Деякі теореми порівняння для опуклих гіперповерхонь в однозв’язних фінслерових просторах недодатної флагової кривини

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ФІЗИКО-ТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ НИЗЬКИХ ТЕМПЕРАТУР ІМЕНІ Б.І. ВЄРКІНА

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Деякі теореми порівняння для опуклих гіперповерхонь в однозв'язних фінслерових просторах недодатної флагової кривини

01.01.04 - геометрія і топологія

Олін Євген Андрійович

Харків - 2010

Анотація

Олін Є.А. Деякі теореми порівняння для опуклих гіперповерхонь в однозв'язних фінслерових просторах недодатної флагової кривини. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.04 - геометрія і топологія. Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна, Харків,2010.

У дисертації вивчено опуклі гіперповерхні в повних однозв'язних фінслерових просторах недодатної флагової кривини.

Узагальнено теорему порівняння Рауха довжин полів Якобі при експоненційному відображенні відносно гіперповерхні в фінслеровому просторі. Знайдено умови, за якими зовнішні паралельні гіперповерхні до локально опуклої гіперповерхні в фінслеровому просторі недодатної флагової кривини будуть регулярними і локально опуклими. Знайдено обмеження на флагову і Т-кривину простору, і на нормальну кривину гіперповерхні, за яких дана занурена гіперповерхня є вкладеною, опуклою і гомеоморфою сфері, а тіло, їй обмежене, гомеоморфне кулі. Знайдено верхня та нижні оцінки відношення об'єму Буземана-Хаусдорфа геодезичної кулі до зовнішньо-індукованої площі її поверхні в повному однозв'язному фінслеровому просторі недодатної флагової кривини з обмеженою S-кривиною, а також асимптотичні оцінки, коли радіус кулі прямує до нескінченності. Оцінено експоненційну швидкість зростання об'єму куль в таких просторах. Показано, що експоненційна швидкість зростання площі Буземана-Хаусдорфа гіперсфер геометрії Гільберта співпадає з експоненційною швидкістю зростання площі гіперсфер геометрії Лобачевського. Отримано асимптотичні верхня та нижня оцінки відношення об'єму Буземана-Хаусдорфа геодезичної кулі до площі Буземана-Хаусдорфа її поверхні, коли радіус кулі прямує до нескінченності. Також доведено, що у абсолюту зовнішньо-індукована площа гіперсфери співпадає з площею Буземана-Хаусдорфа. Показано, що границі кривин Рунда, Фінслера кола геометрії Гільберта і нормальної кривини гіперсфери геометрії Гільберта дорівнюють одиниці, коли радіус прямує до нескінченності. Доведено, що Т-кривина геометрії Гільберта прямує до нуля, коли точка прямує до абсолюту.

Ключові слова: фінслерова геометрія, геометрія Гільберта, локальна опуклість, об'єм Буземана-Хаусдорфа, куля, сфера, флагова кривина, неріманова кривина, нормальна кривина, кривина Рунда, кривина Фінслера.

Аннотация

Олин Е.А. Некоторые теоремы сравнения для выпуклых поверхностей в односвязных финслеровых пространствах неположительной флаговой кривизны. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.04 - геометрия и топология. Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина, Харьков, 2010.

Диссертация посвящена изучению внешней геометрии выпуклых гиперповерхностей в полных односвязных финслеровых многообразиях неположительной флаговой кривизны и в геометрии Гильберта.

С.М. Александер показала, что погружение локально выпуклой гиперповерхности в полное односвязное риманово пространство неположительной секционной кривизны есть вложение как граница выпуклого тела. В диссертации обобщена теорема С. Александер на случай погружений локально выпуклых гиперповерхностей в полные односвязные финслеровы многообразия неположительной флаговой кривизны с ограниченной -кривизной. Для этого обобщена теорема сравнения Рауха для экспоненциального отображения относительно гиперповерхности в финслеровом пространстве и найдены условия на нормальную кривизну гиперповерхности в финслеровом пространстве неположительной кривизны, при которых внешние эквидистанты локально выпуклой гиперповерхности будут регулярными и локально выпуклыми. Также показано, что в пространствах с метрикой Бервальда теорема С.Александер верна без дополнительных ограничений.

А.А. Борисенко, Е. Галлего и А. Ревентос получили верхнюю и нижнюю оценки для отношения объёма -выпуклого тела к его площади в многообразии Адамара. В диссертации рассмотрено отношение объёма геодезического шара к площади его поверхности в полных односвязных финслеровых многообразиях неположительной флаговой кривизны с ограниченной -кривизной. Найдены соответствующие нижняя и верхняя оценки для такого отношения. Как следствие, найдены асимптотические оценки, когда радиус шара стремится к бесконечности. Также приведен пример, показывающий существенность наложенных на -кривизну ограничений. Так как для римановых метрик -кривизна обращается в ноль, то полученные оценки согласуются с известными результатами римановой геометрии.

Также найдены оценки на экспоненциальную скорость роста объёма шаров в пространствах Финслера-Адамара с ограниченной -кривизной, и также приведен пример, показывающий существенность наложенных на -кривизну ограничений.

Важными примерами полных односвязных финслеровых пространств постоянной отрицательной флаговой кривизны являются геометрии Гильберта. Геометрия Гильберта является обобщением модели Кели-Клейна пространства Лобачевского, где абсолют заменяется произвольной компактной выпуклой гиперповерхностью. Важным результатом является теорема Б. Колбуа и П. Веровича о том, что геометрия Гильберта, построенная на компактной гиперповерхности с положительными нормальными кривизнами, ''почти'' риманова возле абсолюта. Это значит, что единичная сфера в касательном пространстве в точке геометрии Гильберта стремится поточечно к эллипсоиду, когда точка стремится к абсолюту.

В диссертации показано, что экспоненциальная скорость роста площади гиперсферы геометрии Гильберта совпадает с аналогичной величиной в геометрии Лобачевского. Тем самым получен аналог известной теоремы Б. Колбуа и П. Веровича. Оценено отношение объёма шара к площади Буземана-Хаусдорфа гиперсферы геометрии Гильберта, когда радиус шара стремится к бесконечности. Полученные оценки согласуются с известными в пространстве Лобачевского. Также показано, что внешне-индуцированная площадь гиперсферы совпадает с площадью Буземана-Хаусдорфа при радиусе гиперсферы, стремящемся к бесконечности, и тем самым все полученные результаты справедливы, если в качестве площади гиперсферы брать внешне-индуцированную площадь.

В диссертации получены разложения кривизн Рунда, Финслера окружности геометрии Гильберта и нормальных кривизн гиперсферы геометрии Гильберта при радиусе, стремящемся к бесконечности. Как следствие показано, что пределы кривизны Рунда, Финслера и нормальной кривизны окружности геометрии Гильберта равны единице, когда радиус стремится к бесконечности. Таким образом, мы обобщили результат Б.Колбуа и П.Веровича, показав, что геометрия Гильберта на бесконечности ''риманова'' уже в топологии. Найдено синтетическое определение нормальной кривизны гиперповерхности в финслеровом пространстве. Используя это определение, оказалось возможным оценить предел нормальной кривизны гиперсферы геометрии Гильберта для геометрий Гильберта с абсолютом класса . Также показано, что -кривизна геометрии Гильберта в некоторых направлениях стремится к нулю, когда точка близка к абсолюту.

Ключевые слова: финслерова геометрия, геометрия Гильберта, локальная выпуклость, объем Буземана-Хаусдорфа, шар, сфера, флаговая кривизна, нериманова кривизна, нормальная кривизна, кривизна Рунда, кривизна Финслера.

Abstract

Olin E.A. Some comparison theorems for convex surfaces in simply connected Finsler spaces of non-positive flag curvature. - Manuscript.

Thesis for obtaining the degree of candidate of sciences in physics and mathematics in speciality 01.01.04 - geometry and topology. B. Verkin Institute for the Low temperature Physics and Engineering, Kharkiv, 2010.

The thesis is devoted to the study of convex surfaces in simply connected Finsler spaces of non-positive flag curvature.

Locally convex compact immersed hypersurfaces in Finsler-Hadamard manifolds with bounded T-curvature are considered. It is proved that every such hypersurface is embedded as the boundary of some convex body under certain conditions on the normal curvatures.

The upper and lower estimates for the ratio between volume of metric ball and area of its surface in Finsler-Hadamard manifolds with pinched S-curvature are given. As the corollary the limit at the infinity for this ratio is obtained. The upper and lower estimates for the volume growth entropy for the balls in such manifolds are also given.

It is shown that the spheres in Hilbert geometry have the same volume growth entropy as those in the hyperbolic space. The asymptotic estimates for the ratio of the volume of metric ball to the area of the metric sphere in Hilbert geometry are obtained. Derived estimates agree with well-known results for the hyperbolic space.

The tendency to 1 of the normal curvatures of the spheres centered at the same point and Rund and Finsler curvatures of the circle in Hilbert geometry as the radii tend to infinity are proved. As the application of this result the tendency to 0 of the T-curvature as the point goes to the absolute is obtained.

Key words: Finsler geometry, Hilbert geometry, local convexity, Busemann-Hausdorff volume, ball, sphere, flag curvature, non-Riemannian curvatures, normal curvature, Rund curvature, Finsler curvature.

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Фінслерова геометрія є узагальненням ріманової геометрії. Ще Ріман в своїй лекції «Про гіпотези, що лежать в основі геометрії» (1854 р.) припускав, що многовид можливо метризувати за допомогою додатного кореня четвертого ступеня із диференціальної форми четвертого порядку. Систематичне вивчення таких многовидів почалося з дисертації П. Фінслера (1918 р.), виконаної під керівництвом К. Каратеодорі, в якій він визначив відстань між точками за допомогою функції, що задовольняє таким загальним властивостям: додатність, додатна однорідність першого ступеня по диференціалам, а також опуклість по диференціалам.

Але дисертацію Фінслера можна назвати геометрізацією варіаційного числення для спеціальних функціоналів. Обмеження на метричну функцію забезпечували необхідну умову мінімуму для функціонала довжини, тобто існування геодезичних метрики. Наступним кроком у вивченні фінслерових просторів було застосування апарату тензорного числення (1920-ті роки, Дж. Сінг, Л.Бервальд). У1934р. Е. Картан запропонував вивчати фінслерові простори за допомогою спеціальних ріманових метрик, і цей метод був домінуючим у вивченні фінслерової геометрії до 1950-х років, коли Г.Буземан, Х. Рунд і В.В.Вагнер підкреслили, що природною локальною метрикою фінслерового простору є метрика Мінковського (метрика скінченновимірного нормованого простору).

В наступні роки у фінслерову геометрію були перенесені всі основні теореми і визначення ріманової геометрії такі, як зв'язність (С.С. Черн, Х. Рунд), ріманова кривина (Л. Бервальд), базові теореми порівнянння: теорема Картана-Адамара, теорема Майерса (Л.Аусландер), теорема про сферу (Г.Радемахер), теорема Клінгеберга (Ж. Шен), основні визначення геометрії підмноговидів (Х. Рунд, Ж. Шен, А. Бежанку). Рівняння Гауса-Кодацці для цілком геодезичних гіперповерхонь у фінслеровому просторі отримав Ю.С. Слободян. Але фінслерова геометрія підмноговидів і навіть гиперповерхонь фінслерових просторів містить у собі ще багато відкритих питань, деякі з котрих розв'язані у дисертації.

Ріманова геометрія повних однозв'язних многовидів недодатної секційної кривини є однією з найбільш розвинених галузей сучасної диференціальної геометрії. Інтерес до них пояснюється теоремою Картана-Адамара, яка стверджує, що такі многовиди дифеоморфні евклідовому простору. Опуклі поверхні, в самому загальному випадку, є також цікавим об'єктом для дослідження. Їх внутрішня та зовнішня геометрія вивчалася О.Д. Александровим, О.В. Погорєловим, В.А.Залгаллером, А.Д. Мілкою, С.В. Буяло.

Ж. Адамар у 1897 році довів, що компактна занурена в евклідовий простір n-вимірна орієнтована гіперповерхня (n?2) додатної гаусової кривини буде вкладена як межа опуклого тіла. Аналоги цієї теореми отримували Ж. Хейєнорт, С.С. Черн, Р. Лашоф, Р. Курьє, С. Александер, О.А. Борисенко. Найбільш загальним результатом в цьому напрямку можна вважати теорему С. Александер. Вона довела, що занурення локально опуклої гіперповерхні в повний однозв'язний рімановий простір недодатної секційної кривини є вкладення як межа деякого опуклого тіла. Наявність у фінслерової геометрії понять нормальної кривини і флагової кривини дозволяє ставити питання: при яких обмеженнях на нормальні кривини гіперповерхні і флагову кривину фінслерового простору занурення локально опуклої гіперповерхні буде вкладенням.

У 1972 році Л.А. Сантало і І. Янеш довели, що на площині Лобачевського границя відношення площі опуклої області, яка в кожній точці спирається на орицикл, до довжини її межі дорівнює одиниці, коли область поширюється на всю площину. У наступні роки узагальненням цього результату займалися Є. Галего, А. Ревентос, О.А. Борисенко, В.Мікуель, Д.І. Власенко. О.А. Борисенко, Є. Галего та А. Ревентос отримали верхню та нижню оцінки об'єму л-опуклого тіла до його площі у просторі Адамара. Цікаво розглянути таке відношення у фінслеровому просторі, навіть для найпростіших об'єктів - геодезичних куль і гіперсфер, тим більше, що саме через відношення об'єму кулі до площі гіперсфери оцінюється так звана константа Чігера, за допомогою якої можливо оцінити перше власне значення оператора Лапласа на многовиді.

Важливими прикладами повних однозв'язних фінслерових просторів постійної від'ємної флагової кривини -1 є геометрії Гільберта. Д. Гільберт ввів їх як один із розв'язків своєї четвертої проблеми - знайти всі проективно-плоскі метрики, повний розв'язок якої у двовимірному випадку дав О.В. Погорєлов. Геометрія Гільберта є узагальненням моделі Клейна простору Лобачевського, де абсолют замінюється довільною компактною опуклою гіперповерхнею. Геометріями Гільберта займалися П. Функ, Г. Буземан, К. Келлі, Б. Колбуа, П. Веровіч, К. Вернікос та інші. Важливим результатом є теорема Б. Колбуа і П. Веровіча про те, що геометрія Гільберта, побудована на компактній гіперповерхні з додатними нормальними кривинами «майже» ріманова у абсолюта. Це означає, що одинична сфера у дотичному просторі у точці геометрії Гільберта прямує поточково до еліпсоїда, коли точка прямує до абсолюту. Тому цікаво отримати «рімановість» геометрії Гільберта у абсолюта не поточково, а у С^k-топології.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана на кафедрі геометрії механіко-математичного факультету Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна в рамках наступних проектів:

· науково-дослідна тема “Геометрія многовидів і підмноговидів” (номер держреєстрації 0106U001538);

· науково-дослідна тема “Геометрія і топологія багатовимірних підмноговидів” (грант Державного фонду фундаментальних досліджень GP/F13/0019, номер держреєстрації 0107U011249).

· науково-дослідна тема ''Глобальна геометрія підмноговидів у ріманових та фінслерових просторах'' (номер держреєстрації 00109U001454).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є знаходження геометричних властивостей підмноговидів, які залежать від їх зовнішньої геометрії, наприклад нормальної кривини, середньої кривини, а також від неріманових кривин фінслерового простору, якому належить підмноговид.

Для досягнення зазначеної мети необхідно вирішити наступні задачі:

1. Узагальнити теорему порівняння Рауха для довжин полів Якобі при експоненційному відображенні відносно гіперповерхні у фінслеровому просторі.

2. Встановити, коли зовнішні паралельні гіперповерхні до локально опуклої гіперповерхні у фінслеровому многовиді недодатної флагової кривини будуть регулярними і локально опуклими.

3. Знайти обмеження на флагові і неріманові кривини простору і на нормальні кривини гіперповерхні, за яких задана занурена гіперповерхня буде вкладеною як межа опуклого тіла, гомеоморфного кулі.

4. Знайти верхню та нижню оцінки відношення об'єму Буземана-Хаусдорфа геодезичної кулі до зовнішньо-індукованої площі його поверхні у фінслеровому просторі недодатної флагової кривини з обмеженою S-кривиною.

5. Знайти експоненційну швидкість зростання площі Буземана-Хаусдорфа гіперсфер геометрії Гільберта. Знайти асимптотичні верхню та нижню оцінки відношення об'єму Буземана-Хаусдорфа геодезичної кулі до площі її поверхні в геометрії Гільберта, коли радіус кулі прямує до нескінченості. Розглянути випадок зовнішньо-індукованої площі.

6. Знайти асимптотичні розклади метричних коефіцієнтів фінслерової метрики геометрії Гільберта. Знайти границю нормальних кривин гіперсфер геометрії Гільберта і границі кривин Рунда і Фінслера кола геометрії Гільберта.

Об'єкт дослідження. Гіперповерхні в однозв'язних повних фінслерових просторах недодатної флагової кривини і в геометрії Гільберта.

Предмет дослідження. Вкладеність локально опуклої гіперповерхні в однозв'язних повних фінслерових просторах недодатної флагової кривини, відношення об'єму геодезичної кулі до площі гіперсфери в однозв'язних повних фінслерових просторах недодатної флагової кривини і в геометрії Гільберта, нормальна кривина і кривини Фінслера і Рунда гіперсфер геометрії Гільберта.

Методи дослідження. У роботі використано методи фінслерової геометрії, варіаційного обчислення, метричної геометрії.

Наукова новизна отриманих результатів. Всі отримані в роботі результати з зовнішньої геометрії гіперповерхонь в однозв'язних повних фінслерових просторах недодатної флагової кривини і в геометрії Гільберта є новими. Основними є наступні:

1. Знайдено умови, за яких занурена в однозв'язний повний фінслеровий простір недодатної флагової кривини локально опукла гіперповерхня буде глобально опуклою, вкладеною, гомеоморфною сфері, а тіло, нею обмежене, буде гомеоморфно кулі. Доведена теорема узагальнює теорему С. Александер для занурень у рімановий простір недодатної секційної кривини.

2. Отримано верхня і нижня оцінки відношення об'єму Буземана-Хаусдорфа геодезичної кулі до зовнішньо-індукованої площі її поверхні в однозв'язних повних фінслерових просторах недодатної флагової кривини з обмеженою S-кривиною. За допомогою граничного переходу отримано асимптотичні оцінки на таке відношення при радіусі кулі, що прямує до нескінченності.

3. Доведено, що експоненційна швидкість зростання площі Буземана-Хаусдорфа гіперсфер геометрії Гільберта співпадає з експоненційною швидкістю зростання площі гіперсфер простору Лобачевського. Отримано асимптотичні верхня та нижня оцінки відношення об'єму Буземана-Хаусдорфа геодезичної кулі до площі її поверхні в геометрії Гільберта, коли радіус кулі прямує до нескінченості.

4. Отримано асимптотичні розклади кривин Рунда, Фінслера кола геометрії Гільберта і нормальної кривини гіперсфери геометрії Гільберта, коли радіус прямує до нескінченності. Як наслідок, показано, що границі кривин Рунда, Фінслера кола геометрії Гільберта і нормальної кривини гіперсфери геометрії Гільберта дорівнюють одиниці, коли радіус прямує до нескінченності. Доведено, що Т-кривина геометрії Гільберта у точці, що прямує до абсолюту, прямує до нуля.

Практичне значення отриманих результатів. Робота має теоретичний характер. Отримані результати можуть бути використані для подальших досліджень фінслерової геометрії та геометрії Гільберта. Також результати роботи можуть бути використані для читання спеціальних курсів з фінслерової геометрії.

Особистий внесок здобувача. Постановки задач та ідеї доведень теорем належать науковому керівнику. Реалізація ідей і доведення результатів виконані здобувачем.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідалися та обговорювалися на Сьомій міжнародній конференції з геометрії та топології (2007р., Черкаси), на Третій російсько-німецькій геометричній конференції, присвяченій 95-річчю від дня народження О.Д.Александрова (2007р., Санкт-Петербург), на міжнародній конференції «Тараповські читання» (2008 р., Харків), на всеукраїнській конференції «Фізика низьких температур» (2008р., Харків), на міжнародній конференції «Фінслерові узагальнення теорії відносності» (2008р., Каїр), на міжнародній конференції з фінслерової геометрії та її застосуванням (2009р., Дебрецен), на міжнародній конференції, присвяченій 90-річчю від дня народження О.В. Погорєлова (2009р., Харків), на Харківському міському геометричному семінарі (керівник - член-кореспондент НАН України О.А. Борисенко), на семінарі відділу геометрії ФТІНТ НАН України (керівник - професор Ю.А.Амінов), насемінарі кафедри вищої математики Черкаського державного технологічного університету (керівник - професор В.І.Діскант), насемінарі кафедри геометрії та топології Львівського національного університету імені І. Франка (керівник - професор М.М. Зарічний).

Публікації. Результати роботи опубліковано в 12 роботах: у6статтях [2], [3], [5], [7], [8], [12] у журналах, що входять до переліку ВАК України, зних одна стаття без співавторів, і в 6 збірках тез доповідей наукових конференцій [1], [4], [6], [9], [10], [11], з них 4 без співавторів.

Висловлюю щиру подяку моєму науковому керівнику, завідувачу кафедри геометрії Харківського національного університету іменіВ.Н.Каразіна, доктору фізико-математичних наук, професору, члену-кореспонденту НАН України О.А. Борисенку за постійну увагу до роботи та підтримку. Також дякую співробітникам кафедри геометріїХНУ та відділу геометрії ФТІНТ НАН України за підтримку та обговорення отриманих результатів.

2. Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність теми, зроблено огляд існуючого стану проблеми, формулюються мета, задача, об'єкт, предмет і методи дослідження, розкривається зв'язок з науковими планами та темами, характеризується наукова новизна результатів, їхнє практичне значення, описується особистий внесок здобувача, наведено інформацію про апробацію результатів дисертації та публікації за темою роботи.

У першому розділі повідомлено необхідні відомості, що стосуються фінслерових метрик, гіперповерхонь у фінслерових просторах, геометрії Гільберта та наведено основні результати для опуклих гіперповерхонь у ріманових просторах недодатної кривини.

Нехай - -вимірний зв'язний гладкий многовид. Тоді фінслеровою метрикою на називаєтся функція , що задовольняє наступним умовам:

1. ;

2. Для довільних і довільного виконується

;

3. Для довільних додатно визначена наступна білінійна симетрична форма :

Флагова кривина фінслерового многовиду визначається наступним чином. Для геодезичного векторного поля розглянемо ріманову метрику . Нехай - секційна кривина метрики двовимірного розподілу, що містить у собі . Тоді флагова кривина фінслерової метрики визначається як

У другому розділі викладено результати щодо вкладеності локально опуклої гіперповерхні у фінслеровому просторі.

Нехай є повним фінслеровим многовидом. Тоді

1. Множина називається опуклою, якщо кожна найкоротша із кінцями в цілком міститься в .

2. Множина називається локально опуклою, якщо кожна точка має окіл такий, що опукла .

Для гіперповерхні у фінслеровому просторі нормальна кривина в точці в напрямку визначається як



де , і є геодезичною в індукованій зв'язності на , що параметризована натуральним параметром, -- обрана одинична нормаль.

На відміну від ріманової геометрії, флагова кривина не описує цілком усі властивості фіслерової метрики. Тому до розгляду беруть так звані неріманові кривини, які для ріманових просторів є нулем. У другому розділі ми використовуємо -кривину.

Нехай - фінслеровий простір. Для вектора нехай - це його подовження до геодезичного поля в деякому околіточки . Нехай - це зв'язність Черна, а - зв'язність Леві-Чівіти для індукованої ріманової метрики . Для вектора визначимо

де - таке векторне поле, що . Сім'я називається -кривиною в точці .

Була доведена наступна теорема, що узагальнює результати Ж.Адамара, С. Александер та О.А. Борисенка.

Теорема 2.1. Нехай , є занурення класу компактної зв'язної орієнтованої гіперповерхні у повний однозв'язний фінслеровий многовид . Нехай і задовольняють умовам:

1. Флагова кривина задовольняє нерівності , ;

2. -кривина задовольняє нерівності , де ;

3. Нормальні кривини гіперповерхні задовольняють нерівностям .

Тоді є вкладення, є межа опуклого тіла, що гомеоморфно кулі, і гомеоморфна сфері .

Для доведення теореми 2.1 нам були потрібні наступні результати.

Доведено теорему порівняння Рауха для експоненційного відображення відносно гіперповерхні у фінслеровому просторі.

Розглянемо гіперповерхню в . Із точки випустимо геодезичну з параметризацією у напрямку вектора нормалі до .

Назвемо поле Якобі уздовж геодезичної -якобієвим полем, якщо

Тут- це оператор Вейнгартена. Назвемо точку фокальною точкою до уздовж , якщо існує таке нетривіальне -якобієве поле уздовж, що .

Розглянемо два фінслерових многовида і . У розглянемо гіперповерхню , нормальну геодезичну таку, що і -ортогональний . Позначимо через нетривіальне -якобієво поле уздовж таке, що . У розглянемо аналогічну конструкцію, елементи якої будемо позначати рискою зверху. Нехай також .

Визначимо ''пересадку'' векторного поля у многовид уздовж нормальної геодезичної , . Оберемо -ортонормований базис із . Подовжимо цей базис до паралельного уздовж . Отримали набір -ортонормованих полів уздовж із . Виконаємо аналогічну конструкцію у. Отримали набір -ортонормованих полів уздовж із. Розкладемо поле та визначимо нове поле.

Теорема 2.2. Нехай для всіх і для всіх флагів , уздовж геодезичних і таких, що -- це флаг , ''пересаджений'' у , виконана нерівність ; кожне максимальне власне значення оператора менше або дорівнює мінімальному власному значенню оператора . Нехай також немає точок, фокальних уздовж до . Тоді для всіх :

і на також немає точок, фокальних уздовж до .

Наслідок 2.1. У фінслеровому просторі з недодатною флаговою кривиною і обмеженою -кривиною , експоненційне відображення відносно гіперповерхні з нормальними кривинами у напрямку зовнішньої нормалі буде невиродженим.

Теорема 2.3. У фінслеровому просторі з флаговою кривиною , і - кривиною такою, що , розглянемо гіперповерхню з нормальними кривинами . Тоді всі зовнішні паралельні гіперповерхні є локально опуклими.

Фінслерова метрика називається метрикою Бервальда, якщо рівняння геодезичних має такий самий вигляд, як для ріманових метрик.

Теорема 2.4. Нехай , є занурення класу компактної зв'язної орієнтованої гіперповерхні у повний однозв'язний фінслеровий многовид з метрикою Бервальда недодатної флагової кривини. Якщо локально опукле, то є вкладення, а -- межа опуклого тіла, гомеоморфна .

У третьому розділі знайдено верхню та нижню оцінки відношення об'єму Буземана-Хаусдорфа геодезичної кулі до зовнішньо-індукованої площі його поверхні в фінслерових просторах недодатної флагової кривини з обмеженою S-кривиною та оцінено експоненційну швидкість зростання об'єму Буземана-Хаусдорфа геодезичної кулі в таких просторах.

У п'ятому розділі ми оцінюємо різні кривини гіперсфер геометрії Гільберта.

У просторі Лобачевського нормальні кривини гіперсфери радіуса дорівнюють і прямують до 1 при радіусі, що прямує до нескінченності. Ми доводимо таку саму властивість для гіперсфер геометрії Гільберта.

Для кривої , що параметризована натуральним параметром у фінслеровому просторі , кривина Фінслера визначається наступним чином

Кривина Рунда кривої визначається як

Нехай -- полярне задання гіперсфери геометрії Гільберта радіуса з центром в точці .

Теорема 5.1. Розглянемо -вимірну геометрію Гільберта, що побудована на множині , обмеженій відкритій опуклій множині з межою класу з додатною кривиною. Розглянемо точку у множині. Нехай -- кривина Рунда, -- кривина Фінслера кола радіуса з центром у точці , обчислені у точці кола, що відповідає напрямку із . Тоді



рівномірно по .

Теорема 5.2. Розглянемо - вимірну геометрію Гільберта, що побудована на множині , обмеженій відкритій опуклій множині з межою класу з додатними нормальними кривинами. Розглянемо точку у множині . Зафіксуємо вектор у. Нехай -- нормальна кривина у напрямку дотичного вектора гіперсфери радіуса з центром у точці , обчислена у точці гіперсфери, що відповідає одиничному напрямку із . Тоді

рівномірно по і .

Для нормальної кривини було знайдено синтетичне визначення.

Лема 5.1. Нехай - крива у двовимірному фінслеровому просторі. Нехай нормальна кривина в точці по відношенню до нормалі не дорівнює 0. Тоді

де - довжина хорди кривої , - відстань від цієї хорди до у напрямку нормалі .

Використовуючи цю лему, у теоремі 5.2 можна послабити вимоги на регулярність до класу .

Як наслідок, отримано, що -кривина геометрії Гільберта прямує до нуля у деяких напрямках.

Наслідок 5.1. Розглянемо -вимірну геометрію Гільберта, що побудована на множині , обмеженій відкритій опуклій множині з межою класу з додатними нормальними кривинами. Розглянемо точку у множині . Зафіксуємо вектор у. Нехай - вектор нормалі, а - дотичний вектор у точці гіперсфери радіуса з центром в точці . Тоді -кривина геометрії Гільберта:

геометрія куля фінслеровий кривина

Висновки

У дисертації вивчено опуклі гіперповерхні в повних однозв'язних фінслерових просторах недодатної флагової кривини. Розглянено умови вкладеності зануреної локально опуклої гіперповерхні. Отримано оцінки відношення об'єму геодезичної кулі до площі її поверхні у повних однозв'язних фінслерових просторах недодатної флагової кривини і геометрії Гільберта, а також оцінено різні кривини гіперсфер геометрії Гільберта. У процесі дослідження отримано наступні нові результати:

1. Доведено узагальнення теореми порівняння Рауха довжин полів Якобі при експоненційному відображенні відносно гіперповерхні в фінслеровому просторі. Як наслідок цієї теореми, знайдено умови, за якими зовнішні паралельні гіперповерхні до локально опуклої гіперповерхні в фінслеровому просторі недодатної флагової кривини будуть регулярними і локально опуклими. Знайдено обмеження на флагову і Т-кривину простору, і на нормальну кривину гіперповерхні, за яких дана занурена гіперповерхня є вкладеною як межа опуклого тіла. Отриманий результат узагальнює теореми Ж. Адамара і С. Александер у рімановій геометрії, та є одним з перших у фінслерової геометрії «в цілому».

2. У повному однозв'язному фінслеровому просторі недодатної флагової кривини з обмеженою S-кривиною знайдено верхня та нижня оцінки відношення об'єму Буземана-Хаусдорфа геодезичної кулі до зовнішньо-індукованої площі її поверхні і асимптотичні оцінки, коли радіус прямує до нескінченності. Таким чином, показано важливість S-кривини у теоремах порівняння.

3. Доведено, що експоненційна швидкість зростання площі Буземана-Хаусдорфа гіперсфер геометрії Гільберта співпадає з експоненційною швидкістю зростання площі гіперсфер геометрії Лобачевського. Знайдено асимптотичні верхня та нижня оцінки відношення об'єму Буземана-Хаусдорфа геодезичної кулі до площі Буземана-Хаусдорфа її поверхні, коли радіус кулі прямує до нескінченності. Отримані оцінки залежать лише від положення центру куль та кривин абсолюту.

4. За допомогою отриманих асимптотичних розкладів кривин Рунда, Фінслера кола геометрії Гільберта і нормальної кривини гіперсфери геометрії Гільберта, коли радіус прямує до нескінченності, показано, що границі кривин Рунда, Фінслера кола геометрії Гільберта і нормальної кривини гіперсфери геометрії Гільберта дорівнюють одиниці, коли радіус прямує до нескінченності. Як наслідок доведено, що Т-кривина геометрії Гільберта прямує до нуля, коли точка прямує до абсолюту. Таким чином, отримано «рімановість» геометрії Гільберта біля абсолюту в -топології.

Публікації

1. Олин Е.А. О локально выпуклых гиперповерхностях в пространствах Финслера-Адамара / Е.А. Олин // Тезисы 7-й международной конференции по геометрии и топологии. -- Черкассы, 2007. -- С. 56-57.

2. Borisenko A.A. Some comparison theorems in Finsler-Hadamard manifolds / A.A. Borisenko, E.A. Olin // Журнал Математической физики, Анализа, Геометрии. -- 2007. -- Vol. 3, No. 3. -- P. 298-312.

3. Борисенко А.А. Связь между объемом и площадью для шаров в многообразиях Финслера-Адамара / А.А. Борисенко, Е.А. Олин // Доповіді НАН України. -- 2007. -- № 6. -- С. 7-10.

4. Borisenko A.A. Asymptotic properties of spheres and balls in Finsler and Hilbert geometries / A.A. Borisenko, E.A. Olin // Abstracts of the ThirdRussian-German Geometry Meeting. -- St. Petersburg, 2007. --P.32-34.

5. Олин Е.А. О локально выпуклых гиперповерхностях в пространствах Финслера-Адамара / Е.А. Олин // Доповіді НАН України. -- 2008. -- № 11. -- С. 24-28.

6. Олин Е.А. Обобщение теоремы сравнения Рауха и ее применение к локально-выпуклым гиперповерхностям в пространствах Финслера-Адамара / Е.А. Олин // Тезисы конференции "Физика низких температур". -- Харьков, 2008. -- С. 169.

7. Borisenko A.A. Asymptotic Properties of Hilbert Geometry / A.A.Borisenko, E.A. Olin // Журнал Математической физики, Анализа, Геометрии. -- 2008. -- Vol. 4, No. 3. -- P. 327-345.

8. Борисенко А.А. Связь между объемом и площадью шаров в геометрии Гильберта / А.А. Борисенко, Е.А. Олин // Доповіді НАН України. -- 2008. -- № 7. -- С. 7-9.

9. Борисенко А.А. Предельные свойства геометрий Гильберта / А.А.Борисенко, Е.А. Олин // Сборник материалов международной научной школы-конференции "Тараповские чтения". -- Харьков,2008. -- С. 157-160.

10. Olin E.A. Convexity of distance function between divergent geodesics in Hilbert geometry / E.A. Olin // Abstracts of Workshop on Finsler Geometry and its Applications. -- Debrecen, 2009. -- P. 29.

11. Olin E.A. Convexity of distance function between divergent geodesics in Hilbert geometry / E.A. Olin // Тезисы международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Алексея Васильевича Погорелова. -- Харьков, 2009. -- P. 65.

12. Борисенко А.А. Глобальное строение локально-выпуклых гиперповерхностей в многообразиях Финслера-Адамара / А.А.Борисенко, Е.А. Олин // Математические заметки. -- 2010. -- Т. 87, № 2. -- С. 163-174.

Размещено на Allbest.ru

...