Збурення диференціальних операторів з некласичними крайовими умовами та їхні абстрактні аналоги

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

УДК 513.88

01.01.01 - математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового

ступеня кандидата фізико-математичних наук

ЗБУРЕННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ ОПЕРАТОРІВ З НЕКЛАСИЧНИМИ КРАЙОВИМИ УМОВАМИ ТА ЇХНІ АБСТРАКТНІ АНАЛОГИ

Качурівська (Піпа) Ганна Михайлівна

Львів - 2010

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі математичного та функціонального аналізу Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Сторож Олег Георгійович, професор кафедри математичного та функціонального аналізу Львівського національного університету імені Івана Франка

Офіційні опоненти:

- доктор фізико-математичних наук, професор Арлінський Юрій Мойсійович, завідувач кафедри математичного аналізу Східноукраїнського національного університету імені В. Даля (м. Луганськ);

- доктор фізико-математичних наук, професор Черемних Євген Васильович, професор кафедри вищої математики Національного університету "Львівська політехніка"

Захист відбудеться "23" вересня 2010 р. о 15.05 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.051.18 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, аудиторія 377.

З дисертацією можна ознайомитися у Науковій бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка за адресою: м. Львів, вул. Драгоманова, 5.

Автореферат розісланий "17"жовтня 2010 р.

Вчений секретар Спеціалізованої вченої ради Фединяк С.І.

Анотації

Качурівська (Піпа) Г.М. Збурення диференціальних операторів з некласичними крайовими умовами та їхні абстрактні аналоги. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2010.

Диференціальні та диференціально-граничні оператори з некласичними (перш за все, з інтегральними та багатоточковими) крайовими умовами та їхні абстрактні моделі були предметом дослідження багатьох математиків.

У цій дисертації запропоновано одну з таких моделей. Основним об'єктом дослідження тут є лінійний оператор , що діє у гільбертовому просторі. Цей оператор трактується як збурення деякого власного розширення даного додатно визначеного замкненого симетричного оператора в цьому просторі, причому це збурення змінює не тільки закон дії оператора, але й його область визначення. У термінах абстрактних просторів граничних значень встановлено умови, які гарантують замкненість та щільну визначеність оператора та побудовано спряжений з ним оператор.

Крім цього, встановлено деякі критерії максимальної дисипативності та максимальної акретивності досліджуваних операторів.

Отримані результати застосовано для дослідження деяких конкретних класів диференціально-граничних операторів з некласичними крайовими умовами.

Ключові слова: оператор, простір граничних значень, дисипативність, збурення.

Kachurivska (Pipa) H.M. The perturbations of the differential operators with nonstandard boundary conditions and their abstract analogies. - Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the speciality 01.01.01 - Mathematical Analysis. Ivan Franko Lviv National University, Lviv, 2010.

Differential and differential-boundary operators with nonstandard (first of all, multipoint and integral) boundary conditions and abstract models were investigated by many mathematicians.

In present thesis one of such models is proposed. The main object considered in this dissertation - a linear operator actingin in a Hilbert space - may be interpreted as a perturbation of some proper extension of a given positively definite closed symmetric operator in this space. It should be noted that this operator changes the action of proper as well as its domain. In the terms of abstract boundary value spaces, the conditions guaranteeing that is a closed densely defined operator are established and the adjoint operator is constructed.

In addition, some criteria of maximal dissipativity and maximal accretivity are established.

Obtained results are applied for the investigation of some concrete differential-boundary operators with nonclassical boundary conditions.

Key words: operator, boundary value space, dissipativity, perturbation.

Качуривская (Пипа) Г.М. Возмущения дифференциальных операторов с неклассическими краевыми условиями и их абстрактные аналоги - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2010.

Диссертация состоит из введения, пяти разделов, разбитых на подразделы, выводов, двух дополнений и списка использованных источников.

В первом разделе, "Обзор литературы и основных результатов", приведены используемые в работе результаты В.М. Брука, В.А. Деркача, А.Н. Кочубея, М.Г. Крейна, В.Э. Лянце, М.М. Маламуда, О.Г. Сторожа, Р.С. Филлипса, А.В. Штрауса и других математиков, касающиеся теории расширений и теории возмущений линейных операторов в гильбертовом пространстве. Там же приведены основные результаты диссертации.

Раздел 2 посвящен изучению определенных классов сужений (мы их называем полугладкими) положительно определенного оператора , действующего в гильбертовом пространстве, и их собственных расширений.

В разделе 3 исследован один класс операторов , которые интерпретируются как возмущения (с изменением области определения) некоторого расширения оператора . Здесь сформулированы и доказаны условия, гарантирующие плотную определенность и замкнутость оператора , и построен сопряженный оператор .

Раздел 4 посвящен установлению критериев максимальной аккретивности (прежде всего, максимальной диссипативности) исследуемых операторов. В частности, здесь установлен канонический вид максимально диссипативного возмущения самосопряженного расширения оператора .

В пятом разделе "Дифференциально-граничные операторы типа Штурма-Лиувилля с многоточечно-интегральными краевыми условиями в пространствах бесконечномерных вектор-функций" упомянутые выше результаты применены для исследования операторов, указанных в заглавии раздела. Кроме того, описаны максимально неотрицательные, максимально аккретивные и корректно обратимые возмущения оператора третьей краевой задачи для соответствующего дифференциального выражения.

Ключевые слова: оператор, пространство граничных значений, диссипативность, возмущение.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми: Теорія лінійних диференціальних операторів (як зі скалярними, так і з операторними коефіцієнтами) - один з важливих розділів сучасної математики. Ця теорія знайшла різноманітні застосування, а її основні положення достатньо повно відображені у літературі. Як правило, розглядаються оператори, кожен з яких породжується диференціальним виразом на деякому проміжку і крайовими умовами, класичними в тому сенсі, що відповідні крайові форми є лінійними комбінаціями значень функції з області визначення даного оператора та її похідних (до відповідного порядку) на кінцях розглядуваного проміжку. При цьому застосовується започаткована Дж. Фон Нейманом у 1929 р. теорія розширень лінійних операторів у гільбертовому просторі, різні питання якої згодом досліджували Ю.М. Арлінський, М.Ш. Бірман, В.М. Брук, М.Й. Вішік, В.І. Горбачук та М.Л. Горбачук, В.О. Деркач, М.М. Маламуд та Е.Р. Цекановський, А.Н. Кочубей, М.Г. Крейн, О.В. Кужель та С.О. Кужель, В.А. Михайлець, Ф.С. Рофе-Бекетов, Р.С. Філліпс, К. Фрідріхс та інші математики.

З іншого боку, увагу багатьох математиків привертали диференціальні оператори з різного роду некласичними крайовими умовами (інтегральними, багатоточковими і т.п.). Деякі з таких умов наведені у відомому довіднику Е. Камке. А.М. Кралл розглянув у просторі оператор Штурма-Ліувілля з інтегральними крайовими умовами і побудував спряжений з ним. Останній, зрозуміло, вже не є диференціальним. Він був названий диференціально-граничним оператором (ДГО). Породжені звичайними диференціальними виразами ДГО, а також деякі їхні узагальнення та відповідні абстрактні теоретико-функціональні моделі досліджували також Р.С. Браун, Г.Б. Грін та А.М. Кралл, Е.А. Коддінгтон, А. Дайксма і Г. Сноо та інші математики.

Зазначимо, що такі оператори природним чином виникають при розгляді задачі про самоспряжені та дисипативні розширення нещільно визначених ермітових операторів та задачі про акретивні розширення додатно визначеного диференціального оператора.

Крім цього, нагадаємо, що поняття (максимального) акретивного оператора тісно пов'язане з проблемою стійкості розв'язку задачі Коші для деяких диференціально-операторних рівнянь, зокрема рівнянь в частинних похідних.

Що ж стосується згаданих теоретико-функціональних моделей, то одна з них була запропонована у 1972 р. В.Е. Лянце, результати якого знайшли дальший розвиток у серії праць В.Е. Лянце і О.Г. Сторожа, де побудовано теорію одного класу збурень лінійних операторів у гільбертовому просторі, які змінюють не тільки закон дії оператора, а й його область визначення. При цьому елементи з області визначення як збуреного оператора, так і спряженого з ним, є, в певному сенсі, "гладкими". У випадку диференціальних операторів це означає, що вони не виходять за межі області визначення відповідного максимального оператора. Це обмеження, в певній мірі, було подолано у працях О.Я. Мильо і О.Г. Сторожа. Однак у цих працях мова йде тільки про скінченновимірні збурення і про звичайні (тобто зі скалярними коефіцієнтами) ДГО.

Тому актуальною, на нашу думку, є задача про поширення результатів робіт, про які йшла мова у попередньому абзаці, на ширші класи операторів, зокрема на оператори, зазначені у заголовку дисертації.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Напрямок досліджень, обраний у дисертації, передбачений планами наукової роботи Львівського національного університету імені Івана Франка. Значна частина результатів, викладених в роботі, отримана в рамках теми ДФФД, проект N 01.07/00172, а також держбюджетної теми МА-80Б "Функціонально-аналітичні методи в комплексному аналізі і теорії операторів" (номер державної реєстрації N 0101U001436).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є поширення встановлених раніше результатів, що стосуються збурень, які змінюють область визначення, на ширші класи операторів, зокрема

1) з'ясувати умови, які гарантують замкненість та щільну визначеність досліджуваних операторів;

2) встановити умови взаємної спряженості розглядуваних операторів;

3) отримати критерії максимальної дисипативності, максимальної акретивності та розв'язності таких операторів;

4) застосувати теоретико-операторні результати до ДГО типу Штурма-Ліувілля з операторним потенціалом та некласичними крайовими умовами.

Об'єктом дослідження є збурення власних розширень додатно визначених операторів, які (збурення) змінюють не тільки закон дії оператора, але й його область визначення.

Предметом дослідження є диференціально-граничні оператори типу Штурма-Ліувілля з некласичними крайовими умовами та додатними операторними потенціалами.

Методи дослідження. У роботі використовуються методи теорії лінійних операторів у гільбертовому просторі (перш за все - методи теорії розширень та теорії збурень таких операторів), а також деякі методи теорії диференціальних рівнянь.

Наукова новизна отриманих результатів. Результати, викладені у дисертації, є новими. У роботі вперше

1) введені і вивчені деякі класи збурень власних розширень додатно визначеного оператора з довільним індексом дефекту;

2) встановлено умови, які гарантують замкненість та щільну визначеність досліджуваних операторів;

3) отримано критерії розв'язності, максимальної дисипативності та максимальної акретивності розглядуваних операторів;

4) отримані результати застосовано при дослідженні деяких конкретних ДГО типу Штурма-Ліувілля з обмеженим додатним операторним потенціалом.

Практичне значення отриманих результатів. Результати дисертації мають теоретичний характер. Ці результати можуть бути використані у дослідженнях з теорії розширень та теорії збурень лінійних операторів, а також при розв'язуванні конкретних прикладних задач.

Особистий внесок здобувача. Викладені у роботі результати отримано автором самостійно. В опублікованих спільно з науковим керівником статтях співавторові належать постановка задачі та загальне керівництво роботою. Крім цього, результати праць [1, 10] отримано співавторами для одного часткового випадку.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на

1) Міжнародній конференції "Функціональний аналіз та його застосування", присвяченій 110-річчю з дня народження С. Банаха (Львів, 28-31 травня 2002 р.);

2) Міжнародній школі-семінарі "Ланцюгові дроби, їх узагальнення та застосування", присвяченій 75-річчю з дня народження проф. В.Я. Скоробогатька (Ужгород, 19-24 серпня 2002 р.);

3) Третій Всеукраїнській науковій конференції "Нелінійні проблеми аналізу" (Івано-Франківськ, 9-12 вересня 2003 р.);

4) Десятій Міжнародній науковій конференції ім. акад. М.П. Кравчука (Київ, 13-15 травня 2004 р.);

5) Одинадцятій Міжнародній науковій конференції ім. акад. М.П. Кравчука (Київ, 18-20 травня 2006 р.);

6) Міжнародній конференції з сучасного аналізу та його застосувань, присвяченій 100-річчю з дня народження М.Г. Крейна (Одеса, 9-14 квітня 2007 р.);

7) Львівському міжвузівському семінарі з функціонального аналізу (керівники - проф. В.Е. Лянце, проф. О.Г. Сторож);

8) Львівському регіональному семінарі з математичного аналізу (керівник - проф. М.М. Шеремета).

Крім цього, вони відображені в тезах доповідей Міжнародної конференції "Математичний аналіз і суміжні питання" (Львів, 17-20 листопада 2005 р.) та тезах доповідей Міжнародної математичної конференції ім. В.Я. Скоробогатька (Дрогобич, 24-28 вересня 2007 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у 20-ти статтях і наукових повідомленнях (4 без співавторів), з яких 11 (2 без співавторів) опубліковано у виданнях, включених у перелік ВАК України, в яких слід опублікувати результати дисертації.

Структура і об'єм роботи. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, розбитих на підрозділи, висновків, двох додатків та списку використаних джерел, який займає 12 сторінок і включає 91 найменування. Загальний обсяг роботи (не враховуючи додатків, які займають 6 сторінок) - 136 сторінок.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, визначено мету і задачі дослідження, а також наукову новизну отриманих результатів.

У розділі 1 викладено огляд літератури, методів досліджень та основних результатів дисертації. Крім цього, роз'яснено позначення, які систематично використовуються в роботі:

, - скалярний добуток та норма в гільбертовому просторі ;

- тотожне перетворення цього простору;

відповідно область визначення, область значень та многовид нулів оператора ;

- відповідно резольвентна множина, спектр та точковий спектр оператора ;

( - сукупність лінійних неперервних (відповідно компактних) операторів , де - гільбертові простори, таких, що ;

- клас замкнених лінійних щільно визначених операторів ; ;

та - звуження оператора на множину та образ множини при відображенні ;

- замикання множини ;

- лінійна оболонка множини ; ;

- вимір лінійного многовиду ;

;

- скалярний добуток і норма графіка оператора , тобто

;

- передгільбертів простір, що співпадає як множина з і наділений скалярним добутком ;

оператор, спряжений з оператором ;

символи алгебричної суми та прямої суми;

? - символи ортогональної суми та ортогонального доповнення, зокрема, ?- відповідні символи в ;

- вектор-стовпець, транспонований з вектор-рядком ;

якщо - лінійні оператори, то запис (якщо не умовлено протилежного) означає, що .

Далі в розділі 1 наведено деякі положення теорії розширень та теорії збурень лінійних операторів, які застосовуються у дисертації.

Припустимо, що - фіксований комплексний гільбертів простір зі скалярним добутком , а , причому (тобто є розширенням оператора ).

Нагадаємо, що пара , де гільбертів простір, а , називається крайовою для , якщо .

Якщо - довільний гільбертів простір, а , то під розумітимемо спряжений оператор, тобто

Лінійний оператор називатимемо акретивним , якщо для всякого і максимально акретивним, якщо, крім цього, він не має в нетривіальних акретивних розширень. У випадку, коли , акретивний оператор називається акретивним (дисипативним; акумулятивним).

А.Н. Кочубеєм і В.М. Бруком дано опис усіх максимально дисипативних, зокрема самоспряжених, розширень симетричного оператора з однаковими дефектними числами. При цьому виявилося корисним поняття простору граничних значень (ПГЗ) цього оператора. Трійка (,, де - гільбертів простір, лінійні відображення , називається простором граничних значень (ПГЗ) оператора , якщо і

_{H H}..

У роботі роль вихідного об'єкта відіграє додатно визначений оператор , де гільбертів простір зі скалярним добутком (та породженою ним нормою ). Через позначаємо розширення за Фрідріхсом оператора , а через та його енергетичний простір та енергетичний скалярний добуток. Під (, маємо на увазі фіксований ПГЗ оператора і приймаємо .

У випадку, коли додатно визначений оператор, , , ПГЗ (, називатимемо жорстким.

Крім цього, якщо (де гільбертів простір) - лінійний оператор такий, що , то оператор визначаємо виходячи з умови

.

Перейдемо до викладу результатів розділу 2. Нехай , де гільбертів простір,і

, , замкнена в . (1)

Визначимо оператори , таким чином:

,

, .

Основним результатом підрозділу 2.1 є

Теорема 2.1.1. Якщо справджуються умови (1), то і .

У підрозділі 2.2 розглядається більш загальна ситуація.

Припустимо, що (замкнені лінійні) підпростори простору , а оператори задовольняють такі умови:

, , замкнена в . (2)

Приймемо і позначимо через лінійне продовження оператора на , яке анулюється на . Далі, для будь-яких , визначимо оператори , , таким чином:

, , .

Нарешті, приймемо

, ,

де - проектор паралельно до .

Теорема 2.2.1. Припустимо, що справджуються умови (2). Тоді

а) () та () - крайові пари для та відповідно;

б)

_.

У підрозділі 2.3 ми знову повертаємося до ситуації, описаної в підрозділі 2.1, тобто до випадку, коли . Тут дано опис самоспряжених розширень оператора , а у випадку, коли (, - жорсткий ПГЗ оператора , побудовано жорстке (фрідріхсівське) та м'яке (крейнівське) розширення оператора .

У підрозділі 2.4, який є продовженням попереднього, побудовано функцію Вейля (в сенсі означення, запропонованого у 1985 р. В.О. Деркачем і М.М. Маламудом) оператора та досліджено деякі її асимптотичні властивості.

Центральним у дисертації є розділ 3. Тут вважаємо даними крайові пари () та () для такі, що

(3)

Далі, нехай ), . Основним об'єктом нашого дослідження є оператор , визначений за допомогою співвідношень

(4)

(5)

(тут і далі для будь-якого лінійного оператора такого, що , через позначаємо лінійне продовження цього оператора нулем на ).

Метою підрозділу 3.1 є встановлення умов, які гарантують щільну визначеність та замкненість оператора (4) - (5) та побудова спряженого оператора . При цьому весь час припускаємо, що справджуються умови (2), а під , де лінійний оператор у гільбертовому просторі, розуміємо ортопроектор на .

Теорема 3.1.1. Якщо

, (6)

то є щільно визначеним оператором і в цьому випадку

.

Якщо, крім цього

, (7)

то .

Зауваження 3.1.2. Рівності (6), (7) мають місце, якщо справджується принаймні одна з наступних умов:

а) компактні оператори, тобто );

б) оператори мають нульову межу, оператори нульову межу.

Зауваження 3.1.4. Підставляючи в (4) - (5) отримуємо: . Ми трактуємо як збурення оператора . Однак це збурення змінює не тільки закон дії оператора, але й його область визначення.

У підрозділі 3.2 встановлено критерій взаємної спряженості збурених операторів, тобто оператора , визначеного за допомогою співвідношень (4) - (5) та оператора такого вигляду:

,

де () - деяка крайова пара для .

У підрозділі 3.3 побудовано резольвенту оператора (4) - (5) у припущенні, що відома резольвента незбуреного оператора , описаного у зауваженні 3.1.4. При цьому припускаємо, що справджуються умови (2), (6),(7), які гарантують замкненість та щільну визначеність оператора .

Розділ 4 присвячено встановленню критеріїв максимальної акретивності збуреного оператора. Зокрема, у підрозділі 4.1 розглядаємо питання про умови максимальної дисипативності та максимальної акумулятивності оператора (4) - (5) у ситуації, коли

, ,

а отже

, , ,

, , .

Таким чином,

(8)

(9)

Приймемо

і позначимо через ортопроектор .

Теорема 4.1.1. Припустимо, що справджуються умови (2), (6), (7). Для того, щоб оператор (8) - (9) був максимально дисипативним, необхідно і достатньо, щоб справджувалася нерівність

і щоб оператор був максимально дисипативним.

Аналогічним чином формулюються умови максимальної акумулятивності та самоспряженості оператора (8) - (9).

Далі, нехай (, - фіксований ПГЗ оператора , () такі, що оборотний в (), . Тоді співвідношення (8) - (9) набувають такого вигляду:

(10)

(11)

причому, як і вище, припускаємо, що справджуються умови (2), (6), (7).

Запропонуємо ще один підхід до встановлення критерію максимальної дисипативності оператора (10) - (11) у припущенні, що незбурений оператор є самоспряженим. Зауважимо, що при дослідженні незбурених операторів такий підхід застосовували Ф.С. Рофе-Бекетов і М.Л Горбачук, а згодом - А.Н. Кочубей і В.М. Брук.

Теорема 4.1.2. Якщо , то оператор (10) - (11) є максимально дисипативним (максимально акумулятивним; самоспряженим) тоді і тільки тоді, коли існують (), (), () і дисипативний (акумулятивний; самоспряжений) оператор () такі, що

де , а продовження оператора за лінійністю нулем на . При цьому справджуються умови типу (1), (6), (7).

Метою підрозділу 4.2 є встановлення умов максимальної акретивності описаного вище оператора (4) - (5) у припущенні, що

,

де (, - жорсткий ПГЗ оператора , а оборотний в () і, крім цього існують , () такі, що . Щоправда, результати цього підрозділу (за деякими винятками) мають критеріальний характер лише в ситуації, коли .

У розділі 5, присвяченому дослідженню диференціально-граничних операторів типу Штурма-Ліувілля з багатоточково-інтегральними крайовими умовами у просторах нескінченновимірних вектор-функцій, під розуміємо фіксований сепарабельний гільбертів простір зі скалярним добутком і вважаємо, що

додатно визначений оператор, причому оператор-функція сильно неперервна на (ці умови можна послабити),

(12)

а та відповідно максимальний та мінімальний оператори, породжені цим виразом у гільбертовому просторі зі скалярним добутком

.

Нехай (замкнені лінійні) підпростори простору , ортопроектор , . Визначимо оператори за допомогою співвідношень

(тут і нижче під маємо на увазі вираз (12), у якому всі похідні треба розуміти у класичному сенсі). Далі, нехай (, наприклад

, де (), ,

а () такі, що операторна матриця оборотна в (). Приймемо і визначимо оператор за допомогою співвідношень

(13)

(14)

Мета розділу 5 - дослідження оператора (13) - (14). Підрозділ 5.1 носить допоміжний характер. Тут роз'яснено позначення та сформульовано постановку задачі. У підрозділі 5.2 доведено, і (теорема 5.2.1) і побудовано деякі крайові пари для (теорема 5.2.4).

У підрозділі 5.3 доведено, що і побудовано спряжений оператор (теорема 5.3.1), а також наведено критерії максимальної дисипативності та самоспряженості розглядуваного оператора (теорема 5.3.3, наслідок 5.3.2). Зазначимо, що доведення основних результатів підрозділу 5.3 проводяться за схемою, запропонованою для доведення їхніх абстрактних аналогів, про які йшла мова у розділах 3 та 4 (хоч і не випливають безпосередньо з них), тому частина цих результатів доведеннями не супроводжується. Для повноти викладу, доведення теореми 5.3.3 наведено в додатку А.

У підрозділі 5.4 припускаємо (для спрощення викладу), що

Нехай (), і водимо в розгляд оператор , область визначення якого складається з усіх , які задовольняють умови

а закон дії такий

Мета цього підрозділу - встановлення критеріїв максимальної невід'ємності, максимальної акретивності та коректної оборотності оператора .

Більш конкретно, нехай фундаментальна система розв'язків рівняння така, що

, .

.

, , .

Теорема 5.4.2. Оператор є максимально невід'ємним (максимально акретивним; коректно оборотним) тоді і тільки тоді, коли оператор

є невід'ємним (акретивним; коректно оборотним) у просторі ().

Наслідок 5.4.4. самоспряжений додатно визначений оператор тоді і тільки тоді, коли додатно визначений оператор.

Висновки

диференціальний оператор дисипативність акретивність

У дисертаційній роботі вивчаються певні класи збурень замкнених лінійних операторів у гільбертовому просторі, які (збурення) змінюють не тільки закон дії оператора, але й його область визначення. Отримано такі нові результати:

– встановлено умови, які гарантують щільну визначеність та замкненість досліджуваного збуреного оператора;

– встановлено критерій взаємної спряженості розглядуваних операторів;

– побудовано резольвенту збуреного оператора;

– при деяких додаткових припущеннях доведено критерії максимальної акретивності досліджуваних операторів. Зокрема, встановлено канонічний вигляд максимально дисипативного збурення самоспряженого розширення додатно визначеного оператора;

– отримані абстрактні результати застосовано для дослідження диференціально-граничних операторів типу Штурма-Ліувілля з обмеженим операторним потенціалом та некласичними (перш за все, інтегрально-багатоточковими) крайовими умовами. Зокрема, встановлено критерії максимальної невід'ємності, максимальної акретивності та коректної оборотності для одного класу збурень оператора третьої крайової задачі для диференціального виразу Штурма-Ліувілля.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Мильо О.Я. Про функцію Вейля та екстремальні розширення напівгладкого звуження додатно визначеного оператора / О.Я. Мильо, Г.М. Піпа, О.Г. Сторож // Мат. методи та фіз.-мех. поля - 2003. - 46, № 4. - С. 73 - 80.

2. Піпа Г.М. Напівгладкі звуження додатно визначеного оператора та їхні власні розширення / Г.М. Піпа, О.Г. Сторож // Мат. методи та фіз.-мех. поля - 2004. - 47, № 2. - С. 84 - 89.

3. Піпа Г.М. Про один клас збурень власних розширень додатно визначеного оператора / Г.М. Піпа, О.Г. Сторож // Доп. НАН України. - 2004. - № 8. - С. 29 - 33.

4. Піпа Г.М. Про резольвенту збурення, яке змінює область визначення власного розширення додатно визначеного оператора / Г.М. Піпа // Мат. методи та фіз.-мех. поля - 2005. - 48, № 1. - С. 15 - 20.

5. Pipa H.M. On some perturbations changing the domain of proper extension of positively definite operator / H.M. Pipa, O.G. Storozh // Methods Funct. Anal. Topology. - 2005. - 11, № 3. - P. 257 - 269.

6. Піпа Г.М. Умови максимальної дисипативності для одного класу замкнених операторів у гільбертовому просторі / Г.М. Піпа, О.Г. Сторож // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. - 2005. - Вип. 64. - С. 190 - 200.

7. Піпа Г.М. Акретивні збурення власних розширень додатно визначеного оператора / Г.М. Піпа, О.Г. Сторож // Мат. студії. - 2006. - 25, № 2. - С. 181 - 190.

8. Піпа Г.М. Про диференціально-граничний оператор типу Штурма-Ліувілля з багатоточково-інтегральними крайовими умовами у просторі нескінченновимірних вектор-функцій / Г.М. Піпа, О.Г. Сторож // Доп. НАН України. - 2006. - № 10. - С. 34 - 39.

9. Піпа Г.М. Про один клас збурень оператора Штурма-Ліувілля з обмеженим додатним операторним потенціалом / Г.М. Піпа, О.Г. Сторож // Мат. методи та фіз.-мех. поля - 2007. - 50, № 4. - С. 38 - 49.

10. Pipa H.M. The criteria of maximal dissipativity and self-adjointness for a class of differential-boundary operators with bounded operator coefficients / H.M. Pipa, O.G. Storozh // Methods Funct. Anal. Topology. - 2008. - 14, № 4. - P. 372 - 379.

11. Піпа Г.М. Невід'ємні та акретивні збурення оператора третьої крайової задачі для диференціального виразу Штурма-Ліувілля з обмеженим операторним потенціалом / Г.М. Піпа // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. - 2008. - Вип. 68. - С. 207 - 214.

12. Pipa H.M. On a class of densely defined restrictions of closed positively defined operators in Hilbert space / H.M. Pipa, O.G. Storozh // International Conference Dedicated to Stefan Banach "Functional Analysis and its Applications" (May 28 - 31, 2002, Lviv, Ukraine). - Abstracts, Lviv, 2002. - P. 157.

13. Mylyo O. Ya. On Weyl function of semi-smooth restriction of positively defined operator /O. Ya. Mylyo, H.M. Pipa, O.G. Storozh // Міжнародна школа-семінар "Ланцюгові дроби, їх узагальнення та застосування", присвячена 75-річчю з дня народження проф. В.Я. Скоробогатька (19 - 24 серпня 2002, Ужгород, Україна). - Тези доповідей, Ужгород, 2002. - С. 24-25.

14. Піпа Г.М. Про резольвенту збурення напівгладкого звуження додатно визначеного оператора / Г.М. Піпа // ІІІ Всеукраїнська наукова конференція "Нелінійні проблеми аналізу" (9 - 12 вересня 2003, Івано-Франківськ, Україна). - Тези доповідей, Івано-Франківськ, 2003. - С. 89.

15. Піпа Г.М. Про умови взаємної спряженості деяких замкнених операторів / Г.М. Піпа, О.Г. Сторож // 10-та Міжнародна наукова конференція імені академіка М.П. Кравчука. (13 - 15 травня 2004, Київ, Україна). - Матеріали конференції, Київ, 2004. - С. 482.

16. Pipa H.M. On canonic form for one maximal dissipative perturbation of a proper extension of positively definite operator / H.M. Pipa, O.G. Storozh // Міжнародна конференція "Математичний аналіз і суміжні питання" (17 - 20 листопада 2005, Львів, Україна). - Тези доповідей, Львів,2005. - С. 80.

17. Піпа Г.М. Про один клас диференціально-граничних операторів другого порядку з некласичними крайовими умовами та обмеженими операторними коефіцієнтами / Г.М. Піпа, О.Г. Сторож // 11-та Міжнародна наукова конференція імені академіка М.П. Кравчука. (18 - 20 травня 2006, Київ, Україна). - Матеріали конференції, Київ, 2006. - С. 548

18. Pipa H.M. The criterion of dissipativity for a class of differential-boundary operators with bounded operator coefficients / H.M. Pipa, O.G. Storozh // International Conference on Modern Analysis and Applications Dedicated to Mark Krein (April 9 - 14, 2007, Odessa, Ukraine). - Abstracts, Odessa, 2007. - P. 112.

19. Піпа Г.М. Умови невід'ємності та акретивності для деяких збурень майже розв'язних розширень додатно визначеного оператора / Г.М. Піпа, О.Г. Сторож // Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробогатька (24 - 28 вересня 2007, Дрогобич, Україна). - Тези доповідей, Львів, 2007. - С. 225.

20. Піпа Г.М. Про деякі класи збурень оператора третьої крайової задачі для диференціального виразу Штурма-Ліувілля з обмеженим операторним потенціалом / Г.М. Піпа // Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробогатька (24 - 28 вересня 2007, Дрогобич, Україна). - Тези доповідей, Львів, 2007. - С. 226.

Размещено на Allbest.ru

...