Дослідження існування і побудова розв'язків крайових задач

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність теми. Теорія крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь, імпульсних систем, систем із запізненням аргументу є одним з актуальних розділів сучасної математики. Це викликано тим, що крайові задачі є математичними моделями різноманітних фізичних, технічних, економічних, соціальних тощо явищ та процесів.

У більшості праць згаданих вище авторів розглядався некритичний фредгольмів випадок -- коли оператор лінійної частини має обернений. Актуальною проблемою є дослідження існування та наближена побудова періодичних розв'язків та розв'язків крайових задач у критичному випадку -- коли лінійна частина не є оборотним оператором.

Наведений вище аналіз свідчить про актуальність проблем, що розглядаються в даній дисертаційній роботі. У ній розроблено й обґрунтовано новий метод дослідження існування і побудови періодичних розв'язків нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь, імпульсних систем, диференціально-операторних систем, а також розв'язків крайових задач для таких систем і систем з відхиляючим аргументом запізнюючого типу як у некритичному, так і в критичному випадках.

Мета і задачі дослідження. Основною метою роботи є встановлення умов існування та розробка нових чисельно-аналітичних алгоритмів наближеного знаходження розв'язків нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь, імпульсних, диференціально-операторних та функціонально-диференціальних систем, які задовольняють нелокальні лінійні крайові обмеження, зокрема періодичних розв'язків; встановлення умов існування періодичних розв'язків та розв'язків лінійних крайових задач для вироджених імпульсних систем.

Об'єкт дослідження. Основним об'єктом дослідження дисертаційної роботи є крайові задачі для систем звичайних диференціальних рівнянь, імпульсних систем, диференціально-операторних, функціонально-диференціальних та вироджених імпульсних систем.

Предмет дослідження. Предметом дослідження є: розробка і обґрунтування нових конструктивних чисельно-аналітичних алгоритмів з метою встановлення умов існування та наближеної побудови розв'язків крайових задач; знаходження періодичних розв'язків автономних імпульсних систем на площині; побудова загального розв'язку вироджених диференціальних систем з імпульсним впливом, встановлення умов існування задачі Коші, періодичних розв'язків та розв'язків лінійних крайових задач для вироджених імпульсних систем.

Методи дослідження. У роботі використовується та розвивається чисельно-аналітичний метод А.М. Самойленка, теорія псевдообернених матриць та ортопроекторів, апарат теорії систем диференціальних рівнянь з імпульсною дією. В останньому розділі використовується апарат теорії диференціальних рівнянь з виродженою матрицею при похідній.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації вперше отримано такі результати:

розроблено і обґрунтовано модифікації чисельно-аналітичного методу А.М. Самойленка для дослідження існування та наближеної побудови розв'язків нелінійних систем диференціальних рівнянь з параметрами, неявних систем диференціальних рівнянь, систем диференціальних рівнянь з імпульсною дією, підпорядкованих нерозділеним багатоточковим крайовим умовам. Для згаданих вище типів задач розроблено алгоритми побудови розв'язків у вигляді рівномірно збіжних послідовностей функцій, встановлено необхідні та достатні умови існування розв'язків, знайдено оцінки похибки наближених розв'язків;

як для некритичного, так і для критичного випадків розроблено і обґрунтовано чисельно-аналітичний метод дослідження існування та наближеної побудови як періодичних розв'язків нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь, так і розв'язків, які задовольняють фредгольмові лінійні функціональні обмеження, встановлено необхідні та достатні умови існування розв'язків, знайдено оцінки похибки послідовних наближень;

як для некритичного, так і для критичного випадків розроблено і обґрунтовано метод дослідження існування і наближеної побудови як періодичних розв'язків нелінійних диференціальних систем з імпульсною дією, так і розв'язків, які задовольняють фредгольмові лінійні функціональні обмеження, встановлено необхідні та достатні умови існування розв'язків, знайдено оцінки похибки наближених розв'язків;

розроблено і обґрунтовано метод дослідження існування та побудови періодичних розв'язків нелінійних автономних диференціальних систем;

розроблено і обґрунтовано метод наближеного інтегрування фредгольмових крайових задач для диференціальних систем із відхиляючим аргументом запізнюючого типу, встановлено необхідні та достатні умови існування розв'язків, знайдено оцінки похибки наближених розв'язків;

як для некритичного, так і для критичного випадків розроблено і обґрунтовано методи дослідження існування і наближеної побудови як періодичних розв'язків нелінійних систем диференціально-операторних рівнянь, так і розв'язків, які задовольняють фредгольмові лінійні крайові умови, встановлено необхідні та достатні умови існування розв'язків, знайдено оцінки похибки послідовних наближень;

для квазілінійних систем рівнянь згаданих вище типів встановлено достатні умови існування періодичних розв'язків та розв'язків, які задовольняють фредгольмові лінійні крайові умови, і при відсутності збурення перетворюються на розв'язки відповідних лінійних однорідних задач;

знайдено можливі періоди розривних циклів лінійних автономних імпульсних систем другого порядку, встановлено коефіцієнтні умови їх існування;

для лінійних імпульсних систем з виродженою матрицею при похідній, що зводяться до центральної канонічної форми, побудовано загальний розв'язок, встановлено необхідні та достатні умови існування розв'язків задачі Коші, періодичної та нетерової крайових задачі і побудовано ці розв'язки в аналітичному вигляді.

1. Розробка модифікації методу А.М. Самойленка для інтегрування як систем звичайних диференціальних рівнянь не розв'язаних відносно похідної, так і імпульсних та параметризованих систем, які підпорядковані лінійним нерозділеним багатоточковим крайовим обмеженням

Розглядається крайова задача

(1)

(2)

де , -- зв'язні компактні множини в , , -матриці, . Розв'язок задачі (1), (2) шукається методом послідовних поліноміальних наближень. Встановлено достатні умови їх рівномірної збіжності до деякої граничної функції, оцінки похибки наближень, а також зв'язок граничної функції з точним розв'язком крайової задачі. Знайдено необхідні та достатні умови існування розв'язку задачі (1), (2), які можуть бути перевірені за допомогою побудованих наближених розв'язків.

Розроблено і обґрунтовано модифікації чисельно-аналітичного методу А.М. Самойленка наближеного інтегрування нелінійної імпульсної системи:

(3)

яка підпорядкована лінійним багатоточковим умовам (2).

Розв'язок задачі шукається в просторі -вимірних функцій, визначених на інтервалі , які є кусково неперервними зліва разом із своєю похідною, з розривами першого роду в точках . Для дослідження існування і наближеного інтегрування задачі (2), (3) побудовано послідовність кусково неперервно диференційовних функцій, знайдено умови рівномірної збіжності такої послідовності до граничної функції, зв'язок граничної функції з точним розв'язком задачі (2), (3), конструктивні достатні умови того, щоб деяка область містила початкове значення точного розв'язку.

Розглядається система диференціальних рівнянь з параметрами:

(4)

підпорядкована багатоточковим крайовим умовам (2), де , -- невідомі скалярні параметри: , , , .

Під розв'язком задачі розуміється сукупність , яка задовольняє як диференціальну систему, так і крайові умови, де -- неперервно диференційовна на проміжку вектор-функція і -- значення параметрів.

Для задачі (2), (1) обґрунтовано два чисельно-аналітичні алгоритми наближеного відшукання розв'язків, встановлено умови рівномірної збіжності побудованих послідовних наближень до точного розв'язку, а також достатні умови розв'язності.

3. Чисельно-аналітичний метод послідовних наближень для дослідження існування і наближеної побудови як періодичних розв'язків систем звичайних диференціальних рівнянь

(5)

так і розв'язків, які задовольняють лінійні крайові умови. При цьому вивчаються як некритичний -- коли відповідна лінійна однорідна крайова задача не має нетривіальних розв'язків, так і критичний випадки -- коли лінійна однорідна крайова задача має лінійно незалежних розв'язків.

Як у некритичному, так і в критичному випадках обґрунтовується чисельно-аналітичний алгоритм дослідження і побудови -періодичних розв'язків нелінійної системи диференціальних рівнянь вигляду (5).

Вважається, що при , де -- деяка зв'язна компактна множина в , система (3) є -періодичною і задовольняє припущення:

A.3.3.1 матриця-функція і вектор-функція неперервні за своїми змінними і виконується умова Ліпшіца:

(6)

де -- -періодична матриця-функція з невід'ємними інтегровними компонентами

Тут і далі і, відповідно, для матриць , а всі нерівності розуміються покомпонентно;

Існує така непорожня множина , що при всіх -окіл вектор-функції міститься в , де:

\

Через позначено матрицант відповідної (5) однорідної системи; через -- -матрицю, стовпцями якої є лінійно незалежних -періодичних розв'язків спряженої до (5) лінійної однорідної системи ; через -- -матрицю, стовпцями якої є лінійно не залежних розв'язків спряженої системи, які не є періодичними; через -- таку фундаментальну матрицю спряженої системи, у якої перші стовпців визначені матрицею , а інші -- матрицею : ; через позначено єдину -матрицю, псевдообернену за Муром-Пенроузом до -матриці

через -- -матрицю, яка є ортопроектором до матриці ; через -- -матрицю, яка складається з лінійно незалежних стовпців ортопроектора ; , де -- спектральний радіус матриці:

, ,

-- елементи матриці:

:

Нехай , , і для системи (1) справедливі припущення A 3.3.1, B 3.3.2, C 3.3.2. Тоді:

1) послідовність функцій

(7)

при рівномірно збігається стосовно до деякої -періодичної граничної функції . При всіх , виконуються оцінки:

(8)

де -- одинична матриця порядку ;

2) функція є -періодичним розв'язком системи (1) тоді і тільки тоді, коли є розв'язком визначального рівняння:

3) початкове значення -періодичного розв'язку системи (1) визначається формулою:

(9)

Встановлено достатні умови існування періодичних розв'язків, для перевірки яких достатньо знайти наближення до точного розв'язку.

Досліджуються питання існування і наближеного відшукання періодичних розв'язків нелінійної автономної системи диференціальних рівнянь:

(10)

де -- -матриця з дійсними сталими коефіцієнтами.

Досліджується випадок, коли всі розв'язки відповідної лінійної однорідної системи:

(11)

мають деякий спільний період , а період розв'язку нелінійної системи (10) або співпадає, або близький до .

Розглядається загальний випадок -- коли система (11) має , , лінійно незалежних періодичних розв'язків, які мають спільний період. Система (10) може бути записана у вигляді:

(12)

де , , , , , , , -- зв'язна компактна множина в , , -- така жорданова канонічна кососиметрична матриця розміру :

(13)

що всі розв'язки системи є періодичними з деяким спільним періодом , а система не має -періодичних розв'язків.

Досліджено питання існування та наближеної побудови періодичних по розв'язків системи (10), період яких співпадає з періодом розв'язків системи (11). Для цього до системи (10) застосовано розроблений в розділі 3 чисельно-аналітичний метод і її -періодичний розв'язок шукається як границя послідовності -періодичних функцій:

 (14)

(15)

Встановлено достатні умови рівномірної збіжності послідовності (14) і зв'язок граничної функції з -періодичним розв'язком системи (11).

Розглядається питання існування та наближеної побудови періодичних розв'язків системи (10), період яких не співпадає з періодом системи (11). Значення не відоме і шукається у вигляді , де -- невідомий малий параметр. Заміною незалежної змінної дана задача зводиться до задачі знаходження -періодичних по розв'язків системи:

(16)

Стосовно системи (16) припускається, що при , , виконуються умови

A 3.5.1 вектор-функція визначена, неперервна і виконується умова Ліпшіца:

 (17)

де -- невід'ємна стала матриця;

B 3.5.2 існує така непорожня множина , , що при всіх , , -окіл вектор-функції міститься в , де:

C 3.5.2 , де , , -- елементи матриці :

Теорема 3.5.3. Нехай всі розв'язки системи є періодичними з деяким спільним періодом , система не має -періодичних розв'язків і система (16) задовольняє умови A 3.5.1, B 3.5.2, C 3.5.2. Тоді:

1) послідовність функцій

(18)

при рівномірно збігається стосовно до деякої -періодичної граничної функції . При всіх , виконуються оцінки:

2) функція є -періодичним розв'язком системи (16) тоді і тільки тоді, коли є розв'язком визначального рівняння:

3) початкове значення -періодичного розв'язку системи (16) визначається формулою:

(19)

4) функція , яка одержується з заміною , є -періодичним розв'язком системи (10).

У підрозділі 3.6 досліджено питання існування і наближеної побудови розв'язків системи (1), які задовольняють лінійні крайові умови:

(20)

де , , , , , -- лінійний неперервний -вимірний вектор-функціонал.

Розв'язком крайової задачі (1), (20) називається функція , яка задовольняє рівняння (1) та крайові умови (20).

Нехай -- така матриця-функція обмеженої варіації, що функціонал в (20) можна записати за допомогою інтеграла Рімана-Стілтєса:

Для знаходження розв'язку крайової задачі (1), (20) розглядається рекурентна -параметрична послідовність функцій:

(21)

які задовольняють крайові умови (20) при будь-яких . Тут:

(22)

(23)

У критичному випадку справедливе твердження.

Нехай , , і для крайової задачі (1), (20) справедливі припущення:

Матриця-функція і вектор-функція неперервні за своїми змінними і виконується умова Ліпшіца:

де -- матриця-функція з невід'ємними інтегровними компонентами;

Існує така непорожня множина , що при всіх -окіл вектор-функції міститься в , де:

, де , , -- елементи матриці .

Тоді:

1) послідовність функцій (21) при рівномірно збігається стосовно до деякої функції . При всіх , виконуються оцінки:

2) функція є розв'язком крайової задачі (1), (20) тоді і тільки тоді, коли є розв'язком визначального рівняння:

3) початкове значення розв'язку крайової задачі (1), (20) визначається формулою:

4. Чисельно-аналітичні алгоритми дослідження існування та побудови періодичних розв'язків імпульсних систем та розв'язків, які задовольняють крайові умови

Як у некритичному, так і в критичному випадках встановлено достатні умови існування, запропоновано і обґрунтовано методи наближеної побудови -періодичних розв'язків -вимірної нелінійної імпульсної системи вигляду

(24)

яка є -періодичною, тобто , , матриця і функція періодичні по з спільним періодом і існує таке, що при всіх мають місце співвідношення:

(25)

Під -періодичним розв'язком системи (24) розуміється -періодична неперервна зліва разом із своєю похідною з розривами в точках вектор-функція , яка задовольняє як диференціальну систему, так і імпульсні умови.

Припускається, що при , де -- деяка зв'язна компактна множина в , система (24) задовольняє умови:

Матриця-функція і вектор-функція неперервні за своїми змінними (кусково-неперервні з розривами першого роду при ) і виконується умова Ліпшіца:

(26)

де -- -періодична матриця-функція з невід'ємними інтегровними компонентами, -- невід'ємні сталі матриці;

Існує така непорожня множина , що при всіх -окіл вектор-функції міститься в , де:

, -- матрицант відповідної (24) лінійної однорідної імпульсної системи, , , -- -матриця, стовпцями якої є лінійно незалежних розв'язків спряженої системи:

(27)

які не є -періодичними, є -матрицею, стовпцями якої є лінійно незалежні -періодичні розв'язки системи (27), ;

, де , , -- елементи матриці :

Наступна теорема містить обґрунтування алгоритму відшукання -періодичних розв'язків системи (24).

Нехай , , і система (24) задовольняє умови A 4.2.1, B 4.2.2, C 4.2.2. Тоді:

1) послідовність -періодичних функцій:

(28)

при рівномірно збігається стосовно до -періодичної граничної функції . При всіх , виконуються оцінки:

 (29)

2) функція є -періодичним розв'язком системи (24) тоді і тільки тоді, коли є розв'язком визначального рівняння:

3) початкове значення -періодичного розв'язку системи (24) визначається формулою:

(30)

Обґрунтовано чисельно-аналітичний метод дослідження існування та наближеної побудови розв'язків системи вигляду (24), які задовольняють крайові умови (20). Тут , , .

Розглядаються умови:

A 4.3.1 матриця-функція і вектор-функція неперервні за своїми змінними (кусково-неперервні з розривами першого роду при ) і виконується умова Ліпшіца:

(31)

де -- матриця-функція з невід'ємними інтегровними компонентами, невід'ємні сталі матриці;

B 4.3.2 існує така непорожня множина , що при всіх -окіл вектор-функції міститься в , де:

, (32)

(33)

C 4.3.2 , де , , -- елементи матриці :

Теорема 4.3.2. Нехай , , де матриця має вигляд (32), і для крайової задачі (20), (24) виконуються умови A 4.3.1, B 4.3.2, C 4.3.2. Тоді:

1) послідовність функцій

(34)

при рівномірно збігається стосовно до деякої граничної функції . При всіх , виконуються оцінки:

(35)

2) функція є розв'язком крайової задачі (20), (24) тоді і тільки тоді, коли є розв'язком визначального рівняння:

3) початкове значення розв'язку крайової задачі (20), (24) визначається формулою:

(36)

Встановлено достатні умови існування розв'язку крайової задачі (20), (24), для перевірки яких не потрібно знаходити граничну функцію.

Розглядається задача про існування розривних циклів двовимірної лінійної автономної імпульсної системи:

(37)

де -- задані сталі вектори, , , -- задані сталі матриці, та відповідної однорідної системи:

 (38)

Знайдено всі можливі періоди розривних циклів системи (38), коефіцієнтні умови їх існування, отримано достатні умови існування періодичних розв'язків системи (37).

Висновки

нелінійний диференціальний імпульсний

У дисертації розроблено і обґрунтовано новий метод дослідження існування та наближеної побудови розв'язків крайових задач. Вперше розроблено елементи теорії вироджених диференціальних систем з імпульсною дією.

Основні результати, що виносяться на захист, такі:

-- розроблено і обґрунтовано модифікації чисельно-аналітичного методу А.М. Самойленка для дослідження існування та наближеної побудови розв'язків нелінійних систем диференціальних рівнянь з параметрами, неявних систем диференціальних рівнянь, систем диференціальних рівнянь з імпульсною дією, підпорядкованих нерозділеним багатоточковим крайовим умовам. Для згаданих вище типів задач розроблено алгоритми побудови розв'язків у вигляді рівномірно збіжних послідовностей функцій, встановлено необхідні та достатні умови існування розв'язків, знайдено оцінки похибки наближених розв'язків;

-- як для некритичного, так і для критичного випадків розроблено і обґрунтовано чисельно-аналітичний метод дослідження існування та наближеної побудови як періодичних розв'язків нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь, так і розв'язків, які задовольняють фредгольмові лінійні функціональні обмеження, встановлено необхідні та достатні умови існування розв'язків, знайдено оцінки похибки послідовних наближень;

-- як для некритичного, так і для критичного випадків розроблено і обґрунтовано метод дослідження існування і наближеної побудови як періодичних розв'язків нелінійних диференціальних систем з імпульсною дією, так і розв'язків, які задовольняють фредгольмові лінійні функціональні обмеження, встановлено необхідні та достатні умови існування розв'язків, знайдено оцінки похибки наближених розв'язків;

-- розроблено і обґрунтовано метод дослідження існування та побудови періодичних розв'язків нелінійних автономних диференціальних систем;

-- розроблено і обґрунтовано метод наближеного інтегрування фредгольмових крайових задач для диференціальних систем із відхиляючим аргументом запізнюючого типу, встановлено необхідні та достатні умови існування розв'язків, знайдено оцінки похибки наближених розв'язків;

-- як для некритичного, так і для критичного випадків розроблено і обґрунтовано методи дослідження існування і наближеної побудови як періодичних розв'язків нелінійних систем диференціально-операторних рівнянь, так і розв'язків, які задовольняють фредгольмові лінійні крайові умови, встановлено необхідні та достатні умови існування розв'язків, знайдено оцінки похибки послідовних наближень;

-- для квазілінійних систем рівнянь згаданих вище типів встановлено достатні умови існування періодичних розв'язків та розв'язків, які задовольняють фредгольмові лінійні крайові умови, і при відсутності збурення перетворюються на розв'язки відповідних лінійних однорідних задач;

-- знайдено можливі періоди розривних циклів лінійних автономних імпульсних систем другого порядку, встановлено коефіцієнтні умови їх існування;

-- для лінійних імпульсних систем з виродженою матрицею при похідній, що зводяться до центральної канонічної форми, побудовано загальний розв'язок, встановлено необхідні та достатні умови існування розв'язків задачі Коші, періодичної та нетерової крайових задач і побудовано ці розв'язки в аналітичному вигляді.

Література

1. Korol I. On Polynomial Approximations to Solutions of Implicit Differential Equations / I. Korol // Miskolc Mathematical Notes. - 2002. - V 2. - P.113-122.

2. Король І.І. Чисельно-аналітичний метод інтегрування імпульсних багатоточкових крайових задач/ І.І. Король // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. - 2003. - № 3. - С. 110-118.

3. Король І.І. Дослідження періодичних розв'язків імпульсних систем з гамільтоновою лінійною частиною / І.І. Король // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. - 2004. - №4. - С. 97-109.

4. Король І.І. Про новий підхід до інтегрування двоточкових крайових задач / І.І. Король // Науковий вісник Чернівецького університету: Збірник наукових праць. - 2004. - Вип. 228. Математика. - С. 36-41.

5. Король І.І. Про періодичні розв'язки одного класу систем диференціальних рівнянь/ І.І. Король //Укр. мат. журн. - 2005.- Т. 57, № 4.- С. 483-495.

6. Король І.І. Чисельно-аналітичний метод дослідження періодичних розв'язків диференціальних систем з імпульсною дією/ І.І. Король // Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Математика. Механіка. - 2005. - Вип. 13. - С. 9-18.

7. Король І.І. Чисельно-аналітичний метод дослідження багатоточкових крайових задач для напівлінійних систем диференціальних рівнянь/ І.І. Король // Науковий вісник Ужгородського університету. Сер. матем. і інформ. - 2006. - Вип. 12-13. - С. 83-87.

8. Король І.І. Ще раз про чисельно-аналітичний метод послідовних періодичних наближень А.М. Самойленка. / І.І. Король, М.О. Перестюк // Укр. мат. журн. - 2006. - Т.58, № 4. - С.472-488.

Размещено на Allbest.ru

...