Методи сингулярних інтегральних рівнянь в математичних моделях лінійних систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОБУДУВАННЯ ІМ. А.М. ПІДГОРНОГО

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

МЕТОДИ СИНГУЛЯРНИХ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ В МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЯХ ЛІНІЙНИХ СИСТЕМ

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

БАТИРЕВ Олексій Арістідович

Харків 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Відділенні гідроакустики Морського гідрофізичного інституту Національної академії наук України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор ЛІТВІНЧУК Георгій Семенович

Відділення гідроакустики Морського гідрофізичного інституту Національної академії наук України, завідувач відділу доктор технічних наук, професор УСОВ Анатолій Васильович

Одеський національний політехнічний університет, кафедра вищої математики і моделювання систем, завідувач кафедри Офiцiйнi опоненти: член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор БУРАК Ярослав Йосипович

Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор ГАНДЕЛЬ Юрій Володимирович Харківський національний університет ім. В.Н. Каразіна, кафедра математичної фізики та обчислювальної математики, професор

Захист відбудеться « 15 » жовтня 2010 р. о 14⁰⁰ на засіданні спецiалiзованої вченої ради Д 64.180.01 в Інституті проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України за адресою: 61046, м. Харків, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України за адресою: 61046, м. Харків, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

Автореферат розісланий « 14 » вересня 2010 р.

Вчений секретар спецiалiзованої вченої ради

доктор технічних наук________ О.О. Стрельнiкова

інтеграл рівняння згортка чисельне рішення

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Використання математичних моделей, що адекватно описують фізичні процеси на межах областей, особливості формування сигналів в динамічному середовищі та на тлі перехідних процесів, лежить в основі найрізноманітніших прикладних досліджень. До них належать як задачі кількісної оцінки стану середовища за допомогою дистанційних методів, так і різноманітні задачі дефектоскопії, механіки руйнування та багато інших.

Застосування сингулярних інтегральних рівнянь (СІР), а також СІР зі зсувами для побудови математичних моделей дозволяє, з одного боку, в належній мірі відобразити динаміку процесів та особливості стану середовища, з іншого - побудувати ефективні методи для аналізу можливості розв'язання використаних рівнянь і побудови наближених розв'язків. Зсув аргументу у рівняннях такого типу відповідає різним особливостям в поведінці лінійних систем - обертання об'єктів, ефект Допплера, модуляція чи затримка сигналів і т.д. Актуальною проблемою для рівнянь цього класу є оцінка розмірності ядра відповідних їм операторів, а також розробка наближених методів, що дозволяють безпосередньо знайти цю оцінку та розв'язки.

Дистанційне зондування є одним з ефективних методів досліджень природних явищ, що успішно застосовується при виявленні та оконтурюванні неоднорідностей середовища, дослідженні їх характеристик, а також при вивченні особливостей їх еволюції. Ефективність дистанційного зондування як методу вивчення середовища, в першу чергу, визначається вибором математичної моделі, яка використовується при розв'язанні обернених задач. Залучення ширшого класу рівнянь для побудови таких моделей істотно розширює круг дослідницьких задач, що розв'язуються дистанційними методами.

Математичні моделі на основі СІР також широко використовуються для дослідження процесів руйнування матеріалів. У реальних конструкційних матеріалах завжди міститься значна кількість різного типу дефектів (гострокутні включення, тріщини і т.п.), які, взаємодіючи між собою, під впливом зовнішніх силових факторів та середовища призводять до "локального" або повного зруйнування виробів. СІР дозволяють ефективно моделювати напружено-деформований стан пружного середовища поблизу довільно орієнтованих лінійних жорстких включень та тріщин.

Виконані дослідження, що пов'язані з використанням СІР та СІР зі зсувом для моделювання дінамичних фізичних процесів на межах областей і з подальшим розвитком теорії розв'язності сингулярних інтегральних операторів, безумовно належать до класу актуальних задач сучасної науки та є продовженням наукових розробок міжнародної школи «Крайові задачі та сингулярні інтегральні рівняння» професора Г.С.Літвінчука.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота відповідає основним напрямкам наукових досліджень відділу інтегральних рівнянь і крайових задач Відділення гідроакустики Морського гідрофізичного інституту НАН України в період з 1987 по 2009 рр. у рамках науково-дослідних робіт за темами: «Розвинути теорію розв'язності нових класів інтегральних операторів і функціональних операторів, які описують хвильові процеси» (ДР № 01.89.0033461) 1991 р.; «Дослідити одномірні та багатомірні сингулярні оператори, оператори типу згортки, функціональні оператори зі зсувом і алгебри таких операторів», 1995 р.; «Побудувати теорію розв'язності нових класів інтегральних рівнянь типу згортки та розробити проекційні методи їх вирішення» (ДР № 0196U000358) 1999 р.; «Розробити методи дослідження розв'язності лінійних інтегральних рівнянь зі зсувами і осциляціями, розвинути теорію факторизації матриць-функцій і дати додатки до методів моделювання та аналізу акустичних процесів» (ДР № 0100U001788) 2004р.; «Розвинути теорію псевдодиференціальних операторів з символами обмеженої гладкості з додатками до систем локації з нестаціонарними параметрами» (ДР № 0105U004658) 2009 р.

Мета і задачі дослідження. Мета дослідження - розробка математичних моделей лінійних систем, у тому числі з використанням СІР та СІР з некарлеманівським зсувом (НКЗ), дослідження їх розв'язності, побудова алгоритмів для обчислення розв'язків і перевірка їх адекватності.

Відповідно до цього маємо такі основні задачі дисертаційної роботи:

- побудувати метод відновлення імпульсної характеристики за умовою використання спеціального виду зондуючих сигналів, розробити алгоритм наближеного обчислення імпульсної характеристики та оцінити його похибку;

- розробити математичні моделі на базі СІР для опису лінійних систем, що складені з підсистем з комутацією;

- створити метод апроксимації лінійних систем зі змінними параметрами за допомогою СІР;

- розробити моделі процесів формування мікротріщин та інших дефектів на підставі СІР;

- дослідити властивості дробово-лінійних зсувів та відображень, які використовуються в моделях, що вивчаються;

- отримати оцінку розмірності ядра СІР з НКЗ (включаючи випадки дробово-лінійного зсуву та спеціальних коефіцієнтів);

- розробити наближені методи щодо оцінки розмірності ядра та побудови розв'язків СІР з НКЗ;

- випробувати розроблені методи на еталонних задачах, дослідити їх властивості.

Об'єкт дослідження. Об'єктом дослідження є фізичні процеси розповсюдження звукових та електромагнітних сигналів у середовищах зі змінними характеристиками та формування мікротріщин у конструкційних матеріалах, що моделюються за допомогою інтегральних рівнянь.

Предмет дослідження. Математичні моделі лінійних систем, що формалізуються СІР та СІР з НКЗ.

Методи дослідження. У дисертаційній роботі використані методи математичної фізики, теорії інтегральних та диференціальних рівнянь, лінійної алгебри, а також методи об'єктно-оріентованого програмування.

Наукова новизна одержаних результатів. Проведені в дисертаційній роботі дослідження дозволили одержати нові наукові результати:

1. Вперше побудовано моделі на основі СІР, які описують поведінку складових систем з комутацією.

2. Розроблена нова методика моделювання лінійних систем зі змінними параметрами за допомогою СІР.

3. Вперше отримана оцінка розмірності ядра сингулярного інтегрального оператора з НКЗ, окремо вивчено випадок дробово-лінійного зсуву.

4. Розроблені нові прямий та ітераційний наближені методи для отримання розв'язків СІР з НКЗ. Адекватність моделювання та ефективність розроблених наближених методів перевірена на еталонних задачах.

5. Вперше в явному вигляді побудовано розв'язок задачі відновлення імпульсної характеристики для рівняння типу згортки за умови використання спеціального виду зондуючих сигналів. Вивчено класи таких зондуючих сигналів, досліджено властивості, що необхідні для реалізації запропонованої методики.

6. Розроблено метод наближеного обчислення імпульсної характеристики за умови використання зондуючих сигналів, що описуються функціями, які мають похідні k-го порядку та можуть бути виражені через початкову функцію. Отримано оцінку похибки методу. Розв'язані еталонні задачі.

7. Вивчені властивості операторів, що пов'язані з оператором сингулярного інтегрування, за допомогою яких можна моделювати процес комутації сигналів.

8. Вперше побудована математична модель процесу формування мікротріщин на базі СІР, яка дозволяє контролювати наявність та наступний розвиток дефектів.

Практична значущість одержаних результатів. Застосування розроблених в дисертації методів СІР у побудові математичних моделей лінійних систем дозволяє розв'язати ряд задач гідроакустики, локації, контролю якості покриття, механіки руйнування. Математичні моделі, що побудовані на основі СІР та СІР з НКЗ, враховують перехідні процеси в системах, ефекти, що впливають на частоту сигналів: ефект Допплера, частотну модуляцію сигналів, осциляцію об'єктів та ін. Розроблені методи та моделі використовуються в навчальному процесі при викладанні курсу лекцій «Моделювання технічних систем» в Одеському національному політехнічному університеті. Акт про застосування результатів досліджень дисертаційної роботи міститься у Додатку А.

Особистий внесок здобувача. Основний зміст дисертаційної роботи опубліковано в роботах [1-16], а всі її основні результати отримані особисто автором. В роботах, що опубліковані у співавторстві, автору належать такі результати: в роботі [1] автором наведено метод наближеного розв'язання СІР з НКЗ; в роботі [2] автором винайдено спосіб побудови згладжуючого багаточлена, ступінь якого дозволяє оцінити розмірність ядра СІР з НКЗ; автором написано розділ 9 монографії [3] - про теорію розв'язності СІР з НКЗ (“On solvability theory for singular integral equations with a non-Carleman shift”); у роботі [4] автором побудована модель, яка враховує зв'язок супутникових даних зі станом морського середовища; у роботах [5, 16] автором розроблено алгоритм спеціальних кореляційних методів щодо моделювання та прогнозування гідрофізичних характеристик; у роботі [7] автору належить постановка задачі та вибір методу розв'язку СІР; у роботі [9] автором показано застосування методу розв'язку СІР до моделювання умов руйнування; у роботі [10] автором проведено дослідження збіжності розв'язку СІР; в роботі [12] автором запропоновано метод наближеної оцінки розмірності ядра оператора СІР з НКЗ; в препринті [13] автором виконана побудова моделі процесу формування сигналів-відгуків та алгоритм відновлення імпульсної характеристики.

Публікації. Основні результати за темою дисертаційної роботи опубліковано в 16 друкованих працях, з яких: 7 статей - у вітчизняних фахових наукових виданнях, 2 статті - у закордонних періодичних журналах, 2 препринти - закордонний та вітчизняний, 1 розділ - у закордонній монографії, 1 стаття - у вітчизняному збірнику наукових праць, 3 тези доповідей - у наукових конференціях, у тому числі міжнародних.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, додатку на 1 сторінці та переліку використаної літератури зі 114 найменувань на 17 сторінках. Загальний обсяг дисертації складає 158 сторінок, у тому числі 141 сторінок основного тексту, та містить 7 рисунків.

ОСНОВНИЙ 3MICT РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, зазначено її зв'язок з науковими темами Відділення гідроакустики Морського гідрофізичного інституту НАН України, де виконувалась робота. Сформульовано мету та задачі дослідження. Вказуються об'єкт, предмет та методи дослідження, розкривається наукова новизна та практичне значення отриманих результатів. Наведені дані про публікації та апробацію викладеного в роботі матеріалу, а також відзначено особистий внесок здобувача.

У першому розділі проведено огляд літератури та аналіз стану проблеми наукових досліджень за темою дисертаційної роботи. Розглянуто фізичні аспекти задач та існуючі математичні моделі. Зазначено коло задач, що розглядаються у дисертації, та їх зв'язок з існуючими дослідженнями. Показано, що значний внесок у розробку методів математичного моделювання лінійних систем, в тому числі за допомогою СІР, внесли Я.Й. Бурак, Ю.В. Гандель, Є.В. Захаров, I.K. Лiфанов, В.О. Мiщенко, Ю.В. Пiменов, В.О. Щербина та iн. Використання методів СІР з НКЗ у розв'язанні крайових задач розглядали Ф.Д. Гахов, Г.С. Літвінчук, Ю.О. Черський, Е.І. Звєровіч, Р.С. Ісаханов, М.П. Вєкуа, З.Т. Назарчук та iн. Обґрунтовано переваги математичних моделей на основі СІР.

У розділі введені основні поняття, що використовуються в роботі.

Якщо - вхідний сигнал, - вихідний сигнал (відгук), поведінка довільної лінійної системи зі змінними параметрами може бути описана за допомогою рівняння

.(1)

Ядро є імпульсною характеристикою системи. Якщо параметри лінійної системи не змінюються з часом, і рівняння (1) вироджується в рівняння типу згортки

або .(2)

Рівняння вигляду

, (3)

де та - ортогональні проектори , S - оператор сингулярного інтегрування, є СІР загального вигляду.

Найбільш відомий випадок, коли (до нього зводиться крайова задача Рімана)

.(4)

Зсувом кола є дифеоморфізм кола на себе. Існують зсуви, що зберігають орієнтацію на , та зсуви, що змінюють орієнтацію на протилежну. Для кожного зсуву існує зворотний зсув . Також введено ітераційні послідовності для і

, ,

, , .

Нерухомою точкою кратності зсуву є така точка , для якої . Якщо у зсуві, що зберігає орієнтацію на , існують нерухомі точки, то ці точки мають однакову кратність.

Зсувом Карлемана є зсув, для якого існує , таке, що , . Зсуви, для яких ця умова не виконується, є некарлеманівські зсуви. У роботі розглянуті некарлеманівські зсуви з нерухомими точками першої кратності, що зберігають орієнтацію на .

Зсуви вигляду є дрібно-лінійними зсувами.

У другому розділі містяться результати, пов'язані з розв'язанням рівнянь типу згортки (2) в просторі узагальнених функцій, які дозволяють описати поведінку довільної лінійної системи з постійними параметрами. У цьому випадку властивості системи повністю визначаються видом імпульсної характеристики h(t) і не залежать від часу.

Розроблено метод відновлення імпульсної характеристики, що грунтується на використанні таких обмежень на зондуючі сигнали, що (2) перетворюється у диференціально-різницеве рівняння, розв'язок якого може бути записано у явному вигляді.

Отримані результати у випадку, коли - функція Хевісайда, Т - тривалість зондуючого сигналу, D - оператор диференціювання, - деяка константа, а зондуючі сигнали обмежені у часі , , виглядають таким чином:

1) Якщо ( - многочлен), рівняння (2) має вигляд

.

Наприклад, якщо , маємо

.

2) Якщо (, ...), рівняння (2) має вигляд

.

Наприклад, якщо , отримаємо

.

Припустимо . Тоді та для (2) маємо

.

Якщо (наприклад , ), маємо

.(5)

Для розв'язання рівняння (5) були додані обмеження на функцію g(t) та застосовано принцип каузальності (відгук з'являється тільки після приходу зондуючого сигналу). Для даної математичної моделі це означає, що при . Крім того, було введено систему проміжків на R:

, .

Були використані такі позначення:

, ,

, , ,

, , ,

, , .

Введено функцію , яка являє собою розв'язок рівняння (5), такий, що при і ряд збігаєтся рівномірно на будь-якому інтервалі.

Наближення імпульсної характеристики шукалося у вигляді відрізку ряду Фур'є

, де .

Для функцій у ролі ортонормованого базису отримано

.

Отримано формулу загальної похибки у припущенні, що початкові дані відомі нам з похибкою , - похибка, пов'язана зі скінченною довжиною ряду , що є наближеним розв'язком, а - похибка методу інтегрування

.

Таким чином, на підставі використання зондуючих сигналів спеціального вигляду побудовано розв'язок модельного рівняння у аналітичному вигляді та розроблено ефективний обчислювальний алгоритм, що надає нові можливості у роботі з такого роду моделями. Результати розв'язання еталонних задач свідчать про високу стійкість алгоритму.

Зрозуміло, що такий підхід не є ефективним для моделювання фізичних систем зі змінними параметрами. У цьому випадку необхідно використовувати складніші математичні моделі, що базуються на СІР.

У третьому розділі наведені результати стосовно математичних моделей, що побудовані на основі СІР. Розвинуто теорію лінійних систем з комутацією, наведені приклади застосування цієї теорії. Також вивчені питання використання СІР у задачах контролю покриттів.

Вивчені властивості операторів в , що є операторами комутації

, .

Доведено, що ці оператори мають такі властивості:

1) и - ортогональні проектори в .

2) Для будь-яких і виконується .

3) Нехай для і виконується умова . Тоді

,

,

,

.

4) Для справедливо

,

Також розглянуто базові типи лінійних систем, з яких може бути скомпонована будь-яка складна система, що виконує комутацію сигналів. Системи з комутацією на вході. До систем цього типу належать системи, що є "недоступними" для вхідного сигналу до або після деякого моменту

,

.

Після застосування перетворення Фур'є отримано

,

.

Системи з комутацією на виході. До систем такого типу належать системи, вихідний сигнал яких "відсутній" до або після деякого моменту

,

.

Після застосування перетворення Фур'є отримано

,

.

Доведено, що для систем, що подані як композиція паралельно з'єднаних підсистем з комутацією, зв'язок спектральної щільності сигналів на вході та на виході може бути описано за допомогою СІР



де константи характеризують кількість підсистем кожного з базових типів.

Показано, що, використовуючи доведені властивості операторів и для будь-якої системи, яка складається з кінцевого числа довільно з'єднаних підсистем базових типів, ми завжди зможемо побудувати еквівалентну систему з паралельним підключенням підсистем.

У разі рівняння вироджується в аналог рівняння (3)

.

Побудовано метод апроксимації лінійних систем зі змінними параметрами. Нехай числову вісь розбито на непересічні проміжки, і на кожному з них функція з рівняння (1) залежить тільки від змінної

Маємо

.

Тепер, застосувавши перетворення Фур'є, отримано таке СІР:

, .

Зрозуміло, що цей метод дозволяє апроксимувати довільні лінійні системи зі змінними параметрами.

Сформульовано задачу комутації сигналів, яка вирішується методами СІР. Нехай є пристрій, на вхід якого надходить сигнал , який обробляється підсистемою з імпульсною характеристикою . Починаючи з моменту , надходження сигналу припиняється і починається надходження сигналу , який обробляється підсистемою з імпульсною характеристикою . Потрібно за відомим вихідним сигналом та імпульсними характеристиками і відновити сигнал . Використовуючи результати, отримані в розділі, маємо

.

Застосувавши перетворення Фур'є, одержимо

.

Виконано моделювання напружено - деформованого стану пружного тіла. Показано, що моделювання концентрації полів напружень біля внутрішніх дефектів приводить до сингулярного інтегро - диференціального рівняння. Розв'язок цього рівняння використовує розроблений метод СІР, що адаптовано до багатовимірної області.

У разі, коли окремі компоненти системи з комутацією створюють ефекти, що впливають, наприклад, на аргумент спектральної щільності результуючого сигналу (ефект Допплера в локації, частотна модуляція сигналу і т.д.), виявлена необхідність використання ширшого класу СІР - з некарлеманівським зсувом.

У четвертому розділі наведені результати, що стосуються питань можливості розв'язку СІР з НКЗ та відповідних чисельних методів.

Вивчені властивості такого сингулярного інтегрального оператора зі зсувом:

.(6)

Доведено існування згладжуючого багаточлену.

ТЕОРЕМА 1. Для будь-якої функції , , ( - нерухомі точки НКЗ , ) існує багаточлен ступеня n , , , , , для якого:

.

На підставі цих результатів отримана оцінка розміру ядра.

ТЕОРЕМА 2. Нехай багаточлен із Теореми 1 має ступінь n. Тоді

Окремо вивчено випадок дробово-лінійного зсуву.

ТЕОРЕМА 3. Якщо оператор U є оператором дробово-лінійного НКЗ з двома нерухомими точками, - дробово-лінійний зсув , у якого обидві нерухомі точки належать дійсній осі і точка є точкою згущування, , , , то дійсна така оцінка:

.

Також вивчено випадок спеціального коефіцієнта.

ТЕОРЕМА 4. Нехай в рівнянні (6) U - оператор дробово-лінійного зсуву та полюси функції с(t) лежать поза одиничним колом. Тоді

Одержано оцінку на підставі спеціальних матриць.

ТЕОРЕМА 5. Нехай V - матриця Вандермонда, складена з коренів багаточлена , ,

Тоді

І, остаточно отримано необхідну та достатню умову пустоти ядра.

ТЕОРЕМА 6. Для того, щоб , необхідно і достатньо, щоб виконувалася умова

Розроблено такі наближені методи:

1) Прямий наближений метод. У разі порожнього ядра пошук кореня СІР з НКЗ зводиться до розв'язання СЛАР , де - вектор, що містить значення функції в точках . Розв'язок пов'язано з багаточленом таким чином: .

2) Ітераційний наближений метод. Спочатку розв'яжемо ітераційним методом рівняння з оборотним оператором:

, ,

Тепер зайдемо розв'язок початкового рівняння

.

Стійкість наближених методів та адекватність розроблених моделей перевірена на еталонних задачах.

Вивчено задачу дистанційного дослідження поверхонь. Нехай зондуючий сигнал s(t), відбиваючись від деякого об`єкта, породжує відгук g(t). Реальні об`єкти не мають абсолютно гладких поверхонь, тому h(t) розглядалося як сума двох складових: , де - когерентна складова, що характеризує взаємодію сигналу s(t) із "абсолютно гладкою" формою; - дифузна складова, що характеризує вплив структури поверхні на формування відгуку.

Також використано високочастотні та низькочастотні зондуючі сигнали (де та - спектри сигналів та - функція Хевісайда)



Для ефективного дистанційного дослідження відповідних характеристик об`єктів, що зондуються застосовано зондуючі сигнали, які є комбінацією високочастотних і низькочастотних сигналів

,

де - модулюючий сигнал, , , та - частоти, для яких справедливі умови ( - похибка методу):

з використанням введених позначень отримано

.

Після застосування до цього рівняння перетворення Фур'є і використання властивостей операторів та , отримано таке СІР з НКЗ:

.

У операторній формі це рівняння є аналогом рівняння (4)

,

де і - оператори відповідних дробово-лінійних НКЗ.

Отримане рівняння може бути розв'язано як відносно (у задачі синтезу сигналу), так і відносно та у разі введення додаткових умов.

Висновки

У дисертаційній роботі розроблено й обґрунтовано нові результати стосовно моделювання лінійних систем, у тому числі систем зі змінними параметрами, з комутацією та іншими особливостями в поведінці.

1. Для лінійних систем, поведінка яких характеризується процесами комутації сигналів або швидкоплинними перехідними процесами, розроблена нова методика побудови математичних моделей, у основі яких покладено СІР. Показано, що ядра таких СІР дозволяють з необхідною точністю моделювати стрибкоподібну зміну властивостей лінійних систем.

2. Вперше на базі СІР створено моделі для узагальненого випадку системи, що складається з будь-якого набору підсистем з комутацією. Також вперше розроблений метод СІР було використано для моделювання поведінки довільних лінійних систем зі змінними параметрами.

3. Використання розробленої нової методики дозволило за допомогою СІР із зсувом описати лінійні системи з особливостями у поведінці, такими, як обертання об'єктів, ефект Допплера, модуляція сигналів та ін., що належать до більш широкого класу лінійних систем зі змінними параметрами, ніж системи з комутацією.

4. Вперше отримана необхідна та достатня умова непустоти ядра та оцінка його розмірності для СІР з НКЗ вигляду в просторі . Особисто розглянуто випадок дробово-лінійного зсуву, що дозволяє отримати оцінку розмірності ядра в явному вигляді. Дані результати поширені на випадок матричного коефіцієнта .

5. Отримані нові результати щодо властивостей НКЗ, досліджено кількість та характеристики нерухомих точок. Окремо досліджено властивості дробово-лінійного зсуву, пов'язані з кількістю та розташуванням його нерухомих точок, отримано необхідню та достатню умову, за якої такий зсув є некарлеманівським. Вивчено властивості суперпозиції дробово-лінійних зсувів, її вплив на нерухомі точки.

6. Вперше побудовано наближені методи, що дозволяють отримати оцінку розмірності ядра сингулярного інтегрального оператора, а також знайти розв'язок відповідного рівняння. Отримані оцінки похибки. Адекватність розроблених наближених методів перевірена на еталонних задачах.

7. Встановлено нові результати, пов'язані з розв'язанням рівнянь типу згортки в просторі узагальнених функцій у разі спеціального вигляду зондуючих сигналів для лінійних систем з постійними параметрами. Використання таких зондуючих сигналів дозволило знайти розв'язок модельного рівняння в явному вигляді та розробити ефективний обчислювальний алгоритм для побудови розв'язку відповідних прикладних задач.

8. Розроблено методику відновлення імпульсної характеристики системи на основі використання зондуючих сигналів спеціального вигляду. Побудовано чисельний метод щодо відновлення імпульсної характеристики, отримано оцінку похибки.

9. Результати досліджень дисертаційної роботи впроваджені у навчальному процесі Одеського національного політехнічного університету.

СПИСОК ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

1. Baturev A.A. Approximate methods for singular integral equations with a non-Carleman shift / A.A. Baturev, V.G. Kravchenko, G.S. Litvinchuk // Journal of integral equations and applications. - Winter 1996. - Vol.8, N1. - P. 1-17.

2. Батырев А.А. Об одном подходе к приближенному решению сингулярных интегральных уравнений с некарлемановским сдвигом / А.А. Батырев, В.Г. Кравченко, Г.С. Литвинчук // Доклады РАН. - 1996. - Т. 53, №2. - С. 230-232.

3. Litvinchuk G.S. Solvability theory of Bosingulary Value Problems and singular integral equations with shift / G.S. Litvinchuk - Kluwer Academic Publishers: Dordrecht / Boston / London, 1996. - P.343-354. (в книге: Г.С. Литвинчука Теория разрешимости гл. 9).

4. Батырев А.А. Подспутниковая заверка и интерпретация данных космической съемки морской поверхности / О.Р. Андрианова, А.А. Батырев, М.И. Скипа, А.В. Сриберко // Космічна наука і технологія. - 2004. - Т.10, № 4. - С.92-95.

5. Батырев А.А. Специальные корреляционные методы в задачах оценки изменчивости гидрофизических характеристик / О.Р. Андрианова, А.А. Батырев, М.И. Скипа // Экологическая безопасность прибрежной и шельфовой зон и комплексное использование ресурсов шельфа: Сб. научн. тр. - Севастополь: НПЦ «ЭКОСИ-Гидрофизика», - 2006. - Вып.14. - С.428-432.

6. Батырев А.А. Сингулярные интегральные уравнения с некарлемановским сдвигом в математических моделях линейных систем со специальными импульсными характеристиками / А.А. Батырев // Прикладні проблеми механіки і математики.- 2006. - Вип.4. - С.54-58.

7. Батырев А.А. Об использовании сингулярных интегральных уравнений для решения технологических задач о контроле покритий / А.В. Усов, А.А. Батырев // Сб. научн. тр. - Харьков: Нац. аэрокосм. университет «ХАИ», - 2009. - Вып. 42. - С.237-252.

8. Батырев А.А. Математические модели, основанные на сингулярных интегральных уравнениях с некарлемановским сдвигом. Анализ разрешимости и численные методы / А.А. Батырев // Математичні методи та фізико-механічні поля. - 2009. - Т. 52, №2. - С.50-55.

9. Батырев А.А. Математическое моделирование процессов контроля покрытия элементов конструкций на базе СИУ / А.В. Усов, А.А. Батырев // Проблемы машиностроения. - 2010. - Т.13, №1. - С.65-75.

10. Батырев А.А. Метод СИУ в моделировании напряженно-деформированного состояния системы покрытие-матрица с участками частичного отслоения области / А.В. Усов, А.А. Батырев // Вісник Харківського Національного Університету, серия «Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління»: - Харків: ХНУ, - 2010. - №890, Вип.13. - С.254-263.

11. Батырев А.А. Сингулярные интегральные уравнения в задачах синтеза сигналов. / А.А. Батырев // Крайові задачі диференціальних рівнянь: Зб. наук. пр. - Чернівецький національний університет ім. Федьковича, - 2005. - С. 17-26.

12. Baturev A.A. Approximate methods for singular integral equations with a non-Carleman shift / A.A. Baturev, V.G. Kravchenko, G.S. Litvinchuk // Instituto Superior Tecnico. - Portugal, Lisboa. - Preprint. - 1994. - 7. - 14 p. (Preprint / Portugal Instituto Superior Tecnico Portugal, Lisboa; 1994-7).

13. Батырев А.А. Акустическое зондирование в исследованиях процессов энергомассообмена на границах областей перемешанной жидкости в океане / М.И. Скипа, А.В. Холопцев, А.А. Батырев - Севастополь. НАН Украины. МГИ, - 1995. - 52 с. - (Препринт / НАН Украины, Морской гидрофизический институт; МГИ 1995).

14. Приближенное решение одного сингулярного интегрального уравнения с некарлемановским сдвигом: тезисы докладов Республиканской научно-методической конференции, посвященной 200-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского / Одесса. - Од. нац. ун-т им.И.И.Мечникова. - 1992. - ч.2. - С.56-57.

15. Сингулярные интегральные уравнения в задачах синтеза сигналов: тезисы докладов Международной конференции [«Интегральные уравнения и их применения»], (Одесса, 29 июня - 4 июля 2005 года). - Од. нац. ун-т им.И.И.Мечникова. - С.6.

16. Специальные корреляционные методы в задачах оценки изменчивости гидрофизических характеристик: тезисы докладов Международной научной конференции «Фундаментальные исследования важнейших проблем естественных наук на основе интеграционных процессов в образовании и науке». (Крым, Севастополь, 19-24 августа 2006 г.) / МГИ НАНУ. - Севастополь: НПЦ «ЭКОСИ-Гидрофизика», 2006. - С.8.

Батирев О.А. Методи сингулярних інтегральних рівнянь в математичних моделях лінійних систем. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Інститут проблем машинобудування ім. А.М. Пiдгорного НАН України, Харків, 2010.

Дисертаційна робота присвячена розробці математичних моделей лінійних систем на базі рівнянь типа згортки, сингулярних інтегральних рівнянь та сингулярних інтегральних рівнянь з некарлеманівським зсувом, дослідженню їх властивостей та побудові чисельних розв'язків.

Вперше у явному вигляді отримано розв'язок задачі відновлення імпульсної характеристики для рівняння типу згортки за умови використання спеціального вигляду зондуючих сигналів. Розроблено метод наближеного обчислення розв'язків, отримано оцінку похибки методу.

Вивчені властивості операторів комутації, що пов'язані з оператором сингулярного інтегрування. На їх базі побудовані моделі, які описують поведінку складових систем з комутацією, розроблена методика моделювання лінійних систем зі змінними параметрами. Побудована математична модель процесу формування мікротріщин.

Вперше отримана оцінка розмірності ядра сингулярного інтегрального оператора з некарлеманівським зсувом, вивчено випадок дробово-лінійного зсуву. Розроблені прямий та ітераційний наближені методи для побудови розв'язків. Побудовано математичні моделі на базі сингулярних інтегральних рівнянь з некарлеманівським зсувом.

Ключові слова: математичні моделі, лінійні системи, імпульсна характеристика, рівняння типу згортки, комутація сигналів, сингулярні інтегральні рівняння, некарлеманівський зсув, наближені методи

Батырев А.А. Методы сингулярных интегральных уравнений в математических моделях линейных систем. Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. - Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков, 2010.

Диссертационная работа посвящена разработке математических моделей линейных систем на базе уравнений типа свертки, сингулярных интегральных уравнений и сингулярных интегральных уравнений с некарлемановским сдвигом, исследованию свойств модельных уравнений, созданию вычислительных методов для оценки размерности ядер соответствующих операторов и построения численных решений.

Впервые в явном виде построено решение задачи восстановления импульсной характеристики для уравнения типа свертки для случая применения специального вида зондирующих сигналов. Изучены свойства таких уравнений, перечислены классы сигналов, позволяющих реализовать предложенный подход, разработан метод приближенного вычисления решений, получена оценка погрешности метода.

Исследованы свойства операторов коммутации, связанных с оператором сингулярного интегрирования. На их базе построены математические модели, которые описывают поведение многокомпонентных систем с коммутацией, разработана методика моделирования линейных систем с переменными параметрами. На основе сингулярных интегральных уравнений создана математическая модель процесса формирования микротрещин с учетом полей напряжения в зонах внутренних дефектов.

Впервые получена оценка размерности ядра сингулярного интегрального оператора с некарлемановским сдвигом, изучен случай дробно-линейного сдвига. Разработаны прямой и итерационный приближенные методы для оценки размерности ядра и построения решений. Все результаты также распространены и на случай матричного уравнения.

Разработаны математические модели на основе сингулярных интегральных уравнений с некарлемановским сдвигом, позволяющие в должной мере отобразить динамику физических процессов и другие особенности - вращение объектов, эффект Допплера, модуляция и задержка сигналов и т.д., а также построить эффективные алгоритмы для анализа разрешимости уравнений и построения приближенных решений. Решена задача восстановления когерентной и диффузной составляющих импульсной характеристики методом частотного разделения.

Ключевые слова: математические модели, линейные системы, импульсная характеристика, уравнение типа свертки, коммутация сигналов, сингулярные интегральные уравнения, некарлемановский сдвиг, приближенные методы.

Batyrev O.A. Singular integral equations method in mathematical models of linear systems. - Manuscript.

Thesis for the scientific degree of the candidate of the physical and mathematical sciences on the specialty 01.05.02 - mathematical modeling and computational methods. - A.M. Pidgorny Institute for Mechanical Engineering Problems NAS of Ukraine, Kharkiv, 2010

The thesis is dedicated to development of mathematical models of linear systems that is based on convolution equations, singular integral equations, and singular integral equations with non-Carleman shift. Their properties were analyzed and numeric solutions were built.

The solution of impulse characteristics decomposition problem has been obtained in the explicit form for the first time for convolution equations with a special kind of sounding signals. The approximate method for numeric solutions has been developed and the estimate of method's error was constructed.

Properties of commutation operators which are based on singular integral operators have been analyzed. Mathematical models of complex systems with commutation were formed. The method of modeling of linear systems with variable parameters has also been developed. A mathematical model of micro cracks formation has been built.

The estimate of the size of kernel of singular integral operator with non-Carleman shift has been obtained for the first time and the case of linear-fractional shift has been investigated. Direct and iterative numerical methods have also been developed. Mathematical models on the base of singular integral equations with non-Carleman shift have been constructed.

Keywords: mathematical models, linear systems, impulse characteristics, convolution equations, commutation of signals, singular integral equations, non-Carleman shift, numerical methods.

Размещено на Allbest.ru

...