Нелінійні нетерові крайові задачі в критичних випадках

Размещено на http://www.allbest.ru/

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича

УДК 517.9

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Нелінійні нетерові крайові задачі в критичних випадках

Робота виконана в Слов'янському державному педагогічному університеті Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, доцент, Чуйко Сергій Михайлович, Слов'янський державний педагогічний університет, проректор з наукової роботи.

- доктор фізико-математичних наук, професор Теплінський Юрій Володимирович, Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, завідувач кафедри диференціальних рівнянь і прикладної математики;

- доктор фізико-математичних наук, професор Яковець Василь Павлович, Київський університет менеджменту освіти АПН України, проректор з науково-педагогічної та навчальної роботи.

Захист відбудеться "24" вересня 2010 р. о 11.30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 76.051.02 Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича за адресою: 58012, Чернівці, вул. Університетська, 28.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича (м. Чернівці, вул. Лесі Українки, 23).

Автореферат розісланий 19 серпня 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Бігун Я.Й.

Анотація

Бойчук І.О. Нелінійні нетерові крайові задачі в критичних випадках. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. - Слов'янський державний педагогічний університет, Слов'янськ, 2010.

Дисертація присвячена дослідженню проблеми знаходження конструктивних умов існування та побудові розв'язків нелінійних нетерових крайових задач для систем диференціальних рівнянь. За допомогою апарату псевдообернених матриць, методів теорії збурень та теорії нелінійних коливань у дисертацiї вдосконалено схему дослiдження задач про існування та побудову розв'язків нетерових крайових задач для нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь в критичних випадках. Встановлено необхідні та достатні умови існування та побудовано модифіковані ітераційні процедури для знаходження розв'язків нетерових слабконелінійних крайових задач.

Ключові слова: крайові задачі, звичайні диференціальні рівняння, псевдообернені матриці, узагальнений оператор Гріна, критичний випадок, ітераційна процедура.

Аннотация

Бойчук И.А. Нелинейные нетеровы краевые задачи в критических случаях. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Славянский государственный педагогический университет, 2010.

Диссертация посвящена исследованию проблемы нахождения конструктивных условий существования и построению решений нелинейных нетеровых краевых задач для систем дифференциальных уравнений. При помощи аппарата псевдообратных матриц, методов теории возмущений и теории нелинейных колебаний в диссертации усовершенствована схема исследования задач о существовании и построении решений нетеровых краевых задач для нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в критических случаях. Для нахождения решений нетеровой слабонелинейной автономной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений в критическом случае первого порядка определены конструктивные необходимые и достаточные условия существования и предложен сходящийся итерационный алгоритм, являющийся модификацией метода простых итераций.

Для нахождения решений нетеровой слабонелинейной неавтономной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений в критическом случае второго порядка определены конструктивные необходимые и достаточные условия существования и предложен сходящийся итерационный алгоритм, являющийся модификацией метода простых итераций.

Ключевые слова: краевые задачи, дифференциальные уравнения, псевдообратные матрицы, обобщенный оператор Грина, критический случай, итерационная процедура.

Annotation

Boichuk I.A. The Nonlinear Noetherian boundary-value problems in critical cases. - Manuscript.

Thesis for a candidate's degree of physics and mathematics on speciality 01.01.02 - differential equations. - 01.01.02. Slavyansk State Pedagogical University, Slavyansk, 2010.

The thesis is devoted to the problem of finding constructive conditions for existence and construction solutions of non-linear boundary-value problems for the systems of differential equations.

On the basis of the theory of pseudoinverse matrixes and Lyapunov-Shmidst's methods the scheme for investigation of the problems concerning the existence and construction solutions of the Noetherian boundary-value problems for nonlinear system for the ordinary differential equation has been improved in critical cases. The necessary and sufficient conditions for the existence and construction of the iteration procedure for finding the solution of semi-nonlinear Noetherian boundary-value problems in the special critical case have been found.

The constructive conditions for the existence of solutions have been studied for the general Noetherian boundary-value problem have been searched. The constructive conditions for the existence of solutions Noetherian semi-nonlinear boundary-value problem have been proved. The convergent iteration algorithms for the construction of the solutions of the Noetherian semi-nonlinear boundary-value problems for the differential equations have been proposed.

Key words: boundary-value problems, ordinary differential equation, pseudoinverse matrixes, generalized Green's operator, critical case, iteration procedure.

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Актуальність вивчення нетерових крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь пов'язана з численними застосуваннями автономних та неавтономних крайових задач, зокрема в теорії нелінійних коливань, у механіці, біології, радіотехніці, теорії керування, теорії стійкості руху.

З іншого боку, питання існування та побудови розв'язків нелінійних крайових задач відіграють важливу роль в якісній теорії звичайних диференціальних рівнянь, зокрема, - в задачах оптимального керування, теорії стохастичних диференціальних рівнянь, теорії диференціальних рівнянь з багатозначною та розривною правою частиною, а також диференціальних рівнянь із включеннями.

Отримані в дисертації конструктивні умови існування та схеми побудови розв'язків автономних нетерових крайових задач нелінійних систем диференціальних рівнянь уточнюють результати, одержані київською школою нелінійних коливань; започаткували ці дослідження в 30-ті роки М.М. Крилов та М.М. Боголюбов, як розвиток методу малого параметра, створеного А. Пуанкаре, А.М. Ляпуновим та Б. Ван-дер-Полем. Одержані умови існування та схеми побудови розв'язків неавтономних нетерових крайових задач нелінійних систем диференціальних рівнянь уточнюють результати, одержані А.М. Самойленком, Є.О. Гребеніковим, Ю.О. Рябовим, Т. Хаясі та О.А. Бойчуком.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась згiдно з планом дослiджень міжвідомчої лабораторії "Крайові задачі теорії диференціальних рівнянь" у складі вiддiлу диференцiальних рiвнянь і теорії коливань Iнституту математики НАН України та пов'язана з тематичним планом фундаментальної науково-дослідної роботи "Класифікаційні методи теорії наближення функцій і теорії крайових задач з імпульсним впливом" (реєстраційний №0109U000381), яка фінансується з коштів державного бюджету й виконується в Слов'янському державному педагогічному університеті, а також із спільним німецько-українським науковим проектом "Гладкість із точки зору теорії класів функцій і теорії наближень" Німецького фонду наукових досліджень (DFG, реєстраційний номер GZ:436UKR 13/103/0-1), який виконується в Слов'янському державному педагогічному університеті та університеті ім. Ф. Шиллєра (м. Йєна, Німеччина).

Мета i завдання дослiдження. Метою дисертаційної роботи є побудова конструктивних умов існування та алгоритмів знаходження розв'язків нетерових крайових задач для слабконелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь.

Наукова новизна одержаних результатiв. Основнi результати, що визначають наукову новизну i виносяться на захист, такi:

1. Для автономної нетерової слабконелінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь в критичному випадку першого порядку отримано необхідну та достатню умови існування шуканих розв'язків та побудовано модифіковану збіжну ітераційну процедуру.

2. Для знаходження розв'язків нетерової слабконелінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь у критичному випадку першого порядку за модифікованим методом простих ітерацій побудовано ітераційну процедуру та отримано умови збіжності цієї ітераційної процедури.

3. Для нетерової слабконелінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь у критичному випадку другого порядку знайдено оригінальну необхідну і достатню умови існування шуканих розв'язків.

4. Для знаходження розв'язків нетерової слабконелінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь у критичному випадку другого порядку побудовано трьохкрокову ітераційну процедуру.

Практичне значення одержаних результатiв. Дисертаційна робота має теоретичний характер. Результати, отриманi в роботi, можуть бути застосовані до подальших досліджень у якісній та аналітичній теорії диференціальних рівнянь, у дослiдженнях задач теорiї стiйкостi руху та теорiї керування, а також при моделюванні та дослідженні фізичних, економічних і біологічних процесів. Крім того, отриманi в роботi результати успішно використовуються в навчальному процесі в Слов'янському державному педагогічному університеті.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи отримано здобувачем самостійно. За темою дисертацiї у фахових виданнях опублiковано одну самостійну працю автора, а також 3 праці в співавторстві. В спільних роботах з науковим керівником С.М. Чуйком автору належить загальна схема розв'язання та доведення одержаних результатів. В спільній роботі з О.В. Старковою автору належить постановка задачі, загальна схема розв'язання та доведення одержаних результатів.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Основнi результати дисертацiї доповiдались та обговорювались на:

1) Міжнародній науковій конференції "Differential and Difference Equation and Application" (м. Жиліна, Словаччина, 2008 р.);

2) Мiжнароднiй науковiй конференцiї: Intern. Conf. Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation (м. Київ, 2009 р.);

3) Українському математичному конгресі - 2009 (м. Київ, 2009 р.);

4) засiданні наукового семiнару "Forschungsseminar" (м. Йєна, Німеччина, 2009 р.; науковий керівник - академік Берлінської АН, професор Х. Трібель);

5) Міжнародній науковій конференції "Математика. Компьютер. Образование" (м. Дубна, Росія, 2010 р.);

6) Міжнародній науковій конференції "Ломоносовские чтения" (м. Севастополь, 2010 р.);

7) ХІІІ Міжнародній науковій конференції ім. академіка М. Кравчука, Київ, 13-15 травня 2010 р.;

8) Міжнародній науковій конференції "Smoothness, approximations and related topics" (Слов'янськ, Україна, 9-10 червня 2010 р.);

9) на засiданні семiнару факультету прикладної математики Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича (науковий керівник - доктор фіз.-мат. наук, професор І.М. Черевко);

10) на засiданні об'єднаного семiнару вiддiлу диференцiальних рiвнянь і теорії коливань Iнституту математики НАН України та кафедри диференціальних та інтегральних рівнянь механіко-математичного факультету Київського національного університету ім. Тараса Шевченка (наукові керівники - академік НАН України, професор А.М. Самойленко, академік НАН України, професор М.О. Перестюк).

Публiкацiї. За темою дисертацiї опублiковано 4 праці; iз них 3 - у провiдних фахових перiодичних наукових журналах, що входять до переліку №1 ВАК України від 9.06.1999 р. [1-3], одна - у зарубіжному фаховому виданні [4], та 4 - в матеріалах Міжнародних наукових конференцiй [5-8].

Структура дисертацiї. Дисертацiйна робота складається зі вступу, трьох роздiлiв, висновку i списку цитованої лiтератури, що мiстить 151 назву. Обсяг роботи складає 125 сторiнок друкованого тексту.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівнику доктору фіз.-мат. наук С.М. Чуйку за постановку розглянутих в дисертації задач, а також академіку НАН України, доктору фіз.-мат. наук, професору А.М. Самойленку за постійну увагу до роботи й обговорення одержаних результатів.

2. Основний зміст роботи

У вступi обґрунтовується актуальнiсть теми та наукова новизна одержаних результатів, формулюється мета та об'єкт дослiдження, дається короткий перелік методів досліджень та можливих практичних застосувань одержаних результатів.

У першому розділі наведено необхідні відомості з теорії псевдообернених за Муром-Пенроузом матриць, деякі факти щодо лінійних нетерових крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь та огляд літератури з теорії нелінійних нетерових крайових задач. Далі, окреслено найбільш цікаві та оригінальні дослідження автономних та неавтономних нелінійних періодичних крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь, розпочаті А. Пуанкаре, А.М. Ляпуновим, Б. Ван-дер-Полем, О.М. Криловим та продовжені М.М. Криловим і М.М. Боголюбовим, І.Г. Малкіним, Р. Беллманом, О. Вейводою, Ю.О. Митропольським, В.І. Арнольдом, Є.О. Гребеніковим і Ю.О. Рябовим. Істотним поштовхом для розвинення теорії крайових задач було створення А.М. Самойленком чисельно-аналітичного методу, який дозволив поширити дослідження періодичних крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь на багатоточкові та майже періодичні крайові задачі. алгоритм нетеровий диференціальний рівняння

Подальшим узагальненням конструктивної теорії слабконелінійних крайових задач було вивчення нелінійних нетерових крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь, розпочате А.М. Самойленком, О.А. Бойчуком та їх учнями. В той же час раніше отримані О.А. Бойчуком та С.М. Чуйком результати передбачали низку додаткових умов на похідні нелінійностей крайової задачі. Послабленню відповідних вимог і присвячено наведені в дисертації дослідження.

Для розв'язання нелінійних нетерових крайових задач традиційно застосовувався метод простих ітерацій. Істотними вадами методу простих ітерацій є лінійна збіжність і послідовне ускладнення ітерацій та нагромадження похибок наближених обчислень. В дисертації побудовано ітераційні процедури модифікованим методом простих ітерацій, у межах якого кожне наступне наближення до розв'язку відповідної крайової задачі зображується у вигляді суми попереднього наближення та відхилення від цього наближення. Ефективність отриманих у дисертації ітераційних схем продемонстровано на прикладах побудови наближених розв'язків періодичних крайових задач для рівнянь Хілла, Матьє та Ван-дер-Поля.

У другому розділі досліджено задачу про знаходження розв'язку

нетерової крайової задачі

(1)

який при перетворюється на розв'язок породжуючої задачі

(2)

Тут - стала -вимірна матриця, - -вимірна вектор-функція, неперервно диференційовна за невідомою у малому околі розв'язку породжуючої задачі та неперервно диференційовна за в околі нуля; лінійний і нелінійний векторний функціонали

Функціонал - неперервно диференційовний за змінною і за у малому околі розв'язку породжуючої задачі (2) та на відрізку Припустимо, що в критичному випадку виконується умова

при цьому породжуюча задача має -параметричну сім'ю розв'язків

Тут - -матриця, -вимірна матриця складена з лінійно незалежних стовпців нормальної фундаментальної матриці однорідної частини диференціальної системи (2); - -матриця-ортопроектор -вимірна матриця складена з лінійно незалежних рядків матриці-ортопроектора - оператор Гріна задачі Коші для системи (2), - узагальнений оператор Гріна задачі (2), - ядро матриці

Теорема 2.2.1. Якщо крайова задача (1) має розв'язок

який при перетворюється на породжуючий то вектор задовольняє рівняння для породжуючих констант

Тут

Перші компонент кореня рівняння для породжуючих констант визначають породжуючий розв'язок в малому околі якого можуть існувати шукані розв'язки задачі (1). Крім того, з рівняння для породжуючих констант може бути знайдена величина яка задає перше наближення до довжини відрізку на якому визначений шуканий розв'язок. Якщо ж рівняння для породжуючих констант не має дійсних коренів, то задача (1) не має шуканих розв'язків.

Позначимо

Введемо ще такі позначення:

і

- відповідно - та -вимірні матриці.

Теорема 2.2.2. Для кожного простого кореня рівняння задача (1) має принаймні один розв'язок, який при перетворюється на породжуючий Тут

-матриця, - -матриця-ортопроектор.

Доведена теорема узагальнює відповідні результати, наведені у монографії та статті, на випадок

У критичному випадку за умови для відповіді на питання про існування розв'язків крайової задачі (1) достатньо проаналізувати доданки перших диференціалів нелінійностей цієї задачі. Такий критичний випадок у літературі називають критичним випадком першого порядку.

Для знаходження розв'язків автономної нетерової слабконелінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь у критичному випадку першого порядку запропоновано ітераційну схему з лінійною збіжністю [1]. Ефективність наведеної ітераційної техніки, побудованої за модифікованим методом простих ітерацій, у межах якого шукане наближення до розв'язку крайової задачі (1) зображується у вигляді ряду, кожен член якого знаходиться за допомогою двокрокової ітераційної процедури, продемонстровано на прикладі побудови періодичного розв'язку рівняння Ван-дер-Поля.

У третьому розділі досліджено задачу про знаходження розв'язку неавтономної нетерової задачі

(3)

який при перетворюється на розв'язок породжуючої задачі

(4)

Функція - двічі неперервно дифференційовна по в малому околі розв'язку породжуючої задачі і по в околі нуля, а також неперервна по крім того, - лінійний та - нелінійний векторні функціонали. Функціонал є двічі неперервно диференційовний по в околі розв'язку породжуючої задачі, і по на відрізку За умови

породжуюча задача (4) має лінійно-незалежних розв'язків

Теорема 3.1.1. Якщо у критичному випадку задача (3) має розв'язок який при перетворюється на породжуючий то вектор задовольняє рівняння для породжуючих констант [2,3,4]

(5)

Позначимо перші похідні

та другі -

Далі, припустимо, що рівняння (5) має кратні корені та виконується рівність

де - стала -матриця

та - лінійні частини функціоналу

Теорема 3.2.1. Припустимо, що для крайової задачі (3) має місце критичний випадок і виконується умова розв'язності породжуючої задачі (4). За цих умов для кожного кореня рівняння (5) у випадку

Де

задача (3) має принаймні один розв'язок, який при перетворюється на нульовий тут

- -вимірна матриця, - ортопроектор,

- перше наближення до розв'язку крайової задачі (3),

Теорема 3.2.1 узагальнює відповідні результати, наведені у монографії на випадок, коли [2-4]

У частинному вмпадку P задача (3) має єдиний розв'язок. За умови для крайової задачі (3) має місце критичний випадок другого порядку, який характерний тим, що для відповіді на питання про існування шуканого розв'язку достатньо враховувати першу і другі похідні нелінійностей і Для знаходження розв'язків неавтономної нетерової слабконелінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь у критичному випадку другого порядку побудовано модифіковану ітераційну техніку [3], яка відрізняється від схеми з монографії навіть тоді, коли

а саме враховуються вимоги F та Якщо хоч би одна із вимог або у критичному випадку другого порядку не виконується, то крайова задача (3) може мати шуканий розв'язок, але цей розв'язок не можна побудувати за допомогою модифікованої ітераційної схеми [3]. У цьому випадку можна використати метод найменших квадратів.

Ефективність наведеної ітераційної техніки продемонстровано на прикладі побудови періодичного розв'язку рівняння Матьє. Послідовність знайдених наближень до періодичного розв'язку рівняння Матьє значно точніша від наближень, отриманих Є.О. Гребеніковим та Ю.О. Рябовим.

Висновки

У дисертаційній роботі отримано такі нові результати:

1. Для автономної нетерової слабконелінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь в критичному випадку першого порядку встановлено необхідну та достатню умови існування шуканих розв'язків та побудовано модифіковану ітераційну процедуру з лінійною збіжністю.

2. Для знаходження розв'язків автономної нетерової слабконелінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь у критичному випадку першого порядку за модифікованим методом простих ітерацій побудовано ітераційну процедуру та отримано умови збіжності цієї ітераційної процедури.

3. Для неавтономної нетерової слабконелінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь у критичному випадку другого порядку встановлено оригінальні необхідну і достатню умови існування шуканих розв'язків.

4. Для знаходження розв'язків неавтономної нетерової слабконелінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь у критичному випадку другого порядку побудовано збіжну трьохкрокову ітераційну процедуру.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Бойчук И.А. Нелинейная нетерова краевая задача в критическом случае / И.А. Бойчук // Доповіді НАН України. - 2010. - №3. - С. 35-40.

2. Чуйко С.М. Автономная нетерова краевая задача в критическом случае / С.М. Чуйко, И.А. Бойчук // Нелінійні коливання. - 2009. - Т. 12, №3. - С. 405-416.

3. Чуйко С.М. Нелинейные нетеровы краевые задачи в критическом случае / С.М. Чуйко, И.А. Бойчук // Нелінійні коливання. - 2010. - Т. 13, №1. - С. 115-132.

4. Boychuk I. Weakly perturbed nonlinear boundary-value problem in critical case / I. Boychuk, O. Starkova, S. Tchujko // Studies of the University of Zilina. Mathematical Series. - October, 2009. - V. 23, №1. - P. 1-8.

5. Чуйко С.М. Метод наименьших квадратов для автономной периодической краевой задачи / Чуйко С.М., Бойчук И.А. // Intern. Conf. Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation, Киев, 27 - 29 мая 2009 г.: тезисы докл. - С. 102.

6. Чуйко С.М. Нетерова краевая задача в критическом случае / С.М. Чуйко, И.А. Бойчук // Математика. Компьютер. Образование: междунар. науч. конф., 25-30 января 2010 г.: тезисы докл. - Дубна: R\&C Dynamics, 2010. - C. 50.

7. Чуйко С.М. Автономные нетеровы краевые задачи в критическом случае / С.М. Чуйко, И.А. Бойчук // Ломоносовские чтения: науч. конф., 21-23 апреля 2010 г.: тезисы докл. - Севастополь: Филиал МГУ в Севастополе, 2010. - C. 333.

8. Чуйко С.М. Краевая задача в критическом случае второго порядка / С.М. Чуйко, Бойчук И.А. // ХІІ Міжнародна наукова конференція ім. академіка М., Кравчука, 13-15 травня 2010 р. тезисы докл. - Київ: НТУУ, 2010. - С. 437.

Размещено на Allbest.ru