Методи дослідження інтегро-диференціальних рівнянь з параметрами і обмеженнями

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕННЯ ІНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ З ПАРАМЕТРАМИ І ОБМЕЖЕННЯМИ

Нестеренко Ольга Борисівна

Київ -- 2010

Анотація

Нестеренко О.Б. Методи дослідження інтегро-диференціальних рівнянь з параметрами і обмеженнями. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 -- диференціальні рівняння. Інститут математики Національної академії наук України, Київ, 2010.

Дисертаційну роботу присвячено дослідженню крайових задач для лінійних та слабконелінійних інтегро-диференціальних рівнянь з параметрами і обмеженнями за допомогою зведення їх до рівносильних інтегральних рівнянь без обмежень.

Встановлено умови сумісності крайових задач для лінійних та слабконелінійних інтегро-диференціальних рівнянь з параметрами і обмеженнями. Висвітлено застосування до вказаних крайових задач ітераційного, проекційного та проекційно-ітеративного методів і досліджено їх ефективність. Встановлено достатні умови збіжності та оцінки похибки наведених методів і запропоновано обчислювальні алгоритми.

Поліпшено модифікований проекційно-ітеративний метод стосовно крайових задач для слабконелінійних інтегро-диференціальних рівнянь з параметрами і обмеженнями.

Ключові слова: крайова задача, інтегральні рівняння, інтегро-диференціальні рівняння з параметрами, ітераційний метод, проекційно-ітеративний метод, модифікований проекційно-ітеративний метод, наближені розв'язки.

Аннотация

Нестеренко О.Б. Методы исследования интегро-дифференциальных уравнений с параметрами и ограничениями. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 -- дифференциальные уравнения. Институт математики Национальной академии наук Украины, Киев, 2010.

Диссертация посвящена исследованию краевых задач для линейных и слабонелинейных интегро-дифференциальных уравнений с параметрами и ограничениями путем сведения их к равносильным интегральным уравнениям без ограничений.

Установлены условия совместности краевой задачи для линейных интегро-дифференциальных уравнений с параметрами и ограничениями.

Рассмотрено и проанализировано применение к таким задачам итерационного, проекционного и проекционно-итеративного методов. Исследована эффективность этих методов и область их применения. Установлены достаточные условия сходимости и оценки погрешности указанных методов. Предложены вычислительные алгоритмы применяемых методов.

Установлены условия разрешимости краевых задач для слабонелинейных интегро-дифференциальных уравнений с параметрами и ограничениями. Рассмотрено и проанализировано применение к таким задачам итерационного и проекционно-итеративного методов. Исследована их эффективность и область применения.

Предложен модифицированный вариант проекционно-итеративного метода относительно краевых задач для слабонелинейных интегро-дифференциальных уравнений с параметрами и ограничениями.

Проведены численные эксперименты, результаты которых иллюстрируют реальные возможности применяемых методов.

Ключевые слова: краевая задача, интегральное уравнение, интегро-дифференциальное уравнение с параметром, итерационный метод, проекционно-итеративный метод, модифицированный проекционно-итеративный метод, приближенное решение.

Abstracts

Nesterenko O.B. Methods of the Investigation of Integral-differential Equations with the Parameters and Restrictions. - Manuscript.

The thesis Candidate degree by speciality 01.01.02 -- differential equations. Institute of Mathematics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2010.

The thesis is devoted to the investigation of the boundary-value problems for linear and non-linear integral-differential equations with the parameters and restrictions.

Sufficient conditions for the existence of the solutions of the boundary-value problems for linear and non-linear integral-differential equations with the parameters and restrictions are investigated and substantiated.

The applying iteration, projection, projection-iteration methods to such boundary-value problems and the effectiveness of these methods are also investigated and substantiated.

Sufficient conditions for the coincidence and fault's evaluation of methods that were indicated are also found.

The modifying projection-iteration method for the boundary-value problems for the non-linear integral-differential equations with the parameters and restrictions are improved.

Key words: integral equation, integral-differential equation with the parameters and restrictions, iteration method, projection method, projection-iteration method, modifying projection-iteration method, method of approximation.

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Широкий спектр досліджень у багатьох галузях науки та техніки ґрунтується на побудові і вивченні математичних моделей. Найбільш поширеними серед них є різноманітні задачі для диференціальних, інтегро-диференціальних, функціонально-диференціальних, різницевих рівнянь та їх систем.

При дослідженні математичних моделей широко використовуються як якісні та аналітичні методи теорії диференціальних рівнянь, так і методи обчислювальної математики. Створюються нові методи, до яких, зокрема, належать чисельно-аналітичний метод А.М. Самойленка і метод осереднення функціональних поправок Ю.Д. Соколова, і удосконалюються існуючі, в тому числі й проекційно-ітеративні методи.

В наш час привертають до себе увагу дослідження систем диференціальних рівнянь з малим параметром, імпульсних систем, узагальнених крайових задач, інтегральних рівнянь з обмеженнями та інтегро-диференціальних чи функціонально-диференціальних рівнянь з параметрами та обмеженнями. Різним аспектам теорії цих задач та побудові їх розв'язків, точних чи наближених, присвячені праці А.М. Самойленка, М.О. Перестюка, О.А. Бойчука, М.Й. Ронто, Ю.В. Теплінського, Р.І. Петришина, А.Ю Лучки та багатьох інших авторів.

В дисертаційній роботі методи дослідження рівнянь з обмеженнями та параметрами отримали подальший розвиток. В ній запропоновано новий підхід до встановлення умов сумісності крайових задач для лінійних та слабконелінійних інтегро-диференціальних рівнянь з параметрами та обмеженнями і обґрунтовано застосування до них нових варіантів методів проекційно-ітеративного типу. Такі методи мають низку переваг у порівнянні з існуючими і їх можна застосовувати до конкретних прикладних задач, а тому вони заслуговують на увагу та подальший розвиток.

Таким чином, вибраний напрямок досліджень дисертаційної роботи є актуальним і перспективним.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дослідження проводились у відділі диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України згідно з загальним планом науково-дослідних робіт "Методи аналізу диференціальних, імпульсних та еволюційних рівнянь", номер держреєстрації 0198U001998, і "Теорія диференціальних рівнянь та нелінійних коливань", номер держреєстрації 0101U000526.

Мета і завдання дослідження. Метою даної дисертаційної роботи є встановлення умов розв'язуваності крайових задач для лінійних та слабконелінійних інтегро-диференціальних рівнянь з параметрами та обмеженнями і розробка ефективних методів проекційно-ітеративного типу побудови їх розв'язків.

Об'єкт дослідження -- крайові задачі для інтегро-диференціальних рівнянь з параметрами і обмеженнями.

Предмет дослідження -- умови існування та єдиності розв'язку крайової задачі для інтегро-диференціальних рівнянь з параметрами та обмеженнями і побудова їх наближених розв'язків.

Методи дослідження -- використовуються основні методи та сучасні результати теорії диференціальних та інтегральних рівнянь.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі отримано такі нові результати:

розроблено та обґрунтовано зведення крайової задачі для лінійних та слабконелінійних інтегро-диференціальних рівнянь з параметрами та обмеженнями до рівносильного інтегрального рівняння без обмежень;

досліджено застосування ітераційного, проекційного та проекційно-ітеративного методів до крайових задач для лінійних інтегро-диференціальних рівнянь з параметрами та обмеженнями;

обґрунтовано застосування проекційно-ітеративного та модифікованого проекційно-ітеративного методів до слабконелінійних інтегро-диференціальних рівнянь з параметрами та обмеженнями;

запропоновано обчислювальні алгоритми вказаних методів побудови розв'язків крайової задачі для інтегро-диференціальних рівнянь з обмеженнями та параметрами, які можна реалізувати на практиці.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Одержані результати можуть бути використані для дослідження та побудови розв'язків конкретних прикладних задач, математичними моделями яких є інтегро-диференціальні рівняння з обмеженнями та параметрами.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального напрямку досліджень та постановка задач належать науковому керівникові академіку НАН України А.М. Самойленку. Ідея загальної схеми досліджень належить доктору фіз.-мат. наук, професору А.Ю. Лучці. Всі результати дисертаційної роботи, що виносяться на захист, одержано автором самостійно. У роботах, опублікованих у співавторстві, особистий внесок автора полягає у виборі методики розв'язування поставлених перед ним задач, у проведенні аналітичних та числових розрахунків, підготовці статей до опублікування.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались та обговорювались на:

Міжнародній математичній конференції ім. В.Я. Скоробогатька (24-28 вересня 2007р., Дрогобич, Україна);

ХІІ-й Міжнародній науковій конференції ім. академіка М. Кравчука (15-19 травня 2008 р., Київ, Україна);

Міжнародній науковій конференції з нагоди 70-річчя з дня народження академіка А.М. Самойленка (16-21 червня 2008р., Мелітополь, Україна);

науковому семінарі відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань (2009 р.) (керівник -- академік НАН України, професор А.М. Самойленко).

Публікації. Основні результати роботи опубліковано у 7 працях. Серед них 4 статті [1-4] -- в наукових фахових виданнях, що входять в перелік №1 ВАК України від 09.06.1999 р. та 3 тези [5-7] -- у збірниках матеріалів наукових конференцій.

Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел, який містить 92 найменування. Повний обсяг дисертаційної роботи складає 134 сторінки.

задача інтегральний лінійний

2. Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовується актуальність теми, аналізується сучасний стан проблеми, виділено мету і задачі дослідження, наведено основні результати, відзначено їх новизну та практичне значення, зазначено особистий внесок здобувача, апробацію роботи та публікації.

У розділі 1 зроблено огляд літератури, пов'язаної з темою досліджень, що проводились здобувачем, а також стислий огляд фундаментальних робіт, тематика яких є близькою до проблем, що досліджуються у дисертаційній роботі. Огляд супроводжується обґрунтуванням доцільності і важливості проведення досліджень за вибраним напрямом.

У розділі 2 досліджується крайова задача для лінійних інтегро-диференціальних рівнянь з параметрами і обмеженнями. Встановлюються умови сумісності вказаної задачі та висвітлюється суть ітераційного, проекційного та проекційно-ітеративного методів стосовно поставленої задачі. Розглядається рівняння вигляду

(1)

і ставиться задача знаходження такої функції та параметра , які задовольняють рівняння майже скрізь, крайові умови

(2)

(3)

Якщо така пара існує, то задача (1)-( 3) вважається сумісною.

В рівнянні (1) та умовах (2), (3)

коефіцієнти , , ядро -- сумовне з квадратом за сукупністю змінних, а -матриця , -матриця , елементами яких є лінійно незалежні функції, сумовні з квадратом на відрізку , стала -матриця , елементи якої мають вигляд

та , -- задані.

У підрозділі 2.1 при встановленні умов сумісності використовується допоміжна задача

(4)

(5)

де задані функція і коефіцієнти -- неперервні на відрізку .

Лема 2.1. Якщо однорідна задача

(6)

має лише тривіальний розв'язок, то існують такі вектор , функції , та -матриця , що єдиний розв'язок неоднорідної задачі (4) зображується формулами

(7)

і мають місце співвідношення

де -- одинична матриця в .

За допомогою формули (7) задача (1)-(3) зводиться до інтегрального рівняння вигляду

(8)

(9)

(10)

причому , . Встановлюється, що задача (1)--(3) рівносильна рівнянню (8).

Теорема 2.1. Якщо виконується умова леми 2.1., то задача (1)--(3) сумісна тоді і тільки тоді, коли існує розв'язок інтегрального рівняння (8).

У підрозділі 2.2 висвітлюється суть ітераційного методу стосовно задачі (1)-(3). Яка полягає в тому, що, маючи наближення до шуканого розв'язку, виконується ітерація

(11)

де оператор має вигляд (10), та наступне наближення визначається із задачі

(12)

Початкове наближення знаходиться із задачі (12) при та заданій функції .

Встановлюється, що ітераційний метод (11), (12) для задачі (1)--(3) зводиться до методу послідовних наближень для інтегрального рівняння (8).

У підрозділі 2.3 висвітлюється суть проекційного методу стосовно задачі (1)-(3), яка полягає в тому, що, маючи деяке наближення до шуканого розв'язку, покращене наближення шукається у вигляді:

, .(13)

Функція визначається із крайової задачі

,(14)

а параметри та - з умов

(15)

(16)

Причому оператор А, що має вигляд (5), ()- матриця Ф(t) та ()-матриця , елементи яких належать простору і лінійно незалежні в кожній із матриць, задаються.

Встановлюємо, що за умови, коли наближення -- це розв'язок задачі

в якій -- задана функція, проекційний метод (13)-(16) зводиться до проекційного методу для інтегрального рівняння (8).

Пропонується зручний обчислювальний алгоритм проекційного методу.

У підрозділі 2.4 висвітлюється суть проекційно-ітеративного методу, за допомогою якого для побудови наближених розв'язків задачі (1)--(3) використовуються ідеї як проекційних, так і ітераційних методів.

Припускаємо, що наближення до шуканого розв'язку вже побудовано. Тоді за проекційним методом знаходимо функцію

(17)

де поправка -- це розв'язок задачі

(18)

в якій параметр визначається з умови

(19)

де -- нев'язка, що визначається формулою (16), якщо покласти в ній та . Після цього наступне наближення одержуємо за ітераційним методом, тобто знаходимо функцію

(20)

і розв'язуємо задачу (12).

Початкове наближення знаходиться із задачі (12) при і заданій функції .

Встановлюємо, що метод (17)-(20), (12) для задачі (1)-(3) зводиться до проекційно-ітеративного методу для інтегрального рівняння (8), суть якого полягає в тому, що наближені розв'язки будуються на основі формул

(21)

(22)

Теорема 2.4. Нехай однорідна задача (6) має лише тривіальний розв'язок, матриця

(23)

невироджена і проекційно-ітеративний метод (21)-(22) для інтегрального рівняння (8) збіжний. Тоді існує розв'язок , задачі (1)--(3) і послідовність {x, побудована за методом (17)-(20), (12), рівномірно збігається до цього розв'язку.

Пропонується зручний обчислювальний алгоритм методу.

Ефективність висвітлених в другому розділі методів проілюстрована на конкретних прикладах.

В розділі 3 розглядається крайова задача для слабконелінійних інтегро-диференціальних рівнянь з параметрами і обмеженнями. Встановлюються умови розв'язуваності задачі. Обґрунтовується застосування до вказаних задач ітераційного, проекційно-ітеративного та модифікованого проекційно-ітеративного методів.

У підрозділі 3.1 розглядається інтегро-диференціальне рівняння

(24)

і ставиться також задача знаходження такої функції та параметра , які задовольняють рівняння (24) майже скрізь і умови

(25)

Вважаємо, що справджуються ті ж самі умови, що й у розділі 2, а оператор відображає простір в простір , причому функція , яка його породжує, задовольняє умову Ліпшиця

(26)

У підрозділі 3.2 встановлюємо, що задача (24), (25) еквівалентна інтегральному рівнянню без обмежень

(27)

(28)

Теорема 3.1. Якщо допоміжна задача (4) має єдиний розв'язок, то задача (24), (25) сумісна тоді і тільки тоді, коли існує розв'язок рівняння (27). Іх розв'язки -- це та відповідно, причому і пов'язані між собою співвідношеннями

Теорема 3.2. Якщо виконується умова теореми 3.1, то існує єдиний розв'язок задачі (24), (25) лише тоді, коли інтегральне рівняння (27) має єдиний розв'язок.

Стверджується, що за умови, коли оператор

(29)

є оператором стиску в , існує єдиний розв'язок задачі (24), (25).

Встановлюються достатні умови, за яких оператор (29) є оператором стиску в просторі . Слід зазначити, що за умов, накладених на ядро і коефіцієнти диференціальних операторів, існують мінімальні додатні константи , ж, , такі, що для будь-яких функцій виконуються нерівності

(30)

ж², (31)

(32)

, (33)

ж². (34)

Якщо ж в нерівності (33) , то оператор , який визначається формулою (29), є оператором стиску в просторі .

У підрозділі 3.3 висвітлюється ітераційний метод стосовно задачі (24), (25), який полягає в тому, що послідовні наближення до шуканого розв'язку визначаємо, як і у лінійному випадку, із задачі

(35)

(36)

Встановлюється, що ітераційний метод (35), (36) зводиться до методу послідовних наближень

(37)

Таким чином, питання збіжності і встановлення оцінок похибки методу (35), (36) зводиться до встановлення умов збіжності і оцінок похибки методу послідовних наближень (37) щодо інтегрального рівняння (27).

Теорема 3.3. Якщо в нерівності (33) виконується умова , де має вигляд (34), то існує єдиний розв'язок (, ) задачі (24), (25) і послідовність , побудована за ітераційним методом (35), (36) збігається до цього розв'язку та справедливі оцінки

, ,(38)

,(39)

,(40)

де -- евклідова норма вектора, -- розв'язок рівняння (27), визначається формулою (36) і



а -- матриця, спряжена до .

У підрозділі 3.4 висвітлюється проекційно-ітеративний метод. Суть вказаного методу полягає в тому, що наближені розв'язки задачі (24), (25) будуються за формулами

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

Далі, для визначення невідомого параметра отримується система нелінійних алгебраїчних рівнянь

(46)

де -- матриця, що визначається за формулою (23), причому у другому виразі ядро має вигляд (28), а

У випадку, коли матриця невироджена, при достатньо малому система (46) має єдиний розв'язок.

Зазначимо, що метод (41)-(45) зводиться до проекційно-ітеративного методу для рівняння (27), достатні умови збіжності та оцінки похибки якого відомі.

У підрозділі 3.5 висвітлюється модифікований проекційно-ітеративний метод. Суть цього методу полягає в тому, що в методі (41)-(45) функцію пропонується шукати в такий спосіб

. (47)

В цьому випадку для визначення параметра отримується система лінійних алгебраїчних рівнянь

(48)

Якщо матриця системи (48) невироджена, то наближені розв'язки задачі (24), (25) будуються однозначно.

За умови, що однорідна задача (6) має лише тривіальний розв'язок і матриця (23) невироджена, задача (24), (25) зводиться до еквівалентного інтегрального рівняння

(49)

а модифікований проекційно-ітеративний метод (41)-(43),(47) -- до методу послідовних наближень

(50)

для інтегрального рівняння (49).

В рівнянні (49)

де , , визначаються формулами (28), (23) і

Встановлюється, що у випадку, коли виконуються нерівності (26), (32) і

де , -- мінімальні позитивні сталі, оператор

задовольняє умову Ліпшиця, тобто

(51)

з константою

(52)

Теорема 3.4. Якщо задача (44) має єдиний розв'язок, матриця , яка визначається формулами (23), невироджена і справджується нерівність (51), в якій , то існує єдиний розв'язок задачі (24), (25) і послідовність наближених розв'язків, побудованих за модифікованим проекційно-ітеративним методом (41)-(44), (47) збігається до цього розв'язку. Правильні оцінки похибки вигляду (38)-(40), в яких замість треба покласти (52), а обчисляється за формулою (47).

Розглядаються приклади, які ілюструють можливості досліджуваних методів і підтверджують теоретичні висновки.

Висновки

У дисертаційній роботі отримано такі нові наукові результати:

запропоновано новий підхід до дослідження крайових задач для лінійних та слабконелінійних інтегро-диференціальних рівнянь з параметрами і обмеженнями, способом зведення їх до еквівалентних інтегральних рівнянь;

встановлено умови сумісності крайових задач для лінійних та слабконелінійних інтегро-диференціальних рівнянь з параметрами і обмеженнями;

проаналізовано застосування до вказаних задач ітераційного, проекційного та проекційно-ітеративного методів; досліджено їх ефективність та встановлено область застосування; знайдено достатні умови збіжності та оцінки похибки;

запропоновано ефективні обчислювальні алгоритми вказаних наближених методів;

поліпшено модифікований проекційно-ітеративний метод стосовно крайових задач для слабконелінійних інтегро-диференціальних рівнянь з параметрами і обмеженнями;

виконано порівняльний аналіз методів і теоретичні висновки проілюстровано на конкретних прикладах.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Лучка А.Ю. Проекційний метод розв'язування інтегро-диференціальних рівнянь з обмеженнями і керуванням / А.Ю. Лучка, О.Б. Нестеренко // Нелінійні коливання. - 2008. - Т.11, №2. - С. 208-216.

2. Лучка А.Ю. Побудова розв'язків інтегро-диференціальних рівнянь з обмеженнями і керуванням проекційно-ітеративним методом / А.Ю. Лучка, О.Б. Нестеренко // Нелінійні коливання. - 2009. - Т.12, №1. - С. 83-91.

3. Лучка А.Ю. Методи розв'язування крайових задач для слабконелінійних інтегро-диференціальних рівнянь з параметрами і обмеженнями /А.Ю. Лучка, О.Б. Нестеренко // Укр. мат. журн. - 2009. - Т.61, №5. - С. 672-679.

4. Нестеренко О.Б. Ітераційний метод розв'язування інтегро-диференціальних рівнянь з обмеженнями / О.Б. Нестеренко // Нелінійні коливання. -2007. - Т.10, №3. - С.336-347.

5. Нестеренко О.Б. Інтегро-диференціальні рівняння з обмеженнями / О.Б. Нестеренко // Міжн. мат. конф. ім. В.Я. Скоробогатька, 24-28 вересня 2007 р., Дрогобич: Тези доп. конф. - Львів, 2007. - С. 206.

6. Нестеренко О.Б. Про застосування проекційного методу до крайової задачі для інтегро-диференціальних рівнянь з обмеженнями / О.Б. Нестеренко // XII міжн. наук. конф. ім. акад. М.Кравчука, 15-17 травня 2008 р., Київ: Матеріали конф., Т1. - Київ, 2008. - С.291.

7. Нестеренко О.Б. Про застосування проекційно-ітеративного методу до крайової задачі для інтегро-диференціальних рівнянь з обмеженнями / О.Б. Нестеренко // Міжн. наук. конф. з нагоди 70-річчя з дня народження акад. НАН України А.М. Самойленка, 16-21 червня 2008 р., Мелітополь: Тези доп. конф. - Київ, 2008. - С. 84.

Размещено на Allbest.ru

...