Методи дослідження та розв’язування задачі зважених найменших квадратів з наближеними вихідними даними

1

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕННЯ ТА РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧІ ЗВАЖЕНИХ НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ З НАБЛИЖЕНИМИ ВИХІДНИМИ ДАНИМИ

Ніколаєвська Олена Анатоліївна

Київ 2010

Анотація

Ніколаєвська О.А. Методи дослідження та розв'язування задачі зважених найменших квадратів з наближеними вихідними даними. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, Київ, 2010.

Створено теоретичні основи і побудовано алгоритми компютерного дослідження та розв'язування математичних задач з наближеними вихідними даними, які виникають при математичному моделюванні процесів, явищ, систем у різних предметних областях, де розв'язування задач лінійної алгебри (систем лінійних алгебраїчних рівнянь, задачі зважених найменших квадратів) є проміжним або завершальним етапом.

Результати дослідження виконано як для комп'ютерів традиційної архітектури, так і паралельних MIMD-комп'ютерів.

Концептуальною основою методології комп'ютерного дослідження математичних моделей з наближеними вихідними даними і програмного забезпечення для автоматичного розв'язування таких задач є взаємозв'язаний процес: дослідження математичних властивостей машинних моделей задач, побудова алгоритму одержання наближеного розв'язку в залежності від виявлених властивостей машинної моделі, оцінка вірогідності машинного розв'язку.

Ключові слова: математична модель, машинна модель, наближені вихідні дані, задача зважених найменших квадратів, зважене сингулярне розвинення, комп'ютерні методи, оцінка вірогідності, MIMD-комп'ютери, алгоритми паралельних обчислень.

Аннотация

Николаевская Е.А. Методы исследования и решения задачи взвешенных наименьших квадратов с приближенными исходными данными. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. - Институт кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины, Киев, 2010.

Создано теоретические основы, построено алгоритмы компьютерного исследования и решения математических задач с приближенными исходными данными, которые возникают при математическом моделировании процессов, явлений, систем в разных предметных областях, где решение задач линейной алгебры (систем линейных алгебраических уравнений, задач взвешенных наименьших квадратов) является промежуточным или завершающим этапом.

Концептуальной основой методологии компьютерного исследования математических моделей с приближенными исходными данными и программного обеспечения для автоматического решения таких задач является взаимосвязанный процесс: исследование математических свойств машинных моделей задач, построение алгоритма получения приближенного решения в зависимости от выявленных свойств машинной модели, оценка достоверности машинного решения.

Получено новые результаты в теории возмущения для задач взвешенного псевдообращения и взвешенного псевдорешения.

Установлены оценки наследственной погрешности взвешенного нормального псевдорешения для матриц произвольного вида и ранга, в том числе, когда ранг возмущенной матрицы может изменяться.

Разработана методология оценки достоверности получаемых решений. Получены оценки вычислительной погрешности, которая аккумулирует в себе как погрешность компьютерных вычислений, так и погрешность метода решения.

Получено оценки полной погрешности решения задачи взвешенных наименьших квадратов с матрицами произвольного вида и ранга.

Для решения и исследования задачи взвешенных наименьших квадратов с приближенными исходными данными предложены и реализованы алгоритмы и программые средства, апробированные как на компьютере традиционной архитектуры, так и на MIMD- компьютере.

Для задачи взвешенных наименьших квадратов с положительно полуопределенными матрицами разработан и исследован метод трёхэтапной регуляризации решения, который обеспечивает гарантированную точность взвешенного нормального псевдорешения.

Разработан метод нахождения, взвешенного нормального псевдорешения для матриц произвольного вида и ранга с использованием взвешенного сингулярного разложения матриц в условиях приближенных исходных данных.

Для компьютеров MIMD-архитектуры разработан, исследован и реализован параллельный алгоритм нахождения, взвешенного нормального псевдорешения с приближенными исходными данными на основе алгоритма взвешенного сингулярного разложения.

Ключевые слова: математическая модель, машинная модель, приближенные исходные данные, задача взвешенных наименьших квадратов, взвешенное сингулярное разложение, компьютерные методы, оценка достоверности, MIMD-компьютеры, алгоритмы параллельных вычислений.

Abstract

E.A. Nikolaevskaya. The Methods of investigations and Solutions of Weighted Leasr Squares Problem with the approximately initial data. - Manuscript.

Dissertation submitted for the degree of Candidate in physics and mathematics in the speciality 01.05.02 - mathematical modelling and computational methods. -V.M. Glushkov Institute of cybernetics of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2010.

Theoretical foundation has been created and the algorithms of computer research and solution of mathematical tasks are built with the approximately initial data which arise up at the mathematical design of processes, phenomena, systems in different subject domains, where decision of tasks of linear algebra (linear algebraic systems and and weighted least squares problem) is the intermediate or finishing stage.

Results of research is executed both for the computers of traditional architecture and parallel MIMD-computers.

A conceptual basis of both a methodology for the computer investigation of mathematical models with approximately given initial data and software intended for the automatic solving of such problems is a correlated process: the investigation of mathematical properties of machine models of problems, the construction of a method for the obtaining of an approximate solution depending on the revealed characteristics of the machine model as well as the reliability estimation of the machine solution.

Key words: mathematical model, machine model, approximately set initial data, weighed least squares problem, weighed sibgular value decomposition, computer methods, estimation of authenticity, MIMD-cоmputer, algorithms of parallel calculations.

1. загальна характеристика роботи

Актуальність проблеми. Математичне моделювання та повязаний з ним компютерний експеримент є одними з основних засобів вивчення різноманітних явищ природи, процесів в економіці, суспільстві та ін. Чисельні експерименти дозволяють одержувати нові знання про ті явища і процеси, дослідження яких за допомогою натурних експериментів наштовхується на серйозні труднощі. Досвід показує, що більшість прикладних задач зводиться до математичних моделей з наближеними вихідними даними.

Інтерес до проблеми зважених псевдообернених матриць та задачі зважених найменших квадратів значною мiрою обумовлений їх багато-чисельними застосуваннями. Зокрема, задача зважених найменших квадратів використовується при проектуванні та оптимізації будівельних конструкцій, в томографії, у статистиці та ін. Ряд властивостей зважених псевдообернених матриць лежить в основі знаходження зважених нормальних псевдорозв'язків. Область застосування зважених псевдообернених матриць та зважених нормальних псевдорозв'язків неперервно розширюється.

Дослідженню властивостей зважених псевдообернених матриць та зважених нормальних псевдорозв'язків, а також побудові методів розв'язування задач присвячені роботи Галби Є.Ф., Дейнеки В.С., Сергієнка І.В., Кириченка М.Ф., Блюміна С.Л., Молчанова І.М., Скопецького В.В., Міловідова В.П., Ben-Israel A., Chen G.L., Elden L., Ji J., Wei Y., Mitra S.K., Rao C.R., Stewart G.W., Van Loan C.F., Wang D., Wang G., Wei M, Chipman J.S., Ward J.F.

Значно менше робіт присвячено дослідженню зваженої псевдоінверсії в умовах наближених вихідних даних. Ці питання розглядаються в роботах Хіміча О.М., Wei M., Wei Y., Elden L., Wang G. та ін.

Характерною особливістю математичних моделей з наближеними вихідними даними є те, що їх математичні властивості апріорі невідомі. Машинна модель задачі, яку в результаті і доводиться розвязувати на компютері, має завжди наближений щодо вихідної задачі характер (через похибку вихідних даних, через похибку дискретизації, через похибку одержання (вводу) числових даних про задачу в компютері). При цьому властивості машинної моделі задачі можуть відрізнятися від властивостей математичної та дискретної задач.

Проблема полягає в тому, щоб дослідити властивості машинної моделі і в машинному середовищі сформувати модель задачі та алгоритм одержання наближеного розвязку, що буде наближувати розвязок математичної задачі.

І, нарешті, ключовою проблемою чисельного моделювання є проблема достовірності отримуваних машинних розв'язків.

На даний час компютери з паралельною архітектурою стають одним із основних обчислювальних засобів при чисельному моделюванні складних процесів у різних предметних областях.

До багатьох уже перелічених проблем у цьому випадку додаються проблеми алгоритмічного та програмного характеру, що стосуються розробки алгоритмів, які враховують архітектуру та технічні особливості таких компютерів, вибору необхідної кількості процесорів, розподілу інформації по процесорах, синхронізації обчислень та обмінів і таке ін.

Розв'язуванню перелічених актуальних задач i деяких їх застосувань для математичного моделювання на основі задачі зважених найменших квадратів присвячена дисертаційна робота.

Звязок роботи з науковими програмами, планами темами. Робота виконувалась у відповідності з планами наукових досліджень відділу №150 Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України в рамках науково-дослідницьких тем 0107U000631 «Розробити комп'ютерні методи дослідження математичних моделей з наближено заданими вихідними даними», 0107U004964 «Розробити інтелектуальні ІТ як “готові рішення” для дослідження та розв'язання задач обчислювальної математики (“Інтелект”)», 0103U003260 «Створення інтелектуальної восьмиядерної робочої станції з паралельною організацією обчислень».

Мета та завдання досліджень. Мета - розвиток теорії збурень для задачі зважених найменших квадратів та розробка чисельних методів для дослідження математичних моделей з наближеними вихідними даними.

Для досягнення поставленої мети необхідно розв'язати наступні задачі:

· дослідження існування та єдиності зваженого нормального псевдорозв'язку;

· отримання оцінок похибок зваженого нормального псевдорозв'язку (спадкової, обчислювальної та повної);

· розробка алгоритмів розв'язування задачі зважених найменших квадратів з наближеними вихідними даними та оцінкою похибки комп'ютерного розв'язку;

· розробка паралельних алгоритмів розв'язування задачі зважених найменших квадратів;

· апробація отриманих результатів при математичному моделюванні фізичних процесів.

Об'єкт дослідження - математичні моделі з наближеними вихідними даними.

Предмет дослідження - задача зважених найменших квадратів з додатно визначеними вагами, алгоритми розв'язування задачі з наближеними вихідними даними, в тому числі паралельні.

Методи дослідження. При дослідженні властивостей зважених псевдообернених матриць та зважених нормальних псевдорозв'язків використовувались методи теорії матриць, лінійної алгебри, теорії лінійних операторів у скінченно вимірних просторах, функціонального аналізу.

Наукова новизна одержаних результатів. Отримано нові результати в теорії збурення для задач зваженої псевдоінверсії та зваженого псевдорозв'язку, побудовано комп'ютерні методи математичного моделювання на основі задачі зважених найменших квадратів з наближеними вихідними даними, а саме:

· отримано оцінки спадкової похибки зваженої псевдооберненої матриці та зваженого нормального псевдорозв'язку для матриць довільного вигляду та рангу, в тому числі, коли ранг збуреної матриці може змінитися;

· встановлено оцінки обчислювальної та повної похибок розв'язку задачі зважених найменших квадратів з матрицями довільного вигляду та рангу;

· розроблено та досліджено алгоритми розв'язування задачі зважених найменших квадратів з додатно визначеними вагами з наближеними вихідними даними:

- метод триетапної регуляризації для задачі зважених найменших квадратів з додатно напіввизначеними матрицями, який забезпечує гарантовану точність зваженого нормального псевдорозв'язку;

- метод знаходження зваженого нормального псевдорозв'язку для матриць довільного вигляду та рангу з використанням зваженого сингулярного розвинення матриць.

· розроблено, досліджено та реалізовано паралельний алгоритм знаходження зваженого нормального псевдорозв'язку для комп'ютерів MIMD-архітектури.

Практичне значення одержаних результатів. Отримані результати в теорії збурення зваженої псевдоінверсії можуть бути теоретичною основою подальшого дослідження різних аспектів проблеми та розробки методів обчислення зважених псевдообернених матриць, зважених нормальних псевдорозв'язків в умовах наближених вихідних даних, зокрема, при проектуванні та оптимізації будівельних конструкцій, в томографії, при калібровці віскозиметрів. Результати дисертації можуть бути використані в учбовому процесі при читанні спеціальних курсів по цьому розділу теорії матриць. Запропоновані алгоритми по обчисленню зваженого нормального псевдорозв'язку апробовані при створенні програмних засобів для дослідження та розв'язування задачі зважених найменших квадратів для паралельних MIMD-комп'ютерів. Програмні засоби пройшли тестування на суперкомп'ютері СКІТ Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України та інтелектуальних робочих станціях Інпарком (спільної розробки Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова та ДНВП «Електронмаш»).

На створені комп'ютерні програми отримано Свідоцтва про авторські права № 23462 від 17.01.2008 р. та № 28880 від 25.05.2009 р.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи отримано особисто або за особистоъ участі автора. В роботах, написаних у співавторстві, автору дисертації належить: [1, 2, 7, 11, 12] - отримано оцінки спадкової похибки зваженого нормального псевдорозв'язку; [3] - розроблено алгоритм обчислення зваженого нормального псевдорозв'язку з використанням зваженого сингулярного розвинення матриці; [4] - розроблено та досліджено алгоритм триетапної регуляризації розв'язку для задачі зважених найменших квадратів з симетричною додатно напіввизначеною матрицею, який забезпечує гарантовану точність зваженого нормального псевдорозв'язку; [5, 13] - отримано оцінки повної похибки зваженого нормального псевдорозв'язку; [10], [14] - розроблено та реалізовано алгоритм обчислення зваженого нормального псевдорозв'язку з паралельною організацією обчислень на MIMD-комп'ютерах, [9, 10] - створено програмні засоби для розв'язування задачі зважених найменших квадратів з наближеними вихідними даними, [7] - досліджено ефективність розв'язування задачі шляхом підвищення розрядності, в тому числі для паралельних обчислень.

Апробація результатів дисертації. Основні положення та результати досліджень доповідалися на наукових семінарах, конференціях, симпозіумах: Міжнародний симпозіум «Питання оптимізації обчислень - XXXIII» (Кацивелі, 2007 р., 23 - 28 вересня), П'ята міжнародна науково-практична конференція «Математичне і програмне забезпечення інтелектуальних систем» (Київ, 2007), Дванадцята міжнародна наукова конференція імені М. Кравчука (Київ, 2008), XV Всеукраинская научная конференция «Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики» (Львів, 2008, 23 - 25 вересня), «Питання оптимізації обчислень - XXXV» (Кацивелі, 2009 р., 24 - 29 вересня).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 14 наукових роботах, із них 6 - у фахових виданнях з переліку ВАК України, 1 - у міжнародному науковому журналі, 2 - авторські свідоцтва, 5 - у тезах доповідей на конференціях та симпозіумах.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота включає вступ, чотири розділи, висновки, додатки та список літератури, що налічує 146 найменувань. Загальний обсяг роботи складає 123 сторінки, з яких додатки займають 25 сторінок.

2. Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовується актуальність теми дисертації, визначаються мета та основні задачі дослідження, викладаються основні наукові результати роботи.

Перший розділ присвячений огляду літератури за темою дисертації та обґрунтуванню вибору напрямку досліджень. У підрозділі 1.2 наводяться відомі результати по теорії зваженої псевдоінверсії, які використані в наступних розділах. У підрозділі 1.3 наводяться математичні моделі, які зводяться до задачі зважених найменших квадратів.

У другому розділі розвинено теорію збурення для задачі зважених найменших квадратів з наближеними вихідними даними, отримано оцінки спадкової похибки, доведено теореми існування та єдиності зваженого нормального псевдорозв'язку.

Розглядається задача зважених найменших квадратів з додатно визначеними вагами M та N з точними вихідними даними (математична модель з точними вихідними даними)

, ,(1)

де - матриця неповного рангу,

та задача зважених найменших квадратів з наближеними вихідними даними (математична модель з наближеними вихідними даними)

, , (2)

, .

Будемо вважати, що для похибки елементів матриці та правої частини виконуються наступні співвідношення:

(3)

Тут і в подальшому використовуються зважені векторна та матрична норми:

, ,

, .(4)

У підрозділі 2.1 доведено існування та єдиність зваженого нормального псевдорозв'язку задачі (1), отримано оцінки похибки для зваженої псевдооберненої матриці Мура - Пенроуза.

У підрозділі 2.2 отримано оцінки спадкової похибки зваженого нормального псевдорозв'зку задачі зважених найменших квадратів з матрицями довільного вигляду та рангу.

Теорема 2.15. Припустимо, що виконується умова , .

Тоді мають місце оцінки спадкової похибки зваженого нормального псевдорозв'язку та нев'язки

,(5)

, , ,

де - зважене число обумовленості матриці А, символи та означають зважені матричні норми у відповідності з (4), - зважена псевдообернена матриця Мура - Пенроуза.

Для матриць, ранг яких може збільшитися внаслідок збурення, має місце наступна теорема.

Теорема 2.16. Припустимо, що виконується умова , . Тоді мають місце оцінки спадкової похибки зваженого нормального псевдорозв'язку та нев'язки

,(6)

, , ,

де - проекція зваженого нормального псевдорозв'язку задачі (2), на головний зважений правий сингулярний підпростір матриці розміром к, - зважене число обумовленості матриці А, - зважена псевдообернена матриця Мура - Пенроуза.

Для матриць, ранг яких може зменшитися внаслідок збурення елементів, має місце теорема.

Теорема 2.17. Припустимо, що , . Тоді мають місце оцінки спадкової похибки проекції зваженого нормального псевдорозв'язку та нев'язки

,(7)

, , ,

де - проекція зваженого нормального псевдорозв'язку задачі (1) на головний зважений правий сингулярний підпростір матриці А розміром k, - зважені сингулярні числа матриці А.

Оцінку, права частина якої залежить тільки від вихідних даних збуреної задачі, забезпечує наступна теорема.

Теорема 2.21. Припустимо, що , и , Тоді для похибки нормального псевдорозв'язку має місце оцінка

, (8)

де - зважене число обумовленості матриці .

У третьому розділі запропоновано методи одержання наближеного зваженого нормального псевдорозв'язку задачі зважених найменших квадратів з наближеними вихідними даними.

Дано означення поняття виродженості матриці та рангу матриці в умовах наближених вихідних даних.

Лема 3.1. Якщо та , то

.

Враховуючи результати леми 3.1, комп'ютерний алгоритм дослідження повноти рангу зводиться до перевірки двох співвідношень

, (9)

,(10)

де - зважене число обумовленості матриці .

Перша умова (9), яка виконується в арифметиці з плаваючою комою, означає, що матриця має повний ранг у межах машинної точності, а друга (10) - що вона повного рангу і в межах точності задання вихідних даних.

Таку машинну задачу слід розглядати як коректно поставлену в межах точності задання вихідних даних.

Практичний алгоритм для знаходження - рангу може бути визначений наступним чином: знайти величину r, яка дорівнює найбільшому значенню i, для якого виконується нерівність

, .,

де - зважені сингулярні числа матриці А.

У підрозділі 3.2 для матриць довільної структури та рангу розглянуто алгоритм знаходження зваженого нормального псевдорозв'язку на основі зваженого сингулярного розвинення матриці в залежності від співвідношення рангів вихідної та збуреної матриць. Для випадку, коли ранг вихідної матриці збільшується, зважений нормальний псевдорозв'язок будується за формулою

.

Зважена псевдообернена матриця визначається наступним чином:

,

де - прямокутна матриця, перші к діагональних елементів якої відмінні від нуля та співпадають з відповідними елементами матриці , а всі інші елементи рівні нулю. Матриці , і - компоненти зваженого сингулярного розвинення матриці .

У підрозділі 3.3 для розвязування задачі зважених найменших квадратів з симетричними додатно напіввизначеними матрицями запропоновано алгоритм триетапної регуляризації.

Розглянемо задачу зважених найменших квадратів з додатно визначеними вагами M та

, ,(11)

де - симетрична додатно напіввизначена матриця (A=A^T, A0) рангу k, - симетрична додатно визначена матриця-вага, .

Збурена задача має вигляд

, ,(12)

, .(13)

При довільно вибраному параметрі (наприклад, =0,01) виконуються наступні кроки алгоритму:

,(14)

, (15)

, (16)

, (17)

, (18)

, (19)

де , .

Після виконання (18) перевіряється, чи досягнуто точність за допомогою нерівності

.(20)

Якщо нерівність виконується, то необхідну точність досягнуто при заданому довільному . Якщо точність не досягнута, виконується (19) для визначення значення параметра , який забезпечує досягнення заданої точності.

Наближення до зваженого нормального псевдорозв'зку задачі (12) обчислюється за формулою

.

Одержано оцінку для параметра регуляризації, що забезпечує дану точність наближеного зваженого нормального псевдорозв'язку для випадку, коли права частина збурена.

Теорема 3.1. Для похибки наближення до зваженого нормального псевдорозв'язку задачі (12) має місце наступна оцінка:

,(21)

де - зважений нормальний псведорозв'язок, - найменше відмінне від нуля власне значення матриці , - її максимальне власне значення.

Алгоритм триетапної регуляризації є ефективною альтернативою методу зваженого сингулярного розвинення матриці для випадку стрічкових та профільних матриць.

У підрозділі 3.4 розглянуто алгоритм дослідження та розв'язування задачі зважених найменших квадратів з матрицями довільного вигляду та рангу з паралельною організацією обчислень для MIMD-компютерів. Проведений аналіз показав, що для створення ефективних алгоритмів необхідно враховувати архітектуру паралельних компютерів, а їх дослідження доцільно проводити с урахуванням реальних обчислювальних ресурсів (обмежена кількість процесорів, урахування часу обмінів і синхронізації, обємів памяті).

Проведено дослідження ефективності та прискорення паралельного алгоритму. Створено відповідне програмне забезпечення та проведено його апробацію на суперкомп'ютері СКІТ, інтелектуальних робочих станціях Інпарком.

При фіксованих порядках матриць доцільність збільшення кількості процесорів має свої обмеження. Для кожного фіксованого розміру матриці існує найкраща (за часом розв'язування задачі) конфігурація обчислювальної системи.

У четвертому розділі досліджено достовірність отримуваних зважених нормальних псевдорозв'язків. Для систем з довільними прямокутними матрицями одержано оцінки повної похибки машинних розвязків. Оцінки повної похибки враховують як спадкову похибку внаслідок похибки вихідних даних, так і обчислювальну похибку внаслідок наближеного способу визначення розвязку задачі. Обчислювальна похибка може бути наслідком як наближеного методу одержання розвязку, так і похибки внаслідок неточності виконання арифметичних операцій на компютері. Вектор невязки враховує загальний ефект впливу цих похибок.

Теорема 4.1. Припустимо, що виконується умова , і нехай . Тоді має місце оцінка

,(22)

,, ,

де - зважена транспонована матриця до .

Теорема 4.2. Припустимо, що виконується умова , і нехай . Тоді має місце оцінка

,(23)

,,.

Теорема 4.3. Припустимо, що , і нехай . Тоді має місце оцінка

, (24)

,,.

У підрозділі 4.3 проведено експериментальне дослідження точності розв'язку задач шляхом підвищення розрядності. Досліджено та створено алгоритми і програмні засоби, в тому числі й паралельні, з використанням бібліотеки GMP (GNU Multiple Precision Arithmetic Library) для розв'язування СЛАР та задачі зважених найменших квадратів для отримання комп'ютерних розв'язків з наперед заданою точністю.

У додатку А наведено результати обчислювального експерименту з проектування будівельних конструкцій з мінімальною енергією деформації за методом зважених найменших квадратів на прикладі ферми. Необхідно спроектувати конструкцію таким чином, щоб при початково заданому загальному об'ємі () її енергія деформації була мінімальною.

Задача проектування конструкції з мінімальною енергією деформації має вигляд

,

де {} - напруга, матриця-вага

H - діагональна матриця, елементами якої є об'єми конструктивних елементів,

{A} - множина площ перерізу елементів конструкції. Внаслідок експерименту отримано фізично виправдані результати.

У додатку Б наведено результати апробації алгоритму знаходження зваженого нормального псевдорозв'язку з паралельною організацією обчислень на робочих станціях Інпраком.

алгоритм апробація математичний фізичний

Висновки

У дисертаційній роботі розвинуто теорію збурень для задач зважених псевдоінверсій та зважених псевдорозв'язків, створено та досліджено алгоритми, в тому числі паралельні, для отримання псевдорозв'язку в умовах наближених вихідних даних, наведено приклади апробації отриманих результатів для комп'ютерного дослідження математичних моделей на основі задачі зважених найменших квадратів в умовах наближених вихідних даних, проведена апробація отриманих результатів.

В рамках виконаних досліджень отримано наступні результати:

1. Отримано оцінки спадкової похибки зваженого нормального псевдорозв'язку та зваженої псевдооберненої матриці для матриць довільного вигляду та рангу, в тому числі, коли ранг збуреної матриці може змінитися.

2. Встановлено оцінки обчислювальної та повної похибок розв'язку задачі зважених найменших квадратів з матрицями довільного вигляду та рангу.

3. Розроблено та досліджено метод триетапної регуляризації розв'язку для задачі зважених найменших квадратів з додатно напіввизначеними матрицями, який забезпечує гарантовану точність зваженого нормального псевдорозв'язку.

4. Розроблено метод знаходження зваженого нормального псевдорозв'язку для матриць довільного вигляду та рангу з використанням зваженого сингулярного розвинення матриць в умовах наближених вихідних даних.

5. Розроблено, досліджено та реалізовано паралельний алгоритм знаходження зваженого нормального псевдорозв'язку для комп'ютерів MIMD-архітектури з наближеними вихідними даними.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Химич А.Н. Оценка погрешности решения задачи взвешенных наименьших квадратов / А.Н. Химич, Е.А. Николаевская // Компьютерная математика. - 2006. - №3. - С. 36 - 45.

2. Химич А.Н. Анализ возмущения решения задачи взвешенных наименьших квадратов / А.Н. Химич, Е.А. Николаевская // Теорія оптимальних рішень. - 2007. - №6. - C. 12 - 18.

3. Химич А.Н. Решение задачи взвешенных наименьших квадратов с приближенно заданными исходными данными / А.Н. Химич, Е.А. Николаевская // Теорія оптимальних рішень. - 2008. - №7. - C. 132 - 139.

4. Николаевская Е.А. Решение задачи взвешенных наименьших квадратов с симметричной положительно полуопределенной матрицей / Е.А. Николаевская, А.Н. Химич, М.Ф. Яковлев // Компьютерная математика. - 2009. - №3. - С. 36 - 45.

5. Химич А.Н. Анализ достоверности компьютерных решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданными исходными данными / А.Н. Химич, Е.А. Николаевская // Кибернетика и системный анализ. - 2008. - № 6. - С. 83 - 95.

6. Николаевская Е.А. Программно-алгоритмические методы повышения точности компьютерных решений / Е.А. Николаевская, Т.В. Чистякова // Кибернетика и системный анализ. - 2009. - № 6. - С. 172 - 176.

7. Николаевская Е.А. Оценка погрешности взвешенного нормального псевдорешения с положительно - определенными весами / Е.А. Николаевская, А.Н. Химич // Журн. вычисл. математики и мат. физики. - 2009. - Т. 49, № 3. - C. 422 - 430.

8. А.с. Комп'ютерна програма “Інтелектуальний програмний засіб Inpartool для дослідження та розв'язування задач обчислювальної математики з наближено заданими вихідними даними” / О.М. Хіміч, І.М. Молчанов, О.В. Попов, Т.В. Чистякова, М.Ф. Яковлев, Т.О. Герасимова, В.С. Зубатенко, О.В. Громовський, А.Н. Нестеренко, В.В. Полянко, О.В. Рудич, О.А. Ніколаєвська. - № 23462; опубл. 17.01.2008.

9. А.с. Комп'ютерна програма “Комплекс програм з розв'язування задачі зважених найменших квадратів з наближено заданими вихідними даними” / О.М. Хіміч, О.А. Ніколаєвська. - № 28880; опубл. 25.05.2009.

10. Николаевская Е.А. Алгоритм определения взвешенного нормального псевдорешения с параллельной организацией вычислений / Е.А. Николаевская // Питання оптимізації обчислень (ПОО-XXXV): міжнародний симпозіум, 24 - 29 вересня, 2009.: стаття. - Київ, 2009. - С. 156 - 160.

11. Николаевская Е.А. Оценка погрешности взвешенного нормального псевдорешения / Е.А. Николаевская // Питання оптимізації обчислень - XXXIII: міжнародний симпозіум, 23 - 28 вересня, 2007 р.: тези доп. - Київ, 2007. - С. 228.

12. Николаевская Е.А. Анализ чувствительности взвешенного нормального псевдорешения при возмущении исходных данных / Е.А. Николаевская // Дванадцята міжнар. наук. конф. імені М. Кравчука, 15 - 17 травня, 2008 р.; тези доп. - Київ, 2008. - С. 746.

13. Ніколаєвська О.А. Оцінки повної похибки комп'ютерних розв'язків задачі зважених найменших квадратів / О.А. Ніколаєвська // Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики: XV Всеукр. наук. конф., 23-25 вересня, 2008 р.: тези доп. - Львів, 2008. - С. 27.

14. Химич А.Н. Интелектуальное программное обеспечение - эффективное средство решения научно-технических задач на MIMD-компьютере / А.Н. Химич, И.Н. Молчанов, А.В. Попов, Т.В. Чистякова, М.Ф. Яковлев, Т.А. Герасимова, А.Н. Нестеренко, Е.А. Николаевская, В.В. Полянко, О.В. Рудич // Математичне і програмне забезпечення інтелектуальних систем: п'ята міжнар. наук.-практ. конф., 3 - 5 серпня 2007 р.: тези доп. - Дніпропетровськ, 2007. - С. 100.

Размещено на Allbest.ru

...