Групи з обмеженнями на підгрупи, що не є нормальними

Вивчення впливу на будову групи системи Lnorm(G) усіх нормальних підгруп групи G. Визначення загальної структури груп, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою. Дослідження періодичних локально ступінчатих груп.

Рубрика Математика
Вид автореферат
Язык украинский
Дата добавления 14.07.2015
Размер файла 29,6 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

УДК 519.41/47

Групи з обмеженнями на підгрупи, що не є нормальними

01.01.06 - алгебра і теорія чисел

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Ярова Оксана Анатоліївна

Київ 2010

Дисертація є рукопис.

Робота виконана на кафедрі вищої математики Національного університету державної податкової служби України, Державна податкова адміністрація України.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор

КИРИЧЕНКО Володимир Васильович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри геометрії.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

СЕМКО Микола Миколайович,

Національний університет державної податкової служби України, завідувач кафедри вищої математики.

доктор фізико-математичних наук, професор

ЛИМАН Федір Миколайович,

Сумський державний педагогічний університет імені А.С. Макаренка, завідувач кафедри математики;

Захист відбудеться “15” квітня 2010 року о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 03127, м. Київ, проспект акад. Глушкова, 6, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий “ 10 ” березня 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Плахотник В. В.

комутант черниківський періодичний ступінчатий

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дисертаційну роботу присвячено дослідженню впливу системи нормальних підгруп на будову всієї групи. Якщо G - група, то через Lnorm(G) (відповідно через Lnon-norm(G)) будемо позначати систему усіх нормальних підгруп групи G (відповідно систему всіх підгруп, що не є нормальними). Групи з великими системами нормальних підгруп є досить давнім об'єктом дослідження у теорії груп. Наявність великої кількості нормальних підгруп і близьких до них типів підгруп дуже сильно впливає на структуру групи. Якщо всі підгрупи групи є нормальними, то її будова була описана досить давно. Цей опис був отриманий для скінченних груп ще Р. Дедекіндом, а трохи згодом був розширений на довільні групи Р. Бером. Групи, всі підгрупи яких є нормальними, були пізніше названі дедекіндовими. Природним наступним етапом стало вивчення груп G, у яких система Lnon-norm(G) задовольняє деякому (часто досить сильному) обмеженню. Ця тематика починає інтенсивно розвиватися С.М. Черніковим та його школою, а також багатьма іншими відомими алгебраїстами, зокрема, Р. Бером, Б. Нейманом, М.С. Черніковим, Ф.М. Лиманом, М.Ф. Сєсекіним, Д. Робінсоном, Л.А. Курдаченком, М.Ф. Кузенним, М.М. Семком, А. Ремтуллою, С. Франціозі, Ф. де Жиованні, Х. Ленстрою. Г.М. Ромаліс та М.Ф. Сєсекін почали вивчати групи, у яких система Lnon-norm(G) складається тільки з абелевих підгруп. Такі групи були названі ними метагамільтоновими. Природним продовженням цих досліджень є розгляд ситуації, коли підгрупи системи Lnon-norm(G) належать до класу груп, що є природним розширенням класу абелевих груп. Так Л.А. Курдаченком, Х. Оталом, А. Руссо та Д. Вінченці вивчалися групи, у яких підгрупи системи Lnon-norm(G) мають скінченний комутант або будуть FC-групами. Дана дисертаційна робота продовжує дослідження у цьому напрямку. Оскільки природним узагальненням скінченних груп є черніковські групи, то природним розширенням груп із скінченним комутантом будуть групи з черніковським комутантом. В даній роботі і проводиться вивчення груп, у яких кожна підгрупа або є нормальною, або має черніковський комутант.

Як ми зазначали вище, групи з великими системами нормальних підгруп є досить давнім об'єктом дослідження у теорії груп. Нормальні підгрупи мають досить великий вплив на будову групи, тому у багатьох випадках, коли їх досить багато, структура групи може бути детально вивчена. Образно кажучи, чим більше має група нормальних підгруп, тим ближче група до абелевої. Наприклад, якщо всі підгрупи групи є нормальними (тобто система Lnorm(G) містить усі підгрупи групи і відповідно система Lnon-norm(G) є пустою), то вона або абелева, або є прямим добутком групи кватерніонів, елементарної абелевої 2-групи та періодичної групи без елементів порядку 2. Цей результат був отриманий для скінченних груп ще в роботі Р. Дедекінда, а потім був розширений на довільні групи у роботі Р. Бера . Природним наступним етапом стало вивчення груп G, у яких система Lnon-norm(G) задовольняє деякому (часто досить сильному) обмеженню. Першими такими роботами були роботи О.Ю. Шмідта , , що вже стали класичними. В них О.Ю. Шмідт вивчав скінченні групи, у яких усі підгрупи системи Lnon-norm(G) є спряженими або система підгруп Lnon-norm(G) складається з двох класів спряжених підгруп. Але систематичне вивчення груп, у яких система підгруп, що не є нормальними, задовольняє деяку досить сильну умову, починається зі статей С.М. Чернікова , . Як ми вже зазначали вище, в розвитку цієї тематики брало участь багато відомих алгебраїстів, які збагатили її багатьма глибокими і цікавими результатами. Однією з цікавих ділянок цієї тематики було вивчення груп, у яких кожна підгрупа, що не є нормальною, буде абелевою. Такі групи були названі метагамільтоновими. Їх вивчення почалося в роботах М.Ф. Сєсекіна та Г.М. Ромаліса. Скінченні метагамільтонові групи вивчалися в роботах В.Т. Нагребецького та А.А. Махньова. Повний опис метагамільтонових груп было отримано у серії статей М.Ф. Кузенного та М.М. Семка (див., наприклад, роботу). Клас абелевих груп має багато природних розширень. Одними з них є клас груп зі скінченним комутантом та більш широкий клас FC-груп. У статтях Л.А. Курдаченка, Х. Отала, А. Руссо та Д. Вінченці , вивчалися групи, у яких підгрупи системи Lnon-norm(G) мають скінченний комутант або будуть FC-групами. Оскільки природним узагальненням скінченних груп є черніковські групи, то природним розширенням груп зі скінченним комутантом будуть групи з черніковським комутантом. Дана дисертаційна робота присвячена розгляду груп, у яких кожна підгрупа або є нормальною, або має черніковський комутант.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами

Тема дисертаційної роботи пов'язана з тематикою наукових досліджень Інституту математики НАН України і кафедри вищої математики Національного університету державної податкової служби України (номер державної реєстрації 0107U008317).

Мета і задачі дослідження

Метою даної роботи є

дослідження груп, комутанти всіх власних підгруп яких є черніковськими підгрупами;

дослідження груп, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою.

Задачі дослідження:

описати групи, комутанти всіх власних підгруп яких є черніковськими підгрупами, при умові, що вони мають нормальну систему Куроша-Чернікова, фактори якої є локально ступінчаті;

з'ясувати загальну структуру груп, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою, при умові, що вони мають нормальну систему Куроша-Чернікова, фактори якої є локально ступінчаті;

описати групи, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою, при умові, що вони мають нормальну підгрупу скінченного індексу, комутант якої є черніковською підгрупою;

з'ясувати локальну структуру розв'язних груп, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою;

описати локально ступінчаті групи, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою, при умові, що вони мають таку нормальну абелеву підгрупу A, що фактор-група G/A буде скінченно породженою;

описати періодичні локально ступінчаті групи, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою, при умові, що вони не мають власних підгруп скінченного індексу;

описати періодичні локально ступінчаті групи G, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою, при умові, що вони мають таку нормальну абелеву підгрупу A, що фактор-група G/A не має власних підгруп скінченного індексу;

описати періодичні резидуально черніковські групи G, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою;

описати локально скінченні групи, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою, при умові, що їх силовські підгрупи є черніковськими;

описати локально ступінчаті групи G, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою, при умові, що вони мають таку нормальну періодичну абелеву підгрупу A, що фактор-група G/A є мінімаксною.

Наукова новизна одержаних результатів

В дисертаційній роботі вперше отримано такі нові теоретичні результати:

описані групи, комутанти всіх власних підгруп яких є черніковськими підгрупами, при умові, що вони мають нормальну систему Куроша-Чернікова, фактори якої є локально ступінчаті;

описані групи, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою, при умові, що вони мають нормальну підгрупу скінченного індексу, комутант якої є черніковською підгрупою;

описані локально ступінчаті групи, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою, при умові, що вони мають таку нормальну абелеву підгрупу A, що фактор-група G/A буде скінченно породженою;

описані періодичні локально ступінчаті групи, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою, при умові, що вони не мають власних підгруп скінченного індексу;

описані періодичні локально ступінчаті групи G, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою, при умові, що вони мають таку нормальну абелеву підгрупу A, що фактор-група G/A не має власних підгруп скінченного індексу;

описані періодичні резидуально черніковські групи G, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою;

описані локально скінченні групи, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою, при умові, що їх силовські підгрупи є черніковськими;

описані локально ступінчаті групи G, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою, при умові, що вони мають таку нормальну періодичну абелеву підгрупу A, що фактор-група G/A є мінімаксною.

Практичне значення одержаних результатів

Робота має теоретичний характер. Результати дисертації можуть бути використані в теоретико-групових дослідженнях, що проводяться в Інституті математики НАН України, Київському, Дніпропетровському та Львівському національних університетах.

Особистий внесок здобувача

Всі основні результати дисертаційної роботи одержані автором самостійно і опубліковані у фахових виданнях [1, 3, 4] без співавторів. Співавтором роботи [2] є науковий керівник Семко М.М., якому належать уточнення формулювань та доведень результатів цієї роботи.

Апробація результатів дисертації

Результати дисертації доповідалися і опубліковані в тезисах матеріалів:

· VІI Міжнародної алгебраїчної конференції в Україні (Харків - 2009 р.);

· Міжнародної конференції “Дискретная математика, алгебра и их приложения” (Білорусь, Мінськ - 2009 р.);

· Міжнародної конференції “Мальцевские чтения“, присвяченій 100-річчю від дня народження А.І. Мальцева (Росія, Новосибірськ - 2009 р.);

· Українського математичного конгресу - 2009 (до 100-річчя від дня народження Миколи М. Боголюбова) (Київ - 2009 р.);

· Міжнародної наукової конференції, присвяченій 50-річчю кафедри алгебри і математичної логіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка (Київ - 2009 р.).

Крім того, результати дисертаційної роботи доповідались на засіданнях кафедри вищої математики Національного університету державної податкової служби України (2004 - 2009 роки), наукових конференціях “Фрактали і сучасна математика” (Київ - 2005 р.) і пам'яті професора С.С. Левіщенка (Київ - 2006 р.) та алгебраїчному семінарі Київського національного університету імені Тараса Шевченка (2009 р.).

Публікації

Результати дисертації опубліковані в 4 фахових наукових статтях і в 3 тезах доповідей наукових конференцій (це публікації [1 - 4] та відповідно [5 - 7]).

Структура і об'єм дисертації

Дисертація складається із вступу, трьох основних розділів (які містять 8 підрозділів), висновків і списку використаних джерел. Список використаних джерел складається із 71 найменувань. Загальний обсяг дисертації - 106 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі сформульовано мету та задачі дисертаційної роботи, дано обґрунтування вибору теми дослідження та актуальності цієї тематики.

У розділі “Огляд літератури та попередні теоретичні відомості” подано детальну інформацію про дослідження, пов'язані з тематикою даної дисертаційної роботи, а також наведено перелік результатів, які використовуються у даній роботі.

У розділі 2 “Групи, власні підгрупи яких мають черніковський комутант” починається розгляд важливих часткових випадків. Нехай G - група, у якої система Lnon-norm(G) складається з підгруп, що мають черніковський комутант. Тут можливі дві крайні, діаметрально протилежні ситуації: (а) система Lnon-norm(G) є пустою; та (б) система Lnon-norm(G) складається з усіх власних підгруп групи G. У першому випадку всі підгрупи групи G є нормальними, і структура такої групи давно відома. У другому випадку всі власні підгрупи групи G мають черніковські комутанти, і цей випадок потребує спеціального дослідження. Це важливий перший етап у дослідженні груп, всі підгрупи яких або нормальні, або мають черніковський комутант.

Нагадаємо спочатку деякі необхідні поняття.

Нехай G - група. Система S її підгруп називається системою Куроша-Чернікова, якщо вона задовольняє наступні умови:

(I) впорядкована за включенням множина S лінійно впорядкована;

(II) G, <1> S;

(III) S є замкненою відносно перетинів та об'єднань своїх підгруп, зокрема разом з кожною своєю підгрупою H G вона містить перетин H? усіх тих підгруп системи S, які містять Н та не співпадають з Н; а також разом з кожною своєю неодиничною підгрупою K вона містить об'єднання K? тих підгруп системи S, які містяться в К та не співпадають з К;

(IV) якщо H S та H G, то H є нормальною в H?.

Фактор-групи H?/H називаються факторами системи S. Система S називається нормальною, якщо кожен її член є нормальною підгрупою усієї групи G.

Це поняття було введено у роботі і стало одним з базових понять теорії узагальнено розв'язних груп.

Група G називається локально ступінчатою, якщо кожна її скінченно породжена підгрупа має власну підгрупу скінченного індексу.

Клас локально ступінчатих груп є дуже широким, він містить у собі класи всіх локально скінченних груп, локально майже розв'язних груп, локально резидуально скінченних груп.

Основним результатом розділу 2 є наступна

2.2.5. Теорема. Нехай G - група, всі власні підгрупи якої мають черніковські комутанти. Якщо G має нормальну систему Куроша-Чернікова, фактори якої будуть локально ступінчатими, тоді її комутант [G, G] є черніковською підгрупою.

Наведемо деякі наслідки з цієї теореми.

2.2.6. Наслідок. Нехай G - група, всі власні підгрупи якої мають черніковські комутанти. Якщо G має зростаючий ряд нормальних підгруп, фактори якого будуть локально ступінчатими, то її комутант [G, G] є черніковською підгрупою.

2.2.7. Наслідок. Нехай G - група, всі власні підгрупи якої мають черніковські комутанти. Якщо G має спадаючий ряд нормальних підгруп, фактори якого будуть локально ступінчатими, то її комутант [G, G] є черніковською підгрупою.

2.2.8. Наслідок . Нехай G - локально ступінчата група, всі власні підгрупи якої мають черніковські комутанти. Тоді і комутант усієї групи G буде черніковською підгрупою.

Група G називається узагальнено радикальною, якщо вона має зростаючий ряд нормальних підгруп, кожен фактор якого є або локально нільпотентною, або локально скінченною групою.

2.2.9. Наслідок. Нехай G - локально узагальнено радикальна група, всі власні підгрупи якої мають черніковські комутанти. Тоді і комутант усієї групи G буде черніковською підгрупою.

2.2.10. Наслідок. Нехай G - локально майже розв'язна група, всі власні підгрупи якої мають черніковські комутанти. Тоді і комутант усієї групи G буде черніковською підгрупою.

А.Ю. Ольшанський 17 побудував серію екзотичних прикладів нескінченних простих груп, всі власні підгрупи яких будуть абелевими. Ці приклади доводять, що твердження теоремы 2.2.5 не може бути розширено на довільні групи, всі власні підгрупи яких мають черніковські комутанти.

Розділ 3 “Групи, всі підгрупи яких або нормальні, або мають черніковський комутант” є основним у даній дисертаційній роботі.

Нехай G - група, у якої система Lnon-norm(G) складається з підгруп, що мають черніковський комутант. Позначимо через S систему всіх тих підгруп, комутант яких не є черніковським. Тоді кожна з цих підгруп буде нормальною та визначає дедекіндову фактор-групу. Згадаємо, що дедекіндова група є нільпотентною, причому її клас нільпотентності не перевищує 2. Нехай Н - перетин усіх підгруп, що належать до системи S. Тоді фактор-група G/H буде нільпотентною групою, клас нільпотентності якої не перевищує 2. Якщо К - власна підгрупа Н, то із вибору Н випливає, що К S, тому її комутант має бути черніковським. Як було доведено у розділі 2, при деяких досить загальних умовах підгрупа Н також має черніковський комутант. З цього випливає, що вся група G буде майже розв'язною (при тих додаткових умовах, які розглядались у розділі 2). Це показує, що випадок майже розвязної групи є основним при вивченні груп, у яких система Lnon-norm(G) складається з підгруп, що мають черніковський комутант. Першим результатом про структуру таких груп є

3.1.12. Теорема. Нехай G - локально майже розв'язна група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Тоді мають місце наступні твердження:

(i) кожна скінченно породжена підгрупа групи G є скінченною над своїм центром, зокрема, G є локально FC-групою;

(ii) комутант групи G буде періодичною (і, отже, локально скінченною) підгрупою. Зокрема, якщо G є вільною від скруту, то вона буде абелевою.

Цю теорему можна розширити наступним чином.

3.1.13. Теорема. Нехай G - група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Якщо G має нормальну систему Куроша-Чернікова, фактори якої будуть локально ступінчатими, то вона є майже розв'язною. Зокрема, її комутант [G, G] є локально скінченною підгрупою. Отже, якщо G є вільною від скруту, то вона буде абелевою.

3.1.14. Наслідок. Нехай G - періодична група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Якщо G має нормальну систему Куроша-Чернікова, фактори якої будуть локально ступінчатими, то вона є локально скінченною.

3.1.15. Наслідок. Нехай G - скінченно породжена група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Якщо G має нормальну систему Куроша - Чернікова, фактори якої будуть локально ступінчатими, то вона має центр скінченного індексу. Зокрема, вона буде майже абелевою.

3.1.16. Наслідок. Нехай G - локально ступінчата група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Тоді група G є майже розв'язною. Зокрема, її комутант [G, G] є локально скінченною підгрупою. Отже, якщо G є вільною від скруту, то вона буде абелевою.

Наведені вище результати дають деякий загальний опис груп, у яких кожна підгрупа або нормальна, або має черніковський комутант. Наступні результати присвячені більш детальному вивченню будови таких груп. Одним з важливих етапів цього вивчення є розгляд випадку, коли така група має підгрупу скінченного індексу, комутант якої є черніковською підгрупою.

3.2.10. Теорема. Нехай G - група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Якщо G містить у собі підгрупу скінченного індексу, комутант якої є черніковською підгрупою, то і комутант усієї групи G буде черніковською підгрупою.

При вивченні розв'язних груп, кожна підгрупа яких або нормальна, або її комутант буде черніковською підгрупою, першим природним кроком є вивчення їх локальної структури. Інакше кажучи, вивчення будови їх підгруп, що мають вигляд < g, A >, де A - абелева підгрупа, а g NG(A). Основною метою параграфа 3.3 є вивчення підгруп такого типу у групах, кожна підгрупа яких або нормальна, або її комутант буде черніковською підгрупою. Даний параграф містить в основному технічні результати, на яких базується подальше вивчення вказаних типів груп. Основним результатом цього параграфа буде

3.3.20. Теорема. Нехай G - група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Нехай, далі, A - абелева підгрупа групи G, та нехай g NG(A) \ CG(A). Тоді [А, g] буде черніковською підгрупою.

В заключній частині розділу 3 за допомогою попередніх результатів отримано опис структури деяких класів майже розв'язних груп, кожна підгрупа яких або нормальна, або її комутант буде черніковською підгрупою.

3.4.2. Теорема. Нехай G - локально ступінчата група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Припустимо, що G містить у собі таку нормальну абелеву підгрупу A, що фактор-група G/A буде скінченно породженою. Тоді комутант групи G буде черніковською підгрупою.

3.4.8. Теорема. Нехай G - періодична група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Припустимо, що G має нормальну систему Куроша-Чернікова, фактори якої будуть локально ступінчатими. Якщо G не має власних підгруп скінченного індексу, то вона буде абелевою.

3.4.8. Наслідок. Нехай G - періодична локально ступінчата група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Якщо G не має власних підгруп скінченного індексу, то вона буде абелевою.

3.4.9. Наслідок. Нехай G - локально скінченна група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Якщо G не має власних підгруп скінченного індексу, то вона буде абелевою.

3.4.10. Наслідок. Нехай G - періодична майже розв'язна група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Припустимо, що G містить у собі таку нормальну абелеву підгрупу A, що фактор-група G/A не має власних підгруп скінченного індексу. Тоді група G буде абелевою.

3.4.11. Теорема. Нехай G - періодична майже розв'язна група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Припустимо, що G містить у собі таку нормальну підгрупу A, що фактор-група G/A не має власних підгруп скінченного індексу. Якщо комутант А є черніковською підгрупою, то і комутант усієї групи G буде черніковською підгрупою.

3.4.12. Наслідок. Нехай G - періодична група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Припустимо, що G містить у собі таку нормальну підгрупу A, що фактор-група G/A є черніковською. Якщо комутант А є черніковською підгрупою, то і комутант усієї групи G буде черніковською підгрупою.

Розглянемо наступне узагальнення резидуально скінченних груп. Нехай X - клас груп. Будемо говорити, що група G є резидуально X-група, якщо для кожного її неодиничного елемента g існує така нормальна підгрупа Hg, що не містить цього елемента і фактор-група G/Hg належить до класу груп X.

Якщо X - це клас черніковських груп, то будемо говорити про резидуально черніковські групи.

3.4.13. Теорема. Нехай G - періодична група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Припустимо, що G є резидуально черніковською групою. Тоді комутант групи G буде черніковською підгрупою.

3.4.14. Наслідок. Нехай G - локально скінченна група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Припустимо, що силовські р-підгрупі G є черніковськими для кожного простого числа р. Тоді комутант групи G буде черніковською підгрупою.

Нехай p - просте число. Будемо говорити, що група G має скінченний секційний р-ранг rp(G) = r, якщо кожна елементарна абелева p-секція U/V групи G буде скінченною і має порядок, що не перевищує pr та існує елементарна абелева p-секція A/B групи G, порядок якої точно дорівнює числу pr.

Будемо говорити, що група G має скінченний секційний ранг, якщо вона має скінченний секційний р-ранг для кожного простого числа p.

3.4.15. Наслідок. Нехай G - локально скінченна група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Припустимо, що група G має скінченний секційний ранг. Тоді комутант групи G буде черніковською підгрупою.

Будемо говорити, що група G має скінченний спеціальний ранг r(G) = r, якщо кожна скінченно породжена підгрупа групи G може бути породжена не більше ніж r елементами і r - це найменше натуральне число, що має дану властивість.

3.4.16. Наслідок. Нехай G - локально скінченна група кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Припустимо, що група G має скінченний спеціальний ранг. Тоді комутант групи G буде черніковською підгрупою.

Група G називається мінімаксною, якщо вона має скінченний ряд нормальних підгруп, кожен фактор якого задовольняє умову мінімальності або умову максимальності для всіх підгруп.

Якщо група G буде мінімаксною та майже розв'язною, то вона має скінченний ряд нормальних підгруп, кожен фактор якого буде або черніковською групою, або майже поліциклічною групою.

3.4.21. Теорема. Нехай G - локально ступінчата група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Припустимо, що G містить у собі таку нормальну періодичну абелеву підгрупу A, що фактор-група G/A є мінімаксною. Тоді комутант групи G буде черніковською підгрупою.

У завершення цього розділу розглянемо ще одну з можливих частинних ситуацій.

3.4.22. Теорема. Нехай G - періодична група, кожна підгрупа якої або нормальна, або має черніковський комутант. Припустимо, що G містить у собі таку нормальну абелеву підгрупу, що фактор-група G/А також є абелевою. Якщо (A) (G/A) = , то комутант групи G буде черніковською підгрупою.

ВИСНОВКИ

Одна з перших задач теорії груп, яка зберігає своє значення і до цього часу, полягає у вивченні впливу на будову групи системи Lnorm(G) усіх нормальних підгруп групи G. Групи з великими системами нормальних підгруп є досить давнім об'єктом дослідження у теорії груп. Нормальні підгрупи мають досить великий вплив на будову групи, тому коли система Lnorm(G) є достатньо великою, досить часто структура групи може бути детально вивчена.

Дана дисертаційна робота присвячена розгляду груп, у яких кожна підгрупа або є нормальною, або має черніковський комутант. Отримано такі нові теоретичні результати:

описані групи, комутанти всіх власних підгруп яких є черніковськими підгрупами, при умові, що вони мають нормальну систему Куроша-Чернікова, фактори якої є локально ступінчаті;

описані групи, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою, при умові, що вони мають нормальну підгрупу скінченного індексу, комутант якої є черніковською підгрупою;

описані локально ступінчаті групи, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою, при умові, що вони мають таку нормальну абелеву підгрупу A, що фактор-група G/A буде скінченно породженою;

описані періодичні локально ступінчаті групи, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою, при умові, що вони не мають власних підгруп скінченного індексу;

описані періодичні локально ступінчаті групи G, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою, при умові, що вони мають таку нормальну абелеву підгрупу A, що фактор-група G/A не має власних підгруп скінченного індексу;

описані періодичні резидуально черніковські групи G, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою;

описані локально скінченні групи, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою, при умові, що їх силовські підгрупи є черніковськими;

описані локально ступінчаті групи G, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою, при умові, що вони мають таку нормальну періодичну абелеву підгрупу A, що фактор-група G/A є мінімаксною.

РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Яровая О.А. О группах, все собственные подгруппы которых близки к абелевым /О.А. Яровая // Вісник Київського університету. Сер. фіз.-мат. наук. - 2008.- Вип. №4.- С.36 - 39.

2. Semko N.N. On some generalization of metahamiltonian groups / N.N. Semko, O.A. Yarovaya // Algebra and Discrete Mathematics. - 2009.- №2.- P. 16 - 24.

3. Ярова О.А. Про групи, усі власні підгрупи яких близькі до абелевих / О.А. Ярова // Доп. НАН України. - 2009.- №7.- С. 34 - 35.

4. Яровая О.А. О группах, близких к метагамильтоновым /О.А. Яровая // Вісник Дніпропетровського університету. Математика. - 2009.- Вип. 14.- С. 143 - 149.

5. Yarovaya O.A. About groups close to Hamiltonian / O.A. Yarovaya, M.M. Semko // 7-th International Algebraic Conference in Ukraint.- К.: Ін-т математики НАН України, 2009. - C. 123 -124 с.

6. Яровая О.А. О некотором обобщении метагамильтоновых групп / О.А. Яровая, Н.Н. Семко // Международная конференция ” Дискретная математика, алгебра и их приложения”.- Минск: Ин-т математики НАН Беларуси, 2009. - C. 39 -40.

7. Ярова О.А. Групи, у яких підгрупи, що не є нормальними, близькі до абелевих груп / О.А. Ярова, М.М. Семко // Міжнародна наукова конференція, присвячена 50-річчю кафедри алгебри і математичної логіки.- Київ: Київський національний університет імені Тараса Шевченка, 2009. - C. 49 - 51.

АНОТАЦІЇ

Ярова О.А. Групи з обмеженнями на підгрупи, що не є нормальними. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2010.

Одна з перших задач теорії груп, яка зберігає своє значення і до цього часу, полягає у вивченні впливу на будову групи системи Lnorm(G) усіх нормальних підгруп групи G. Групи з великими системами нормальних підгруп є досить давнім об'єктом дослідження у теорії груп. Нормальні підгрупи мають досить великий вплив на будову групи, тому коли система Lnorm(G) є достатньо великою, досить часто структура групи може бути детально вивчена.

Дана дисертаційна робота присвячена розгляду груп, у яких кожна підгрупа або є нормальною, або має черніковський комутант. Отримано такі нові теоретичні результати:

описані групи, комутанти всіх власних підгруп яких є черніковськими підгрупами, при умові, що вони мають нормальну систему Куроша-Чернікова, фактори якої є локально ступінчаті;

описані групи, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою, при умові, що вони мають нормальну підгрупу скінченного індексу, комутант якої є черніковською підгрупою;

описані локально ступінчаті групи, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою, при умові, що вони мають таку нормальну абелеву підгрупу A, що фактор-група G/A буде скінченно породженою;

описані періодичні локально ступінчаті групи, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою, при умові, що вони не мають власних підгруп скінченного індексу;

описані періодичні локально ступінчаті групи G, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою, при умові, що вони мають таку нормальну абелеву підгрупу A, що фактор-група G/A не має власних підгруп скінченного індексу;

описані періодичні резидуально черніковські групи G, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою;

описані локально скінченні групи, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою, при умові, що їх силовські підгрупи є черніковськими;

описані локально ступінчаті групи G, кожна підгрупа яких або є нормальною, або її комутант є черніковською підгрупою, при умові, що вони мають таку нормальну періодичну абелеву підгрупу A, що фактор-група G/A є мінімаксною.

Ключові слова: періодична група, нормальна підгрупа, черніковський комутант, локально ступінчата група, локально скінченна група, розв'язна група, черніковська група.

Яровая О.А. Группы с ограничениями на подгруппы, которые не являются нормальными. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2010.

Диссертационная работа посвящена исследованию локально ступенчатых групп, у которых всякая подгруппа или нормальная, или имеет черниковский коммутант. В частности, изучены группы, у которых коммутанты всех собственных подгрупп являются черниковскими подгруппами при условии, что они имеют нормальную систему Куроша-Черникова, факторы которой локально ступенчатые.

Ключевые слова: периодическая группа, нормальная подгруппа, черниковский коммутант, локально ступенчатая группа, локально конечная группа, разрешимая группа, черниковская группа.

Yarovaya O.A. Groups will constraints into subgroups which are not normal. - Manuscript.

Thesis for Candidate's degree in speciality 01.01.06 - algebra and number theory.- Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 20010.

Dissertational work is devoted to research of the locally graded groups, whose subgroups either are normal or has Chernikov derived subgroup. In particular, have been studied the groups, having a normal Kurosh-Chernikov system with locally graded factors, whose proper subgroups have Chernikov derived subgroups.

Key words: periodic group, normal subgroups, Chernikov derived subgroup, locally graded group, locally finite group, soluble group, Chernikov group.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

  • Вивчення властивостей підгрупи Фиттинга. Умова існування доповнень до окремих підгруп. Визначення нильпотентної довжини розв'язної групи. Доведення ізоморфності кінцевої нерозв'язної групи з нильпотентними додаваннями до непонадрозв'язних підгруп.

    дипломная работа [198,6 K], добавлен 17.01.2011

  • Класифікація кінцевих простих неабелевих груп. Одержання факторизацій конкретних простих неабелевих груп та простих груп лієвського типу малого лієвського рангу. Ізометрії, проективні перетворення. Структурні теореми, порядки симплектичних груп.

    дипломная работа [263,0 K], добавлен 26.12.2010

  • Групування домогосподарств за двома ознаками дає комбінаційний розподіл. Для побудови групування необхідно підрахувати кількість домогосподарств, які одночасно належать до певної групи за факторною ознакою та до іншої групи за результативною ознакою.

    реферат [161,1 K], добавлен 06.10.2008

  • Основна теорема про епіморфізм груп. Означення і властивості гомоморфного та ізоморфного відображення кілець, полів. Ізоморфізм циклічних груп. Поняття кільця, поля та їх основні властивості. Вправи на гомоморфізм та ізоморфізм груп, кілець і полів.

    дипломная работа [859,1 K], добавлен 19.09.2012

  • Вивчення існування періодичних рішень диференціальних систем і рівнянь за допомогою властивостей симетричності (парність, непарність). Основні теорії вектор-функцій, що відбивають. Побудова множини систем, парна частина загального рішення яких постійна.

    курсовая работа [87,8 K], добавлен 20.01.2011

  • Аналіз структури населення за віком, статевої збалансованості, співвідношення вікових груп серед чоловіків і жінок. Групування банків за розміром капіталу та за прибутковістю активів. Визначення частки міського населення та середньої густоти населення.

    контрольная работа [1,1 M], добавлен 20.11.2009

  • Дослідження системи з відомим типом крапок спокою. Знаходження першого інтеграла системи, умови його існування. Застосування теореми про еквівалентність диференціальних систем. Визначення вложимої системи, умови вложимості. Поняття функції, що відбиває.

    курсовая работа [115,3 K], добавлен 14.01.2011

  • Властивості відкритої мультикомутативності нормальних функторів, її критерії. Критерії відкритої мультикомутативності в категорії Comp для нормальних та слабко нормальних функторів. Продовження властивості відкритої мультикомутативності на категорію Tych.

    автореферат [69,3 K], добавлен 11.04.2009

  • Функціональні методи рішення тригонометричних і комбінованих рівнянь. Рішення тригонометричних нерівностей графічним методом. Відомість тригонометричних рівнянь до алгебраїчних. Перетворення й об'єднання груп загальних рішень тригонометричних рівнянь.

    дипломная работа [773,7 K], добавлен 25.02.2011

  • Отримання аналогів теореми порівняння Колмогорова для класу функцій, що задаються обмеженнями на несиметричні норми старших похідних. Випадок класів, які задаються обмеженнями на декілька похідних. Означення екстремальної функції, її властивості.

    дипломная работа [1,4 M], добавлен 11.06.2017

  • Поняття добутку формацій. Операції на класах груп, відображення множини. Однорідні, локальні, композиційні та порожні екрани. Формації з однорідним екраном. Побудова локальних формацій із заданими властивостями. Доведення теорем Подуфалова та Слепова.

    курсовая работа [189,3 K], добавлен 26.12.2010

  • Вивчення елементарних функцій, інтеграли від яких не є елементарними функціями, тобто вони не обчислюються в скінченному вигляді або не 6еруться. Наближені методи обчислення визначених інтегралів. Дослідження невласних інтегралів та ознаки їх збіжності.

    реферат [1,1 M], добавлен 18.07.2010

  • Розподіли системи двох випадкових величин, що однозначно визначається сумісним розподілом ймовірностей, який можна задати матрицею. Інтегральна функція розподілу випадкового вектора. Середньоквадратична регресія. Лінійна кореляція нормальних величин.

    реферат [253,5 K], добавлен 13.06.2010

  • Неразрешимые конечные группы с нильпотентными добавлениями к несверхразрешимым подгруппам. Нормальные подгруппы конечных-обособленных груп. Факторизуемые группы с разрешимыми факторами нечетных индексов. Произведения 2-разложимых групп специальных видов.

    курсовая работа [546,1 K], добавлен 26.09.2009

  • Загальнi вiдомостi, визначення та поняття лiнiйної алгебри та аналiтичної геометрiї. Матрицi та визначники, системи лiнiйних рiвнянь. Основнi алгебраїчнi структури. Аналiтична геометрiя на площинi та в просторі. Лiнiйний векторний та евклідовий простори.

    учебное пособие [592,2 K], добавлен 01.05.2014

  • Поняття приватного інтеграла. Побудова квадратичних двовимірних стаціонарних систем із приватним інтегралом у вигляді параболи, окружності або гіперболи. Умови існування в системи двох часток інтегралів. Якісне дослідження побудованих класів систем.

    дипломная работа [290,0 K], добавлен 14.01.2011

  • Інтеграл Фур'є для парної й непарної функції. Приклад розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є. Визначення методів Бернштейна–Рогозинського. Наближення функцій за допомогою сум Бернштейна-Рогозинського. Сума, добуток і частка періодичних функцій.

    курсовая работа [765,6 K], добавлен 07.07.2011

  • Системи аксіом евклідової геометрії. Повнота системи аксіом евклідової геометрії. Арифметична реалізація векторної системи аксіом Г. Вейля евклідової геометрії. Незалежність системи аксіом Г. Вейля. Доведення несуперечливості геометрії Лобачевського.

    курсовая работа [2,3 M], добавлен 10.12.2014

  • Визначення основних понять і вивчення методів аналізу безкінечно малих величин. Техніка диференціального і інтегрального числення і вирішення прикладних завдань. Визначення меж числової послідовності і функції аргументу. Обчислення інтегралів.

    курс лекций [570,1 K], добавлен 14.03.2011

  • Суть функції багатьох змінних, її означення і символіки. Границя і неперервність функції багатьох змінних. Визначення відкритої та замкненої області. Множина точок площини, для яких задана формула має зміст, як область визначення. Функція двох змінних.

    реферат [289,8 K], добавлен 01.05.2011

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.