Функция распределения и диаграмма рассеивания
Квантили нормального распределения и распределения Стьюдента. Группированный и ранжированный ряд случайной величины. Полигон относительных частот. График эмпирической функции распределения. Доверительный интервал для дисперсии, построение линии регрессии.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 19.07.2015 |
| Размер файла | 942,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Таблица П5 Генеральная совокупность (для чётных номеров варианта)
|
X |
Y |
X |
Y |
X |
Y |
X |
Y |
X |
Y |
|
|
80,1 |
180 |
65,8 |
169 |
62,7 |
169 |
61,9 |
162 |
48,7 |
151 |
|
|
55,3 |
165 |
61,5 |
164 |
67,8 |
163 |
61,0 |
166 |
64,2 |
166 |
|
|
72,6 |
173 |
70,9 |
179 |
75,6 |
181 |
54,9 |
155 |
60,0 |
171 |
|
|
57,5 |
155 |
57,4 |
160 |
67,4 |
167 |
62,2 |
161 |
75,1 |
183 |
|
|
57,2 |
154 |
63,6 |
161 |
60,8 |
177 |
64,3 |
171 |
65,5 |
171 |
|
|
62,7 |
170 |
71,4 |
171 |
55,9 |
168 |
60,2 |
166 |
70,0 |
170 |
|
|
60,5 |
159 |
58,9 |
165 |
69,0 |
168 |
61,8 |
157 |
68,4 |
171 |
|
|
61,6 |
164 |
59,7 |
164 |
62,4 |
156 |
69,1 |
174 |
75,5 |
172 |
|
|
61,0 |
161 |
61,7 |
172 |
71,8 |
168 |
54,4 |
158 |
66,3 |
169 |
|
|
58,6 |
161 |
65,0 |
170 |
73,5 |
174 |
62,7 |
170 |
62,4 |
165 |
|
|
50,3 |
150 |
71,5 |
179 |
60,4 |
162 |
56,2 |
162 |
68,4 |
170 |
|
|
72,9 |
179 |
52,0 |
158 |
52,9 |
159 |
65,4 |
164 |
60,1 |
167 |
|
|
60,6 |
162 |
76,0 |
177 |
65,1 |
166 |
63,5 |
166 |
69,9 |
168 |
|
|
61,8 |
172 |
70,3 |
180 |
54,8 |
159 |
60,8 |
169 |
71,9 |
168 |
|
|
60,0 |
167 |
71,9 |
179 |
74,7 |
184 |
58,7 |
166 |
64,4 |
164 |
|
|
60,9 |
165 |
62,0 |
155 |
62,2 |
167 |
63,8 |
165 |
72,5 |
178 |
|
|
62,0 |
165 |
63,1 |
160 |
51,6 |
156 |
65,8 |
160 |
67,7 |
170 |
|
|
79,2 |
179 |
68,0 |
165 |
65,1 |
158 |
63,7 |
169 |
50,1 |
153 |
|
|
62,5 |
161 |
60,7 |
162 |
67,7 |
169 |
56,9 |
166 |
63,3 |
167 |
|
|
51,2 |
153 |
65,2 |
162 |
63,5 |
167 |
59,3 |
161 |
70,2 |
181 |
регрессия квантиль полигон распределение
Таблица П1. Значения функции и функции Лапласа .
|
x |
(x) |
(x) |
x |
(x) |
(x) |
x |
(x) |
(x) |
|
|
0,00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 0,10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 0,20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 0,30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 |
0,3989 3989 3989 3988 3986 3984 3982 3980 3977 3973 0,3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 3918 0,3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 3825 0,3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 3697 |
0,0000 0040 0080 0120 0160 0199 0239 0279 0319 0359 0,0398 0438 0478 0517 0557 0596 0636 0675 0714 0753 0,0793 0832 0871 0910 0948 0987 1026 1064 1103 1141 0,1179 1217 1255 1293 1331 1368 1406 1443 1480 1517 |
0,40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 0,50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 0,60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 0,70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 |
0,3683 3668 3653 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538 0,3521 3503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352 0,3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144 0,3123 3101 3079 3056 3034 3011 2989 2966 2943 2920 |
0,1554 1591 1628 1664 1700 1736 1772 1808 1844 1879 0,1915 1950 1985 2019 2054 2088 2123 2157 2190 2224 0,2257 2291 2324 2357 2389 2422 2454 2486 2517 2549 0,2580 2611 2642 2673 2703 2734 2764 2794 2823 2852 |
0,80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 0,90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 1,00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1,10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 |
0,2897 2874 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 2685 0,2661 2637 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2468 2444 0,2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203 0,2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965 |
0,2881 2910 2939 2967 2995 3023 3051 3078 3106 3133 0,3159 3186 3212 3238 3264 3289 3315 3340 3365 3389 0,3413 3438 3461 3485 3508 3531 3554 3577 3599 3621 0,3643 3665 3686 3708 3729 3749 3770 3790 3810 3830 |
|
|
1,20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 1,30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 1,40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 1,50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 1,60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 |
0,1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736 0,1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518 0,1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315 0,1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127 0,1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957 |
0,3849 3869 3888 3907 3925 3944 3962 3980 3997 4015 0,4032 4049 4066 4082 4099 4115 4131 4147 4162 4177 0,4192 4207 4222 4236 4251 4265 4279 4292 4306 4319 0,4332 4345 4357 4370 4382 4394 4406 4418 4429 4441 0,4452 4463 4474 4484 4495 4505 4515 4525 4535 4545 |
1,70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 1,80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 1,90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 2,00 02 04 06 08 10 12 14 16 18 2,20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 |
0,0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804 0,0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669 0,0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551 0,0540 0519 0498 0478 0459 0440 0422 0404 0387 0371 0,0355 0339 0325 0310 0297 0283 0270 0258 0246 0235 |
0,4554 4564 4573 4582 4591 4599 4608 4616 4625 4633 0,4641 4649 4656 4664 4671 4678 4686 4693 4699 4706 0,4713 4719 4726 4732 4738 4744 4750 4756 4761 4767 0,4772 4783 4793 4803 4812 4821 4830 4838 4846 4854 0,4861 4868 4875 4881 4887 4893 4898 4904 4909 4913 |
2,40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 2,60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 2,80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 3,00 10 20 30 40 50 60 70 80 90 4,00 4,50 5,00 |
0,0224 0213 0203 0194 0184 0175 0167 0158 0151 0143 0,0136 0129 0122 0116 0110 0104 0099 0093 0088 0084 0,0079 0075 0071 0067 0063 0060 0056 0053 0050 0047 0,00443 00327 00238 00172 00132 00087 00061 00042 00029 00020 0,00013 0,000016 0,000002 |
0,4918 4922 4927 4931 4934 4938 4941 4945 4948 4951 0,4953 4956 4959 4961 4963 4965 4967 4969 4971 4973 0,4974 4976 4977 4979 4980 4981 4982 4984 4985 4986 0,49865 49903 49931 49952 49966 49977 49984 49989 49993 49995 0,499968 0,499997 0,499999 |
Квантили u нормального распределения N(0;1)
|
0,90 |
0,95 |
0,975 |
0,99 |
0,995 |
0,999 |
||
|
u |
1,282 |
1,645 |
1,960 |
2,326 |
2,576 |
3,090 |
Таблица П2. Квантили 2(k)распределения 2(k)
|
k |
0,005 |
0,010 |
0,025 |
0,05 |
0,10 |
0,90 |
0,95 |
0,975 |
0,990 |
0,995 |
|
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 35 40 45 50 75 100 |
0,04393 0,0100 0,0717 0,207 0,412 0,676 0,989 1,34 1,73 2,16 2,60 3,07 3,57 4,07 4,60 5,14 5,70 6,26 6,84 7,43 8,03 8,64 9,26 9,89 10,5 11,2 11,8 12,5 13,1 13,8 17,2 20,7 24.3 28,0 47,2 67,3 |
0,03157 0,0201 0,115 0,297 0,554 0,872 1,24 1,65 2,09 2,56 3,05 3,57 4,11 4,66 6,23 5,81 6,41 7,01 7,63 8,26 8,90 9,54 10,2 10,9 11,5 12,2 12,9 13,6 14,3 15,0 18,5 22,2 25,9 29,7 49,5 70,1 |
0,03982 0,0506 0,216 0,484 0,831 1,24 1,69 2,18 2,70 3,25 3,82 4,40 5,01 5,63 6,26 6,91 7,56 8,23 8,91 9,59 10,3 11,0 11,7 12,4 13,1 13,8 14,6 15,3 16,0 16,8 20,6 24,4 28,4 32,4 52,9 74,2 |
0,02393 0,103 0,352 0,711 1,15 1,64 2,17 2,73 3,33 3,94 4,57 5,23 5,89 6,57 7,26 7,96 8,67 9,39 10,1 10,9 11,6 12,3 13,1 13,8 14,6 15,4 16,2 16,9 17,7 18,5 22,5 26,5 30,6 34,8 56,1 77,9 |
0,0158 0,211 0,584 1,06 1,61 2,20 2,83 3,49 4,17 4,87 5,58 6,30 7,04 7,79 8,55 9,31 10,1 10,9 11,7 12,4 13,2 14,0 14,8 15,7 16,5 17,3 18,1 18,9 19,8 20,6 24,8 29,1 33,4 37,7 59,8 82,4 |
2,71 4,61 6,25 7,78 9,24 10,6 12,0 13,4 14,7 16,0 17,3 18,5 19,8 21,1 22,3 23,5 24,6 26,0 27,2 28,4 29,6 30,8 32,0 33,2 34,4 35,6 36,7 37,9 39,1 40,3 46,1 51,8 57,5 63,2 91,1 118,5 |
3,84 5,99 7,81 9,49 11,1 12,6 14,1 15,5 16,9 18,3 19,7 21,0 22,4 23,7 25,0 26,3 27,6 28,9 30,1 31,4 32,7 33,9 35,2 36,4 37,7 38,9 40,1 41,3 42,6 43,8 49,8 55,8 61,7 67,5 96,2 124,3 |
,02 7,38 9,35 11,1 12,8 14,4 16,0 17,5 19,0 20,5 21,9 23,3 24,7 26,1 27,5 28,8 30,2 31,5 32,9 34,2 35,5 36,8 38,1 39,4 40,6 41,9 43,2 44,5 45,7 47,0 53,2 59,3 65,4 71,4 100,8 129,6 |
6,63 9,21 11,3 13,3 15,1 16,8 18,5 20,1 21,7 23,2 24,7 26,2 27,7 29,1 30,6 32,0 33,4 34,8 36,2 37,6 38,9 40,3 41,6 43,0 44,3 45,6 47,0 48,3 49,6 50,9 57,3 63,7 70,0 76,2 106,4 135,6 |
7,88 10,6 12,8 14,9 16,7 18,5 20,3 22,0 23,6 25,2 26,8 28,3 29,8 31,3 32,8 34,3 35,7 37,2 38,6 40,0 41,4 42,8 44,2 45,6 46,9 48,3 49,6 51,0 52,3 53,7 60,3 66,8 73,2 79,5 110,3 140,2 |
Таблица П3. Квантили t(k) распределения Стьюдента
|
/k |
0,750 |
0,900 |
0,950 |
0,975 |
0,990 |
0,995 |
0,999 |
|
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 80 |
1,000 0,816 0,765 0,741 0,727 0,718 0,711 0,706 0,703 0,700 0,697 0,695 0,694 0,692 0,691 0,690 0,689 0,688 0,688 0,687 0,686 0,686 0,685 0,685 0,684 0,684 0,684 0,683 0,683 0,683 0,681 0,679 0,677 0,674 |
3,078 1,886 1,638 1,533 1,476 1,440 1,415 1,397 1,383 1,372 1,363 1,356 1,350 1,345 1,341 1,337 1,333 1,330 1,328 1,325 1,323 1,321 1,319 1,318 1,316 1,315 1,314 1,313 1,311 1,310 1,303 1,296 1,289 1,282 |
6,314 2,920 2,353 2,132 2,015 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 1,746 1,740 1,734 1,729 1,725 1,721 1,717 1,714 1,711 1,708 1,706 1,703 1,701 1,699 1,697 1,684 1,671 1,658 1,645 |
12,706 4,303 3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,056 2,052 2,048 2,045 2,042 2,021 2,000 1,980 1,960 |
31,821 6,965 4,541 3,747 3,365 3,143 2,998 2,896 2,821 2,764 2,718 2,681 2,650 2,624 2,602 2,583 2,567 2,552 2,539 2,528 2,518 2,508 2,500 2,492 2,485 2,479 2,473 2,467 2,462 2,457 2,423 2,390 2,358 2,326 |
63,657 9,925 5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 3,106 3,055 3,012 2,977 2,974 2,921 2,898 2,878 2,861 2,845 2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 2,779 2,771 2,763 2,756 2,750 2,704 2,660 2,617 2,576 |
318 22,3 10,2 7,173 5,893 5,208 4,785 4,501 4,297 4,144 4,025 3,930 3,852 3,787 3,733 3,686 3,646 3,610 3,579 3,552 3,527 3,505 3,485 3,467 3,450 3,435 3,421 3,408 3,396 3,385 3,307 3,232 3,160 3,090 |
1. Из предложенной генеральной совокупности объёма N=100 (Таблица П5 Генеральная совокупность (для чётных номеров варианта)) сформируем выборку объёма n=50 с помощью таблицы П6 случайных чисел.
Получим следующую выборочную совокупность величина xi - вес (в килограммах), а yi - рост (в сантиметрах) i-го человека.
Таблица 2 (выборочная совокупность)
|
Xi |
Yi |
Xi |
Yi |
Xi |
Yi |
Xi |
Yi |
Xi |
Yi |
|
|
65,2 |
162 |
57,5 |
155 |
58,6 |
161 |
62,5 |
161 |
52 |
158 |
|
|
62,2 |
167 |
54,9 |
155 |
62,7 |
170 |
65 |
170 |
64,2 |
166 |
|
|
62,4 |
156 |
55,9 |
168 |
75,6 |
181 |
62,4 |
165 |
61,9 |
162 |
|
|
61 |
161 |
79,2 |
179 |
65,4 |
164 |
73,5 |
174 |
60,1 |
167 |
|
|
65,1 |
158 |
80,1 |
180 |
69,1 |
174 |
58,7 |
166 |
63,5 |
167 |
|
|
61,7 |
172 |
72,6 |
173 |
60 |
167 |
61,6 |
164 |
51,6 |
156 |
|
|
61,8 |
157 |
50,3 |
150 |
60,4 |
162 |
62,2 |
161 |
63,5 |
166 |
|
|
51,2 |
153 |
57,2 |
154 |
71,8 |
168 |
61,5 |
164 |
62,4 |
156 |
|
|
52,9 |
159 |
63,8 |
165 |
72,9 |
179 |
64,4 |
164 |
58,9 |
165 |
|
|
65 |
170 |
60,8 |
169 |
69 |
168 |
51,6 |
156 |
59,3 |
161 |
2. Составим группированный ряд для величины X. Для этого определим наибольшее xmax= 80,1 и наименьшее xmin= 50,3 значения величины X, встречающееся в выборке.
Таблица 3 (Ранжированный ряд случайной величины Х)
|
Xi |
50,3 |
51,2 |
51,6 |
51,6 |
52 |
52,9 |
54,9 |
55,9 |
57,2 |
57,5 |
|
|
58,6 |
58,7 |
58,9 |
59,3 |
60 |
60,1 |
60,4 |
60,8 |
61 |
61,5 |
||
|
61,6 |
61,7 |
61,8 |
61,9 |
62,2 |
62,2 |
62,4 |
62,4 |
62,4 |
62,5 |
||
|
62,7 |
63,5 |
63,5 |
63,8 |
64,2 |
64,4 |
65 |
65 |
65,1 |
65,2 |
||
|
65,4 |
69 |
69,1 |
71,8 |
72,6 |
72,9 |
73,5 |
75,6 |
79,2 |
80,1 |
Весь промежуток [50,3; 80,1] изменения выборочных данных величины X , разобьём на r = 7 интервалов (r=v50=7). Вычислим размах:
Тогда шаг разбиения
hx = Rx / r =29,8/7=4,26
Для того, чтобы шаг разбиения был удобным, возьмём его равным hx =4,5. Тогда расширение промежутка разбиения составит (4,5 -4,26) * 7 = 1,68.
Определения границ интервалов [ai-1, ai) , i -- 1, ... , 7, границы определяются так:
ai=аi-1+hх, i -- 1, ...,7.
Затем для каждого i-ro интервала [ai-1, ai) определяется его середина хi* по формуле:
хi*= (ai-1+ ai)/2
С помощью таблицы 2 находятся частоты ni - количество выборочных значений X, попавших в i-й интервал.
Результаты группировки выборочных значений для X сведём в табл.4:
Таблица 4
|
Номер интервала i |
Интервалы [ai-1;ai) |
Середины интервалов xi* |
Частоты ni |
Относительные частоты ni/n |
Накопительные относит. частот |
ni/nhx |
|
|
1 |
[50;54,5) |
52,25 |
6 |
0,12 |
0,12 |
0,004 |
|
|
2 |
[54,5;59) |
56,75 |
7 |
0,14 |
0,26 |
0,031 |
|
|
3 |
[59;63,5) |
61,25 |
18 |
0,36 |
0,62 |
0,08 |
|
|
4 |
[63,5;68) |
65,75 |
10 |
0,2 |
0,82 |
0,044 |
|
|
5 |
[68;72,5) |
70,25 |
3 |
0,06 |
0,88 |
0,013 |
|
|
6 |
[72,5;77) |
74,75 |
4 |
0,08 |
0,96 |
0,017 |
|
|
7 |
[77;81,5] |
79,25 |
2 |
0,04 |
1 |
0,009 |
|
|
n= |
50 |
1 |
Используя полученные результаты для хi* и ni/n (столбец 3-й и 5-й), строим полигон относительных частот (рисунок 1); используя столбец 2-й и 7-й, строим гистограмму относительных частот (рисунок 2); используя столбец 3-й и 6-й, строим график эмпирической функции распределения (рисунок 3).
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Для величины Y
2. Составим группированный ряд для величины Y . Для этого определим наибольшее ymax= 184 и наименьшее ymin= 150 значения величины Y, встречающееся в выборке. Вычислим размах
Ry= ymax - ymin = 184 - 150= 34
Таблица 5 (Ранжированный ряд случайной величины Y)
|
Yi |
150 |
153 |
154 |
155 |
155 |
156 |
156 |
156 |
156 |
157 |
|
|
158 |
158 |
159 |
161 |
161 |
161 |
161 |
161 |
162 |
162 |
||
|
162 |
164 |
164 |
164 |
164 |
165 |
165 |
165 |
166 |
166 |
||
|
166 |
167 |
167 |
167 |
167 |
168 |
168 |
168 |
169 |
170 |
||
|
170 |
170 |
172 |
173 |
174 |
174 |
179 |
179 |
180 |
181 |
Весь промежуток [150; 181] изменения выборочных данных величины Y , разобьём на r = 7 интервалов.
Тогда шаг разбиения
Hy = Ry / r =31/7=4,4
Для того, чтобы шаг разбиения был удобным, возьмём его равным hy =5. Тогда расширение промежутка разбиения составит (5 -4,4) * 7 = 4,2.
Определения границ интервалов [bi-1, bi) , i -- 1, ... , 7, границы определяются так:
bi=аi-1+hy, i -- 1, ...,7.
Затем для каждого i-ro интервала [bi-1, bi) определяется его середина yi* по формуле:
yi*= (bi-1+ bi)/2
С помощью таблицы 2 находятся частоты mi - количество выборочных значений Y, попавших в i-й интервал.
Результаты группировки выборочных значений для Y сведём в табл. 6:
Таблица 6
|
интервал i |
Интервалы [bi-1;bi) |
Середины интервалов yi* |
Частоты mi |
Относительные частоты |
Накопленные относит. частоты |
mi/nhy |
|
|
1 |
[150;155) |
152,5 |
3 |
0,06 |
0,06 |
0,012 |
|
|
2 |
[155;160) |
157,5 |
10 |
0,2 |
0,26 |
0,04 |
|
|
3 |
[160;165) |
162,5 |
12 |
0,24 |
0,5 |
0,048 |
|
|
4 |
[165;170) |
167,5 |
14 |
0,28 |
0,78 |
0,056 |
|
|
5 |
[170;175) |
172,5 |
7 |
0,14 |
0,92 |
0,028 |
|
|
6 |
[175;180) |
177,5 |
2 |
0,04 |
0,96 |
0,008 |
|
|
7 |
[180;185] |
182,5 |
2 |
0,04 |
1 |
0,008 |
|
|
n= |
50 |
1 |
Используя полученные результаты для yi* и mi/n (столбец 3-й и 5-й), строим полигон относительных частот (рисунок 4);
используя столбец 2-й и 7-й, строим гистограмму относительных частот (рисунок 5);
используя столбец 3-й и 6-й, строим график эмпирической функции распределения (рисунок 6).
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
3. Точечные оценки х , у , sx , sy вычислим по группированным данным (см.таблицы 4 и 6). Для удобства вычислений перейдём к условным вариантам:
Составим таблицу 7:
Таблица 7
|
Номер интервала, i |
ui |
ni |
uini |
ni |
vi |
mi |
vimi |
mi |
|
|
1 2 3 4 5 6 7 |
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 |
6 7 18 10 3 4 2 |
- 18 - 14 - 18 0 3 8 6 |
54 28 18 0 3 16 18 |
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 |
3 10 12 14 7 2 2 |
- 9 - 20 - 12 0 7 4 6 |
27 40 12 0 7 8 18 |
|
|
- |
50 |
- 33 |
137 |
- |
50 |
- 24 |
112 |
Искомые оценки:
|
62,78 |
165,1 |
|||
|
56,5 |
57 |
|||
|
sx |
7,5 |
sy |
7,5 |
4. Проверим с помощью критерия ч2 гипотезу Но: распределение генеральной совокупности X имеет нормальный закон N(mx уx).
Здесь k = 2 неизвестных параметра mx и уx (математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение) заменяются соответствующими оценками = 62,78 и sx = 7,5
В качестве интервалов возьмём вначале интервалы [ai-1, ai), i = 1, ... ,7 (см. таблицу 4), приняв a0= - ? , a7=+? .
Результаты расчётов выборочной величины чВ2 приведём в таблице 8:
Таблица 8
|
[ai-1;ai) |
ni |
zi=(ai- )/sx |
Ф(zi) |
pi=Ф(zi)-Ф(zi-1) |
npi |
(ni-npi)2/npi |
|
|
(-?;54,5) |
6 |
-1,1 |
-0,364 |
-0,364- (-0,5) = 0,136 |
6,8 |
0,09 |
|
|
[54,5;59) |
7 |
-0,5 |
-0,191 |
0,173 |
8,65 |
0,31 |
|
|
[59;63,5) |
18 |
0,1 |
0,039 |
0,23 |
11,15 |
4,2 |
|
|
[63,5;68) |
10 |
0,7 |
0,258 |
0,219 |
10,95 |
0,08 |
|
|
[68;72,5) |
3 4 2 |
1,3 |
0,403 |
0,145 |
7,25 3,4 1,45 |
0,79 |
|
|
[72,5;77) |
1,9 |
0,471 |
0,068 |
||||
|
[77;+?) |
? |
0,500 |
0,029 |
||||
|
У |
50 |
1,000 |
50 |
5,16 |
Пришлось произвести объединение последних трех интервалов в связи с малым числом наблюдений. Объединяем интервалы 5-й с 6-м и с 7-м. В итоге число интервалов m = 5, поэтому число степеней свободы для 2 распределения равно
m - k - 1 = 5 - 2 - 1 = 2.
По таблице П 2 приложения находим:
j ч20,95(2) = 5,99.
Вывод: так как ч2В= 5,16< ч20,95(2) = 5,99, то гипотеза Но о нормальном распределении величины X не противоречит выборочным данным.
Аналогично проверяем гипотезу Но: распределение генеральной совокупности Y имеет нормальный закон N(my уy).
Параметры ту и уy заменяем соответственно оценками = 165,1 и sy = 7,5.
Используя интервалы [bi-1;bi) и частоты mi = 1,...,7 из таблицы 6, проведём вычисление ч2В, оформив таблицу 9
Таблица 9
|
i |
[bi-1;bi) |
mi |
zi=(bi-)/sy |
Ф(zi) |
pi=Ф(zi)-Ф(zi-1) |
npi |
(mi-npi)2/npi |
|
|
1 |
[-?;155) |
3 10 |
-1,35 |
-0,412 |
-0,412 -(-0,5) = 0,088 |
4,4 8 |
0,029 |
|
|
2 |
[155;160) |
-0,68 |
-0,252 |
0,16 |
||||
|
3 |
[160;165) |
12 |
-0,01 |
-0,004 |
0,248 |
12,4 |
0,013 |
|
|
4 |
[165;170) |
14 |
0,65 |
0,242 |
0,246 |
12,3 |
0,235 |
|
|
5 |
[170;175) |
7 2 2 |
1,32 |
0,407 |
0,165 |
8,25 3,5 1,15 |
0,28 |
|
|
6 |
[175;180) |
1,99 |
0,477 |
0,07 |
||||
|
7 |
[180; +?] |
? |
0,500 |
0,023 |
||||
|
У |
50 |
1 |
50 |
0,557 |
Пришлось произвести объединение первых двух интервалов и последних трех в связи с малым числом наблюдений. Объединяем интервалы 1-й со
2-м; так же 5-й с 6-м и с 7-м. В итоге получили m = 4 интервалов, поэтому число степеней свободы для 2 распределения равно
т --k--1=4 --2 -- 1 =1.
По таблице П2 приложения находим
j ч20,95(1) = 3,84.
Вывод: так как ч2В= 0,557 < ч20,95(1) = 3,84, то гипотеза Но о нормальном распределении величины Y не противоречит выборочным данным.
5. Доверительный интервал для математического ожидания M(X), имеет вид:
.
Учитывая, что = 62,78, sx = 7,5 , n = 50 , = 1 - = 0,05,
получим с надёжностью = 0,95:
найдем, с помощью таблицы П1, параметр : , откуда , . Получим доверительный интервал для математического ожидания:
Проведем вычисления и окончательно запишем, что
60,7 < б < 64,9
Таким образом, интервал (60,7; 64,9) покрывает параметр с надежностью = 0,95 при неизвестной дисперсии.
60,7 < M(X) < 64,9.
Аналогично получим доверительный интервал для математического ожидания M(Y), доверительный интервал для математического ожидания M(Y), имеет вид:
Учитывая, что =165,1, sy = 7,5, n=50, = 1 - = 0,05,
получим с надёжностью = 0,95:
163,1 < M(Y) < 167,2.
Доверительный интервал для дисперсии D(X), имеет вид:
.
Так как
то с надёжностью = 0,95:
38,77 < D(X) < 85,45.
Аналогично определяется доверительный интервал для дисперсии D(Y)
то с надёжностью = 0,95:
39,1 < D(Y) < 86,2.
6. Построим корреляционную таблицу 10 - таблицу с двумя входами. По вертикали расположим интервалы [ ai-1; ai ) для величины X, а по горизонтали интервалы [ bj-1; bj ) для Y ( i = 1, …, 7, j = 1, … , 7 ). Каждую пару выборочных значений ( xk , yk ), k = 1, … , 50 разнесём по полученным клеткам, в результате получим частоты nij - количество пар ( xk , yk ) таких, что xk [ai-1; ai) и yk [bj-1; bj).
В угловых скобках <…> указаны значения условных вариант ui и vj. В последнем столбце и последней строке выписаны условные средние (см. следующий пункт).
Вычислим выборочный коэффициент rв, используя условные варианты, по формуле:
,
Где
su = 1,7; sv = 1,5.
Итак,
7. Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X имеет вид
Подставляя в это уравнение значения, , получаем
или y = 0,67x + 123,04.
Выборочное уравнение прямой линии регрессии X на Y:
Отсюда x - 62,78 = (y - 165,1) или x = 0,67y - 47,8.
Для построения эмпирических линий регрессии Y на X и X на Y найдём условные средние и , используя таблицу 10.
Например:
В результате получатся точки :
М1 (52,25; 155,8), М2 (56,75; 161,8), М3 (61,25; 164,1), М4 (65,75; 166),
М5 (70,25; 168,9), М6 (74,75; 176,3), М7 (79,25; 182,5)
и точки:
N1 (53,8; 152,5), N2 (57,2; 157,5), N3 (51; 162,5), N4 (62,9; 167,5),
N5 (67,7; 172,5), N6 (77; 177,5), N7 (77; 182,5).
Напомним, что ломаная с вершинами в точках есть эмпирическая линия регрессии Y и X (на рисунке 10 - линия 1), а ломаная с вершинами в точках - эмпирическая линия регрессии X на Y (на рисунке 10 - линия 2).
На рисунке 10 также изображены прямые линии регрессии Y на X (сплошной линией) и X на Y (пунктирной линией). На этом же рисунке отмечены выборочные точки ( xi , yi ), i = 1, … 50 (диаграмма рассеивания).
Рис. 7
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Вероятность совместного появления двух белых шаров. Расчет числа исходов, благоприятствующих интересующему событию. Функция распределения случайной величины. Построение полигона частот, расчет относительных частот и эмпирической функции распределения.
задача [38,9 K], добавлен 14.11.2010Закон распределения случайной величины Х, функция распределения и формулы основных числовых характеристик: математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратичное отклонение. Построение полигона частот и составление эмпирической функции распределения.
контрольная работа [36,5 K], добавлен 14.11.2010Плотность распределения непрерывной случайной величины. Характеристика особенностей равномерного и нормального распределения. Вероятность попадания случайной величины в интервал. Свойства функции распределения. Общее понятие о регрессионном анализе.
контрольная работа [318,9 K], добавлен 26.04.2013Методы составления закона распределения случайной величины. Вычисление средней арифметической и дисперсии распределения. Расчет средней квадратической ошибки бесповторной выборки. Построение эмпирических линий регрессии, поиск уравнения прямых регрессий.
контрольная работа [77,6 K], добавлен 20.07.2010Построение полигона относительных частот, эмпирической функции распределения, кумулянты и гистограммы. Расчет точечных оценок неизвестных числовых характеристик. Проверка гипотезы о виде распределения для простого и сгруппированного ряда распределения.
курсовая работа [216,2 K], добавлен 28.09.2011Определение, доказательство свойств и построение графика функции распределения. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал. Понятие о теореме Ляпунова. Плотность распределения "хи квадрат", Стьюдента, F Фишера—Снедекора.
курсовая работа [994,4 K], добавлен 02.10.2011Статистическая обработка данных контроля времени (в часах) работы компьютерного класса в день. Полигон абсолютных частот. Построение графика эмпирической функции распределения и огибающей гистограммы. Теоретическое распределение генеральной совокупности.
контрольная работа [379,3 K], добавлен 23.08.2015Особенности функции распределения как самой универсальной характеристики случайной величины. Описание ее свойств, их представление с помощью геометрической интерпретации. Закономерности вычисления вероятности распределения дискретной случайной величины.
презентация [69,1 K], добавлен 01.11.2013Функция распределения непрерывной случайной величины. Математическое ожидание непрерывной случайной величины, плотность распределения вероятностей системы. Ковариация. Коэффициент корреляции.
лабораторная работа [52,3 K], добавлен 19.08.2002Вычисление математического ожидания, дисперсии, функции распределения и среднеквадратического отклонения случайной величины. Закон распределения случайной величины. Классическое определение вероятности события. Нахождение плотности распределения.
контрольная работа [38,5 K], добавлен 25.03.2015Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал. Построение графика функции распределения случайной величины. Определение вероятности того, что наудачу взятое изделие отвечает стандарту. Закон распределения дискретной случайной величины.
контрольная работа [104,7 K], добавлен 24.01.2013Определение вероятности для двух несовместных и достоверного событий. Закон распределения случайной величины; построение графика функции распределения. Нахождение математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения случайной величины.
контрольная работа [97,1 K], добавлен 26.02.2012Поиск вариационного ряда по выборке. Функция распределения, полигон частот. Ранжированный и дискретный вариационный ряды. Вычисление числа групп в вариационном ряду по формуле Стерджесса. Гипотеза о нормальном характере эмпирического распределения.
контрольная работа [57,6 K], добавлен 12.04.2010Задачи математической статистики. Распределение случайной величины на основе опытных данных. Эмпирическая функция распределения. Статистические оценки параметров распределения. Нормальный закон распределения случайной величины, проверка гипотезы.
курсовая работа [57,0 K], добавлен 13.10.2009Исследование сходимости рядов. Степенной ряд интеграла дифференциального уравнения. Определение вероятности событий, закона распределения случайной величины, математического ожидания, эмпирической функции распределения, выборочного уравнения регрессии.
контрольная работа [420,3 K], добавлен 04.10.2010Среднее арифметическое (математическое ожидание). Дисперсия и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Третий центральный момент и коэффициент асимметрии. Законы распределения. Построение гистограммы. Критерий Пирсона. Доверительный интервал.
курсовая работа [327,1 K], добавлен 29.03.2013Теория вероятностей. Коэффициенты использования рабочего времени. Закон распределения случайной величины. Функция плотности. Математическое ожидание. Закон распределения с математическим ожиданием. Статистика. Доверительный интервал. Выборочная средняя.
контрольная работа [178,3 K], добавлен 24.11.2008Использование формулы Бернулли для нахождения вероятности происхождения события. Построение графика дискретной случайной величины. Математическое ожидание и свойства интегральной функции распределения. Функция распределения непрерывной случайной величины.
контрольная работа [87,2 K], добавлен 29.01.2014Определение вероятности появления события в каждом из независимых испытаний. Случайные величины, заданные функцией распределения (интегральной функцией), нахождение дифференциальной функции (плотности вероятности), математического ожидания и дисперсии.
контрольная работа [59,7 K], добавлен 26.07.2010Определение математического ожидания и дисперсии параметров распределения Гаусса. Расчет функции распределения случайной величины Х, замена переменной. Значения функций Лапласа и Пуассона, их графики. Правило трех сигм, пример решения данной задачи.
презентация [131,8 K], добавлен 01.11.2013
