Початково-крайові та спектральні задачі з поверхневою і внутрішньою дисипацією енергії

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Національна академія наук України

Інститут прикладної математики і механіки

УДК 517.9:532

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Початково-крайові та спектральні задачі з поверхневою і внутрішньою дисипацією енергії

01.01.02 - Диференціальні рівняння

Андронова Ольга Андріївна

Донецьк - 2010

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Таврійському національному університеті імені В.І. Вернадського Міністерства освіти і науки України м. Сімферополь.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Копачевський Микола Дмитрович, Таврійський національний університет імені В.І. Вернадського, м. Сімферополь, завідувач кафедрою математичного аналізу. математичний корынь функція

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Пивоварчик В'ячеслав Миколайович, Південноукраїнський національний педагогічний університет ім. К.Д. Ушинського, м. Одеса, завідувач кафедрою прикладної математики та інформатики;

кандидат фізико-математичних наук, доцент Маламуд Марк Мордкович, Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк.

Захист відбудеться « 15 » вересня 2010 р. о 16:00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 11.193.01 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Рози Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Рози Люксембург, 74.

Автореферат розісланий « 3 » липня 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради М.В. Краснощок

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. При дослідженні реальних фізичних процесів важливим завданням є проблема вивчення динамічних систем з дисипацією, яка здійснюється як у середині об'єму, займаного суцільним середовищем, так і на поверхні зіткнення середовищ. У роботі вивчаються математичні аспекти цих проблем.

Починаючи з середини XX століття багато початково-крайових задач математичної фізики, які пов'язані з проблемою малих рухів і власних (нормальних) коливань суцільних середовищ, вивчаються методами функціонального аналізу. Одними з перших в цьому напрямку були статті і монографії С.Л. Соболєва, С.Г. Крейна, О.О. Ладиженської, В.І. Юдовича, М.Г. Крейна, Г. Лангера та інших відомих математиків та механіків. Наступні дослідження задач подібного роду проводилися в роботах І.О. Луковського, М.Д. Копачевського, Нго Зуй Кана, М.Б. Оразова, А.Г. Костюченка, А.А. Шкалікова та інших. Ці методи дозволяють досліджувати одномірні та багатомірні лінійні задачі математичної фізики, зокрема, не залишилися осторонь і задачі с поверхневою та внутрішньою дисипацією енергії.

Слід зазначити, що тематика вивчення початково-крайових задач з дисипацією енергії не вичерпала себе, і дана робота є продовженням таких досліджень.

Системи, в яких енергія впорядкованого руху з часом зменшується за рахунок дисипації, переходячи в інші види енергії, називаються дисипативними. Дисипативні системи формують важливий клас задач, які в даний час є предметом активного дослідження. Головна особливість таких задач полягає в наявності механізмів "перерозподілу" і виділення енергії. Взаємодія цих двох механізмів веде за собою появу особливих режимів в системі. Дослідження дисипативних систем тісно пов'язане з дослідженням аттракторів (притягуючих безлічів) динамічних систем. Вивченню цих питань присвячено роботи А.В. Бабіна і М.І. Вішика, О.О. Ладиженської, Р. Темама. Слід зазначити також роботи Чуєшова І.Д. із співавторами і його монографію, які присвячені вивченню безкінечномірних дисипативних динамічних систем, зокрема, систем з поверхневою дисипацією енергії.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалася в рамках держбюджетних тем кафедри математичного аналізу Таврійського національного університету ім. В.І. Вернадського "Математичний аналіз і його застосування" (2006-2010 рр.), "Операторні методи в початково-крайових, спектральних і екстремальних задачах" (2008-2010 рр., номер державної реєстрації 0106U001753). Результати досліджень, які ввійшли до дисертації, пройшли апробацію в наступних науково-дослідних темах: 254/06 "Операторні методи в початково-крайових, спектральних і екстремальних задачах" (2006-2008 рр.); 271/09 "Операторні методи в лінійному і нелінійному аналізі початково-крайових, спектральних, варіаційних і біфуркаційних задач математичної фізики" (2009-2011 рр.).

Мета і завдання дослідження. Метою дисертації є розгляд нового класу задач математичної фізики з поверхневою і внутрішньою дисипацією енергії та їх абстрактного узагальнення на базі абстрактної формули Гріна. Метою роботи також є дослідження питань розв'язності відповідних початково-крайових і абстрактних задач, вивчення властивостей спектру, питань повноти та базисності системи кореневих (власних і приєднаних) функцій. Основним завданням даної роботи є дослідження задачі про малі рухи і нормальні коливання системи з поверхневою і внутрішньою дисипацією енергії.

Об'єкт дослідження. Рівняння, що описують малі рухи динамічної системи з поверхневою і внутрішньою дисипацією енергії.

Предмет дослідження. Малі рухи системи з поверхневою і внутрішньою дисипацією енергії.

Методи дослідження. Методами дослідження є методи функціонального аналізу, зокрема, методи теорії диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі і теорії рівнянь у частинних похідних, методи теорії стискаючих напівгруп операторів, методи спектральної теорії операторних жмутків (операторів-функцій, що залежать від спектрального параметра), теорії лінійних операторів, самоспряжених у просторі з індефінітною метрикою, а також підходи, засновані на використанні так званих операторних блок-матриць з необмеженими операторними коефіцієнтами.

Наукова новизна одержаних результатів. У роботі розглянутий новий клас лінійних початково-крайових задач математичної фізики поверхневою і внутрішньою дисипацією енергії, а також абстрактні початково-крайові задачі, які узагальнюють задачі математичної фізики на основі використання абстрактної формули Гріна для трійки гільбертових просторів і оператора сліду. Доведено теореми про існування сильних розв'язків цих початково-крайових задач. Отримані результати, які стосуються структури та характеру спектра, повноти та базисності систем власних (кореневих) функцій відповідних спектральних задач. У роботі досліджено спектральні задачі сполучення з поверхневою дисипацією енергії. Розгляд цих задач приводить до вивчення квадратичного жмутка операторів, що діє у відповідно підібраному гільбертовому просторі. Властивості спектра жмутка вивчені.

Практичне значення одержаних результатів. Для динамічних систем з поверхневою і внутрішньою дисипацією енергії доведені теореми про існування та єдиність розв'язків початково-крайових задач, досліджені питання повноти та базисності системи кореневих функцій, вивчені характеристики частот коливань і декрементів загасання таких систем.

Особистий внесок здобувача. Постановки і загальний план дослідження задач, розглянутих в дисертації, запропоновані науковим керівником здобувача Копачевським М.Д., доведення усіх тверджень належать здобувачу.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися на: Іnternatіonal Conference "Modern Analysіs and Applіcatіons (MAA 2007)" dedіcated to the centenary of Mark Kreіn (Odessa, Ukraіne, Aprіl 9-14, 2007); на XVІI-XX Кримських осінніх математичних школах-симпозіумах: КРОМШ-2006, КРОМШ-2007, КРОМШ-2008, КРОМШ-2009 (Ласпі, Крим, Україна, 2006-2009 рр.); на I-II Міжнародній конференції студентів і молодих вчених із диференціальних рівнянь та їх застосувань ім. Я.Б. Лопатинського (2007-2008 рр., Донецьк, Україна); на семінарах кафедри математичного аналізу Таврійського національного університету ім. В.І. Вернадського (під керівництвом професора М.Д. Копачевського, Сімферополь, 2006-2010 рр.); на XXXIV-XXXV наукових конференціях студентів та спеціалістів Таврійського національного університету ім. В.І. Вернадського (Сімферополь, Україна, 2005-2006 рр.); на XXXV-XXXVІI наукових конференціях професорсько-викладацького складу Таврійського національного університету ім. В.І. Вернадського (Сімферополь, Україна, 2007-2009 рр.); на Українському математичному конгресі-2009 (Україна, Київ, 27-29 серпня, 2009 р.); на Одеському міському семінарі з функціонального аналізу (під керівництвом професора В.Н. Пивоварчика, Одеса, березень 2010 р.); на семінарі Інституту прикладної математики і механіки (Донецьк, 2010); на семінарі кафедри математичної фізики та обчислюваної математики Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна (під керівництвом члена-кореспондента НАН України І.Д. Чуєшова, Харків, 2010); на семінарі Інституту математики НАН України (під керівництвом академіка НАН України І.О. Луковского, академіка НАН України В.Л. Макарова, Київ, 2010 р.).

Структура й обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел і трьох додатків. Повний обсяг роботи 170 сторінок, у тому числі основного тексту 137 сторінок. Список використаної літератури налічує 73 назви.

Публікації. Результати дисертації відображено у 10 наукових публікаціях, 3 з яких належать до переліку фахових наукових видань, 7 публікацій у матеріалах та збірниках тез конференцій.

Основний зміст дисертації

У вступі розкривається сутність і стан наукової проблеми та її значущість. Проведено огляд отриманих результатів, виділені положення, що виносяться на захист. Нумерація тверджень у дисертації й авторефераті та сама.

У розділі 1 наводиться коротка історична довідка стосовно кола питань, що мають відношення до теми роботи. Наведено огляд літератури з теми дисертації і сформульовані основні результати, що досягнуті в цьому напрямку.

У розділі 2 вивчається лінійна початково-крайова задача математичної фізики з поверхневою дисипацією енергії, а також її узагальнення на основі використання абстрактної формули Гріна для трійки гільбертових просторів і оператора сліду. У розділі 2 досліджується також абстрактна початково-крайова задача з поверхневою і внутрішньою дисипацією енергії.

У параграфі 2.1 дається математична постановка лінійною початково-крайової задачі математичної фізики з поверхневим дисипацією енергії.

У довільній області з ліпшицевою межею розглядається початково-крайова задача математичної фізики з поверхневою дисипацією енергії

, , (1)

, (2)

Тут функція є розшукуваною, функції - заданими. Доданок у граничній умові при породжує поверхневу дисипацію повної енергії динамічної системи.

У пункті 2.1.2 приводиться твердження про існування абстрактної формули Гріна.

Теорема 2.1 Нехай для трійки гільбертових просторів , виконані умови:

1. Простір щільно вкладений в , тобто щільно в і

2. На просторі визначений оператор (абстрактний оператор сліду), обмежено діючий з в , і

Тоді існують оператори і , означувані по і єдиним чином, такі що має місце формула Гріна

(3)

Параграф 2.2 присвячений дослідженню узагальнення задачі (1)-(2) на випадок просторів і операторів, для яких справедлива абстрактна формула Гріна. Нехай і задовольняють умовам теореми 2.1 і тому існують оператори і такі, що справедлива абстрактна формула Гріна (3).

Формулювання абстрактної початково-крайової задачі з поверхневою дисипацією енергії має наступний вид: знайти функцію зі значеннями в , яка є розв'язком наступної початково-крайової задачі

, , (4)

Означення 2.6 Функція являється сильним розв'язком задачі (4) на відрізку , якщо і для неї виконано рівняння і гранична умова, а також початкові умови з (4).

Зазначимо, що задача (1)-(2) є окремий випадок абстрактної задачі (4) при , із скалярним твором ,

Абстрактна початково-крайова задача (4) з поверхневою дисипацією енергії досліджена методами функціонального аналізу. При цьому застосований метод введення допоміжних крайових задач.

Перша допоміжна задача: по елементу знайти розв'язок задачі

(5)

З'ясовується, що при будь-якому існує єдиний слабкий розв'язок задачі (5). При цьому звуження оператора таке, що , є необмеженим додатно визначеним оператором. Якщо компактно вкладено в , тоді є компактним додатним оператором.

Друга допоміжна задача: по елементу знайти розв'язок задачі

(6)

Встановлено, що при будь-якому існує єдиний слабкий розв'язок задачі (6). При цьому оператор обмежено діє з в підпростір елементів, для яких .

Лема 2.7 Будь-який елемент може бути представлений у вигляді суми розв'язків першої і другої допоміжних задач (5) і (6), тобто у вигляді .

Ці міркування дозволяють здійснити перехід від задачі (4) до задачі Коші для диференціального рівняння другого порядку

, (7)

Здійснюючи в (7) заміну і застосовуючи ліворуч оператор , приходимо до задачі Коші

, (8)

Доводиться, що оператори і взаємно спряжені та обмежені. Якщо компактно вкладено в , то і компактні. Оператор являється невід'ємним оператором з , і на оператор додатний. Якщо компактно вкладено в , то компактний.

У пункті 2.2.4 вводиться нова функція співвідношеннями , Після взяття її похідної по приходимо замість (8) до задачі Коші для лінійного диференціального рівняння першого порядку в гільбертовому просторі

 (9)

(10)

Від задачі Коші (9) шляхом заміни здійснюється перехід до задачі:

(11)

Оператор є максимальним дисипативним. Тому цей оператор - генератор стискаючої напівгрупи операторів

У пункті 2.2.5 з використанням загальної теорії абстрактних диференціально-операторних рівнянь доведена теорема про сильну розв'язність вихідної початково-крайової задачі (4).

Теорема 2.7 Нехай у задачі Коші (4) виконані умови тоді вона має єдиний сильний розв'язок на відрізку

Спираючись на встановлений загальний факт, сформулюємо підсумковий результат дослідження розв'язності вихідної початково-крайової задачі математичної фізики з поверхневою дисипацією енергії.

Теорема 2.8 Нехай у початково-крайової задачі (1)-(2), що розглядається в області з ліпшицевою межею , виконані умови:

.

Тоді дана задача має єдиний сильний розв'язок на відрізку , тобто таку функцію для якої виконано рівняння і граничну умову (1), а також початкові умови (2).

У параграфі 2.3 вивчається узагальнення задачі з поверхневою і внутрішньою дисипацією енергії на випадок просторів і операторів, для яких справедлива абстрактна формула Гріна. Постановка задачі має наступний вигляд: необхідно знайти функцію зі значеннями в таку, що

(12)

, (13)

Означення 2.9 Функція являється сильним розв'язком задачі Коші (12)-(13) на відрізку , якщо і для неї виконано рівняння (12), гранична умова, а також початкові умови з (13).

У припущенні, що , початково-крайова задача з поверхневою і внутрішньою дисипацією (12)-(13) приводиться до задачі Коші для диференціально-операторного рівняння першого порядку у гільбертовому просторі :

(14)

де оператор має такі ж загальні властивості, що і оператор з (11).

Теорема 2.11 Нехай виконані умови Тоді задача Коші для модифікованого рівняння (див. підрозділ 2.3 дисертації, теорему 2.10) має єдиний сильний розв'язок на відрізку . Якщо даний розв'язок володіє додатковою умовою гладкості то задача Коші (12)-(13) має єдиний сильний розв'язок на відрізку .

Розділ 3 присвячений вивченню спектральних задач, породжених початково-крайовими задачами з поверхневою і внутрішньою дисипацією енергії.

У параграфі 3.1 вивчаються спектральні проблеми з поверхневою дисипацією.

Означення 3.1 Будемо говорити, що функція виду є нормальним рухом динамічної системи, яку описують однорідні рівняння (1), якщо вона задовольняє рівнянню і крайовій умові при деякому і .

У випадку задачі (1) при для амплітудної функції виникає спектральна задача

(15)

У випадку абстрактної задачі (4) з поверхневою дисипацією енергії (при ) виникає спектральна задача

(16)

Задачі (15),(16) рівносильні задачі для операторного жмутка Властивості і описані вище. Встановлено, що спектр задач (15),(16) локалізований в правій комплексній площині симетрично відносно дійсної осі, при спектр знаходиться на уявній осі. На модельних прикладах з'ясовано, що спектр досить своєрідно мігрує в комплексній площині при зміні параметра поверхневої дисипації . Зокрема, на цих прикладах показано, що при і зростанні він рухається зліва направо і вирушає в нескінченно видалену точку при . Далі, при і зростанні спектр рухається із нескінченно видаленої точки справа наліво і в пределі переходить в спектр задачі Діріхле.

У пункті 3.1.3 на основі одного загального результату, отриманого Т.Я. Азізовим, доводиться теорема про дискретність спектру задач (15) і (16).

Теорема 3.3 Нехай в операторному жмутку виконані умови або Тоді спектр дискретний з граничною точкою . Зокрема, якщо власні значення операторів і мають асимптотичну поведінку

причому виконана умова то спектр жмутка дискретний.

Теорема 3.4 Нехай - область в з кусочно гладкою межею (з ненульовими внутрішніми і зовнішніми кутами), . Тоді задача (15) має дискретний спектр, що складається із скінченнократних власних значень з граничною точкою

У параграфі 3.2 розглянуті питання, пов'язані з дослідженням спектральної проблеми з внутрішньою дисипацією енергії. Розшукуються розв'язки однорідної задачі (12)-(13) без початкових умов у разі наявності лише внутрішньої дисипації (). Для амплітудної функції виникає спектральна задача:

(17)

яка еквівалентна задачі

(18)

Тут а зворотний оператор - компактний. При цьому область визначення оператора може бути "порівняна" з

Задача (18) за допомогою введення нової змінної згідно з законом зводиться до вивчення спектральної задачі

(19)

У роботі розглянуто три випадки різної інтенсивності внутрішньої дисипації енергії, кожен з яких припускає відповідні вкладення областей визначення операторів і . Для кожного випадку отримані твердження про локалізацію спектру задачі та про повноту кореневих елементів.

1. У випадку малої інтенсивності внутрішньої дисипації, коли операторна матриця з (19) допускає факторизацію у вигляді

 (20)

де - обмежений оператор. Тоді задача (19) може бути приведена до вигляду:

(21)

Означення 3.2 Система кореневих елементів задачі (19) двократно повна в нормі графіка оператора якщо система кореневих елементів задачі (21) повна у просторі .

На основі теореми М.В. Келдиша про повноту системи кореневих елементів та про локалізацію спектру слабо обуреного самоспряженого компактного оператора доведено наступне твердження.

Теорема 3.5 Нехай виконані умови і Тоді:

1. Система кореневих елементів задачі (18) двократно повна в нормі графіка оператора

2. Наскільки б не було мале , усі власні значення задачі (18), що відповідають кореневим елементам , нормальні, мають граничну точку розташовані у правій комплексній напівплощині і окрім можливого скінченого їх числа, знаходяться у напівсектрах

Таким чином, якщо дисипація в динамічній системі досить мала, то спектр задачі (18),(19) локалізований в околиці уявній осі і має властивості, описані в теоремі 3.5, а кореневі елементи мають властивості двократної повноти. У разі степеневої асимптотичної поведінки власних значень оператора задачі має місце також властивість двократної базисності по Абелю-Лідському.

2. У випадку середньої інтенсивності внутрішній дисипації, коли оператор допускає факторизацію у формі Шура-Фробеніуса

При цьому а також

Тоді оператор допускає замикання до оператора

З урахуванням цього виникає спектральна задача

(22)

яка рівносильна задачі на власні значення слабо обуреного компактного оператора

(23)

У припущеннях

(24)

оператори задачі (23) мають властивості

Теорема 3.8 Нехай виконані умови (24). Тоді:

1. Система кореневих елементів задачі (22) повна в гільбертовому просторі

2. Наскільки б не було мале , усі власні значення задачі (22), окрім можливого скінченого їх числа, лежать в секторі і мають граничну точку

Таким чином, у разі середньої внутрішньої дисипації відбувається перебудова спектру: спектр задачі локалізований в околиці додатної півосі, дискретний і має граничну точку При деяких додаткових припущеннях про асимптотичну поведінку власних значень операторів і система кореневих елементів задачі (23) утворює базис Абеля-Лідського в .

3. У разі великої інтенсивності внутрішньої дисипації, коли в задачі (19) корисно здійснити зрушення спектру, тобто вивчати задачу

(25)

Оператор допускає замикання до максимального рівномірно акретивного оператора

 (26)

Виникає спектральна задача яка еквівалентна задачі для операторного жмутка С.Г. Крейна

(27)

З використанням спектральної теорії операторних жмутків отримано наступне твердження.

Теорема 3.10 Нехай в задачі (27) виконані умови Тоді розв'язки цієї задачі мають наступні властивості:

1. Задача (27) має дискретний спектр, що складається з двох гілок скінченнократних (нормальних) власних значень і з граничними точками і відповідно, причому ці гілки розташовані на додатній півосі. Крім того, задача (27) може мати також не більш скінченого числа недійсних власних значень.

2. Якщо виконана умова

(28)

то і дійсні, додатні і ним не відповідають приєднані елементи.

3. При виконанні умови (28) власні елементи що відповідають власним значенням , утворюють базис Рісса в просторі , а власні елементи що відповідають власним значенням , також утворюють базис Рісса в .

4. Якщо виконана умова (28), а також умови і то базиси Рісса, про які йшла мова в пункті 3, являються -базисами з константою

Застосування індефінітного підходу до задачі

(29)

еквівалентної (27), дозволяє уточнити і доповнити твердження теореми 3.10.

Теорема 3.11 Нехай в задачі (29) виконані умови теореми 3.10. Тоді:

1. Система кореневих елементів оператора є повною в

2. Якщо виконана умова то ця система утворює J-ортонормований базис в

3. Якщо виконані умови то згаданий вище базис являється -базисом в просторі при

Отже, у випадку великої внутрішньої дисипації відбувається ще одна перебудова спектру задачі: спектр має дві додатні гілки власних значень з граничними точками на і в 0.

В розділі 4 розглянуто спектральні задачі сполучення з поверхневою дисипацією енергії.

Приведемо постановку задачі сполучення математичної фізики з поверхневою дисипацією енергії. Нехай області і з примикають одна до одної і мають ліпшицеві межі, - орт зовнішньої нормалі, спрямований з в . Нехай -межа стикування двох областей, де відбувається поверхнева дисипація. Позначимо через вільні межі областей . Необхідно знайти функції і такі, що

(30)

(31)

Задача (30)-(31) допускає узагальнення на базі абстрактної формули Гріна (3). Вважатимемо, що задані гільбертові простори і оператор сліду , а також гільбертові простори і оператор сліду такі, що мають місце відповідні формули Гріна. Тоді постановка абстрактної задачі сполучення з поверхневою дисипацією енергії має наступний вигляд: необхідно знайти функції для яких при виконані рівняння і граничні умови

(32)

Відповідна спектральна задача має вигляд:

(33)

В якості шуканого об'єкту в задачі (33) виступає пара функцій . Основними функціональними просторами є простори з нормами простір , а також з нормою З урахуванням цього і в припущенні формула Гріна для задачі (33) має звичайний вигляд (3), де

Тоді спектральна задача сполучення (33) набирає вигляду стандартної спектральної задачі з поверхневою дисипацією енергії:

Тому для задачі (33) справедливі загальні висновки параграфа 3.1 (теорема 3.3). Зокрема, розв'язки спектральної задачі сполучення математичної фізики мають загальні властивості, описані в теоремі 3.4.

У параграфі 4.3 розглянуті узагальнення описаних задач сполучення у вигляді багатокомпонентних спектральних задач сполучення математичної фізики з поверхневою дисипацією енергії у разі, коли є декілька областей в довільним чином примикаючих одна до одної на різних частинах їх меж; при цьому умова сполучення з поверхневою дисипацією ставиться на тій частині межі, де області стикаються, а на вільній межі області ставляться умови трьох різних типів. Сформульовані відповідні абстрактні проблеми на базі абстрактної формули Гріна для змішаних крайових задач. Основним результатом параграфа 4.3 являється приведення багатокомпонентної абстрактної спектральної задачі сполучення з поверхневою дисипацією енергії до стандартної спектральної задачі для квадратичного операторного жмутка, властивості якого описані в теоремі 3.3. Зокрема, багатокомпонентна спектральна задача сполучення математичної фізики з поверхневою дисипацією енергії має розв'язки, загальні властивості яких описані у теоремах 3.3 - 3.4.

Основні результати та висновки

1. Вивчено новий клас лінійних початково-крайових задач математичної фізики з поверхневою і внутрішньою дисипацією енергії та їх узагальнення на основі використання абстрактної формули Гріна для трійки гільбертових просторів і оператора сліду. Отримані умови, при яких існують сильні за часом розв'язки цих початково-крайових задач.

2. Розроблено підхід, який оснований на використанні теорії операторних блок-матриць, що діють у гільбертових просторах, і який дозволяє перейти від вихідних початково-крайових задач з поверхневою і внутрішньою дисипацією енергії до рівносильних задач Коші для диференціально-операторного рівняння в гільбертовому просторі.

3. У загальній постановці вивчена задача про нормальні коливання системи з поверхневою дисипацією енергії. Отримано твердження про дискретність спектра цієї задачі. На прикладах з'ясовано, як цей спектр мігрує в комплексній площині при зміні параметра поверхневої дисипації від нуля до нескінченності.

4. Досліджено абстрактну початково-крайову задачу з поверхневою та внутрішньою дисипацією енергії. Доведено теорему про сильну розв'язність відповідної початково-крайової задачі. За наявності лише внутрішньої дисипації вивчено спектральну задачу. Для випадку малої, середньої та великої внутрішньої дисипації отримані твердження про локалізацію спектру і про властивості кореневих функцій.

5. Досліджено три спектральні задачі сполучення з поверхневою дисипацією енергії: спектральну задачу сполучення математичної фізики з поверхневою дисипацією енергії, абстрактну спектральну задачу сполучення з поверхневою дисипацією енергії та багатокомпонентні спектральні задачі сполучення з поверхневою дисипацією енергії. Встановлено, що кожна з цих задач приводить до вивчення одного й того жмутка операторів, квадратично залежного від спектрального параметра та діючого у відповідно підібраному гільбертовому просторі. Спектр жмутка є дискретним з граничною точкою на нескінченності.

Список опублікованих автором праць за темою дисертації

1. Андронова О.А. Начально-краевая задача математической физики с поверхностной диссипацией энергии / О.А. Андронова // Таврическая научная конференция студентов и специалистов по информатике и математике (Украина, Симферополь, 20-21 апреля, 2005): Тезисы докладов. Вып. 2. - С. 3 - 7.

2. Андронова О.А. Начально-краевая задача математической физики с поверхностной диссипацией энергии / О.А. Андронова // Таврическая научная конференция студентов и специалистов по информатике и математике (Украина, Симферополь, 27-28 апреля, 2006): Тезисы докладов. - Вып. 3. - С. 5 - 8.

3. Андронова О.А. Начально-краевые и спектральные задачи с поверхностной диссипацией энергии / О.А. Андронова, Н.Д. Копачевский // Всеукраїнська наукова конференція молодих вчених и студентів з диференціальних рівнянь та їх застосувань, присвячена 100-річному ювілею Я.Б. Лопатиського (Україна, Донецьк, 6-7 грудня, 2006): Тези доповідей. - 2006. - С. 12.

4. Andronova O. Operator approach to dynamic system with surface dissipation of an energy / O. Andronova, N. Kopachevsky // International Conference Modern Analysis and Applications (MAA 2007), dedicated to the centenary of Mark Krein: Book of Abstracts. - Odessa, Ukraine, April 9-14, 2007. - P. 11.

5. Андронова О.А. Начально-краевые задачи с поверхностной диссипацией энергии / О.А. Андронова // Труды ИПММ НАН Украины. - Донецк: Инст. прикл. мат. и мех. НАН Украины, 2008. - Том 16. - С. 13 - 25.

6. Андронова О.А. Задачи сопряжения с поверхностной диссипацией энергии / О.А. Андронова // II Міжнародна конференція молодих вчених з диференціальних рівнянь та їх застосувань ім. Я.Б. Лопатиського (Україна, Донецьк, 11-14 листопада, 2008): Тези доповідей. - 2008. - С. 39.

7. Андронова О.А. О линейных задачах с поверхностной диссипацией энергии / О.А. Андронова, Н.Д. Копачевский // Современная математика. Фундаментальные направления. - Москва: Рос. инст. дружбы нар., 2008. - Том 29. - С. 11-28.

8. Андронова О.А. Спектральные задачи сопряжения с поверхностной диссипацией энергии / О.А. Андронова // Труды ИПММ НАН Украины. - Донецк: Инст. прикл. мат. и мех. НАН Украины, 2009. - Том 18. - С. 10 - 22.

9. Начально-краевые и спектральные задачи с поверхностной диссипацией энергии: тезисы докладов Украинского математического конгресса - 2009 (Украина, Киев, 27-29 августа, 2009) [Электронный ресурс] / О.А. Андронова // Тезисы докладов. - 2009. - С. 1 - 2. - Режим доступа к журн.: http://www.imath.kiev.ua/congress2009/Abstracts/Andronova.pdf

10. Андронова О.А. Начально-краевые и спектральные задачи с поверхностной и внутренней диссипацией энергии / О.А. Андронова // Ученые записки Таврического Национального Университета им. В.И. Вернадского, cерия Математика. Механика. Информатика и Кибернетика. - Симферополь, 2009. - T. 22 (61). 1. - С. 1 - 13.

Анотація

Андронова О.А. Початково-крайові та спектральні задачі з поверхневою і внутрішньою дисипацією енергії. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. - Інститут прикладної математики і механіки, Донецьк, 2010.

Дисертація присвячена дослідженню лінійних початково-крайових задач математичної фізики з поверхневою та внутрішньою дисипацією енергії, а також їх узагальнення на основі використання абстрактної формули Гріна для трійки гільбертових просторів і оператора сліду. При розгляді даних задач застосована методика дослідження, основана на використанні теорії операторних блок-матриць та теорії стискаючих напівгруп, яка дозволила довести існування та єдиність сильного розв'язку вихідних задач.

Вивчені спектральні задачі з поверхневою дисипацією енергії. З'ясовано, як спектр цих задач мігрує в комплексній площині при зміні параметра поверхневої дисипації від нуля до нескінченності. Доведено, що в разі загального положення спектр задачі є дискретним з граничною точкою на нескінченності. При розгляді спектральних задач з внутрішньою дисипацією енергії використані методи спектральної теорії операторних жмутків та теорії самоспряжених операторів у просторах з індефінітною метрикою. Для випадку малої, середньої та великої внутрішньої дисипації отримані твердження про локалізацію спектру і про властивості кореневих функцій.

Досліджено спектральні задачі сполучення з поверхневою дисипацією енергії. Спектр задач є дискретним з граничною точкою на нескінченності.

Ключові слова: початково-крайова задача, диференціально-операторне рівняння, задача Коші, гільбертовий простір, нормальні коливання, спектральна задача, індефінітна метрика.

Аннотация

Андронова О.А. Начально-краевые и спектральные задачи с поверхностной и внутренней диссипацией энергии. - Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Институт прикладной математики и механики, Донецк, 2010.

Диссертация посвящена исследованию начально-краевых и спектральных задач с поверхностной и внутренней диссипацией энергии.

Изучены линейные начально-краевые задачи математической физики с поверхностной диссипацией энергии и абстрактные начально-краевые задачи, обобщающие задачи математической физики для гиперболического уравнения на основе использования абстрактной формулы Грина для тройки гильбертовых пространств и оператора следа. Исследованы также абстрактные начально-краевые задачи с поверхностной и внутренней диссипацией энергии. При рассмотрении данных задач применена одна и та же методика исследования, которая позволила доказать существование и единственность сильного решения этих задач. Суть исследования состоит в том, что путем введения вспомогательных краевых задач и их операторов осуществляется переход от исходной начально-краевой задачи к задаче Коши для дифференциального уравнения второго порядка, а от нее - к задаче Коши для линейного дифференциального уравнения первого порядка с операторным коэффициентом, являющимся генератором сжимающей полугруппы операторов. Это позволяет, с использованием теории полугрупп, получить результат о сильной разрешимости исходной задачи.

Изучены спектральные задачи, порожденные начально-краевыми задачами с поверхностной диссипацией энергии. Обнаружено, что спектр данных задач достаточно своеобразен. На примерах выяснено, как этот спектр мигрирует в комплексной плоскости при изменении параметра поверхностной диссипации от нуля до бесконечности. На основе одного общего результата, полученного Т.Я. Азизовым, доказывается, что в случае общего положения спектр задачи является дискретным с предельной точкой на бесконечности. Исследованы спектральные задачи с малой, средней и большой внутренней диссипацией энергии. С использованием спектральной теории операторных пучков и теории самосопряженных операторов в пространствах с индефинитной метрикой получены утверждения о локализации спектра и о свойствах корневых элементов.

Исследованы спектральные задачи сопряжения с поверхностной диссипацией энергии. Рассмотрение этих задач приводит к изучению пучка операторов, квадратично зависящего от спектрального параметра. Свойства спектра пучка изучены.

Ключевые слова: начально-краевая задача, дифференциально-операторное уравнение, задача Коши, гильбертово пространство, нормальные колебания, спектральная задача, индефинитная метрика.

Abstract

Andronova O.A. Initial boundary value and spectral problems with surface and internal dissipation of an energy. - Manuscript.

The dissertation for obtaining scientific degree of candidate of physical and mathematical sciences by speciality 01.01.02 - differential equations. -- Institute of Applied Mathematics and Mechanics of the NAS of Ukraine, Donetsk, 2010.

The dissertation deals with the investigation of linear problems of mathphysics with surface and internal dissipation of an energy and corresponding abstract and spectral problems. By consideration of the given evolution problems the approach of research is applied. It has allowed to prove existence and uniqueness of the strong solutions to initial boundary value problems.

It is investigated the spectral problem with surface dissipation of an energy. The spectrum of the problem is discrete. The spectral problem with internal dissipation of an energy for the cases of small, middle and large internal dissipation is investigated. The methods of the spectral theory of the operator pencils and the theory of the self-ajoint operators in indefinite metric spaces are used. The statements about localization of the spectrum and the properties of eigen and associated elements are obtained.

The transmission spectral problems with surface dissipation of an energy are investigated.

Key words: initial-boundary value problems, operator-differential equations, Cauchy problem, Hilbert space, normal oscillations, spectral problem, indefinite metric.

Размещено на Allbest.ru

...