Елементи негауссівського аналізу на просторах функцій нескінченної кількості змінних

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦIОНАЛЬНА АКАДЕМIЯ НАУК УКРАЇНИIНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

УДК 517.98

Елементи негауссiвського аналiзу на просторах функцiй нескiнченної кiлькостi змiнних

01.01.01 -- математичний аналiз

Автореферат

дисертацiї на здобуття наукового ступеня доктора фiзико-математичних наук

КАЧАНОВСЬКИЙ Микола Олександрович

Київ - 2010

Дисертацiєю є рукопис.

Робота виконана в Iнститутi математики НАН України.

Науковий консультант

доктор фiзико-математичнх наук, професор, академiк НАН України Березанський Юрiй Макарович,

Iнститут математики НАН України, головний науковий спiвробiтник вiддiлу функцiонального аналiзу.

Офiцiйнi опоненти:

доктор фiзико-математичних наук Загороднюк Андрiй Васильович, Прикарпатський нацiональний унiверситет, завiдувач кафедри математичного i функцiонального аналiзу;

доктор фiзико-математичних наук, професор Кондратьєв Юрiй Григорович, Нацiональний педагогiчний університет iменi М. П. Драгоманова, професор;

доктор фiзико-математичних наук, професор Кошманенко Володимир Дмитрович, Iнститут математики НАН України, провiдний науковий спiвробiтник вiддiлу математичної фiзики.

Захист вiдбудеться "1" червня 2010 р. о 15 годинi на засiдан нi спецiалiзованої вченої ради Д 26.206.01 Iнституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенкiвська, 3.

З дисертацiєю можна ознайомитись у бiблiотецi Iнституту математики НАН України.

Автореферат розiсланий "21" квітня 2010 р.

Вчений секретар спецiалiзованої вченої ради Романюк A.C.

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. У зв'язку iз розвитком сучасних математичних дисциплiн виникла необхiднiсть детальної розробки теорiї узагальнених функцiй нескiнченної кiлькостi змiнних. Один iз напрямiв цiєї теорiї, що розроблявся у 70-тi роки минулого сторiччя в роботах Ю.М. Березан-ського, Ю.Г. Кондратьєва та Ю.С. Самойленка, передбачає розгляд про-сторiв основних та узагальнених функцiй як нескiнченних тензорних до-буткiв одновимiрних просторiв. Трохи згодом, незалежно один вiд одно-го, Ю.Г. Кондратьєв та Т. Хiда розробляли детальну теорiю узагальне-них функцiй нескiнченної кiлькостi змiнних зi спецiальними просторамиосновних i узагальнених функцiй, спарювання мiж елементами яких по-роджене iнтегруванням за гауссiвською мiрою (в цiй теорiї по сутi роз-глядаються оснащення простору Фока, до яких застосовується iзомор-фiзм Вiнера-- Iто-- Сiгала). Зауважимо, що за допомогою так званого S-перетворення згаданi простори можна ототожнити з певними просторами аналiтичних функцiй нескiнченної кiлькостi змiнних; подiбнi функцiї вивчаються у роботах Р.М. Арона, С. Дайнiна, А.В. Загороднюка, О.В. Лопушанського та багатьох iнших.

Цiкавими з точки зору застосувань у функцiональному аналiзi, в теорії випадкових процесiв та в математичнiй фiзицi є "негауссiвськi" аналоги теорiї Кондратьєва та Хiди, для яких ми приймемо загальну назву негауссiвський нескiнченно вимiрний аналiз. Одними з перших робiт з негауссiвського аналiзу є статтi Й. Iто та I. Кубо (1988), в яких замiсть гауссiвської мiри розглядається пуассонiвська. Згодом Ю.М. Березанський запропонував так званий спектральний пiдхiд до побудови негауссiвського аналiзу, при якому роль гауссiвської мiри вiдiграє спектральна мiра сiм'ї комутуючих самоспряжених операторiв у просторi Фока, якi мають якобiєву структуру (цих результатiв ми не торкаємось в дисертацiї). Приблизно в той же час (1991) Ю.Л. Далецький розглянув так званi біортогональні системи, що складаються з узагальнених полiномiв Аппеля та ортогональних до них вiдносно вихiдної (негауссiвської, взагалi кажучи) міри узагальнених функцiй; а Ю.Г. Кондратьєв запропонував будувати версію аналiзу на основi цих систем. При цьому в якостi ортогональних базисiв у просторах основних та узагальнених функцiй використовуються згаданi полiноми та узагальненi функцiї вiдповiдно. Ця iдея була реалiзован та розвинута у численних роботах С. Альбеверiо, Ю.М. Березанського,

Ю.Л. Далецького, Ю.Г. Кондратьєва, В.А. Теска, Г.Ф. Уса, Л. Штрайта, автора дисертацiї та iнших.

Згодом з'ясувалося, що умови "бiортогонального аналiзу" задовольняють так звана гамма-мiра та бiльш загальна узагальнена мiра Майкснера. Бiльше того, незначна модифiкацiя "бiортогонального аналiзу" да можливiсть застосувати його для побудови елементiв так званого аналiзу кольорових шумiв. Цi питання вивчались у роботах Ю.Г. Кондратьєва, Є.В. Литвинова, I.В. Родiонової, Г.Ф. Уса, автора дисертацiї та iнших. Вiдзначимо також, що питання, пов'язанi з узагальненою мiрою Майкснера (бiльш точно, з майкснерiвськими класами мiр), викликають значний ін. терес у фахiвцiв з теорiї випадкових процесiв та вивчалися, зокрема, у роботах Л. Аккардi, М. Божейка, А.М. Вершика, Й. Ву, Б. Грiгелiонiса, Х. Куо, Н. Обати, З. Хуанга, Н.В. Цилевич та багатьох iнших.

Частина застосувань негауссiвського нескiнченновимiрного аналiзу вимагає вивчення стохастичних iнтегралiв i стохастичних похiдних та елементiв вiкiвського числення (зокрема, стохастичних рiвнянь з нелiнiйностями вiкiвського типу) на просторах узагальнених функцiй. Цьому напрямку присвячена низка робiт Ф. Бента, Ю.Г. Кондратьєва, I. Кубо, Х. Куо, Є.В. Литвинова, К. Обати, Б. Оксендала, О.Л. Ребенка, А. Сенгупти, автора дисертацiї та iнших.

Отже, природними та актуальними є задачi розвитку та вдосконалення бiортогонального пiдходу до побудови негауссiвського нескiнченно-вимiрного аналiзу, зокрема, побудова i вивчення стохастичних iнтегралiв, стохастичних похiдних та елементiв вiкiвського числення в рамках цього пiдходу; а також розробка некласичних прикладiв застосувань згаданого пiдходу, зокрема, розбудова аналiзу, пов'язаного з узагальненою мiрою Майкснера. Дисертацiйна робота присвячена розв'язанню цих задач. Зокрема, iдеї та методика, розробленi в рамках "бiортогональногоаналiзу", використанi при побудовi та дослiдженi стохастичних iнтегра лiв, стохастичних похiдних та вiкiвського числення в тiй частинi аналiзу, пов'язаного з узагальненою мiрою Майкснера, яка не випливає безпосередньо iз загальної теорiї.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дослiдження, що складають основу дисертацiї, проводились у вiддiлi функцiонального аналiзу Iнституту математики НАН України в рамках теми "Спектральна теорiя операторiв та її застосування", номер державної реєстрацiї 0101U000321.

Мета i завдання дослiдження. Метою дисертацiйної роботи є розвиток та вдосконалення бiортогонального пiдходу до побудови негауссiвського нескiнченновимiрного аналiзу; а також розбудова аналiзу, пов'язаного з узагальненою мiрою Майкснера.

Об'єктом дослiдження є простори основних i узагальнених функцій негауссiвського нескiнченновимiрного аналiзу, а також оператори i операцiї (оператори стохастичного iнтегрування i стохастичного диференцiювання, вiкiвське множення тощо) на них та на просторi квадратично iнтегровних за узагальненою мiрою Майкснера функцiй, i крiм того, н розширеному просторi Фока i його оснащеннях.

Предметом дослiдження є властивостi просторiв основних i узагальнених функцiй негауссiвського нескiнченновимiрного аналiзу, та властивостi операторiв i операцiй на просторах негауссiвського аналiзу -- в залежностi вiд того, на яких саме просторах дiють цi оператори та вводяться цi операцiї.

Завдання дослiдження:

Дослiдити простори основних функцiй негауссiвського нескiнченновимiрного аналiзу та псевдодиференцiальнi оператори на них.

Побудувати та дослiдити аналоги стохастичних iнтегралiв, стохастичних похiдних, операторiв стохастичного диференцiювання та елементи вiкiвського числення на дограничних по одному з параметрів просторах узагальнених функцiй негауссiвського нескiнченновимiрного аналiзу.

З урахуванням специфiки ортогонального розкладу простору квадратично iнтегровних за узагальненою мiрою Майкснера функцій побудувати та дослiдити розширений стохастичний iнтеграл, стохастичну похiдну та оператори стохастичного диференцiювання на цьому просторi та його оснащеннях, а також елементи віхівського числення на вiдповiдних просторах узагальнених функцiй.

Розглянути стохастичнi iнтеграли, стохастичнi похiднi та оператори стохастичного диференцiювання на розширеному просторi Фока та його оснащеннях i застосувати отриманi результати для побудови елементiв аналiзу кольорових шумiв.

Методи дослiдження. При вивченнi просторiв основних i нескiнченновимiрного аналiзу i теорiї узагальнених функцiй, при вивченнi стохастичних iнтегралiв та стохастичних похiдних використовуються методи теорiї випадкових процесiв та нескiнченновимiрного аналiзу.

Наукова новизна одержаних результатiв. Результати дисертацiї, якi виносяться на захист, полягають у такому:

Детально описано властивостi (включаючи невiдомi ранiше) просторiв основних функцiй, що виникають при бiортогональному пiдходi до побудови негауссiвського нескiнченновимiрного аналiзу, та властивостi певних псевдодиференцiальних операторiв на цих просторах.

Побудовано елементи вiкiвського числення на "дограничних" по одному з параметрiв просторах узагальнених функцiй, що виникають при бiортогональному пiдходi до побудови негауссiвського нескiнченновимiрного аналiзу (ранiше подiбнi побудови проводились лише на "граничних" просторах, що значно спрощувало задачу).

Вперше побудовано та дослiджено аналоги стохастичних iнтегралiв та стохастичних похiдних на просторах основних i узагальнених функцiй, що виникають при бiортогональному пiдходi до побудови негауссiвського нескiнченновимiрного аналiзу; отримано явну формулу, що описує зв'язок мiж "стохастичним iнтегралом" та вiкiвським множенням.

Вперше з урахуванням специфiки ортогонального розкладу простору квадратично iнтегровних за узагальненою мiрою Майкснера функцiй побудовано та дослiджено стохастичнi iнтеграли та стохастичні похiднi на цьому просторi, а також на просторах його регулярного оснащення -- так званих параметризованих просторах типу Кондратьєва.

Вперше побудовано елементи вiкiвського числення на параметри зо ваних просторах типу Кондратьєва узагальнених функцiй; вивчено зв'язок мiж вiкiвським множенням та стохастичним iнтегралом.

Вперше побудовано та вивчено стохастичнi iнтеграли та стохастичні похiднi на розширеному просторi Фока i його оснащеннях.

На базi вищезгаданих дослiджень побудовано елементи аналiзу кольорових шумiв.

Практичне значення одержаних результатiв. Результати роботи мають теоретичний характер. Вони можуть бути застосованi у теорії випадкових процесiв, у функцiональному аналiзi, у математичнiй фізиці тощо.

Особистий внесок здобувача. Всi результати дисертацiї одержанi автором самостiйно. З результатiв робiт, що виконанi в спiвавторствi, на захист виносяться лише положення, що одержанi автором дисертації особисто.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати дисертацiї неодноразово доповiдалися на засiданнях Київського мiського семiнару з функцiонального аналiзу (Iнститут математики НАН України, керiвники:

академiк НАН України Ю.М. Березанський, член-кореспондент НАН України М.Л. Горбачук, член-кореспондент НАН України Ю.С. Самойленко), семiнару "Числення Маллявена та його застосування" (Iнститут математики НАН України, керiвник д.ф.-м.н. професор А.А. Дороговцев), семiнару з математичної фiзики (Iнститут математики НАН України, керiвники: д.ф.-м.н. професор О.Л. Ребенко, д.ф.-м.н. професор В.Д. Кошманенко), семiнару фiзико-математичного iнституту Нацiонального педагогiчного унiверситету iменi М.П. Драгоманова (керівник д.ф.-м.н. професор М.В. Працьовитий), семiнару факультету стохастики Боннського унiверситету (мiсто Бонн, Нiмеччина, керiвник -- професор С. Альбеверiо), та на таких математичних конференцiях i школах:

Мiжнародна математична конференцiя "Теорiя операторiв та її застосування", присвячена пам'ятi М.Г. Крейна (м. Одеса, Україна, 18-22 серпня 1997 року);

Воронежська весняна математична школа "Современные методы в теории краевых задач" (м. Воронеж, Росiя, 3--9 травня 1998 року);

7-ма Вiльнюська конференцiя по теорiї ймовiрностей та математичнiй статистицi (м. Вiльнюс, Литва, 12--18 серпня 1998 року);

2-й Норвезько-Росiйський симпозiум по стохастичному аналiзу (м. Байтостолен, Норвегiя, 31 липня -- 5 серпня 1999 року);

3-й Європейський математичний конгрес (м. Барселона, Iспанiя, 10--15 липня 2000 року);

Мiжнародна математична конференцiя "Сучасний аналiз та його застосування", присвячена сторiччю з дня народження М.Г. Крейна (м. Одеса, Україна, 9--14 квiтня 2007 року);

Конференцiя " Сучаснi проблеми теорiї ймовiрностей та сумiжнi питання" на честь 90-рiччя з дня народження Й.I. Гiхмана (м. Умань, Україна, 24-26 травня 2008 року);

Мiжнародна конференцiя " Нескiнченновимiрний аналiз i топологiя" (м. Яремча, Україна, 27 травня - 1 червня 2009 року);

Другий Український математичний конгрес (м. Київ, Україна, 27--29 серпня 2009 року);

Кримськi осiннi математичнi школи зi спектральних та еволюцiйних задач (Ласпi, Україна, 18-29 вересня 1998, 2003, 2004, 2005 рокiв).

Публiкацiї. Результати дисертацiї опублiкованi у 21 статтi [1-21], якi опублiкованi у фахових виданнях, серед яких 17 робiт без спiвавторiв, та у роботах [22-34].

Структура дисертацiї. Дисертацiйна робота складається зi вступу, трьох роздiлiв, висновкiв та списку використаних джерел, що налiчує 142 найменування. Повний обсяг роботи складає 278 сторiнок друкованого тексту.

2. ОСНОВНИЙ ЗМIСТ ДИСЕРТАЦIЇ

У вступi обгрунтовано актуальнiсть теми дисертацiї, сформульовано мету та завдання дослiдження, зроблено огляд лiтератури за темою дисертацiї та коротко перелiченi основнi результати роботи.

У першому роздiлi дисертацiї викладено один з варiантiв побудови негауссiвського нескiнченновимiрного аналiзу на базi біортогонального пiдходу. Результати автора, якi виносились на захист у кандидатськiй дисертацiї та потрiбнi як довiдковi, наведено iз вiдповiдними посиланнями i без доведень.

Перший параграф мiстить попереднi вiдомостi, необхiднi для розумiння роботи.

У другому параграфi вивчаються простори основних функцiй негауссiвського нескiнченновимiрного аналiзу, побудованi на основi узагалі

В той же час, завдяки наявностi ортогональних вiдносно \і узагальнених полiномiв Майкснера, що мають "гарнi" у певному сенсi властивості (зокрема, є узагальненими полiномами Аппеля), виникають додатковi можливостi. Так, за допомогою "iнструментарiю", розробленого у першому роздiлi, можна дослiджувати стохастичнi iнтеграли та похiднi на просторi квадратично iнтегровних за ц функцiй, та на його оснащеннi так званими параметризованими просторами типу Кондратьєва, якi не є частинним випадком просторiв, що розглядалися у першому роздiлi; разом з тим, можна побудувати елементи вiкiвського числення на параметризованих просторах узагальнених функцiй. Другий роздiл присвячено реалiзацiї цiєї можливостi. Крiм того, детально вивчається (нетривiальне) питання про взаємозв'язок мiж результатами, отриманими у другому роздiлi, та результатами, що випливають iз першого роздiлу.

Зауважимо, що, оскiльки, на вiдмiну вiд гауссiвського аналiзу, у "майкснерiвському" аналiзi немає, взагалi кажучи, так званої властивостi хаотичного розкладу (довiльну функцiю з простору квадратично iнтегровних за узагальненою мiрою Майкснера функцiй не можна представити у виглядi ряду з повторних стохастичних iнтегралiв), перехiд вiд гауссiвського до "майкснерiвського" випадку є нетривiальним.

Насамкiнець пiдкреслимо, що хоч деякi тверждення у першому та другому роздiлах дуже схожi за формою; проте, незважаючи на цю подiбнiсть, жоден результат другого роздiлу не є наслiдком "вiдповiдного" результату першого роздiлу. негауссiвський стохастичний інтеграл похідна

У першому параграфi вивчаються стохастичнi iнтеграли та стохастичнi похiднi на просторi квадратично iнтегровних за узагальненою мiрою Майкснера функцiй. Нагадаємо, що у "бiортогональному аналiзi" про

голоморфних функцiй, встановлено властивостi цих об 'єктiв.

У третьому параграфi вивчаються розширенi стохастичнi iнтеграли, стохастичнi похiднi та оператори стохастичного диференцiювання на просторах регулярного оснащення розширеного простору Фока. Конструкцiї та властивостi цих об'єктiв, побудованих за допомогою iзоморфiзму J та його природного розширення, аналогiчнi конструкцiям та властивостям вiдповiдних об'єктiв на розширеному просторi Фока. Зокрема, встановлено, що розширений стохастичний iнтеграл на негативних (вiдповiдно позитивних) просторах та стохастична похiдна на позитивних (відповідно негативних) просторах є спряженими один до одного операторами; введено оператори стохастичного диференцiювання та вивчено їх властивостi. Крiм того, описано конструкцiю нерегулярного оснащення розширеного простору Фока i пояснено, як перенести на простори цього оснащення результати дев'ятого параграфу першого роздiлу.

У четвертому параграфi результати попереднiх параграфiв роздiлу застосовано для побудови елементiв аналiзу кольорових шумiв, тобто аналiзу, пов'язаного з узагальненими випадковими процесами iз залежними, взагалi кажучи, значеннями. Наведено визначення нормального мартингалу iз властивiстю хаотичного розкладу (похiднi нормальних мартингалiв у сенсi узагальнених функцiй є кольоровими шумами) та приклади таких мартингалiв; розглянуто пов'язаний iз нормальним мартингалом простiр квадратично iнтегровних функцiй (L2) та побудованi регулярне та нерегулярне оснащення цього простору; побудованi ортогональні базиси в просторах цих оснащень, цi базиси складаються з повторних стохастичних iнтегралiв по нормальному мартингалу та узагальнень таких iнтегралiв; розглянутi вiкiвське множення та вiкiвськi версiї голоморфних функцiй на просторах узагальнених функцiй, вивчено властивості цих об'єктiв; уведено та дослiджено стохастичнi iнтеграли та стохастичнi похiднi, а також оператори стохастичного диференцiювання на просторах регулярного оснащення (L2); встановлено зв'язок мiж стохастичним iнтегруванням та вiкiвським численням; пораховано комутатор мiж стохастичним iнтегралом та оператором стохастичного диференцiювання; пояснено, як будувати елементи стохастичного аналiзу та віхівського числення на просторах нерегулярного оснащення (L2). Зауважимо, що деякi результати цього параграфу були ранiше отриманi Г.Ф. Усом з інших мiркувань.

ВИСНОВКИ

В дисертацiї запропоновано i детально розроблено один з варiантiв бiортогонального пiдходу до побудови негауссiвського нескiнченновимiрного аналiзу та побудовано елементи аналiзу бiлого шуму, пов'язаного з узагальненою мiрою Майкснера, а саме:

Простори Кондратьєва основних функцiй вивчено як самостiйний об'єкт аналiзу; побудовано та дослiджено псевдодиференцiальнi оператори (зокрема, оператор узагальненого зсуву) i розглянуто псевдодиференцiальнi рiвняння на цих просторах.

Розглянуто оснащення простору квадратично iнтегровних за певною ймовiрнiсною мiрою функцiй просторами Кондратьєва основних та узагальнених функцiй та побудовано елементи вiкiвського числення на просторах узагальнених функцiй.

Побудовано та дослiджено аналоги розширеного стохастичного iнтеграла та стохастичних похiдних на просторах основних i узагальнених функцiй, та оператори "стохастичного диференцiювання" на просторах узагальнених функцiй.

З урахуванням специфiки ортогонального розкладу простору (L2) квадратично iнтегровних за узагальненою мiрою Майкснера функцiй побудовано та дослiджено розширений стохастичний інтеграл типу Скорохода та стохастичну похiдну на цьому просторi.

Розглянуто регулярне оснащення простору (L2 ) параметризованими просторами типу Кондратьєва та побудовано елементи віхівського числення на параметризованих просторах регулярних узагальнених функцiй.

Введено та дослiджено стохастичнi iнтеграли, стохастичнi похiднi та оператори стохастичного диференцiювання на просторах регулярного оснащення (L2).

Встановлено зв'язок мiж аналiзом на регулярному та нерегулярному ("бiортогональному") оснащеннях (L2).

Побудовано iнтерпретацiю деяких елементiв стохастичного числення на розширеному просторi Фока i його оснащеннях; а отриманi при цьому результати застосовано для побудови елементiв аналiзу кольорових шумiв.

АНОТАЦIЇ

Качановський М. О. Елементи негауссiвського аналiзу на просторах функцiй нескiнченної кiлькостi змiнних. -- Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня доктора фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.01 -- математичний аналiз. Iнститут математики НАН України, Київ, 2010.

Дисертацiя присвячена побудовi елементiв негауссiвського нескiнченновимiрного аналiзу за допомогою бiортогонального пiдходу та побудовi елементiв аналiзу бiлого шуму, пов'язаного з так званою узагальненою мiрою Майкснера. Вивчено властивостi просторiв основних функцiй та деяких операторiв на цих просторах. Побудовано елементи віхівського числення на просторах узагальнених функцiй. Побудовано та дослiджено аналоги розширеного стохастичного iнтеграла, стохастичних похiдних та операторiв стохастичного диференцiювання на просторах основних i узагальнених функцiй. З урахуванням специфiки ортогонального розкладу простору квадратично iнтегровних за узагальненою мiрою Майкснера функцiй побудовано та дослiджено розширений стохастичний iнтеграл, стохастичну похiдну та оператори стохастичного диференцiювання на цьому просторi та на його оснащеннi параметризованими просторами основних та регулярних узагальнених функцiй; отримано формулу iнтегрування частинами. Побудовано елементи вiкiвського числення на параметризованих просторах регулярних узагальнених функцiй. Проведено iнтерпретацiю деяких елементiв стохастичного числення на розширеному просторi Фока i його оснащеннях, отриманi при цьому результати застосовано для побудови елементiв аналiзу кольорових шумiв.

Ключовi слова: узагальненi квазiаппелевi полiноми, простiр Кондратьєва, вiкiвське числення, розширений стохастичний iнтеграл, стохастична похiдна, узагальнена мiра Майкснера, розширений простiр Фока

Качановский Н. А. Элементы негауссовского анализа на пространствах функций бесконечного числа переменных. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.01 -- математический анализ. Институт математики НАН Украины, Киев, 2010.

Диссертация посвящена построению элементов негауссовского бесконечномерного анализа в рамках биортогонального подхода и построению элементов анализа белого шума, связанного с так называемой обобщенной мерой Майкснера.

Пространства Кондратьева основных функций рассмотрены как самостоятельный объект анализа, при этом установлено, что они являются функциональными (то есть состоят именно из функций, а не из формальных рядов или из классов эквивалентности); а элементы этих пространств имеют определенные аналитические свойства и единственным образом раскладываются в ряды по обобщенным квазиаппелевым полиномам.

Построены и исследованы псевдодифференциальные операторы (в частности, оператор обобщенного сдвига) и рассмотрены псевдодифференциальные уравнения на пространствах Кондратьева основных функций.

Построены элементы виковского исчисления на пространствах Кондратьева обобщенных функций.

Построены аналоги расширенного стохастического интеграла и стохастических производных на пространствах основных и обобщенных функций, а также аналоги операторов стохастического дифференцирования на пространствах обобщенных функций, изучены свойства этих операторов.

Построены элементы анализа белого шума, связанного с так называемой обобщенной мерой Майкснера. В зависимости от значений параметров эта мера может становиться, в частности, гауссовской мерой, пуассоновской мерой, гамма-мерой и др., т.е. фактически строится теория, базирующаяся на общих свойствах широкого класса вероятностных мер.

Анализ, связанный с обобщенной мерой Майкснера, является примером для "биортогонального анализа", и в то же время содержит значительное количество нетривиальных результатов, которые не следуют из результатов "биортогонального анализа", но при получении которых удобно пользоваться разработанным в рамках последнего "инструментарием".

С учетом специфики ортогонального разложения пространства (L2) квадратично интегрируемых по обобщенной мере Майкснера функций построены и исследованы расширенный стохастический интеграл Скорохода и стохастическая производная на этом пространстве; в частности, доказано, что расширенный стохастический интеграл является расширением стохастического интеграла Ито по процессу Майкснера.

Далее, построено регулярное оснащение пространства (L2) параметризованными пространствами основных и регулярных обобщенных функций. Построены элементы виковского исчисления на параметризованных пространствах регулярных обобщенных функций. Введены и изучены стохастические интегралы, стохастические производные и операторы стохастического дифференцирования на пространствах регулярного оснащения (L2). Установлена связь между анализом на регулярном и нерегулярном ("биортогональном") оснащениях (L2). Получена формула интегрирования по частям в (L2).

Как прообразы при обобщенном изоморфизме Винера-Ито-Сигала соответствующих операторов на пространстве (L2) построены и изучены стохастический интеграл Ито, расширенный стохастический интеграл и стохастическая производная на расширенном пространстве Фока; из конструкции расширенного стохастического интеграла следует, что он является расширением интеграла Ито.

Построено регулярное оснащение расширенного пространства Фока Гext параметризованными позитивными и негативными пространствами; построены элементы виковского исчисления на параметризованных негативных пространствах. Введены и исследованы стохастические интегралы, стохастические производные и операторы стохастического дифференцирования на пространствах регулярного оснащения Гext.

Как пример использования полученных результатов построены элементы анализа цветных шумов: введены и исследованы стохастические интегралы и стохастические производные, а также построены элементы виковского исчисления на пространствах, связанных с мерами цветных шумов (т.е. обобщенных случайных процессов с зависимыми, вообще говоря, значениями).

Ключевые слова: обобщенные квазиаппелевы полиномы, пространство Кондратьева, виковское исчисление, расширенный стохастический интеграл, стохастическая производная, обобщенная мера Майкснера, расширенное пространство Фока

Kachanovsky N. A. Elements of non-Gaussian analysis on spaces of functions of infinite-many variables. -- Manuscript.

Thesis for the Doctor degree in physics and mathematics by speciality 01.01.01 -- mathematical analysis. Institute of mathematics, National Academy of Sciences, Kyiv, 2010.

The dissertation is devoted to construction of elements of a nonGaussian infinite-dimensional analysis using the biorthogonal approach, and to construction of elements of the white noise analysis that is connected with the so-called generalized Meixner measure. Properties of the test functions spaces and some operators on these spaces are studied. Elements of the Wick calculus on the generalized functions spaces are constructed. Analogs of the extended stochastic integral, stochastic derivatives and operators of stochastic differentiation on the spaces of test and generalized functions are constructed and studied. Taking into account the specificity of orthogonal decomposition for the space of square integrable with respect to the generalized Meixner measure functions, we construct and study the extended stochastic integral, the stochastic derivatives and the operators of stochastic differentiation on this space and on its rigging by the parametrized spaces of test and regular generalized functions. The integration by parts formula is obtained. Elements of the Wick calculus on the parametrized spaces of regular generalized functions are constructed. Some elements of stochastic calculus are transferred to the extended Fock space and its riggings, the obtained by this transfer results are used in order to construct elements of the coloured noise analysis.

Key words: generalized Appell-like polynomials, Kondratiev space, Wick calculus, extended stochastic integral, stochastic derivative, generalized Mei xner measure, extended Fock space

Пiдписано до друку 12.04.2010. Формат 60x84/16. Папiр офс. Офс. друк. Фiз. друк. арк. 2,4. Умов. друк. арк. 2,2. Наклад 120 пр. Зам. 63. Безкоштовно.

Iнститут математики НАН України, 01601, м. Київ-4, вул. Терещенкiвська, 3.

Размещено на Allbest.ru