Обернені задачі для параболічних рівнянь в областях з вільною межею

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ЛЬВІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ІВАНА ФРАНКА

УДК 517.95

Обернені задачі для параболічних рівнянь в областях з вільною межею

01.01.02 - диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Баранська Ірина Євстахіївна

Львів 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі диференціальних рівнянь Львівського національного університету імені Івана Франка.

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор

Іванчов Микола Іванович,

Львівський національний університет

імені Івана Франка,

завідувач кафедри диференціальних рівнянь

Офіційні опоненти: - доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент НАН України

Пташник Богдан Йосипович,

Інститут прикладних проблем механіки і математики

ім. Я.С. Підстригача НАН України,

завідувач відділу математичної фізики;

доктор фізико-математичних наук, професор

Теплінський Юрій Володимирович,

Кам'янець-Подільський національний університет

імені Івана Огієнка, завідувач кафедри диференціальних рівнянь та прикладної математики.

Захист відбудеться 10 червня 2010 р. о 1500 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради К 35.051.07 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд 377.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (м. Львів, вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розісланий “ 6 ” травня 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Остудін Б.А.

АНОТАЦІЯ

Баранська І.Є. Обернені задачі для параболічних рівнянь в областях з вільною межею. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. - Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2010.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню обернених задач визначення невідомого, залежного від часу, старшого коефіцієнта як одновимірного, так і двовимірного параболічних рівнянь в областях з вільними межами. Спочатку розглянуто задачі для одновимірного параболічного рівняння, які відрізняються виглядом умов перевизначення. При цьому припускається, що невідомою є лише частина межі області. Наступними досліджувалися обернені задачі в області, вся межа якої невідома, формулювання яких відрізнялось різними наборами додаткових умов - інтегральних чи умов Стефана. Потім вивчено обернені задачі визначення невідомого старшого коефіцієнта у двовимірному параболічному рівнянні з інтегральними умовами перевизначення в області, частина межі якої невідома. Аналогічну задачу досліджено в області, вся межа якої невідома, з інтегральними умовами іншого типу. Наприкінці розглянуто обернену задачу для анізотропного параболічного рівняння з двома невідомими старшими коефіцієнтами, залежними від часу, в області, частина межі якої невідома. Для цих задач встановлено умови існування та єдиності розв'язку у класі неперервно диференційованих функцій.

Ключові слова: обернені задачі, параболічні рівняння, області з вільними межами, умова Стефана, теорема Шаудера про нерухому точку, інтегральні рівняння Вольтерра другого роду.

параболічний рівняння шаудер

ABSTRACT

Baranska I.YE. Inverse problems for the parabolic equations in the free boundary domains. - Manuscript.

Dissertation for the Candidate degree of Physico-Mathematical Sciences on the speciality 01.01.02 - differential equations. - Ivan Franko National University of Lviv, Lviv, 2010.

The dissertation is devoted to the study of inverse problems for determining an unknown time-dependent major coefficient of one-dimensional as well as two-dimensional parabolic equations in free boundary domains. First, we consider the problems for a one-dimensional equation with diverse overdetermination conditions. Here we assume that only the part of the boundary is unknown. The next, we investigate inverse problems in the domain the whole boundary of which is unknown and the statements of these problems distinguish by the sets of additional conditions being integral ones or Stephan conditions. Then we study inverse problems for determining an unknown major coefficient in a two-dimensional parabolic equation with integral overdetermination conditions in the domain the part of boundary of which is unknown. A similar problem is investigated in the domain the whole boundary of which is unknown, with integral conditions of another type. At the end, we consider an inverse problem for an anisotropic parabolic equation with two unknown time-dependent major coefficients in the domain the part of which is unknown. For these problems, there are established the conditions of the existence and uniqueness of solution in the class of continuously differentiable functions.

Key words: inverse problems, parabolic equations, free boundary domains, Stefan's condition, the Schauder fixed point theorem, Volterra integral equations of the second kind.

АННОТАЦИЯ

Баранская И.Е. Обратные задачи для параболических уравнений в областях со свободной границей. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2010.

В диссертационной работе впервые исследованы некоторые обратные задачи определения неизвестного, зависящего от времени, старшего коэффициента одномерного и двумерного параболических уравнений в областях со свободными границами. Сведением области с подвижными неизвестными границами к области с известными постоянными границами неизвестные функции, которые задают границу области, переводятся в коэффициенты уравнения и граничные условия, создавая специфическую обратную задачу. Неизвестными являлись также один или два (в двумерном случае) старших коэффициента уравнения.

В первой главе приведён обзор работ по обратным задачам, задачам со свободной границей и обратным задачам в областях с неизвестными границами для параболических уравнений.

Во второй главе установлены условия существования и единственность решения обратных задач для одномерного параболического уравнения. В первом параграфе рассмотрены две задачи, которые отличаются видом условий переопределения. При этом предполагается, что неизвестной является только часть границы области. Во втором параграфе исследованы две обратные задачи в области, вся граница которой является неизвестной, формулирование которых отличается разными наборами дополнительных условий - интегральных или условий Стефана. Были найдены условия существования и единственности решений таких задач.

В третьей главе исследованы обратные задачи в области с неизвестными границами для двумерного параболического уравнения. В первом параграфе сначала рассмотрена задача определения неизвестного зависящего от времени старшего коэффициента в двумерном параболическом уравнении с интегральными условиями переопределения в области, часть границы которой неизвестна. Потом исследована аналогичная задача в области, вся граница которой неизвестна. Во втором параграфе изучена обратная задача для анизотропного параболического уравнения с двумя неизвестными, зависящими от времени, старшими коэффициентами в области, часть границы которой неизвестна. Нахождение условий существования решений рассмотренных задач проводилось с использованием теоремы Шаудера о недвижной точке вполне непрерывного оператора, а единственности - с использованием свойств интегральных уравнений Вольтерра второго рода.

Ключевые слова: обратные задачи, параболические уравнения, области со свободными границами, условие Стефана, теорема Шаудера о неподвижной точке, интегральные уравнения Вольтерра второго рода.

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Вивчення процесів теплопровідності є одним з основних розділів сучасних інженерних досліджень в машинобудівельній, енергетичній, атомній промисловості, в технічних процесах хімічної, геологічної та інших галузей промисловості. З точки зору співвідношення причина-наслідок всі задачі можна умовно поділити на два класи: прямі задачі (відомі причини, необхідно знайти наслідки) і обернені (відомі наслідки, потрібно найти причини). До прямих задач відносяться, наприклад, задачі розрахунку механічних, теплових, електромагнітних полів для тіл, властивості і конфігурація яких відомі. Ці задачі на даний час достатньо добре вивчені і є складовою частиною одного із важливих розділів сучасної математики - рівнянь математичної фізики і рівнянь у частинних похідних.

Теорія обернених задач математичної фізики сформована і бурхливо розвивалася в основному в останні 50 років, хоча перші роботи відносяться до 30-х років минулого століття. До обернених задач відносяться задачі визначення деяких фізичних властивостей об'єктів, таких як густина, коефіцієнт теплопровідності та інше. Розв'язування обернених задач проводиться, як правило, в рамках деякої математичної моделі досліджуваного об'єкта. Воно полягає у визначенні або коефіцієнтів диференціальних рівнянь, або області, в якій діє оператор, або початкових чи крайових умов. Для знаходження невідомого параметра рівняння задається додаткова умова, так звана умова перевизначення. Дослідженням обернених задач займались багато науковців, серед них - В.М. Волков, О. М. Денисов, М. І. Іванчов, О. Д. Іскендеров, М.М. Лаврентьєв, М. В. Музильов, К. Г. Резницька, В. Г. Романов, Н. Б. Ільїнський, B. F. Jones, J.R. Cannon, W. Rundell, A. Lorenzi та інші. Одним із способів дослідження таких задач є зведення їх до операторного рівняння та застосування до цього рівняння теореми Шаудера про нерухому точку цілком неперервного оператора.

Задачі з вільною межею з'являються у таких фізичних явищах як танення льоду, плавлення твердих тіл та інше. Прикладом задачі з вільною межею є задача Стефана, яку досліджували Б. М. Будак, Б. Д. Мойсеєнко, А. А. Самарський, А.Фрідман. Задачі Стефана і більш загальні задачі з вільною межею розглядали в 70-80-х роках минулого століття С. Н. Антонцев, Б. В. Базалій, І.І. Данилюк, В. Н. Монахов, J. Cannon, C. Hill, M. Primicerio, P. DuChateau. У задачах з вільною межею невідомою є функція, що визначає цю межу, тобто один з параметрів задачі. З цієї точки зору задачі з вільною межею можна розглядати як обернені задачі. Такий підхід дозволяє застосувати до задач з вільною межею методику дослідження обернених задач. Більше того, в одній задачі можна поєднати знаходження як невідомої межі, так і невідомого коефіцієнта рівняння, розглядаючи її як обернену задачу з двома невідомими параметрами. Обернену задачу визначення невідомого залежного від часу старшого коефіцієнта в рівнянні теплопровідності в області з вільною межею дослідив М. І. Іванчов. L. Lorenzi розглянув одновимірну однофазну задачу Стефана для матеріалів з пам'яттю.

Однак обернені задачі визначення невідомого залежного від часу старшого коефіцієнта як для одновимірного, так і для багатовимірного параболічного рівняння в області з вільною межею не досліджувались. Тому знаходження умов існування та єдиності розв'язку таких задач є актуальним.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертаційної роботи пов'язана з науковими дослідженнями кафедри диференціальних рівнянь Львівського національного університету імені Івана Франка. Результати дисертації є складовою частиною завдання держбюджетних тем "Розробка теорії класичних і некласичних задач для диференціальних рівнянь та методів дослідження математичних моделей" (номер держреєстрації 0103U001908), "Розробка методів дослідження якісних характеристик математичних моделей, які описуються диференціальними рівняннями у частинних похідних" (номер держреєстрації 0106U001284).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є визначення умов існування та єдиності розв'язків обернених задач в областях з вільними межами.

Безпосередніми задачами дослідження є:

встановити умови існування та єдиності розв'язку обернених задач визначення залежного від часу старшого коефіцієнта в одновимірному параболічному рівнянні в області, частина межі якої є невідомою;

встановити умови існування та єдиності розв'язку обернених задач визначення залежного від часу старшого коефіцієнта в одновимірному параболічному рівнянні в області, вся межа якої є невідомою;

встановити умови існування та єдиності розв'язку оберненої задачі визначення залежного від часу старшого коефіцієнта в двовимірному параболічному рівнянні в області, частина межі якої є невідомою;

встановити умови існування та єдиності розв'язку оберненої задачі визначення залежного від часу старшого коефіцієнта в двовимірному параболічному рівнянні в області, вся межа якої є невідомою;

встановити умови існування та єдиності розв'язку оберненої задачі для анізотропного параболічного рівняння в області, частина межі якої є невідомою.

Об'єкт дослідження: обернені задачі для параболічних рівнянь в областях з вільними межами.

Предмет дослідження: умови існування та єдиності розв'язку коефіцієнтних обернених задач знаходження старшого коефіцієнта у параболічному рівнянні в області з вільною межею.

Методи дослідження: метод функцій Ґріна (при зведенні оберненої задачі до еквівалентної системи рівнянь); принцип Шаудера про нерухому точку (при доведенні існування розв'язку задачі); метод інтегральних рівнянь (при знаходженні розв'язків інтегральних рівнянь, еквівалентних оберненим задачам, та при доведенні єдиності розв'язків обернених задач); метод інтегральних нерівностей (при встановленні апріорних оцінок розв'язків систем рівнянь, що еквівалентні оберненим задачам).

Наукова новизна отриманих результатів. У дисертаційній роботі вперше одержані такі результати:

встановлено умови існування та єдиності розв'язку обернених задач визначення залежного від часу старшого коефіцієнта в одновимірному параболічному рівнянні в області, частина межі якої є невідомою;

встановлено умови існування та єдиності розв'язку обернених задач визначення залежного від часу старшого коефіцієнта в одновимірному параболічному рівнянні в області, вся межа якої є невідомою;

встановлено умови існування та єдиності розв'язку оберненої задачі визначення залежного від часу старшого коефіцієнта в двовимірному параболічному рівнянні в області, частина межі якої є невідомою;

встановлено умови існування та єдиності розв'язку оберненої задачі визначення залежного від часу старшого коефіцієнта в двовимірному параболічному рівнянні в області, вся межа якої є невідомою;

встановлено умови існування та єдиності розв'язку оберненої задачі для анізотропного параболічного рівняння в області, частина межі якої є невідомою.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Їх можна застосувати в подальшому дослідженні обернених задач для параболічних рівнянь в області з вільною межею та використовувати для розв'язування практичних задач.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертаційної роботи одержані автором самостійно. У спільній з науковим керівником М.І. Іванчовим роботі [5] керівнику належить формулювання задач, методика досліджень та аналіз одержаних результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, що включені до дисертаційної роботи, доповідалися та обговорювались на: Львівському міському семінарі з диференціальних рівнянь (керівники: член-кор. НАН України, професор Пташник Б. Й., професор Іванчов М. І., професор Каленюк П. І., 2004-2010 рр.); засіданнях наукового семінару з обернених задач у Львівському національному університеті імені Івана Франка (керівник професор Іванчов М. І., 2004-2010 рр.); конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я. С. Підстригача (24-26 травня 2004р., 24-27 травня 2005р., 25-27 травня 2009р., Львів); міжнародній конференції, присвяченій 125 річниці від дня народження Ганса Гана (27 червня - 3 липня 2004р., Чернівці); міжнародній математичній конференції ім. В. Я. Скоробогатька (27 вересня - 1 жовтня 2004р., 24-28 вересня 2007р., Дрогобич); міжнародній конференції "Nonlinear Partial Differential Equations" (17-23 вересня 2005р., Алушта); одинадцятій міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (18-20 травня 2006р., Київ); міжнародній конференції з диференціальних рівнянь, присвяченій 100-річчю Я. Б. Лопатинського (12-17 вересня 2006р., Львів).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 15 працях, серед яких 6 - у наукових фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України, та 9 - у тезах і матеріалах конференцій.

Структура і об'єм роботи. Дисертація складається із вступу, трьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків, списку використаних джерел та викладена на 143 сторінках машинописного тексту. Список літератури містить 101 найменування і займає 14 сторінок.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі дисертації обґрунтовано актуальність теми, зазначено зв'язок з науковими темами, сформульовано мету та задачі дослідження, вказано наукову новизну, практичне значення, апробацію одержаних результатів та кількість публікацій.

У першому розділі дисертації подається огляд праць з теорії коефіцієнтних обернених задач та задач з вільними межами.

У другому розділі дисертації досліджуються обернені задачі визначення залежного від часу старшого коефіцієнта в одновимірному параболічному рівнянні у випадку області, частина або вся межа якої є невідомою. Для знаходження невідомих параметрів задачі задаються різні види додаткових умов у вигляді теплових потоків, інтегральних умов або умов Стефана.

У першому підрозділі в області

рух однієї з сторін якої описується невідомою функцією , розглядається параболічне рівняння

(1)

з невідомим коефіцієнтом

.

Задаються початкова умова

(2)

крайові умови

(3)

та умови пере визначення

(4)

(5)

Заміною змінних

(6)

задача (1) - (5) зводиться до коефіцієнтної оберненої задачі з невідомими в області з відомою фіксованою межею

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

Означення 2.1. Трійку функцій , , що задовольняють умови (7) - (11), будемо називати розв'язком задачі (7) - (11).

За допомогою функцій Гріна , першої та другої крайових задач для рівняння

пряма задача (7) - (9) зводиться до системи інтегральних рівнянь відносно невідомих де . З рівностей (10), (11) отримуються рівняння відносно . Доведення існування розв'язку отриманої системи рівнянь відносно невідомих базується на застосуванні теореми Шаудера про нерухому точку цілком неперервного оператора.

При доведенні єдиності розв'язку задача відносно різниці двох розв'язків оберненої задачі зводиться до системи однорідних інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду, ядра яких мають інтегровні особливості. З єдиності розв'язків таких систем випливає єдиність розв'язку задачі (7) - (11).

Наступною досліджується обернена задача (1) - (3), (5) з умовою

(12)

Після заміни змінних (6) умова (12) набуває вигляду

(13)

Означення 2.2. Розв'язком задачі (7) - (9), (11), (13) будемо називати трійку функцій

, ,

що задовольняють умови (7) - (9), (11), (13).

У випадку інтегральних умов перевизначення задача (7) - (9), (11), (13) аналогічним чином зводиться до еквівалентної системи рівнянь відносно невідомих

де . Умови існування та єдиності розв'язку задачі (7) - (9), (11), (13) містяться в наступній теоремі:

Теорема 2.3. При виконанні умов

1) ;

2)

де є розв'язком рівняння

де - відома величина, про яку було сказано в теоремі 2.1, ;

3) задовольняють умову Гельдера за з показником в ;

4) умов погодження нульового та першого порядків,

можна вказати таке число що при існує єдиний розв'язок задачі (7) - (9), (11), (13).

У другому підрозділі в області, де функції задають невідомі частини межі, розглядається обернена задача визначення коефіцієнта у параболічному рівнянні (1) з початковою умовою

(14)

де - задано, крайовими умовами

(15)

та умовами перевизначення

(16)

(17)

(18)

Заміною змінних

(19)

задача (1), (14) - (18) зводиться до коефіцієнтної оберненої задачі з невідомими

в області з відомою межею

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

Означення 2.3. Функції , , які задовольняють умови (20) - (25), назвемо розв'язком задачі (20) - (25).

Досліджуючи задачу (20) - (25) за такою ж схемою, що й у підрозділі 2.1, встановлено умови існування та єдиності розв'язку цієї задачі.

У наступній задачі розглядається параболічне рівняння

(26)

з початковою умовою (14), крайовими умовами (15) та умовами перевизначення у вигляді інтегральної умови (16) і умовами Стефана

(27)

(28)

Заміною (19) задача (26), (14) - (16), (27), (28) зводиться до оберненої задачі

(29)

з умовами (21) - (23) та

 (30)

(31)

Означення 2.4. Функції , , які задовольняють умови (29), (21) - (23), (30), (31), назвемо розв'язком задачі (29), (21) - (23), (30), (31).

Умови існування та єдиності розв'язку задачі (29), (21) - (23), (30), (31) містяться в теоремі 2.5.

Третій розділ присвячено дослідженню обернених задач для двовимірного параболічного рівняння в областях з вільними межами. Невідома область має вигляд криволінійного паралелепіпеда, поперечний переріз якого є прямокутником. Із застосуванням теореми Шаудера про нерухому точку цілком неперервного оператора встановлюється існування розв'язку цих задач. На основі властивостей інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду доводиться єдиність розв'язку.

У першому підрозділі в області дві грані якої є невідомими, розглядається двовимірне параболічне рівняння

, (32)

з невідомим коефіцієнтом . Задаються початкова умова

 (33)

крайові умови

(34)

та умови перевизначення

(35)

(36)

(37)

де - деяка фіксована точка з .

Заміною змінних

(38)

задача (32) - (37) зводиться до задачі з невідомими

в області з фіксованими межами



:

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

Означення 3.1. Функції , , які задовольняють умови (39) - (44), назвемо розв'язком задачі (39) - (44). Задача (39) - (44) зводиться до еквівалентної системи рівнянь стосовно невідомих

.

Знаходячи апріорні оцінки невідомих, застосовуючи теорему Шаудера про нерухому точку цілком неперервного оператора, встановлюються умови існування розв'язку системи рівнянь. Задача відносно різниці двох розв'язків оберненої задачі зводиться до системи однорідних інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду. З єдиності розв'язків таких систем випливає єдиність розв'язку задачі. Умови існування та єдиності розв'язку задачі (39) - (44), подаються в теоремах 3.1 та 3.2.

Наступною досліджується обернена задача визначення невідомого залежного від часу коефіцієнта теплопровідності двовимірного параболічного рівняння в області, вся межа якої є невідомою. В області розглядається рівняння (32) з початковою умовою

(45)

де - задані, причому

Задаються крайові умови

(46)

та умови перевизначення

(47)

(48)

де .

Заміною

,

де , , задача (32), (45) - (51) зводиться до задачі з невідомими в області з фіксованими межами :

У другому підрозділі в області дві грані якої є невідомими, розглядається анізотропне параболічне рівняння

, (60)

з невідомими коефіцієнтами . Задається початкова умова (33), крайові умови (34), додаткові умови (35), (36) та

(61)

(62)

де - деякі фіксовані точки.

Заміною змінних (38) задача (60), (33)-(36), (61), (62) зводиться до задачі стосовно невідомих в області з фіксованими межами :

(63)

з початковою умовою (40), крайовими умовами (41), умовами (42), (43) та

(64)

(65)

Означення 3.3. Функції , , які задовольняють умови (63), (40) - (43), (64), (65), назвемо розв'язком задачі (63), (40) - (43), (64), (65).

Аналогічним способом, як в попередніх задачах, отримуються умови існування та єдиності розв'язку задачі (63), (40) - (43), (64), (65), які наводяться в наступних теоремах 3.5, 3.6.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі вперше досліджено деякі обернені задачі визначення невідомого, залежного від часу, коефіцієнта теплопровідності для одновимірного та двовимірного параболічних рівнянь в областях з вільними межами.

Зведенням області з рухомими невідомими межами до області з відомими сталими межами, невідомі функції, що задають межу області, переводились у коефіцієнти рівняння та крайові умови, утворюючи специфічну коефіцієнтну обернену задачу. Невідомими припускалися також один або два (у двовимірному випадку) старші коефіцієнти рівняння.

У дисертації вперше отримані такі результати:

встановлено умови існування та єдиності розв'язку обернених задач визначення залежного від часу старшого коефіцієнта в одновимірному параболічному рівнянні в області, частина межі якої є невідомою;

встановлено умови існування та єдиності розв'язку обернених задач визначення залежного від часу старшого коефіцієнта в одновимірному параболічному рівнянні в області, вся межа якої є невідомою;

встановлено умови існування та єдиності розв'язку оберненої задачі визначення залежного від часу старшого коефіцієнта в двовимірному параболічному рівнянні в області, частина межі якої є невідомою;

встановлено умови існування та єдиності розв'язку оберненої задачі визначення залежного від часу старшого коефіцієнта в двовимірному параболічному рівнянні в області, вся межа якої є невідомою;

встановлено умови існування та єдиності розв'язку оберненої задачі для анізотропного параболічного рівняння в області, частина межі якої є невідомою.

Отримані результати мають теоретичний характер і можуть бути використані при подальших дослідженнях коефіцієнтних обернених задач для параболічних рівнянь в областях з невідомими межами та при розв'язанні практичних задач.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Баранська І. Визначення старшого коефіцієнта у параболічному рівнянні в області з невідомими межами / Ірина Баранська // Вісн. Львів. ун-ту. Серія мех.-мат. - 2005. - Вип. 64. - С. 20-38.

2. Баранська І. Є. Обернена задача для параболічного рівняння в області з вільною межею / І. Є. Баранська // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2005. - Т. 48, №2. - С. 32-42.

3. Баранська І. Обернена задача з вільною межею для параболічного рівняння / Ірина Баранська // Математичні студії. - 2007. - Т. 27, № 1. - С. 85-94.

4. Баранська І. Є. Обернена задача в області з вільною межею для двовимірного параболічного рівняння / І. Є. Баранська // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2007. - Т. 50, № 2. - С. 17-28.

5. Баранська І. Є. Обернена задача для двовимірного рівняння теплопровідності в області з вільними межами / І. Є. Баранська, М. І. Іванчов // Український математичний вісник. - 2007. - Т. 4, № 4. - С. 457-484.

6. Баранська І. Є. Обернена задача в області з вільною межею для анізотропного рівняння параболічного типу / І. Є. Баранська // Науковий вісник Чернівецького університету. - 2008. - Вип. 374. Математика. - С. 13-28.

7. Баранська І. Є. Визначення старшого коефіцієнта у параболічному рівнянні з інтегральними умовами в області з вільною межею // Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я. С. Підстригача. Тези доповідей, (Львів, 24-26 травня 2004р.) / НАНУ ІППММ ім. Я. С. Підстригача. - Львів: ІППММ ім. Я. С. Підстригача НАНУ, 2004. - С. 14.

8. Баранська І. Обернена задача визначення старшого коефіцієнта у параболічному рівнянні в області з вільною межею // Міжнародна конференція, присвячена 125 річниці від дня народження Ганса Гана. Тези доповідей, (Чернівці, 27 червня - 3 липня 2004р.) / ЧНУ ім. Ю. Федьковича. - Чернівці: ЧНУ ім. Ю. Федьковича, 2004. - С. 11.

9. Баранська І. Є. Обернена задача для параболічного рівняння в області з вільною межею // Міжнародна математична конференція ім. В. Я. Скоробогатька. Тези доповідей, (Дрогобич, 27 вересня - 1 жовтня 2004 р.) / НАНУ, ІППММ ім. Я. С. Підстригача, Ін-т матем. МОНУ, КНУ ім. Т. Шевченка, ЛНУ ім. І. Франка, НУ "Львівська політехніка", ДДПУ ім. І. Франка. - Львів: ІППММ ім. Я. С. Підстригача НАНУ, 2004. - С. 20.

10. Баранська І. Є. Обернена задача для параболічного рівняння в області з невідомими межами // Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я. С. Підстригача. Тези доповідей, (Львів, 24-27 травня 2005 р.) / НАНУ ІППММ ім. Я. С. Підстригача, РМНіС. - Львів: ІППММ ім. Я. С. Підстригача НАНУ, 2005. - С. 256.

11. Баранська І. Є. Обернена задача в області з невідомими межами для двовимірного параболічного рівняння // Одинадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука. Матеріали конференції, (Київ, 18-20 травня 2006 р.) Ін-т матем. НАНУ, КНУ ім. Т. Шевченка, НПУ ім. М. Драгоманова, НТУ "КПІ". - Київ: НТУ "КПІ", 2006. - С. 25.

12. Баранська І. Обернена задача з вільними межами для двовимірного параболічного рівняння // Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробогатька. Тези доповідей, (Дрогобич, 24-28 вересня 2007 р.) / НАНУ, ІППММ ім. Я. С. Підстригача, Ін-т матем. МОНУ, КНУ ім. Т. Шевченка, ЛНУ ім. І. Франка, НУ "Львівська політехніка", ДДПУ ім. І. Франка, ЗНЦ НАНУ і МОНУ. - Львів: ІППММ ім. Я. С. Підстригача НАНУ, 2007. - С. 25.

13. Баранська І. Є. Обернена задача визначення старшого коефіцієнта в двовимірному параболічному рівнянні з умовами Стефана // Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я. С. Підстригача. Тези доповідей, (Львів, 25-27 травня 2009 р.) / НАНУ ІППММ ім. Я. С. Підстригача. - Львів: ІППММ ім. Я. С. Підстригача НАНУ, 2009. - С. 196-197.

14. Barans'ka I. Inverse problem with free boundary for the two-dimensional heat equation // International conference "Nonlinear Partial Differential Equations". Book of abstracts, (Alushta, September 17-23, 2005) / UVS, IAMM of NASU, WIAAS, SIM of RAS, IM of NASU, DNU. - Donetsk: NASU IAMM, 2005. - P. 14.

15. Barans'ka I. Inverse problem with free boundary for the two-dimensional equation of parabolic type // Internat. Conf. on Diff. Equat. Dedicated to the 100-th Anniversary of Ya. B. Lopatynsky. Book of Abstracts, (Lviv, September 12-17, 2006) / Ivan Franko Nat. Univ. of Lviv, Pidstryhach IAPMM of NASU, Nat. Univ. “Lvivska Politechnika”, IAMM of NASU. - Lviv: Видавничий центр Львів. нац. ун-ту ім. Івана Франка, 2006. - P. 66.

Размещено на Allbest.ru

...