Задачі з інтегральними умовами для лінійних рівнянь та систем рівнянь із частинними похідними
Умови неперервної залежності від вихідних даних розв'язків задач з інтегральними умовами для диференціальних, псевдодиференціальних рівнянь із частинними похідними другого порядку. Методи доведення метричних теорем про оцінки знизу малих знаменників.
| Рубрика | Математика |
| Вид | автореферат |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 20.07.2015 |
| Размер файла | 75,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
Размещено на http://www.allbest.ru
Вступ
Актуальнicть теми. Математичне моделювання багатьох фізичних явищ та біологічних процесів (процесів поширення тепла, процесів вологопереносу у капілярно-пористих середовищах, деяких технологічних процесів, дифузії частинок у турбулентній плазмі, динаміки популяцій, демографічних процесів) призводить до задач з нелокальними інтегральними умовами для рівнянь із частинними похідними. Такі умови, зокрема, виникають у випадках, коли межа області є недоступною для проведення вимірювань або коли неможливо безпосередньо обчислити певні фізичні величини, однак відомі їхні усереднені значення.
Активне дослідження задач з інтегральними умовами для рівнянь ізчастинними похідними розпочалося порівняно недавно (друга половина XX-го століття), а інтерес до їх вивчення зумовлений як важливістю їхньої фізичної (біологічної) інтерпретації, так і потребами загальної теорії крайових задач для рівнянь із частинними похідними (опис усіх коректних задач для заданого диференціального виразу).
Мета i задачі дослідження. Метою дисертації є дослідження коректності задач з інтегральними умовами за виділеною змінною та умовами періодичності за рештою координат для лінійних диференціальних, псевдодиференціальних, диференціально-функціональних рівнянь і систем рівнянь із частинними похідними. Задачі дослідження полягають у:
1) встановленні умов існування, єдиності та неперервної залежності від вихідних даних розв'язків задач з інтегральними умовами для диференціальних та псевдодиференціальних рівнянь із частинними похідними другого порядку за змінною зі сталими та змінними коефіцієнтами;
2) знаходженні умов коректної розв'язності задач з інтегральними умовами у вигляді моментів для диференціальних рівнянь та систем рівнянь із частинними похідними високого порядку за змінною зі сталими коефіцієнтами;
3) встановленні умов коректності задачі з інтегральними умовами у вигляді моментів для диференціальних рівнянь із частинними похідними, навантажених значеннями невідомої функції та її похідних на скінченій кількості гіперплощин;
4) знаходженні умов коректної розв'язності інтегральної задачі для лінійної системи рівнянь із частинними похідними з відхиленням аргументу;
5) доведенні метричних теорем про оцінки знизу малих знаменників, що виникають при побудові розв'язків розглядуваних задач.
1. Допоміжні відомості з теорії звичайних диференціальних рівнянь, теорії чисел, міри та розмірності Гаусдорфа
Встановлено нові результати про оцінки зверху для кількості та довжини проміжків покриття множин вигляду (, - гладка на функція), які використовуються у наступних розділах розділах дисертації.
2. Задачі з інтегральними умовами за змінною та умовами періодичності за змінними для диференціальних та псевдодиференціальних рівнянь із частинними похідними другого порядку за змінною
Розглянуто таку задачу:
, (1)
, , , , (2)
де, , - п.д.о., амплітуди , , яких утворюють нормальну (при ) фундаментальну систему розв'язків звичайного диференціального рівняння:
,, ,
Нехай , , , - нормальна (при ) фундаментальна система розв'язків рівняння:
, , ,
; , , , , , - корені рівняння , , , , , .
Теорема Для єдиності розв'язку задачі (1), (2) в просторі необхідно і досить, щоб виконувалась умова:
. (3)
Нехай існують такі сталі , що для всіх векторів виконується нерівність:
. (4)
Якщо, ,, , то в просторі існує єдиний розв'язок задачі (1), (2), який неперервно залежить від .
Для майже всіх (стосовно -міри Гаусдорфа, ) чисел нерівність (4) виконується для всіх векторів при, , , де . Якщо для кожного корені многочленів , , є дійсними, то для майже всіх (стосовно -міри Гаусдорфа) чисел нерівність (4) виконується для всіх при, , .
Для псевдодиференціального (за рівняння зі змінними за коефіцієнтами:
, (5)
досліджено задачу з умовами (2), в яких , - п.д.о., амплітудами яких є послідовності функцій , , відповідно, де , , , - нормальна (при ) фундаментальна система розв'язків звичайного диференціального рівняння - послідовність амплітуд п.д.о.
Нехай , , - нормальна (при ) фундаментальна система розв'язків рівняння:
.
Нехай . Для єдиності розв'язку задачі (2), (5) в класі необхідно і досить, щоб виконувалась умова:
. (6)
Приклад задачі, для якої виконується умова (6).
Позначимо:
, .
Нехай і нехай для всіх векторів виконується нерівність:
, , . (7)
Якщо , , , то існує єдиний розв'язок задачі (2), (5) з класу , який неперервно залежить від функцій .
Якщо , а функція справджує додаткову умову, , , то для довільного оцінка (7) виконується для майже всіх (стосовно -міри Гаусдорфа) чисел для всіх при:
, .
У випадку, коли , , є дійснозначними функціями, у метричній теоремі 3.2.6 отримано точніші оцінки для нижніх меж показників в нерівності (7).
3. Задачі з інтегральними умовами у вигляді моментів за часовою змінною для лінійних диференціальних рівнянь та систем рівнянь із частинними похідними високого порядку зі сталими коефіцієнтами
Розглянуто таку задачу:
, (8)
, , , , (9)
де , , , - многочлени з комплексними коефіцієнтами степенів , , відповідно.
Нехай , , - нормальна при фундаментальна система розв'язків рівняння , , , , , - різні корені рівняння:
, , (10)
кратностей відповідно:
, (11)
, . (12)
Для єдиності розв'язку задачі (8), (9) у просторі необхідно і досить, щоб виконувалась умова:
(13)
Наведено приклади задач, для яких виконується або порушується умова (13).
Якщо існують сталі , , такі, що для всіх векторів виконується нерівність:
, (14)
то для довільних задача (8), (9), у якій , , , , має в просторі єдиний розв'язок, який неперервно залежить від функцій , .
Твердження теореми для випадку, коли диференціальний вираз у рівнянні (8) має факторизований вигляд:
, , , , (15)
де - вираз порядку , для якого виконується умова:
, , . (16)
Ефект підвищення (зі зростанням часу ) гладкості (за ) розв'язку задачі (8), (9), (15) порівняно з гладкістю правих частин умов (9) встановлено для випадку, коли рівняння (8), (15) є параболічним; схожий ефект підвищення (зі спаданням часу ), якщо рівняння (8), (15) є антипараболічним.
Для вектора , , позначимо:
Нехай диференціальний вираз у рівнянні (8) має вигляд (15), де , , , а вираз є таким, що виконується умова (16). Нехай існують сталі , такі, що для всіх векторів виконується нерівність:
(17)
де , . Якщо , , , то задача (8), (9), (15), у якій , має в класі єдиний розв'язок, що неперервно залежить від функцій , .
Символом позначимо множину тих чисел , для яких нерівність (14) виконується для всіх векторів .
Для довільного множина має нульову -міру Гаусдорфа, якщо , , де:
, , .
Для довільних, розмірність Гаусдорфа множини не перевищує . Для всіх , множина має нульову розмірність Гаусдорфа.
Якщо вираз має вигляд (15), а вираз є таким, що виконується умова (16), то для майже всіх (стосовно міри Лебега в ) векторів , , оцінка (17) виконується при для всіх .
Отриманий в теоремі 4.1.8 результат про нижню межу для показника в нерівності (14) можна уточнити для випадків, коли вираз має вигляд (15) або для кожного корені рівняння (10) є дійсними.
Досліджено таку задачу для лінійної системи рівнянь із частинними похідними зі сталими коефіцієнтами:
, (18)
, , , , (19)
де , , , - матриці розміру , елементами яких є многочлени степеня з комплексними коефіцієнтами; , , .
Позначимо: , , , - нульова та одинична матриці розмірів , відповідно, - блочна матриця розміру вигляду:
, ;
,
де - блочна матриця розміру вигляду:
,
Нехай - зведений порядок (зауважимо, що виконується нерівність ) системи (18), , , - корені рівняння:
, (20)
, . (21)
Для єдиності розв'язку задачі (18), (19) в класі необхідно і досить, щоб виконувалась умова:
. (22)
Нехай існують сталі , , такі, що для всіх векторів виконується нерівність:
(23)
Якщо , то задача (18), (19) має єдиний розв'язок в просторі , який неперервно залежить від , .
Доведено, що у випадку, коли для кожного всі корені рівняння (20) є простими, то нерівність (23) виконується при , для всіх чисел , крім, можливо, множини, розмірність Гаусдорфа якої не перевищує числа .
Висновки
інтегральний диференціальний метричний неперервний
Дисертаційна робота присвячена дослідженню в області, яка є декартовим добутком проміжка на -вимірний тор, задач з інтегральними умовами за виділеною змінною та умовами періодичності за координатами для лінійних диференціальних і псевдодиференціальних рівнянь із частинними похідними та систем рівнянь із частинними похідними. У дисертаційній роботі одержано такі нові результати:
1) встановлено умови коректної розв'язності задач з інтегральними умовами для лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами та псевдодиференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами другого порядку за змінною ; вперше доведено, що для довільного наперед заданого рівняння такі умови виконуються для майже всіх (стосовно -міри Гаусдорфа) чисел, які є значеннями верхньої межі інтегрування в інтегральних умовах;
2) встановлено умови коректності задачі з інтегральними умовами у вигляді моментів для лінійних диференціальних рівнянь та систем рівнянь із частинними похідними зі сталими коефіцієнтами; вперше доведено, що такі умови виконуються для довільного фіксованого рівняння (або для довільної фіксованої системи рівнянь) для майже всіх (стосовно -міри Гаусдорфа) значень верхньої межі інтегрування в інтегральних умовах;
3) для диференціальних рівнянь із частинними похідними -го порядку за змінною зі сталими коефіцієнтами, які допускають факторизацію у вигляді множників першого порядку стосовно , доведено, що задача з інтегральними умовами у вигляді моментів є однозначно розв'язною у шкалі просторів Соболєва для майже всіх (стосовно міри Лебега в ) векторів, складених з коефіцієнтів факторизації;
4) для диференціальних рівнянь із частинними похідними зі сталими коефіцієнтами, навантажених значеннями невідомої функції та її похідних за змінними на гіперплощинах , , вперше доведено, що задача моментів є однозначно розв'язною для майже всіх (стосовно міри Лебега в ) векторів та для майже всіх (стосовно -міри Гаусдорфа) чисел, які є значеннями верхньої межі інтегрування в інтегральних умовах;
5) для лінійних еволюційних систем рівнянь із частинними похідними зі сталими коефіцієнтами з відхиленням просторового аргумента встановлено умови коректної розв'язності задачі з інтегральною умовою в шкалі просторів Соболєва і вперше доведено, що такі умови справджуються для майже всіх (стосовно міри Лебега) значень відхилення аргумента.
Робота має теоретичний характер. Її результати можна використати у подальших теоретичних дослідженнях умовно коректних крайових задач для рівнянь та систем рівнянь із частинними похідними, а також у конкретних прикладних задачах, моделями яких є задачі з інтегральними умовами.
Результати роботи стали також джерелом нових задач метричної теорії діофантових наближень (які не випливали із її внутрішнього розвитку) і можуть бути використані у подальшому розвитку цієї теорії та її застосувань.
Література
1. Медвідь О.М. Діофантові наближення характеристичного визначника інтегральної задачі для рівнянь з частинними похідними / О.М. Медвідь, М.М. Симотюк // Наук. вісн. Чернів. нац. ун-ту. Сер. Математика. - 2004. - Вип. 228. - С. 74-85.
2. Медвідь О.М. Задача з інтегральними умовами для лінійних систем рівнянь із частинними похідними / О.М. Медвідь, М.М. Симотюк // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2007. - 50, № 1. - С. 32-39.
3. Медвідь О.М. Задача з інтегральними умовами для псевдодиференціальних рівнянь / О.М. Медвідь, М.М. Симотюк // Наук. вісн. Чернів. нац. ун-ту. Сер. Математика. - 2004. - Вип. 191-192. - С.109-116.
4. Медвідь О. Задача з інтегральними умовами для систем рівнянь із частинними похідними з відхиленням аргументу / Оксана Медвідь, Михайло Симотюк// Математичний вісник НТШ. - 2007. - Т. 4. - С. 414-427.
5. Медвідь О. Задача з розподіленими даними для факторизованих рівнянь з частинними похідними / Оксана Медвідь // Математичний вісник НТШ. - 2005. - Т. 2. - С. 135-147.
6. Медвідь О.М. Інтегральна задача для лінійних рівнянь із частинними похідними / О.М. Медвідь, М.М. Симотюк // Мат. Студії. - 2007. - 28, № 2. - С. 115-140.
7. Медвідь О. Інтегральна задача для навантажених рівнянь із частинними похідними / Оксана Медвідь // Математичний вісник НТШ. - 2007. - Т. 4. - С. 201-213.
8. Симотюк М.М. Задача з інтегральними умовами для лінійних рівнянь із частинними похідними зі сталими коефіцієнтами / М.М. Симотюк, О.М. Медвідь // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2003. - 46, № 4. - С. 92-101.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Історія створення теорії алгебраїчних рівнянь. Сутність системи лінійних алгебраїчних рівнянь в лінійній алгебрі. Повна характеристика методів розв'язання рівнянь: точні, ітераційні та ймовірнісні. Особливості теорем Гауса-Жордана та Габріеля Крамера.
реферат [543,7 K], добавлен 23.04.2015Розгляд крайової задачі для нелінійного рівняння другого порядку. Вивчення різницевого методу розв'язання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Метод прогонки - окремий випадок методу Гауса. Програма на алгоритмічній мові Turbo Pascal.
курсовая работа [49,7 K], добавлен 10.04.2011Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса. Еквівалентні перетворення системи, їх виконання як елемент методів розв’язування системи рівнянь. Базисні та вільні змінні. Лінійна та фундаментальна комбінації розв’язків, таблиці коефіцієнтів.
контрольная работа [170,2 K], добавлен 16.05.2010Чисельні методи рішення диференціальних рівнянь у частинних похідних 2-го порядку, початкові і крайові умови. Метод сіток та представлення часткових похідних у скінчено-різницевому вигляді. Структура похибки розв'язку задачі, стійкість і коректність.
курсовая работа [986,6 K], добавлен 22.08.2010Сумісність лінійних алгебраїчних рівнянь. Найвищий порядок відмінних від нуля мінорів матриці. Детермінант квадратної матриці. Фундаментальна система розв’язків та загальний розв'язок системи лінійних однорідних рівнянь. Приклади розв’язання завдань.
курсовая работа [86,0 K], добавлен 15.09.2008Умова існування цілих розв’язків лінійних діофантових рівнянь, алгоритм Евкліда. Розв’язування лінійних рівнянь з двома змінними в цілих числах. Методика вивчення діофантових рівнянь в загальноосвітніх школах. Діофантові рівняння вищих порядків.
курсовая работа [758,4 K], добавлен 15.05.2019Аналіз найвідоміших методів розв’язування звичайних диференціальних рівнянь і їх систем, користуючись рекомендованою літературою. Розробка відповідної схеми алгоритму. Розв’язання системи звичайних диференціальних рівнянь в за допомогою MathCAD.
лабораторная работа [412,4 K], добавлен 21.10.2014Етапи розв'язування задачі дослідження певного фізичного явища чи процесу, зведення її до диференціального рівняння. Методика та схема складання диференціальних рівнянь. Приклади розв'язування прикладних задач за допомогою диференціального рівняння.
контрольная работа [723,3 K], добавлен 07.01.2016Лінійні діофантові рівняння. Невизначені рівняння вищих порядків. Невизначене рівняння Ферма. Приклади розв’язання лінійних діофантових рівнянь та системи лінійних діофантових рівнянь. Алгоритми знаходження всіх цілочисельних розв’язків рівнянь.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 29.12.2010Розгляд теоретичних основ рівнянь з параметрами. Основні види даних рівнянь. Аналітичний та графічний методи розв’язування задач із використанням формул, властивостей функцій. Ознайомлення із системою розв’язування задач з параметрами для 9 класу.
курсовая работа [605,9 K], добавлен 29.04.2014Рішення основних систем лінійних рівнянь. Визначники другого та третього порядку. Властивості визначників, теорема розкладання. Теорема Крамера для систем рівнянь. Доцільність рішення задачі автоматизованим способом. Ймовірність допущення помилок.
курсовая работа [386,2 K], добавлен 18.12.2010Класичні та сучасні наближені методи розв'язання диференціальних рівнянь та їх систем. Класифікація наближених методів розв'язування. Розв'язування трансцендентних, алгебраїчних і диференціальних рівнянь, методи чисельного інтегрування і диференціювання.
отчет по практике [143,9 K], добавлен 02.03.2010Класифікація та типи чисельних методів розв’язування систем лінійних рівнянь і обернення звернення матриць точні, ітераційні та комбіновані. Їх порівняльна характеристика та умови використання в окремих випадках. Вектори та операції над ними, норми.
презентация [85,6 K], добавлен 06.02.2014Системи лінійних алгебраїчних рівнянь, головні означення. Коротка характеристика головних особливостей матричного способу, методу Жордано-Гаусса. Формули Крамера, теорема Кронекера-Капеллі. Практичний приклад розв’язання однорідної системи рівнянь.
курсовая работа [690,9 K], добавлен 25.04.2013Поняття диференціальних рівнянь. Задача Коші і крайова задача. Класифікація методів для задачі Коші. Похибка методу Ейлера. Модифікований метод Ейлера-Коші. Пошук рішення задачі однокроковим методом Ейлера. Порівняння чисельного рішення з точним рішенням.
презентация [294,4 K], добавлен 06.02.2014Рішення з заданим ступенем точності задачі Коші для системи диференціальних рівнянь на заданому інтервалі. Формування мінімальної погрішності на другому кінці. Графіки отриманих рішень і порівняння їх з точним рішенням. Опис математичних методів рішення.
курсовая работа [258,9 K], добавлен 27.12.2010Визначення системи лінійних рівнянь та її розв’язання. Поняття рангу матриці, правило Крамера та види перетворень з матрицею. Способи знайдення оберненої матриці А–1 до невиродженої матриці А. Контрольні запитання та приклади розв’язування задач.
задача [73,5 K], добавлен 25.03.2011Розгляд найбільш відомих скінченно-різнецевих методів рішення рівнянь руху з непереривною силою: чисельна ітерація рівнянь Ньютона; алгоритм Бімана і Шофілда; метод Рунге-Кутта; методи Адамса, Крилова, Чаплигіна. Програма Рунге-Кутта на мові С#.
курсовая работа [359,5 K], добавлен 27.01.2011Застосування методу Гауса (або методу послідовного виключення невідомих) для розв'язання систем лінійних рівнянь. Економний спосіб запису за допомогою компактної схеми Гауса. Алгоритм знаходження рангу матриці, метод Гауса з вибором головного елемента.
курсовая работа [879,9 K], добавлен 02.10.2010Чисельні методи розв’язання систем нелінійних рівнянь: лінійні і нелінійні рівняння, метод простих ітерацій, метод Ньютона. Практичне використання методів та особливості розв’язання систем нелінійних рівнянь у пакеті Mathcad, Excel та на мові С++.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 30.11.2010
