальних дільників під дією зовнішніх автоморфізмів. Застосовуючи формальні степеневі ряди Б. Хартлі довів, що тоді I+D(I) є нільпотентним ідеалом класу нільпотентності не вище ніж 2n Як наслідок, звідси отримано характеристичність ідеалу алгебри Лі (в характеристиці 0), який є сумою всіх її нільпотентних ідеалів. В загальному випадку цей результат не переноситься на алгебри Лі над полями позитивної характеристики, як показує відомий приклад алгебри Лі із книги ДжекобсонаДжекобсон Н. Алгебры Ли. // М.: Мир, 1964. над полем характеристики p>0, в якій розв'язний (і нільпотентний) радикал не є характеристичним ідеалом. Використовуючи достатньо складну техніку комутаторного числення в розділі 4 дисертаційної роботи досліджено, при яких обмеженнях на характеристику основного поля для алгебр Лі над полями характеристики p>0 сума I+D(I) буде нільпотентною і отримано оцінки згори для класу нільпотентності цієї суми в залежності від класу нільпотентності ідеалу I Звідси випливає характеристичність суми всіх нільпотентних ідеалів такої алгебри Лі при тих же обмеженнях на характеристику поля. Слід зазначити також, що схожі питання, але для асоціативних алгебр розглядаються в роботіЛучко В.С., О действии дифференцирований на нильпотентные идеалы ассоциативных алгебр// Український математичний журн. - 2009. - т.61, № 7. - С.1000-1004. Зокрема в ній показано, що якщо I - нільпотентний індексу n ідеал в асоціативній алгебрі, а D довільне диференціювання цієї алгебри, то ідеал I+D(I) буде нільпотентним індексу не більше n² при умові, що або характеристика p основного поля нульова, або p>n.

Зауважимо, що розклад алгебри Лі в суму двох своїх підалгебр, які або абелеві, або близькі до абелевих виникає природнім чином при дослідженні абелевих комплексних структур на алгебрах Лі. Комплексні структури на групах Лі з келеровими зв'язностями природнім чином переносяться на дотичні простори зі структурою алгебри Лі і їх вивченню присвячено багато робіт спеціалістів з диференціальної геометрії: в роботах М. Барберіс, І. Дотті та А. ФіноM. Barberis, I. Dotti, Abelian complex structures on solvable Lie algebras // Journal of Lie Theory. - 2004, v.14. - P.25-34. ,M. Barberis, I. Dotti, R. Miatello On certain locally homogeneous Clifford manifolds // Ann. Glob. An. Geometry. - 1995, v.13. - P.289-301 вивчалися дійсні алгебри Лі з абелевими комплексними структурами і там природньо виникає питання про властивості алгебри Лі, на якій задано деякий аналог ортогонального оператора (нагадаємо, що абелева комплексна структура на дійсній алгебрі Лі L це лінійний оператор J такий, що

J²=-E, [J(x),J(y)]=[x,y]

для всіх x,y із L). Наявність такого оператора насправді дає розклад алгебри Лі в суму двох своїх абелевих підалгебр, що зразу ж дає її метабелевість. Тому цікавим є питання про алгебри Лі, які допускають лінійний оператор T такий, що [T(x), T(y)]=[x,y] для довільних x,y із L Дослідженню алгебр Лі над алгебраїчно замкненими полями характеристики нуль з такими ортогональними операторами і присвячено розділ 5 дисертаційної роботи. Вказано достатні умови розв'язності таких алгебр Лі у випадку, коли лінійний оператор T має скінченний порядок. Розглянуто також деякі числові характеристики сум алгебр Лі з певними обмеженнями. Все вищезгадане свідчить про актуальність тематики, пов'язаної з вивченням алгебр Лі з обмеженнями на систему підалгебр.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційну роботу виконано в рамках держбюджетної дослідницької теми 06БФ 038 "Розробка алгебраїчних і геометричних методів дослідження з використанням комбінаторних та категорних підходів", що виконується на кафедрі алгебри та математичної логіки механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка (номер державної реєстрації 0106U005862).

Мета i завдання дослідження. Метою дослідження є вивчення будови скінченновимірних алгебр Лі з доповнюваними ідеалами над полем характеристики нуль, опис алгебр Лі, які представляються у вигляді суми двох підалгебр певного класу, а також дослідження дії зовнішніх диференціювань на нільпотентні ідеали алгебр Лі над полем як нульової, так і позитивної характеристики.

Об'єктом дослідження є класи алгебр Лі, в яких доповнювані ідеали і алгебри Лі, які є сумою підалгебр певного класу, зокрема, алгебри Лі з ортогональними операторами.

Предмет дослідження - доповнювані ідеали в нільпотентних та розв'язних скінченновимірних алгебрах Лі, FC-ідеали нескінченновимірних алгебр Лі, образи нільпотентних ідеалів при зовнішніх диференціюваннях в модулярних алгебрах Лі.

Методи дослідження. При дослідженні використовувалися в основному методи теорії алгебр Лі, методи лінійної алгебри, а також деякі підходи із теорії груп.

*Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації автором отримано нові теоретичні результати, основними із яких є такі:

1. дано опис скінченновимірних розв'язних алгебр Лі над алгебраїчно замкненим полем характеристики 0, в яких доповнювані всі одновимірні ідеали. Показано, що для таких алгебр Лі умова доповнюваності всіх одновимірних ідеалів еквівалентна умові доповнюваності всіх підалгебр;

2. описано будову скінченновимірних нерозв'язних алгебр Лі, в яких доповнювані всі ідеали;

3. знайдено необхідні умови доповнюваності всіх ідеалів в FC-алгебрах Лі над алгебраїчно замкненим полем характеристики нуль;

4. для довільного нільпотентного ідеалу I класу нільпотентності n довільної алгебри Лі L над полем позитивної характеристики і довільного диференціювання D алгебри L показана нільпотентність суми I+D(I) при певних обмеженнях на характеристику поля;

5. доведена розв'язність алгебри Лі над полем комплексних чисел, яка допускає ортогональний оператор скінченого непарного порядку без ненульових нерухомих точок.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер і можуть бути використані в теорії алгебр Лі, теорії груп та суміжних розділах математики.

Особистий внесок здобувача. Усі результати, що ввійшли в дисертаційну роботу, одержані самостійно, або за особистою участю автора. А саме: теореми 3.1.5, 3.2.1, 3.3.1, 4.2.2, 5.1.2, дисертаційної роботи отримано автором самостійно.

Теорема 3.1.4 отримана спільно з А.П. Петравчуком при рівному й нероздільному внеску співавторів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідалися

· на Першому Математичному конгресі України (Київ, серпень 2002р.)

· на Четвертій Міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (Львів, серпень 2003 р.).

· на Міжнародній алгебраїчній конференції з теорії радикалів ICOR-2006 (Київ, липень-серпень 2006 р.);

· на Сьомій Міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (Харків, серпень 2009 р.).

Публікації. Результати дисертації викладено в 4 наукових статтях, основні результати опубліковано в 3 статтях в журналах, що входять до переліку наукових фахових видань ВАК України та у 3 тезах доповідей на міжнародних наукових конференціях. Список публікацій наведено в кінці автореферату.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, п'яти розділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг роботи - 111 сторінок, з них список використаних джерел займає місце з 105 по 111 сторінку і містить 64 найменування.

Основний зміст роботи

алгебра лі одновимірний ідеал

Основна частина роботи складається із п'яти розділів. На початку кожного розділу подається короткий зміст підрозділів даного розділу.

У розділі 1 наводиться огляд літератури, пов'язаної з тематикою досліджень, що проводилися здобувачем.

У розділі 2 наведено означення основних понять, що використовуються у роботі, а також сформульовано важливі для подальшого викладу результати. Нагадаємо деякі з них.

Централізатором підмножини N в підалгебрі M алгебри Лі L називатимемо множину

C_M(N)={x \in M: [x,N]=0}

Центром Z(L) алгебри Лі L називається Z(L)=C_L(L).

Нижнім центральним рядом алгебри Лі L називається ряд ідеалів

L=L¹\supset L² \supset … \supset Lⁿ \supset …,

де L:= [L, L^i-1, тобто L²=[L, L], L³=[L, [L, L]], L⁴=[L,[L,[L, L]]] і т. д.

Алгебра Лі називається нільпотентною якщо її нижній центральний ряд закінчується нулем, тобто існує таке число n, що Lⁿ=0. Найменше таке n, що Lⁿ⁺¹=0 називається класом нільпотентності (ступенем нільпотентності) алгебри Лі L.

В наступному твердженні зібрані основні властивості нільпотентних алгебр Лі, які без посилань використовуються в подальшому.

Твердження 2.0.1

1) якщо алгебра Лі L нільпотентна, то всі її підалгебри і гомоморфні образи нільпотентні;

2) Якщо нільпотентна фактор-алгебра L/Z(L), то нільпотентна і сама алгебра L;

3) Якщо алгебра Лі L нільпотентна і I?0 - її ідеал, то I? Z(L)?0, зокрема центр ненульової нільпотентної алгебри Лі відмінний від нуля.

Твердження 2.0.2 { (теорема Лі) Якщо L - розв'язна алгебра Лі лінійних перетворень скінченновимірного векторного простору V над алгебраїчно замкненим полем характеристики нуль, то матриці з L можуть бути одночасно приведені до трикутного вигляду.

Похідним рядом алгебри Лі L називається ряд ідеалів

L=L^{(0)}\supset L^{(1)}\supset \dots \supset L^{(n)}\supset\dots,

де L^{i}\defeq [L^{(i-1)}, L^{(i-1)}], тобто L^{(1)}=[L, L]=L^2, \ \ L^{(2)}=[[L, L],[L, L]] і т.д.

Замість L^{(1)} часто використовується L' (перша похідна алгебра), а замість L^{(2)} пишуть L'' (друга похідна алгебра).

Алгебра Лі називається розв'язною, якщо її похідний ряд закінчується нулем, тобто існує таке число n, що L^{(n)}=0.

Найменше таке n називається ступенем розв'язності (розв'язною довжиною) алгебри Лі L.

Зрозуміло, що розв'язними алгебрами ступеня розв'язності один є абелеві алгебри.

Зображенням алгебри Лі L називається гомоморфізм \phi : L\to gl(V), де V - скінченновимірний векторний простір над полем F. Приєднане зображення ad : L\to gl(L) задається за правилом ad x(y)=[x, y], тобто елементу x алгебри Лі L співставляється лінійний оператор на векторному просторі L, який елемент y переводить в елемент [x, y].

Алгебра Лі L називається FC-алгеброю Лі (або ідеально скінченою), якщо централізатор кожного її елемента має скінчену ковимірність в L.

Лема 2.0.11 Якщо L є FC-алгеброю Лі, то довільний скінченновимірний F-підпростір з L міститься в деякому скінченновимірному ідеалі алгебри L. Для довільної алгебри Лі L її FC-центр FC(L) є характеристичним ідеалом в L.}

Розділ 3 присвячено дослідженню алгебр Лі з доповнюваними ідеалами.

Підалгебру A алгебри Лі L будемо називати \textit{доповнюваною} в L, якщо існує підалгебра B\subseteq L така, що L=A+B,\, A\cap B=0. Це означення є аналогом означення доповнюваної підгрупи з теорії груп. Вивченню груп, в яких доповнювані всі нормальні підгрупи присвячено багато робіт, але такі групи не описані навіть у розв'язному випадку.

В дисертаційній роботі спочатку розглядаються розв'язні скінченновимірні алгебри Лі над алгебраїчно замкненим полем характеристики нуль, в яких доповнювані всі одновимірні ідеали.

Лема 3.1.2 Нехай L - алгебра Лі над довільним полем характеристики нуль, в якій доповнювані всі ідеали. Якщо I - розв'язний скінченновимірний ідеал із L, то I є метабелевим.

Наслідок 3.1.3 Нехай L - скінченновимірна алгебра Лі над довільним полем характеристики нуль. Якщо в L доповнювані всі ідеали, то розв'язний радикал S алгебри L метабелевий.

Лема 3.1.4 Нехай L - скінченновимірна розв'язна алгебра Лі над довільним полем характеристики нуль. В алгебрі L доповнювані всі ідеали тоді і тільки тоді, коли L розкладається в напівпряму суму L=AxB, де абелевий ідеал A розкладається в пряму суму A=N_1\oplus\dots \oplus N_k, k\geq 0 мінімальних ідеалів алгебри L, а підалгебра B - абелева.

Наступна теорема зводить вивчення розв'язних алгебр Лі з доповнюваними одновимірними ідеалами до алгебр Лі, в яких доповнювані всі підалгебри (будова цих алгебр була знайдена А.Петравчуком Петравчук А.П. Алгебри Лі з доповнюваними одновимірними підалгебрами // Вісник Київського університету, "Мат. мех." - 1999. - вип.3. - С.32-37. .

Теорема 3.1.5 Нехай L - скінченновимірна розв'язна алгебра Лі над алгебраїчно замкненим полем характеристики нуль. В алгебрі L доповнювані всі одновимірні ідеали тоді і тільки тоді, коли в L доповнювані всі підалгебри.

В наступній частині цього розділу вивчаються скінченновимірні нерозв'язні алгебри Лі з доповнюваними ідеалами. Основним результатом є наступна теорема.

Теорема 3.2.1 Нехай L - нерозв'язна скінченновимірна алгебра Лі над алгебраїчно замкненим полем характеристики нуль. В алгебрі L доповнювані всі ідеали тоді і тільки тоді, коли L розкладається в напівпряму суму L=AxB, де A - абелевий ідеал з L, який зображується у вигляді прямої суми A=N_1\oplus\dots\oplus N_k, k\geq 0 мінімальних ідеалів алгебри L, а підалгебра B -редуктивна підалгебра.

Далі в дисертаційній роботі вивчаються нескінченновимірні алгебри Лі з доповнюваними ідеалами, а саме, FC-алгебри Лі з доповнюваними ідеалами при умові, що основне поле має характеристику нуль і є алгебраїчно замкненим.

Теорема 3.3.1 Нехай L - FC-алгебра Лі над алгебраїчно замкненим полем характеристики нуль. Якщо в алгебрі L доповнювані всі ідеали, то L розкладається в напівпряму суму L=AxB, де A - деякий метабелевий ідеал алгебри L, B - пряма сума скінченновимірних простих підалгебр.

В розділі 4 вивчаються диференціювання нільпотентних ідеалів в алгебрах Лі. Відомо, що ніль-радикал скінченновимірної алгебри Лі над полем характеристики 0 є характеристичним ідеалом, тобто є інваріантним відносно довільного диференціювання цієї алгебри. В роботі Б. Хартлі Hartley B. Locally nilpotent ideals of a Lie algebra /Hartley B.// Proc. Cambridge Phil. Soc., {\bf 63} (1967), 257--272. було показано, що для довільної алгебри Лі L (не обов'язково скінченновимірної) над полем характеристики 0 образ D(I) нільпотентного ідеалу I із L при диференціюванні D<Der(L) лежить в деякому нільпотентному ідеалі алгебри Лі L. При цьому, якщо клас нільпотентності ідеалу I дорівнює n, то клас нільпотентності ідеалу, в якому лежить D(I), не більш ніж 2n. Вимога нульової характеристики основного поля є істотною при доведенні цього твердження.

Використовуючи підходи, аналогічні тим, які використані в роботі А.П. Петравчука Petravchuk A.P. On behaviour of solvable ideals of Lie algebras under outer derivations // Communications in Algebra. -- 2010. -- v.38, issue 6. -- P.2311-2316. при розгляді поведінки розв'язних ідеалів при зовнішніх диференціюваннях, в даній дисертаційній роботі показано, що образ нільпотентного ідеалу класу n з алгебри Лі L над полем F при зовнішньому диференціюванні лежить в нільпотентному ідеалі при умові, що n< p, де p={\rm char} F. Методи дослідження тут зовсім інші в порівнянні з методами Б.Хартлі, оскільки перехід від диференціювань до автоморфізмів в загальному випадку неможливий для алгебр Лі над полями позитивної характеристики.

Через Der(L) позначається алгебра Лі всіх диференціювань алгебри Лі L. Якщо D \in Der (L) и T F-підпростір алгебри Лі L, то для зручності будемо позначати

D^{0}(T)=T, \ D^{k}(T)=D(D^{k-1}(T)) для k>1.

Для довільних елементів x₁,…,x_m є L, довільного диференціювання D< Der(L) і довільного натурального n>1 виконується співвідношення:

Dn([x_1,\dots,x_m])=\sum_{k_1+\dots+k_m=n}\frac{n!}{k_1!\dotsk_m!}[D^{k_1}(x_1),\dots,D^{k_m}(x_m)]

(сумування ведеться за всіма невід'ємними k₁,…,k_m). Це так аналог так званої поліноміальної формули, добре відомої з курсу дискретної математики. Частковим випадком цієї формули є правило Лейбніца

D^{n}([x, y])=\sum _{k=0}^{n}{n\choose k}[D^{k}(x), D^{n-k}(y)]

для довільних елементів x, y\in L и D\in Der (L).

Лема 4.1.2 Нехай L - алгебра Лі над довільним полем, I - ідеал в L, D\in \Der(L). Тоді для будь-яких x_{1},\dots,x_{s} \in I и для будь-якого натурального m<s має місце співвідношення:

D^m([x_1,\dots,x_{s}])\in I^{s-m}.

Лема 4.1.3 Нехай I - нільпотентний класу n ідеал в алгебрі Лі L над полем K нульової характеристики або характеристики p>n+1, D\in \Der(L). Тоді

(I+D(I))^{n+1}\subseteq{}I.

Наступна лема є базою індукції для основного твердження розділу.

Лема 4.1.4 Нехай I - нільпотентний класу n ідеал в алгебрі Лі L над полем нульової характеристики або характеристики p>n+1, D\in \Der(L). Тоді

[I,\underbrace{D(I),\dots,D(I)}_{n+1}]\subseteqI^2.

Лема 4.2.1 Нехай I - нільпотентний ідеал класу нільпотентності n в алгебрі Лі L

над полем нульової характеристики або характеристики p>n+1, D\in \Der(L). Тоді існує функція f_n(m) натурального аргументу m така, що

f_n(m)=f_n(m-1)+n-m+1, f_n(1)=n+1

i [I^m,\underbrace{D(I),\dots,D(I)}_{f_n(m)}]\subseteq I^{m+1}

для m=1,\dots,n.

Теорема 4.2.2 Нехай I - нільпотентний класу n ідеал в алгебрі Лі L

над полем нульової характеристики або характеристики p>n+1, D\in{}Der(L). Тоді I+D(I) є нільпотентним ідеалом в алгебрі L класу нільпотентності не більш ніж n(n+1)(2n+1)/6 + 2n.

Зауваження 4.2.3 Зазначимо, що оцінка класу нільпотентності ідеалу I+D(I) з попередньої теореми є достатньо грубою. В якості прикладу можна розглянути нільпотентний класу 2 ідеал I\subseteq L. Прямим підрахунком неважко переконатися, що клас його нільпотентності не перевищує 8. Оцінка верхньої границі класу нільпотентності, обчисленої згідно теореми 4.2.2, дорівнює 9. Таким чином, ми отримали кращу ніж в теоремі оцінку класу нільпотентності ідеалу I+D(I).

Наслідок 4.2.4 Нехай L - алгебра Лі (необов'язково скінченновимірна) над полем F, і нехай N(L) - це сума всіх нільпотентних ідеалів в L. Якщо ідеал N(L) є нільпотентним, то він є характеристичним у таких випадках:

A. charF=p>0 і клас нільпотентності N(L) менше ніж p-1;

Б. charF=0. }

У розділі 5 вивчаються властивості алгебр Лі L з заданим ортогональним оператором, а також алгебр Лі, які можна представити у вигляді суми L=A+B двох своїх підалгебр A та B, причому підалгебра A є абелевою, а підалгебра B може бути FC-алгеброю чи редуктивною алгеброю Лі.

В роботах А.П. Петравчука Петравчук А.П. О сумме двух алгебр Ли с конечномерными комутантами // Укр. матем. журнал. - 1995. 47. no.8. - С.1089-1096. Петравчук А.П. О разрешимости алгебры Ли, разложимой в сумму абелевой и

нильпотентной подалгебр // Укр. матем. журнал. - 1991. 43. no.7-8. - С.986-991. була показана розв'язність алгебр Лі, які є сумою абелевої та нільпотентної алгебр Лі, а також розв'язність алгебр, які є сумою двох нільпотентних підалгебр зі скінченновимірними комутантами. В цьому розділі також визначається верхня оцінка ступеня розв'язності таких алгебр Лі.

Основні результати розділу сформульовані в наступних теоремах.

Лема 5.1.1 Нехай L - довільна алгебра Лі над полем комплексних чисел і J: L\rightarrow L таке лінійне перетворення L, що J^n=id_L для деякого натурального n\geq 2. Покладемо L_k=\{x\in L: Jx=\omega^kx\}, де \omega - фіксований примітивний корінь ступеня n з 1, k=0,\dots,n-1. Тоді

1) L_k - підпростір з L, інваріантний відносно J;

2) L=L_0\oplus L_1 \oplus \dots \oplus L_{n-1} - пряма сума векторних підпросторів з L;

3) Якщо [J(x),J(y)]=[x,y] для довільних елементів x,y\in L, то

[L_k,L_m]=0, якщо k+m\not =0~ (mod\, n).

Теорема 5.1.2 Нехай L - довільна (необов'язково скінченновимірна) алгебра Лі над полем комплексних чисел і J: L \rightarrow L - таке лінійне перетворення, що J^n=id_L для деякого непарного натурального n\geq 3 і [J(x),J(y)]=[x,y] для довільних елементів x,y\in L. Якщо J не має ненульових нерухомих точок, то алгебра L розв'язна ступеня \leq 2. }

Зауваження 5.1.4 Твердження останньої теореми залишається справедливим і тоді, коли алгебра Лі L розглядається над довільним полем F або нульової характеристики, або простої характеристики p за умови, що p не ділить порядок n оператора J.

В наступному підрозділі цього розділу вивчаються сума абелевої та FC-алгебри Лі.

Лема 5.2.1 Припустимо, що алгебра Лі L розкладається в суму L=A+B, де A є абелевою підалгеброю, а B - деяка підалгебра з L. Тоді

[A,Z(B)]^2\subseteq{[B,B]}

Лема 5.2.4 Нехай алгебра Лі L розкладається в суму L=A+B, де A - абелева підалгебра і B - FC-підалгебра з L. Якщо [A,z_0]\cap B\not =0 для деякогоелемента z_0 \in Z(B), то алгебра L містить ненульовий FC-ідеал.

Теорема 5.2.6 Нехай L - алгебра Лі над довільним полем, яка розкладається в суму L=A+B, де A - абелева підалгебра, B - FC-підалгебра із L. Якщо Z(B)\not=0, то алгебра L містить ненульовий FC-ідеал.}

Застосовуючи підходи, використані у вище зазначених роботах А.П. Петравчука, вдається знайти верхню оцінку ступеня розв'язності алгебри Лі L над полем характеристики \not=2, яка розкладається в суму абелевої та нільпотентної підалгебр A та B відповідно, в залежності від класу нільпотентності під алгебри B.

Теорема 5.3.2 Нехай алгебра Лі L над полем K характеристики ?2 розкладається в суму абелевої підалгебри A та нільпотентної класу n підалгебри B. Тоді алгебра L є розв'язною ступеня не більше 3\cdotp2^n+n-3

В наступному підрозділі розглядається оцінка ступеня розв'язності суми двох нільпотентних алгебр Лі зі скінченновимірними комутантами. Спочатку вивчається більш простий випадок суми абелевої алгебри та нільпотентної алгебри зі скінченновимірним комутантом.

Лема 5.3.5 Нехай алгебра Лі L над полем характеристики ?2 розкладається в суму абелевої підалгебри A та нільпотентної підалгебри B зі скінченновимірним комутантом B'. Тоді ступінь розв'язності алгебри L не перевищує (n+1)(n+4)/2, де n=dimB'.

Далі розглядається більш загальний випадок.

Теорема 5.3.6 Нехай алгебра Лі L над полем характеристики ?2 розкладається в суму L=A+B, де підалгебри A та B нільпотентні зі скінченновимірними комутантами. Тоді ступінь розв'язності алгебри L не перевищує (n+1)(n+4)/2, де

n=dimA'+dimB'.

Висновки

В дисертаційній роботі автором отримано нові теоретичні результати пов'язані з вивченням скінченновимірних алгебр Лі з доповнюваними одновимірними ідеалами, дією диференціювань на нільпотентні ідеали алгебр Лі над полями позитивної характеристики, властивостями алгебр Лі, на яких задано ортогональний оператор без ненульових нерухомих точок.

Основними науковими результатами є наступні:

· дано опис скінченновимірних розв'язних алгебр Лі над алгебраїчно замкненим полем характеристики 0, в яких доповнювані всі одновимірні ідеали. Показано, що для таких алгебр Лі умова доповнюваності всіх одновимірних ідеалів еквівалентна умові доповнюваності всіх підалгебр;

· описано будову скінченновимірних нерозв'язних алгебр Лі над полями характеристик нуль, в яких доповнювані всі ідеали;

· знайдено необхідні умови доповнюваності всіх ідеалів в FC-алгебрах Лі над алгебраїчно замкненим полем характеристики нуль;

· для довільного нільпотентного ідеалу I класу нільпотентності n будь-якої алгебри Лі L над полем позитивної характеристики і довільного диференціювання D алгебри L показана нільпотентність суми I+D(I) при певних обмеженнях на характеристику поля;

· доведена розв'язність алгебри Лі над полем комплексних чисел, яка допускає ортогональний оператор скінченого непарного порядку без ненульових нерухомих точок.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівнику, професору А.П. Петравчуку за постановку розглянутих в дисертаційній роботі питань, постійну увагу і підтримку в роботі.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Maksimenko D.V. On action of outer derivations on nilpotent ideals of Lie algebras /Maksimenko D.V.// Algebra and Discrete Mathematics, no.1,(2009), P.74-82

2. Петравчук А.П. Про розв'язність алгебри Лі, на якій задано ортогональний оператор без нерухомих точок /Петравчук А.П., Максименко Д.В.// Вісник Київського університету, Математика. - 2003. - вип.10. - С.123-124.

3. Максименко Д.В. Алгебри Лі з доповнюваними ідеалами /Максименко Д.В., Петравчук А.П.// Вісник Київського університету, "Мат. мех.". - 2005. - вип.13-14. - С.105-108.

4. Петравчук А.П. О сумме абелевой алгебры Ли и FC-алгебры Ли с нетривиальным центром /Петравчук А.П., Максименко Д.В.// Алгебраїчні структури та їх застосування. Праці укр. матем. конгресу - 2001. - К.: Ін-т математики НАН України, 2002ю - С.100-105.

5. Максименко Д.В. Алгебри Лі з доповнюваними ідеалами /Максименко Д.В., Петравчук А.П.// Матеріали Х-ої Міжнародної наукової конференції ім. акад. М.Кравчука (13-15 травня 2004 р.). - Київ. - 2004.

6. Максименко Д.В. Про дію зовнішніх диференціювань на нільпотентні ідеали в алгебрах Лі /Максименко Д.В.// Матеріали Сьомої Міжнародної алгебраїчної конференції в Україні (Харків, серпень 2009 р.) - Харків. - 2009. - С.93-94.

7. Максименко Д.В. Про алгебри Лі з деякими властивостями підалгебр /Максименко Д.В.// Матеріали Міжнародної алгебраїчної конференції з теорії радикалів ICOR-2006 (Київ, липень-серпень 2006 р.). - Київ. - 2006. - С.49-50.

Размещено на Allbest.ru

...