Метод задачі Рімана-Гільберта для інтегрування системи рівнянь стимульованого раманівського розсіяння

Размещено на http://allbest.ru

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ФІЗИКО-ТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ НИЗЬКИХ ТЕМПЕРАТУР

ім. Б.І.ВЄРКІНА

УДК 517.958

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Метод задачі рімана-гільберта для інтегрування системи рівнянь стимульованого раманівського розсіяння

01.01.03 - математична фізика

Московченко Олена Олександрівна

Харків - 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Котляров Володимир Петрович, Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України (м. Харків), завідувач відділу математичної фізики.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Білоколос Євген Дмитрович, Інститут магнетизму НАН України (м.Київ), завідувач відділу теоретичної фізики;

доктор фізико-математичних наук, доцент Гордевський Вячеслав Дмитрович, Харківський національний університет ім.В.Н.Каразіна, завідувач кафедри - професор математичного аналізу.

Захист відбудеться "31" серпня 2010 р. о 13⁰⁰ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.175.01 у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.І. Вєркіна за адресою: пр. Леніна, 47, м. Харків, 61103.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Фізико-

технічного інституту низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України за адресою: пр. Леніна, 47, м. Харків, 61103.

Автореферат розісланий "____" липня 2010 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Горькавий В.О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Застосування метода матричної задачі Рімана-Гільберта для детального вивчення початкових (на всій вісі) і початково-крайових задач (на півосі та скінченному інтервалі), а також дослідження асимптотичної поведінки розв'язків відповідних задач для нелінійних інтегровних за П.Лаксом рівнянь набуло інтенсивного розвитку в останні 20 років після його започаткування у роботах О.Ітса, А.Фокаса, П.Дейфта, Х.Джоу та С.Венакідеса на початку 90-х років минулого сторіччя. Лідируючі позиції в цьому напрямку належать Математичному інституту Куранта (США), Кембриджському університету (Велика Британія). Цей напрямок досліджень активно розвивається в інших наукових центрах США, Росії, Франції, Італії та України.

Метод полягає у знаходженні представлення розв'язків нелінійних рівнянь у термінах розв'язків відповідних задач спряження аналітичних функцій типу Рімана-Гільберта та подальшому аналізі (у тому числі, асимптотичному) цих розв'язків. Зокрема, асимптотичний аналіз розв'язків початкових та початково-крайових задач зводиться до асимптотичного аналізу розв'язків задач Рімана-Гільберта з матрицями стрибку, що швидко осцілюють. При цьому розгляд конкретних задач вимагає застосування специфічних аналітичних ідей.

Особливо актуальною у цьому напрямку є задача поширення метода на початково-крайові задачі, які мають природний фізичний сенс задач про розповсюдження хвиль, що генеруються на краю області. Одна з таких задач і є предметом дослідження у даній роботі. У дисертації розглядається нелінійна інтегровна система рівнянь з частинними похідними, що пов'язана зі стимульованими раманівським розсіянням. Явищем раманівського розсіяння є розсіяння монохроматичного випромінювання у речовині, при якому в спектрі розсіянного світла з'являються нові лінії, що є характерними для даної речовини, і ці лінії відмінні від спектральної лініії джерела. Якщо спрямувати на речовину сильне когерентне світло, наприклад світло лазера, тоді спостерігається сильне раманівське розсіяння з вираженою напрямністю (так зване стимульоване раманівське розсіяння).

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, які склали зміст дисертації, проведені у відповідності до тематичного плану Фізико-технічного інституту низьких температур ім.Б.І.Вєркіна НАН України з відомчої тематики за темою "Алгебраїчні та аналітичні методи в теорії операторів і теорії динамічних систем та теорії розсіювання" (державний реєстраційний номер 0103U000313, 2003-2005р.), "Динамічні системи і спектральна теорія диференціальних та різницевих операторів" (державний реєстраційний номер 0106U002558, 2006-2010р.).

Мета та задачі дослідження. Метою дисертації є побудова розв'язків початково-крайових задач для інтегровних рівнянь стимульованого раманівського розсіяння і опис їх асимптотичної поведінки за великим часом. Для досягнення цієї мети розв'язуються такі задачі:

- побудова представлення розв'язку початково-крайової задачі через розв'язок відповідної матричної задачі Рімана-Гільберта: дослідження початково-крайової задачі, проведення аналізу аналітичних властивостей розв'язків рівнянь пари Лакса, що породжуються несамоспряженими операторами, встановлення зв'язку між ними, введення матриці переходу, дослідження спектральної задачі для кожного з рівнянь пари Лакса та загальної спектральної задачі для сумісних рівнянь пари Лакса, описання властивостей спектральних даних, що пов'язані з початковою функцією та крайовими умовами;

- доведення існування розв'язків початково-крайових задач на основі існування розв'язків відповідних матричних задач Рімана-Гільберта;

- вивчення асимптотичної за великим часом поведінки розв'язку задачі Рімана-Гільберта: аналіз аналітичної структури матриць стрибку задачі Рімана-Гільберта, задача факторизації цих матриць, знаходження деформації вихідного контура, побудова фазових функцій, які реалізуються так званим "механізмом g-функцій", побудова послідовності перетворень вихідної задачі Рімана-Гільберта до модельних задач з представленням явних формул для їх розв'язків через елементарні або спеціальні функції та отримання явних асимптотичних формули для розв'язків початково-крайових задач у різних секторах фазового простору.

Об'єкт дослідження. Нелінійні, інтегровні за П.Лаксом, рівняння стимульованого раманівського розсіяння.

Предмет дослідження. Задачі Рімана-Гільберта для дослідження нелінійних інтегровних рівнянь стимульованого раманівського розсіяння і асимптотична поведінка розв'язку початково-крайової задачі з однофазною періодичною граничною умовою за великим часом.

Методи дослідження. У дисертації для розв'язання початково-крайових задач для інтегровних за Лаксом нелінійних рівнянь стимульованого раманівського розсіяння використано метод задачі Рімана-Гільберта: пряма і обернена задача спектрального аналізу сумісних рівнянь пари Лакса, що породжуються несамоспряженими операторами. Для вивчення асимптотичної поведінки розв'язку початково-крайової задачі з періодичною крайовою умовою використано нелінійний метод найшвидшого спуску, що має в основі аналіз аналітичної структури швидко осцілюючих матриць стрибку задачі Рімана-Гільберта, необхідні деформації вихідної задачі до модельних, а також методи побудови матричних аналогів функцій Бейкера-Ахієзера теорії скінченнозонного інтегрування нелінійних рівнянь.

Наукова новизна результатів. У дисертації детально вивчаються початково-крайові задачі на скінченному інтервалі і на півосі для інтегровних за П.Лаксом рівнянь стимульованого раманівського розсіяння. Вперше

- за допомогою операторів перетворення запропоновано конструкцію узагальнених матричних власних функцій сумісних рівнянь пари Лакса;

- проведено аналіз аналітичних властивостей цих власних функцій, одержано співвідношення між ними, відповідні спектральні функції та описано їх властивості;

- встановлено формули для розв'язків початково-крайових задач через розв'язки відповідних їм матричних задач Рімана-Гільберта;

- доведено розв'язність матричних задач Рімана-Гільберта, асоційованих з початково-крайовими задачами, що розглядаються, у випадку довільних спектральних особливостей;

- для задачі на півосі з періодичною крайовою умовою і спадаючою початковою функцією запропоновано так званий "механізм фазових g-функцій" і на його основі побудована повна картина асимптотичної поведінки відповідної задачі Рімана-Гільберта;

- отримано явні формули для опису асимптотичної поведінки розв'язку вихідної початково-крайової задачі у різних областях фазової площини.

Практичне значення одержаних результатів. Результати, отримані в роботі, мають теоретичний характер і можуть бути використані при дослідженні інших початкових та початково-крайових задач для інтегровних за П.Лаксом диференціальних рівнянь з частинними похідними. Такими є, наприклад, задачі Коші на всій вісі з початковими даними типу сходинки, задачі про поведінку розв'язків солітонних рівнянь, коли параметр дисперсії прямує до нуля. Результати роботи можуть бути також корисними всюди, де виникає необхідність досліджувати задачі Рімана-Гільберта зі швидко осцілюючими матрицями стрибку. Такі задачі виникають, наприклад, у матричних моделях статистичної фізики.

Особистий внесок здобувача. Робота [2] виконана особисто здобувачем. Роботи [1], [3], [4] виконані у співавторстві. У цих роботах постановка задач та наукове керівництво належать В.П.Котлярову. Доведення представлених до захисту результатів проведено здобувачем особисто.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації були представлені на семінарах відділу математичної фізики Фізико-технічного інституту низьких температур ім.Б.І.Вєркіна НАН України (керівник - д.ф.-м.н. В.П.Котляров) і на міжнародних конференціях "Nonlinear Physics and Mathematics" (Kiev, 2006), "Entire and Subharmonic functions and Related Topics" (Kharkiv, 2006), "Lyapunov Memorial Conference" (Kharkiv, 2007), "Конференція молодих учених - Фізика Низьких Температур" (Харків, 2007), "Second International Conference for Young Mathematicians on Differential Equations and Applications dedicated to Ya.B.Lopatinskii" (Donetsk, 2008), "Український математичний конгрес" (Київ, 2009).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 4 статтях у наукових фахових виданнях і 4 тезах доповідей на міжнародних конференціях.

Структура та об'єм роботи. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, висновків та списку використаних джерел зі 145 найменувань на 16 сторінках. Загальний обсяг дисертації складає 130 сторінок машинописного тексту.

Автор висловлює щиру вдячність науковому керівникові д.ф.-м.н. В.П.Котлярову за постановку задач та постійну увагу до роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, розглянуто сучасний стан проблеми, визначено мету та задачі дослідження, вказано на наукову новизну та практичне значення роботи.

У першому розділі зроблено огляд результатів, що стосуються теми роботи, окреслено сучасний стан застосування методу задачі Рімана-Гільберта в теорії інтегрування рівнянь, що мають представлення у термінах пари Лакса, та для вивчення асимптотик розв'язків таких рівнянь за великим часом.

У другому розділі наведені основні результати дисертації, що сформульовані у вигляді теорем.

У третьому розділі розглядається початково-крайова задача для інтегровної системи рівнянь стимульованого раманівського розсіяння на скінченному інтервалі:

(1)

(2)

(3)

Нехай . Визначимо відображення

(4)

за формулою

де вектор-функція задовольняє рівняння

(5)

(6)

та крайову умову

матричний спектральний лакс

Нехай обрані так, що . Визначимо відображення граничних даних

 (7)

наступним чином:

де вектор-функція задовольняє рівняння

(8)

з матрицею коефіцієнтів

та з початковою умовою

.

Набір назвемо спектральними функціями.

Теорема 1. Нехай , та . Нехай є відповідними спектральними функціями (4), (7). Тоді існує, визначена даними спектральними функціями, задача Рімана-Гільберта, яка має єдиний розв'язок , а функції , , , що визначені наступними формулами



де

є абсолютно неперервним розв'язком початково-крайової задачі (1)-(3).

Задача Рімана-Гільберта для матриці визначається наступним чином. Введемо контур :

де є деяке коло достатньо малого радіуса, а є інше коло достатньо великого радіуса. Орієнтовний контур та області показано на Рис. 1:

Рис. 1: Контур

Матриця є розв'язком наступної задачі Рімана-Гільберта:

 є секційно-аналітичною за ;

, де матриця стрибку

, а матриця для усіх компонент контуру визначена у підрозділі 3.5 за спектральними даними ;

У четвертому розділі розглянуто початково-крайову задачу

(9)

(10)

(11)

(12)

Для цієї задачі запропоновані матричні задачі Рімана-Гільберта i , які встановлюють взаємно однозначне відображення початкових та крайових даних у спектральні дані, а також задача Рімана-Гільберта , що дає існування розв'язку початково-крайової задачі для всіх i та дозволяє дослідити його асимптотичну поведінку як за великим часом для всіх , так і при для фіксованих .

Теорема 2. Нехай є абсолютно неперервною функцією, та . Нехай , . Нехай є відповідними спектральними функціями. Тоді існує, визначена даними спектральними функціями, задача Рімана-Гільберта, яка має єдиний розв'язок . Функції , та , що визначені рівняннями



разом з матрицею

є абсолютно неперервними і задовольняють рівняння початково-крайової задачі (9)-(12).

Матриця є розв'язком наступної матричної задачі Рімана-Гільберта :

є секційно-аналітичною за , де орієнтований контур (Рис. 2);

Рис. 2: Орієнтований контур для задачі

має особливості типу кореня четвертого ступеня ( та ) в точках та ;

, де

де та , ;

.

У п'ятому розділі продемонстровано ефективність методу задачі Рімана-Гільберта при дослідженні асимптотичної поведінки розв'язку початково-крайової задачі (9)-(12). Доведено, що існують три різні асимптотичні формули, які описують асимптотичну поведінку розв'язку у трьох різних секторах області . Детально розглянуто випадок, коли початкова функція тотожньо дорівнює нулю. Така задача не лише має самостійний інтерес, але й дозволяє спростити викладки і зробити доведення більш прозорим. Показано всі основні ідейні моменти запропонованого методу. Для досягнення мети використано нелінійний метод найшвидшого спуску, що вперше запропонували П.Дейфт та Х.Джоу і його узагальнення для початково-крайових задач з періодичними крайовими умовами. Однак зауважимо, що кожна конкретна задача потребує специфічної реалізації так званого механізму фазової g-функції, який, у відповідності з основними ідеями нелінійного методу найшвидшого спуску, дозволяє будувати послідовність перетворень вихідної задачі Рімана - Гільберта до явно розв'язних (модельних) задач Рімана - Гільберта, які в свою чергу призводять до явних асимптотичних формул для розв'язку нелінійної задачі, що розглядається. У цьому розділі запропоновано механізм фазових g-функцій, адаптованих до моделі стимульованого раманівського розсіяння, наведено послідовність перетворень задач Рімана-Гільберта і, як наслідок, одержано асимптотичні формули.

Для випадку , та де відповідні спектральні функції мають форму:

(13)

(14)

де

За параметрами задачі визначимо таку величину:

Теорема 3. Для в області розв'язок початково-крайової задачі (9)-(12) з функцією має форму плоскої хвилі:

де

а є стаціонарними (тобто, ) точками функції

Зауваження 1. Якщо , тоді та .

Маємо

Тому плоска хвиля та приходить у відповідність з початковими умовами.

Теорема 4. Розв'язок початково-крайової задачі (9)-(12) з початковою функцією для в області має форму модульованої еліптичної хвилі:

де всі інгредієнти цих формул у тета-функціях описано в підрозділі 5.3.

Зауваження 2. При еліптична хвиля склеюється з плоскою хвилею.

Теорема 5. Нехай , та є розв'язком рівнянь (9) з початковою функцією та крайовими умовами (11)-(12). Тоді при в області функція має асимптотичну поведінку, що описується формулами типа Захарова-Манакова у вигляді затухаючої автомодельної хвилі:

де

а функції та задано формулами

Тут є гамма-функцією Ейлера та .

ВИСНОВКИ

Запропонований у дисертації розвиток методу задачі Рімана-Гільберта дослідження нелінійних еволюційних рівнянь дозволив:

- побудувати представлення розв'язків початково-крайових задач для нелінійних, інтегровних за П.Лаксом, рівнянь стимульованого раманівського розсіяння на скінченному інтервалі і на півосі, які є аналогами інтегральних представлень розв'язків лінійних рівнянь з частинними похідними, одержаних із застосуванням методу Фур'є;

- довести розв'язність початково-крайових задач для нелінійної системи рівнянь стимульованого раманівського розсіяння на скінченному інтервалі і на півосі зі спадаючою початковою функцією і періодичними крайовими умовами при наявності спектральних особливостей;

- запропонувати ланцюг перетворень вихідної задачі Рімана-Гільберта до модельних, знайти відповідні механізми фазових g-функцій, вивести нелінійні функціональні рівняння, що заміняють відомі диференціальні нелінійні рівняння Уізема для рухомих комплексних точок розгалуження еліптичної кривої (ріманової поверхні), що виникає у запропонованому підході;

- розв'язати модельні задачі Рімана-Гільберта у явній формі за допомогою елементарних, спеціальних (функцій параболічного циліндра) та еліптичних функцій з використанням тета-функцій Рімана;

- дослідити асимптотичну поведінку за великим часом розв'язку початково-крайової задачі для рівнянь стимульованого раманівського розсіяння на півосі з нульовою початковою функцією і однофазними періодичними крайовими умовами і побудувати явні асимптотичні формули.

Таким чином одержані узагальнення методу матричної задачі Рімана-Гільберта для дослідження початково-крайових задач для солітонних рівнянь, пов'язаних з несамоспряженими операторами пари Лакса, і нелінійного методу найшвидшого спуску для побудови у явному вигляді асимптотичної поведінки їх розв'язків.

Результати дисертації можуть бути корисними для подальшого розвитку як в теорії нелінійних інтегровних рівнянь, так і в інших галузях математичної фізики, зокрема в теорії матричних моделей статистичної фізики.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1) Moskovchenko E.A. A new Riemann-Hilbert problem in a model of stimulated Raman scattering / E.A. Moskovchenko, V.P. Kotlyarov // J. Phys. A.:Math. Gen. - 2006. - Vol. 39. - P. 14591-14610.

2) Moskovchenko E.A. Simple periodic boundary data and Riemann-Hilbert problem for integrable model of the stimulated Raman scattering / E.A. Moskov-chenko // Journal of mathematical physics, analysis, geometry. - 2009. - Vol. 5, No. 1. - P. 82-103.

3) Moskovchenko E.A. Long-time Asymptotic Behavior of an Integrable model of the Stimulated Raman Scattering with Periodic Boundary Data / E.A. Moskov-chenko, V.P. Kotlyarov // Journal of mathematical physics, analysis, geometry. - 2009. - Vol. 5, No. 4. - P. 386-395.

4) Moskovchenko E.A. Periodic Boundary Data for Integrable Model of the Stimulated Raman Scattering: Long-time Asymptotic Behavior / E.A. Moskovchenko, V.P. Kotlyarov // J. Phys. A.:Math. Theor. - 2010. - Vol. 43. - P. 1-31.

5) Moskovchenko E.A. A new Riemann-Hilbert problem in a model of stimulated Raman scattering // Тези доповідей міжнародної конференції "Nonlinear Physics and Mathematics". - Kyiv, Ukraine. - 25-27 May. - 2006. - Р. 23.

6) Moskovchenko E.A. A Riemann-Hilbert problem in a model of stimulated Raman scattering by periodic boundary condition // Тези доповідей міжнародної конференції "Lyapunov Memorial Conference". - Kharkiv, Ukraine. - 24-30 June. - 2007. - Р. 110.

7) Moskovchenko E.A. Simple periodic boundary data and Riemann-Hilbert problem for integrable model of the stimulated Raman scattering // Тези доповідей міжнародної конференції "Second International Conference for Young Mathematicians on Differential Equations and Applications dedicated to Ya.B.Lopatinskii" . - Donetsk, Ukraine. - 11-14 November. - 2008. - Р. 22.

8) Московченко О.О. Інтегровна модель стимульованого раманівського розсіяння. Асимптотика розв'язку // Тези доповідей "Українського математичного конгресу" [Електронний ресурс]. - Київ, Україна . - 27-29 серпня. - 2009. - Режим доступу: http://www.imath.kiev.ua/congress2009/Abstracts/Moskov-chenko.pdf

АНОТАЦІЯ

Московченко О.О. Метод задачі Рімана-Гільберта для інтегрування системи рівнянь стимульованого раманівського розсіяння. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.03 - математична фізика. - Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, Харків, 2010.

Робота присвячена застосуванню методу задачі Рімана-Гільберта для аналізу початково-крайових задач для нелінійних інтегровних рівнянь, що пов'язані зі стимульованим раманівським розсіянням.

Запропоновано та досліджено задачу Рімана-Гільберта для початково-крайової задачі рівнянь інтегровної моделі стимульованого раманівського розсіяння у випадку довільних спектральних особливостей як для скінченної області , так і для області .

Запропонована задача Рімана-Гільберта дає можливість отримати явні формули для асимптотик розв'язку задачі. Використовуючи нелінійний метод найшвидшого спуску, а також розвинення цього метода та побудову відповідних фазових g-функцій в різних областях, у дисертації показано, що розв'язок початково-крайової задачі з періодичною крайовою умовою має якісно різну асимптотичну поведінку в різних секторах області .

АННОТАЦИЯ

Московченко Е.А. Метод задачи Римана-Гильберта для интегрирования системы уравнений стимулированного рамановского рассеяния. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 - математическая физика. - Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины, Харьков, 2010.

Диссертационная работа посвящена развитию метода задачи Римана-Гильберта решения начально-краевых задач для интегрируемых по П.Лаксу нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и исследованию асимптотического поведения их решений при больших временах. Применение метода матричной задачи Римана-Гильберта для детального изучения начальных (на всей оси) и начально-краевых задач (на полуоси и на конечном интервале), а также исследование асимптотического поведения решений соответствующих задач для нелинейных интегральных по П.Лаксу уравнений, стало интенсивно развиваться в последние 20 лет, после работ А.Итса, А.Фокаса, П.Дейфта, Х.Джоу и С.Венакидеса в начале 90-х годов прошлого столетия. Это направление исследований активно развивается в научных центрах США, Англии, России, Франции, Италии и Украины. Метод состоит в нахождении представления решений нелинейных уравнений в терминах решений соответствующих задач сопряжения аналитических функций типа Римана-Гильберта и дальнейшем анализе (в том числе, асимптотическом) этих решений. В частности, асимптотический анализ решений начальной и начально-краевой задач сводится к асимптотическому анализу решений задач Римана-Гильберта с матрицей скачка, которая быстро осциллирует. При этом рассмотрение конкретных задач требует применения специфических аналитических идей. Особенно актуальной в этом направлении является задача распространения метода на начально-краевые задачи, которые имеют естественный физический смысл задач о распространении волн, которые генерируются на краю области. Одна из таких задач является предметом исследования в данной работе.

В диссертации применяется метод задачи Римана-Гильберта для анализа начально-краевых задач для нелинейных интегрируемых уравнений, связанных со стимулированным рамановским рассеянием. Выбранная модель обладает тем преимуществом, что данные для матричной задачи Римана-Гильберта полностью определяются данными начально-краевой задачи. В иных нелинейных динамических моделях это не так: данные задачи Римана-Гильберта требуют знания большего числа граничных данных, чем это позволяет корректная постановка начально-краевой задачи.

Предложена и исследована задача Римана-Гильберта для начально-краевой задачи уравнений стимулированного рамановского рассеяния в случае произвольных спектральных особенностей, как для области , так и для области . Предложенная задача Римана-Гильберта дает возможность получить явные формулы для асимптотик решения начально-краевой задачи с убывающей начальной функцией и периодическим краевым условием. Доказано, что существуют три различные асимптотические формулы, которые описывают поведение решения в трех различных секторах области . Детально изучен случай, когда начальная функция тождественно равна нулю. Такая задача имеет самостоятельный интерес, но и позволяет упростить выкладки и сделать доказательство более прозрачным. Доказательство проведено с использованием так называемого «нелинейного метода наиско-

рейшего спуска», а также построения соответствующих фазовых g-функций. Нелинейный метод наискорейшего спуска основан на анализе аналитической структуры матрицы скачка задачи Римана-Гильберта с целью деформации исходного контура задачи в такой контур, на котором быстро осциллирующие множители становятся экспоненциально близкими к единичной матрице, а исходная задача Римана-Гильберта переходит в набор локальных задач Римана-Гильберта.

В диссертации впервые

- при помощи операторов преобразования предложена конструкция обобщенных матричных собственных функций совместных уравнений пары Лакса;

- проведен анализ аналитических свойств этих собственных функций, получены соотношения между ними, соответствующие спектральные функции и описаны их свойства;

- установлены формулы для решений начально-краевых задач через решения соответствующих им матричных задач Римана-Гильберта;

- доказана разрешимость матричных задач Римана-Гильберта, ассоциированных с рассматриваемыми начально-краевыми задачами в случае произвольных спектральных особенностей;

- для задачи на полуоси с периодическим граничным условием и убывающей начальной функцией предложен так называемый «механизм фазовых g-функций» и на его основе построена полная картина асимптотического поведения соответствующей задачи Римана-Гильберта;

- получены явные формулы для описания асимптотического поведения решения исходной начально-краевой задачи в различных областях фазовой плоскости.

Ключевые слова: обратная задача рассеяния, задача Римана-Гильберта, нелинейные интегрируемые уравнения, асимптотика при больших временах.

ABSTRACT

Moskovchenko Е.А. The Riemann-Hilbert problem method for integration of the system of the stimulated Raman scattering. - Manuscript.

The thesis for the degree of candidate of sciences in physics and mathematics by the speciality 01.01.03 - mathematical physics. - B.Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of the National Academy of Science of Ukraine, Kharkiv, 2010.

The thesis is devoted to application of a method of the Riemann-Hilbert problem for an analysis of initial boundary value problems for the nonlinear integrable equations of stimulated Raman scattering. Riemann-Hilbert problems for the initial boundary value problems of the equations of stimulated Raman scattering in case of any spectral singularities both for region, and for region

are proposed and investigated. The Riemann-Hilbert problems give explicit formulas for asymptotics of the solution for initial boundary value problem. Using the steepest descent method and its extension, the construction of the corresponding phase g-function in different regions it is shown that the solution of initial boundary value problem with periodic boundary condition has different asymptotic behavior in different regions of domain .

Key words: inverse scattering problem, Riemann-Hilbert problem, nonlinear integrable equations, long-time asymptotics.

Размещено на Allbest.ru

...