Зростання аналітичних функцій із заданою послідовністю нулів

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

УДК 517.53

ЗРОСТАННЯ АНАЛІТИЧНИХ ФУНКЦІЙ ІЗ ЗАДАНОЮ ПОСЛІДОВНІСТЮ НУЛІВ

01.01.01 - математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового

ступеня кандидата фізико-математичних наук

Андрусяк Іванна Володимирівна

Львів - 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі теорії функцій і теорії ймовірностей Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, доцент ФІЛЕВИЧ Петро Васильович, завідувач кафедри інформаційних систем менеджменту Львівського національного університету ветеринарної медицини та біотехнології ім. С.З.Гжицького

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор ЗАБОЛОЦЬКИЙ Микола Васильович, завідувач кафедри математичного моделювання Львівського національного університету імені Івана Франка

кандидат фізико-математичних наук, доцент ГІРНИК Маркіян Олексійович, доцент кафедри вищої математики Львівської комерційної академії

Захист відбудеться "17" червня 2010 р. о 15.05 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.051.18 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка за адресою: м. Львів, вул. Драгоманова, 5.

Автореферат розісланий "12" травня 2010 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради _____________ Фединяк С. І.



АНОТАЦІЯ

Андрусяк І. В. Зростання аналітичних функцій із заданою послідовністю нулів. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальностю 01.01.01 - математичний аналіз. - Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2010.

Досліджується проблема мінімального зростання аналітичної функції із заданою послідовністю нулів. Доведено загальну теорему, що описує мінімальне зростання цілої функції із заданими нулями відносно їх лічильної функції зовні виняткової множини скінченної логарифмічної міри у випадку довільного зростання лічильної функції. Описано мінімальне зростання на послідовності цілої функції із заданими нулями у випадку, коли їх показник збіжності є цілим числом. Уточнено теорему А. А. Гольдберга про мінімальне зростання цілої функції із заданими нулями відносно їх усередненої лічильної функції зовні виняткової множини і покращено оцінку цієї множини. Доведено точне співвідношення, що характеризує мінімальне зростання на послідовності цілої функції із заданими нулями в термінах усередненої лічильної функції. Встановлено зв'язок між нулями і коефіцієнтами степеневого розвинення аналітичної функції.

Ключові слова: аналітична функція, ціла функція, максимум модуля, максимальний член, центральний індекс, лічильна функція, усереднена лічильна функція, канонічний добуток Вейєрштрасса, виняткова множина, міра, щільність, порядок.



АННОТАЦИЯ

Андрусяк И. В. Рост аналитических функций с заданной последовательностью нулей. -- Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2010.

Диссертация состоит из введения, четырех разделов, разбитых на подразделы, выводов и списка использованных источников.

Первый раздел диссертации содержит обзор литературы и основных результатов диссертации. функція теорема логарифмічний множина

Во втором разделе "Минимальный рост аналитической функции с заданными нулями относительно их считающей функции" доказано общую теорему, которая описывает минимальный рост целой функции с заданными нулями относительно их считающей функции вне исключительного множества конечной логарифмической меры в случае произвольного роста считающей функции, охарактеризировано минимальный рост на последовательности целой функции с заданными нулями относительно их считающей функции в случае, когда показатель сходимости нулей является целым числом. Результаты, доказанные для целых функций, адаптированы для описания минимального роста аналитической в круге функций с заданными нулями. Полученные результаты существенно обобщают, уточняют и дополняют ранее полученные в этом направление результаты.

В третьем разделе "Минимальный рост целой функции с заданными нулями относительно их усредненной считающей функции" уточнено теорему А. А. Гольбдерга о минимальном росте целой функции с заданными нулями относительно их усредненной считающей функции вне исключительного множества и существенно улучшено оценку этого множества, получено точное соотношение, которое описывает минимальный рост целой функции с заданными нулями относительно их усредненной считающей функции на последовательности. Установленные результаты применены к исследованию вопроса об изображении мероморфной функции в виде частного целых функций.

В четвёртом разделе "Нули и коэффициенты степенного разложения аналитической функции" установлено соотношения между последовательностью нулей и коэффициентов Тейлора аналитических функций. В частности, доказана точность оценки М. Н. Шереметы о связи между нулями и коэффициентами степенного разложения целой функции, найдено уточнение этой оценки в подклассах класса целых функций, аналогичные оценки доказано и для аналитических в круге функций.

Ключевые словa: аналитическая функция, целая функция, максимум модуля, максимальный член, центральный индекс, считающая функция, усредненная считающая функция, каноническое произведение Вейерштрасса, исключительное множество, мера, плотность, порядок.



ABSTRACT

Andrusyak I. V. The growth of analytic functions with a given sequence of zeros. - Маnuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the speciality 01.01.01 - Mathematical Analysis. - Ivan Franko Lviv National University, Lviv, 2010.

The problem on minimal growth of an entire function with a given sequence of zeros is investigated. The general theorem on minimal growth of an entire function with given zeros in comparison with the growth of counting function outside the exceptional set of finite logarithmic measure for arbitrary growth of counting function is proved. We investigate the problem on minimal growth of an entire function with given zeros in the case of zero sets having integer-valued exponent of convergence. The problem on minimal growth of an entire function with a given sequence of zeros in the terms of integrated counting function is investigated. In particular, A. A. Gol'dberg's theorem on minimal growth of an entire function with given zeros in comparison with the integrated counting function outside the exceptional set, is specified, and an estimate of this set is improved. We proved the criterion describing the minimal growth of an entire function with a given sequence of zeros in the terms of integrated counting function on the sequence increasing to . It is found the connection between the growth of zeros of an entire function and the decrease of coefficients of its power expansion.

Key words: analytic function, entire function, maximum modulus, maximal term, central index, counting function, integrated counting function, canonical Weierstrass product, exceptional set, measure, density, order.



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Проблема описання мінімального зростання аналітичних функцій із заданою послідовністю нулів має давню історію. Першими результатами в цьому напрямку є класичні теореми Е. Бореля (1897 р.) про порядок канонічного добутку Вейєрштрасса скінченного роду і Е. Ліндельофа (1905 р.) про тип цілої функції. Надалі цій проблематиці свої роботи присвятили такі відомі математики як Г. Пойя, Ж. Валірон, Н. І. Ахієзер, Л. Рубел і Б. Тейлор, А. А. Гольдберг, Дж. Майлз, Б. Н. Хабібуллін, В. Бергвайлер, М. М. Шеремета і інш.

Важливим етапом в дослідженні даної проблеми, як і в розвитку теорії аналітичних функцій загалом, було отримання Р. Неванлінною в 1923 р. співвідношень, що узагальнюють формулу Йєнсена і дають можливість встановити зв'язок між нулями аналітичної функції і коефіцієнтами Фур'є логарифма її модуля. У 1927 р. Н. І. Ахієзер використав ці співвідношення для нового доведення теореми Е. Ліндельофа про тип цілої функції, що стало одним з перших застосувань методу рядів Фур'є в теорії аналітичних функцій.

Систематичне застосування цього методу до вивчення властивостей аналітичних функцій розпочалось у роботах Л. Рубела і Б. Тейлора у 60-х роках минулого століття. Зокрема, методом Фур'є знайдено вичерпну характеристику послідовностей нулів цілих функцій скінченого -типу, а саме: для довільної додатної, неперервної, зростаючої до на функції і комплексної послідовності , яка прямує до , вказано необхідні і достатні умови, за яких існує ціла функція із заданою послідовністю нулів така, що для всіх , де і - додатні сталі, а - максимум модуля функції . Зазначимо, що цей результат дозволяє описувати мінімальне зростання цілої функцій із заданими нулями через деяку мажоранту для їх лічильної функції чи їх усередненої лічильної функції .

Інший підхід до описання мінімального зростання цілих функцій із заданою послідовністю нулів запропонував у 1972 р. А. А. Гольдберг. Оцінка зростання таких функцій здійснюється безпосередньо через лічильну чи усереднену лічильну функцію заданої послідовності нулів, але зовні деякої виняткової множини.

Власне, А. А. Гольдберг довів, що якщо має ненульовий нижній порядок, а , то існує ціла функція із заданою послідовністю нулів така, що для всіх зовні множини скінченної логарифмічної міри. У 1994 р. В. Бергвайлер побудував приклад, який показує, що наведене твердження є неправильним для , а І. В. Хирівський довів аналогічне твердження для випадку, коли має ненульовий нижній логарифмічний порядок. Отже, мінімальне зростання цілої функції із заданою послідовністю нулів зовні множини скінченної логарифмічної міри досі було описане за двох умов на зростання лічильної функції: чи . для всіх , де . З огляду на це, виникає задача про можливість поширення результату А. А. Гольдберга на випадок довільного зростання лічильної функції, тобто описання мінімального зростання за умови , , де - довільна додатна, неперервна, зростаюча до на функція.

Значно точнішого описання мінімального зростання цілої функції із заданими нулями можна досягнути, якщо здійснювати його не зовні виняткової множини, а лише на деякій послідовності значень . Зокрема, класичний результат Г. Пойя і Ж. Валірона стверджує, що якщо показник збіжності послідовності є скінченним але не цілим числом, то існує ціла функція із заданою послідовністю нулів така, що на зростаючій до послідовності значень . Правильність цього твердження у випадку доведено Дж. Майлзом у 2002 р. Питання описання мінімального зростання у випадку раніше не розглядалось, хоча було добре відомо, що у цьому випадку, на відміну від випадку ., наведене вище твердження Г. Пойя і Ж. Валірона є неправильним.

Що стосується дослідження мінімального зростання цілої функції із заданими нулями в термінах усередненої лічильної функції, то, як довів А. А. Гольдберг (1972 р.), для довільної послідовності , що прямує до , існує ціла функція із заданою послідовністю нулів , для якої зовні виняткової множини скінченної логарифмічної міри правильна оцінка , . У 1977 р. Г. Франк, В. Хеннекемрер і Г. Поллочек встановили дещо гіршу оцінку (з "" замість ""), але її виконання передбачено зовні меншої виняткової множини, а саме множини скінченної міри. У зв'язку з цим виникає задача про можливість істотного уточнення виняткової множини у наведеному твердженні А. А. Гольдберга. Крім того, природним є розгляд питання щодо вивчення мінімального зростання цілої функції із заданою послідовністю нулів в термінах усередненої лічильної функції на деякій послідовності (на актуальності цього питання у 2002 р. акцентував увагу Дж. Майлз).

Як відомо, зростання цілої функції істотно залежить від швидкості прямування до нуля послідовності її коефіцієнтів Тейлора. З огляду на це, виникає задача про можливість встановлення безпосереднього зв'язку між послідовностями нулів і коефіцієнтів Тейлора цілої функції. Такий зв'язок виражає нерівність М. М. Шеремети (2000 р.): . Питання про точність наведеної нерівності, сформульоване М. М. Шереметою, а також питання про можливість її уточнення в підкласах класу цілих функцій залишались відкритими.

Описані вище задачі для цілих функцій, аналогічні задачі для аналітичних в крузі функцій, а також ряд інших питань і є предметом досліджень в даній дисертаційній роботі.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Напрямок досліджень, вибраний у дисертації, передбачений планами наукової роботи Львівського Національного університету імені Івана Франка. Дисертаційна робота є складовою частиною досліджень за держбюджетною темою Мг-223Ф "Аналітичні функції, ряди Діріхле та їх узагальнення" (номер держреєстрації 0104 U 002127).

Мета і задачі дослідження. Мета дисертації полягає у встановленні точних співвідношень, що описують мінімальне зростання аналітичних функцій із заданою послідовністю нулів або виражають зв'язок між послідовностями нулів і коефіцієнтів Тейлора таких функцій, що передбачає розв'язання наступних задач:

1) описання мінімального зростання цілої функції із заданими нулями відносно їх лічильної функції зовні малої виняткової множини у випадку довільного зростання лічильної функції;

2) встановлення точних співвідношень, що характеризують мінімальне зростання цілих функцій із заданими нулями відносно їх лічильної функції на деякій послідовності;

3) уточнення теореми А. А. Гольдберга про мінімальне зростання цілої функції із заданими нулями відносно їх усередненої лічильної функції зовні виняткової множини і покращення оцінки цієї множини;

4) доведення співвідношення, що описує мінімальне зростання цілих функцій із заданими нулями відносно їх усередненої лічильної функції на деякій послідовності;

5) отримання відповіді на запитання М. М. Шеремети стосовно точності встановленої ним оцінки про зв'язок між нулями і коефіцієнтами Тейлора цілої функції; уточнення цієї оцінки в підкласах класу цілих функцій;

6) встановлення зв'язку між нулями і коефіцієнтами степеневого розвинення аналітичної в крузі функції.

Об'єктом дослідження є цілі і аналітичні в одиничному крузі функції.

Предметом дослідження є зростання аналітичних функцій із заданими нулями і зв'язок між нулями і коефіцієнтами Тейлора аналітичних функцій.

Методи дослідження. У дисертації використовуються загальні методи теорії функцій, зокрема метод рядів Фур'є, а також деякі прийоми з робіт А. А. Гольдберга, В. Бергвайлера, Дж. Майлза, М. М. Шеремети.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі одержані наукові результати є новими і полягають в наступному:

1) описано мінімальне зростання цілої функції із заданими нулями відносно їх лічильної функції зовні виняткової множини скінченної логарифмічної міри у випадку довільного зростання лічильної функції;

2) охарактеризовано мінімальне зростання цілих функцій із заданими нулями відносно їх лічильної функції на деякій послідовності у випадку, коли показник збіжності нулів є цілим числом;

3) уточнено теорему А. А. Гольдберга про мінімальне зростання цілої функції із заданими нулями відносно їх усередненої лічильної функції зовні виняткової множини і покращено оцінку цієї множини;

4) отримано точне співвідношення, що описує мінімальне зростання цілих функцій із заданими нулями відносно їх усередненої лічильної функції на послідовності;

5) доведено точність оцінки М. М. Шеремети про зв'язок між нулями і коефіцієнтами степеневого розвинення цілої функції; знайдено уточнення цієї оцінки в підкласах класу цілих функцій;

6) встановлено зв'язок між нулями і коефіцієнтами степеневого розвинення аналітичної в крузі функції.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані як в теорії функцій, так і в інших розділах сучасної математики.

Особистий внесок здобувача. Основні результати отримані здобувачем самостійно. В опублікованих спільно з П. В. Філевичем статтях [2, 4, 5] співавтору належить постановка окремих задач. В опублікованій спільно з М. М. Шереметою статті [1] співавтору належить постановка задач, а також доведення пункту (і) теореми 1 (теорема 4.А в дисертації), яке з дозволу співавтора включене в дисертацію.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи були оприлюднені і обговорені на таких конференціях:

1) конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. акад. Я. С. Підстригача (Львів: ІППММ, 24-26 травня 2004 р.);

2) міжнародній конференції, присвяченій 125-й річниці від дня народження Ганса Гана (Чернівці: ЧНУ ім. Ю. Федьковича, 27 червня - 3 липня 2004 р.);

3) конференції молодих вчених з сучасних проблем механіки і математики ім. акад. Я. С. Підстригача (Львів: ІППММ, 24-27 травня 2005 р.);

4) міжнародній конференції "Математичний аналіз і суміжні питання" (Львів: ЛНУ ім. І. Франка, 17-20 листопада 2005 р.);

5) міжнародній конференції присвяченій сторіччю Б.Я.Левіна (Харків: ХНУ ім. В. Каразіна, 14-17 серпня 2006 р.);

6) науковій конференції професорсько-викладацького складу Інституту прикладної математики та фундаментальних наук (Львів: НУ "ЛП" , 11-13 жовтня 2007 р.);

7) міжнародній конференції "Аналіз і топологія" (Львів: ЛНУ ім. І. Франка, 26 травня - 7 червня 2008 р.);

8) Українському математичному конгресі присвяченому 100-річчю від дня народження М. М. Боголюбова (Київ, 27-29 серпня 2009 р.).

Про результати дисертації також доповідалося на міжвузівському семінарі з теорії аналітичних функцій у Львівському національному університеті ім. І. Франка (керівники проф. А. А. Кондратюк, проф. О. Б. Скасків) і на науковому семінарі з теорії функцій у Дрогобицькому державному педагогічному університеті ім. І. Франка (керівник проф. Б. В. Винницький).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 12 працях, серед яких 5 (1 без співавторів) - у наукових журналах, 8 (5 без співавторів) - у матеріалах конференцій. Серед публікацій 5 статей - у наукових фахових журналах, включених до переліку ВАК України.

Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків і списку використаних джерел, що містить 62 найменування. Загальний об'єм дисертації - 131 сторінка.



ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подано загальну характеристику роботи.

Огляд праць за темою дисертаційної роботи та її основних результатів наведено в розділі 1.

У розділі 2 досліджується задача про описання мінімального зростання аналітичних функцій із заданими нулями відносно їх лічильної функції.

Нехай - клас додатних, неперервних, зростаючих до на функцій. Для довільної цілої функції і кожного покладемо

Зростання функції ототожнюємо зі зростанням її логарифма максимуму модуля Через позначимо клас комплексних послідовностей таких, що і , . Для кожної послідовності нехай - її лічильна функція, - її усереднена лічильна функція, а- відповідно показник збіжності цієї послідовності і логарифмічний порядок функції . Зауважимо, що , якщо .

Клас цілих функцій із заданою послідовністю нулів позначимо через . Більш точно, ціла функція є функцією з класу тоді і лише тоді, коли послідовність її нулів, занумерована з урахуванням їх кратностей у порядку неспадання їх модулів, співпадає з послідовністю .

Нехай . Описання мінімального зростання цілої функції із заданою послідовністю нулів зовні виняткової множини скінченної логарифмічної міри у випадку , , отримано в роботах А. А. Гольдберга і В.Бергвайлера , а у випадку , , - у роботі І. В. Хирівського . "Неперервним" аналогом цих результатів є наступна загальна теорема, яку доведено у підрозділі 2.1.

Теорема 2.1. Нехай .(i) Для довільної послідовності , що задовольняє умову існують ціла функція і множина . скінченної логарифмічної міри такі, що для кожного (ii) Існує послідовність , що задовольняє умову (1), така, що для довільної цілої функції виконується співвідношення де - множина нескінченної логарифмічної міри.

Наслідки з теореми 2.1 наведено в підрозділі 2.2.

У підрозділі 2.3 розглядається задача про описання мінімального зростання цілої функцій на послідовності у випадку цілого . На нетривіальність цього випадку вказує наступна теорема, що уточнює теорему 2 цитованої вище роботи А. А. Гольдберга. Нехай - неванліннова характеристика цілої функції .

Теорема 2.2. Для довільної функції існує послідовність така, що і для кожної цілої функції виконується співвідношення

З теореми 2.2 можемо зробити висновок, що у випадку цілі функції з класу можуть зростати довільно швидко у порівнянні зі зростанням функції . Така ситуація є неможливою у випадку і, тим паче, у випадку , на що вказують наступні дві теореми.

Теорема 2.3. Нехай , . Для того, щоб для довільної послідовності такої, що , існувала ціла функція , для якої необхідно і досить, щоб.

Теорема 2.5. Нехай . Тоді: (i) для довільної послідовності такої, що , існує ціла функція , для якої (ii) існує послідовність така, що і для кожної цілої функції виконується співвідношення

Нехай - клас комплексних послідовностей таких, що і , , а - клас аналітичних в одиничному крузі функцій, послідовність нулів яких, занумерована у порядку неспадання їх модулів і з урахуванням їх кратностей, співпадає з послідовністю

У підрозділі 2.4 досліджується питання щодо описання мінімального зростання аналітичних в одиничному крузі функцій із заданою послідовністю нулів . Вивчення цього питання базується на результатах, встановлених при описанні мінімального зростання цілих функцій.

Для всіх нехай - максимум модуля аналітичної в функції , а - лічильна функція послідовності . Справедлива, зокрема, наступна теорема.

Теорема 2.6. (i) Для довільної послідовності існує аналітична функція така, що

(ii) Існує послідовність така, що для довільної аналітичної функції виконується нерівність

Мінімальне зростання цілої функції із заданими нулями відносно їх усередненої лічильної функції досліджується в розділі 3. Зокрема, у підрозділі 3.1 доведено такі теореми.

Теорема 3.1. Для довільної послідовності існують ціла функція і функція такі, що виконується нерівність з винятковою множиною , для якої.

Теорема 3.2. Для довільної функції такої, що існують послідовність і множина такі, що , і для кожної цілої функції виконується співвідношення

Теорема 3.1 уточнює теорему 1 цитованої вище роботи А. А. Гольдберга в частині описання величини виняткової множини . Теорему 3 цієї ж роботи уточнює теорема 3.2 з огляду на те, що множина з теореми 3.2 є, як легко бачити, верхньої щільності 1 і навіть верхньої логарифмічної щільності 1. Крім того, для множини правильна оцінка

У зв'язку з цим, з теорем 3.1 і 3.2, як наслідок, отримуємо наступне твердження.

Теорема 3.3. Нехай .., а - додатна на функція така, що де і - додатні сталі. Для того, щоб для довільної послідовності існувала ціла функція така, що співвідношення виконується для всіх зовні множини , для якої необхідно і досить, щоб виконувалась умова (2).

У підрозділі 3.2 знайдено точне описання мінімального зростання цілих функцій із заданими нулями відносно їх усередненої лічильної функції на деякій послідовності. Правильна така теорема.

Теорема 3.4. Для довільної послідовності існує ціла функція така, що

З огляду на наведені результати, виникає питання: чи існує функція така, що для довільної послідовності ... існує ціла функція для якої співвідношення (3) виконується для всіх (без виняткової множини)? Негативна відповідь випливає з наступної теореми.

Теорема 3.5. Для довільної функції існує послідовність така, що для всіх цілих функцій виконується співвідношення

У підрозділі 3.3 наведено застосування отриманих результатів до зображення мероморфної функції у вигляді частки цілих функцій.

Розділ 4 присвячений встановленню співвідношень між нулями (чи -точками) і тейлоровими коефіцієнтами аналітичних функцій.

Нехай і - трансцендентна ціла функція. Якщо не є пікаровим винятковим значенням для (зауважимо, що ціла функція має щонайбільше одне пікарове виняткове значення), то нехай - послідовність усіх -точок функції , занумерованих у порядку неспадання модулів. Для функції нехай також - її максимальний член, а . - центральний індекс.

У 2000 р. М. М. Шеремета довів, що якщо не є пікаровим винятковим значенням цілої функції , то і поставив питання про точність даної нерівності. Відповідь на це питання отримано в підрозділі 4.1. Точність оцінки (2) підтверджує наступна теорема.

Теорема 4.1. (i) Для довільних і існує функція така, що - її пікарове виняткове значення і для всіх . (ii) Існує функція без пікарового виняткового значення така, що для всіх .

Оцінку (2) в підкласах класу цілих функцій можна істотно уточнити. Зокрема, в підрозділі 4.2 доведено наведену нижче теорему 4.2 для цілих функцій повільного зростання.

Теорема 4.2. (i) Якщо для цілої функції виконується умова то для кожного правильна рівність (ii) Для кожної функції такої, що , існує ціла функція така, що , , і для кожного справедлива рівність .

Твердження (ii) теореми 4.2 вказує на те, що умова (3) в твердженні (i) є в певному сенсі непокращуваною. Саме твердження (і) випливає з наступної теореми, у якій наведено уточнення оцінки (4).

Теорема 4.3. Якщо ціла функція має безліч -точок, то

У підрозділі 4.3 встановлено співвідношення між нулями і коефіцієнтами степеневого розвинення цілих функції з борелевим непікаровим винятковим значенням.

Нарешті, в підрозділі 4.4 отримано співвідношення, аналогічні до наведених вище, для аналітичної в крузі функції.

Нехай . - довільна аналітична в функція, яка має безліч -точок . Тоді і З огляду на це, будемо досліджувати можливі значення невизначеності залежності від зростання функції Приймемо

Справедлива така теорема.

Теорема 4.7. (і) Якщо аналітична в одиничному крузі функція має безліч -точок і , то (іі) Існує аналітична в одиничному крузі функція з така, що для всіх твердження (і) теореми 4.7 випливає з наступної теореми.



ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена дослідженню питання про описання мінімального зростання аналітичних функцій із заданими нулями. Зростання таких функцій ототожнюється зі зростанням їx логарифма максимуму модуля.

У першому розділі зроблено огляд робіт, в яких вивчалися подібного роду задачі. Особливу увагу зосереджено на дослідженнях А. А. Гольдберга, В. Бергвайлера і Дж. Майлза щодо описання мінімального зростання цілих функцій із заданою послідовністю нулів відносно її лічильної функції чи усередненої лічильної функції, а також окреслено коло відкритих питань, які виникають з огляду на ці дослідження.

У другому розділі досліджено зростання аналітичних функцій відносно їх лічильної функції. Тут, зокрема, доведено загальну теорему, що описує мінімальне зростання цілої функції із заданими нулями відносно їх лічильної функції зовні виняткової множини скінченної логарифмічної міри у випадку довільного зростання лічильної функції, охарактеризовано мінімальне зростання цілих функцій із заданими нулями відносно їх лічильної функції на деякій послідовності у випадку, коли показник збіжності нулів є цілим числом. Наведені результати істотно узагальнюють, уточнюють і доповнюють раніше отримані в цьому напрямку результати. Крім того, доведені для цілих функцій результати адаптовано для описання мінімального зростання аналітичних в крузі функцій із заданими нулями.

Третій розділ присвячений вивченню мінімального зростання цілих функцій із заданими нулями відносно їх усередненої лічильної функції. Зокрема, уточнено теорему А. А. Гольдберга про мінімальне зростання цілої функції із заданими нулями відносно їх усередненої лічильної функції зовні виняткової множини і покращено оцінку цієї множини, отримано точне співвідношення, що описує мінімальне зростання цілих функцій із заданими нулями відносно їх усередненої лічильної функції на послідовності. Наведено застосування отриманих результатів до питання зображення мероморфної функції у вигляді частки цілих функцій.

У четвертому розділі встановлено співвідношення між послідовностями нулів і тейлорових коефіцієнтів аналітичних функцій. Зокрема, доведено точність оцінки М. М. Шеремети про зв'язок між нулями і коефіцієнтами степеневого розвинення цілої функції, знайдено уточнення цієї оцінки в підкласах класу цілих функцій, аналогічні оцінки доведено і для аналітичних в крузі функцій.

Основні результати дисертації мають форму критеріїв. Отримані оцінки, що описують мінімальне зростання аналітичних функцій із заданими нулями чи характеризують взаємозв'язок між послідовностями нулів і тейлорових коефіцієнтів таких функцій, є точними, або в певному сенсі непокращуваними.

Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер і можуть знайти застосування у подальших дослідженнях із загальної теорії аналітичних функцій. При їх отриманні використовуються сучасні методи теорії функцій.

Достовірність результатів дисертації підтверджується тим, що вони опубліковані в фахових журналах і були оприлюднені на багатьох міжнародних наукових конференціях і спеціалізованих наукових семінарах.



СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Основні результати дисертаційної роботи опубліковані у наступних статтях і наукових повідомленнях:

[1] Пельчарська І. В. Про розподіл значень і коефіцієнти степеневого розвинення цілої функції / І. В. Пельчарська, М. М. Шеремета // Доп. НАН України. - 2005. - № 5. - С. 21-25.

[2] Андрусяк І. В. Мінімальне зростання цілої функції із заданими нулями / І. В. Андрусяк, П. В. Філевич // Наук. вісник Чернівецького ун-ту. Сер. мат. - 2008. - Вип. 421. - С. 13-19.

[3] Андрусяк І. В. Нулі і коефіцієнти аналітичних функцій / І. В. Андрусяк // Вісник НУ "ЛП". - 2008. - Bип. 625, № 625. - С. 43-47.

[4] Andrusyak I. V. The growth of an entire function with a given sequence of zeros / I. V. Andrusyak, P. V. Filevych // Mat. Stud. - 2008. - V. 30, № 2. - P. 115-124.

[5] Андрусяк І. В. Зростання цілих функцій, показник збіжності нулів яких є цілим числом / І. В. Андрусяк, П. В. Філевич // Мат. студії. - 2009. - Т. 32, № 1. - C. 12-20.

[6] Пельчарська І. В. Про радіальні границі аналітичних в одиничному крузі функцій / І. В. Пельчарська // Тези доповідей: Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені Я.С.Підстригача. - Львів. - 24-26 травня 2004 р. - С. 106.

[7] Пельчарська І. В. Про розподіл значень та коефіцієнти степеневого розкладу цілої функції / І. В. Пельчарська, М. М. Шеремета // Тези доповідей: Міжнародна конференція присвячена 125 річниці від дня народження Ганса Гана. - Чернівці. - 27 червня - 3 липня 2004р. - С. 84.

[8] Пельчарська І. В. Про нулі та коефіцієнти аналітичної в одиничному крузі функції / І. В. Пельчарська // Тези доповідей: Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені Я.С.Підстригача. - Львів. - 24-27 травня 2005 р. - С. 212.

[9] Пельчарська І. В. Про мінімальне зростання цілої функції із заданою послідовністю нулів / І. В. Пельчарська // Тези доповідей: Міжнародна конференція "Математичний аналіз і суміжні питання". - Львів. - 17-20 листопада 2005 р. - С. 79.

[10] Pelcharska I. V. On zeroes and coefficients of analytic function in the unit disc / Ivanna Pelcharska // Book of abstracts: International conference dedicated to the centennial of B.Ya. Levin (1906-1993). - Kharkiv. - August 14-17, 2006. - Р. 31-32.

[11] Андрусяк І. В. Мінімальне зростання цілої функції зі заданою послідовністю нулів / І. В. Андрусяк // Тези доповідей: Наукова конференція професорсько-викладацького складу Інституту ПМФН. - Львів. - 11-13 жовтня 2007 р. - С. 4.

[12] Андрусяк І. В. Про нулі і коефіцієнти цілої функції з борелевим винятковим значенням / І. В. Андрусяк, М. М. Шеремета // Тези доповідей: Міжнародна конференція "Аналіз і топологія". - Львів 26 травня - 7 червня 2008 р. - С. 59.

Размещено на Allbest.ru

...