Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Питання єдиності, повноти та самоспряженості у крайових задачах для систем диференціальних рівнянь

МАЛАМУД Марк Мордкович

УДК 517.927.51

01.01.02 - диференціальні рівняння

Донецьк - 2010

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Інституті прикладної математики і механіки Національної академії наук України, м. Донецьк.

Офіційні опоненти:

академік НАН України,

доктор фізико-математичних наук, професор

Березанський Юрій Макарович,

Інститут математики НАН України,

головний науковий співробітник

відділу функціонального аналізу

доктор фізико-математичних наук, професор,

Рофе-Бекетов Федір Семенович,

Фізико-технічний інститут низьких температур

ім. Б.І.Вєркіна НАН України,

головний науковий співробітник

відділу математичної фізики

доктор фізико-математичних наук, професор

Шкаліков Андрій Андрійович,

Московський державний університет ім. М.В. Ломоносова,

професор кафедри теорії функцій

та функціонального аналізу

Захист відбудеться “__3___” _____вересня____ 2010р. о __15__ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 11.193.01 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул.. Р.Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України (83114, м. Донецьк, вул.. Р.Люксембург, 74).

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради М.В.Краснощок

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

крайовий задача диференціальний рівняння

Актуальність теми дослідження. Системи лінійних звичайних диференціальних рівнянь (ЛЗДР) є ефективним засобом побудови адекватних математичних моделей у різноманітних задачах механіки, математичної фізики, квантової механіки, нелінійній оптиці та ін. Так, у релятивістській квантовій теорії важливу роль відіграє одновимірна стаціонарна система Дірака. Важливу роль як у теоретичних, так і в прикладних питаннях відіграють лінійні гамільтонові (канонічні) системи. Наприклад, граничні задачі для канонічних рівнянь дозволяють моделювати будь-який самоспряжений оператор із скінченнократним спектром. При постановці граничних задач для канонічних систем на півпрямій або прямій необхідно знати індекси дефекту відповідного мінімального оператора. Загальні результати про індекси дефекту та самоспряженість канонічних систем з виродженими гамільтоніанами було отримано у роботах АткінсонаАткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи/Ф. Аткинсон Ф.-М.: Мир, 1968.-750 с., Ю.М. Березанського, Л. де Бранжа, Когана та Рофе-БекетоваKogan V. On square-integrable solutions of symmetric systems of differential equations of arbitrary order/V.Kogan, F.Rofe-Beketov // Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A. - 1974/75. - v.74. - P. 5-40.. Втім, задачу про індекси дефекту (і, зокрема, самоспряженості) канонічної системи в термінах гамільтоніана досліджено недостатньо, окремі результати тут відомі лише для систем 2-го порядку.

Як відомо, з канонічними системами на скінченному інтервалі, щільно пов'язані відповідні матриці монодромії, які відіграють важливу роль як у спектральній теорії цих систем, так і періодичних систем на осі. Виключна роль матриці монодромії (матриці відображення на період) у питаннях стійкості розв'язків періодичних систем на осі та півосі була з'ясована ще у класичних роботах Ляпунова і Флоке. Принциповою у цьому колі питань є проблема про однозначне визначення гамільтоніана (або потенціала) за матрицею монодромії.

Цю проблему повністю розв'язано Л. де Бранжем de Branges L. Some Hilbert spaces of entire functions IV/L.de Branges // Trans. Amer. Math. Soc. - 1962. v.105. - P.43-83. de Branges L. Hilbert Spaces of Entire Functions/ L.de Branges.-New Jersey.: Prentice Hall, Englewood cliffs. - 1968. для канонічних систем 2-го порядку. Саме, він довів, що канонічна система з дійсним нормованим гамільтоніаном однозначно визначається матрицею монодромії. Цей результат де Бранжа істотно узагальнює класичні теореми Г. Борга і В.О. Марченка про однозначне визначення рівняння Штурма-Ліувілля за функцією Вейля. Великий цикл досліджень стосовно канонічних систем порядку при було виконано Д.З. Аровим і Х. ДимомArov D.Z. -inner matrix fucntions, interpolation and inverse problems for canonical systems/D.Z. Arov, H. Dym// II. The inverse monodromy problems, Integ. Equ. Oper. Theory.-2000.- v.36.-P.11-70. Arov D.Z. Direct and Inverse Problems for Differential Sytems Connected with Dirac Sytems and Related Factorization Problems/D.Z.Arov, H.Dym// Indiana Univ.Math.J.-2005.- v.54.- No 6.- P.1769-1815.. Виявилось, що при вказана єдиність не має місця. Тому значний інтерес представляє знаходження додаткових умов на гамільтоніан, які забезпечують єдиність.

Для різних класів систем лінійних звичайних диференціальних рівнянь (ЛЗДР) теореми про однозначне визначення системи за її матрицею монодромії були отримані в роботах З.Л. ЛейбензонаЛейбензон З.Л. Связь между обратной задачей и полнотой собственных функций/З.Л. Лейбензон//ДАН СССР.-1962.-т.145.-С.519-522., М.С. Бродського, М.С. Лівшица, Л.А. Сахновича і В. ЮркаЮрко В.А. Ввведение в теорию обратных спектральных задач/В.А. Юрко.-М.: Физматлит.-2007.- С.384.. Крім того, для самоспряженої системи Дірака обернена задача за спектральною матрицею-функцією була повністю розв'язана у відомих роботах М.Г. Гасимова та Б.М. ЛевітанаЛевитан Б.М. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака/Б.М. Левитан, И.С. Саргсян. - М.: Наука, 1988. - 431с.. Проте для загальних формально самоспряжених систем ЛЗДР обернену задачу не було досліджено. Це робить актуальним дослідження як теорем єдиності, так і обернених задач для загальних систем ЛЗДР.

Питання повноти та базисності систем власних та приєднаних функцій (СВПФ) для звичайних диференціальних операторів на скінченному інтервалі були досліджені досить повно у работах Біркгофа, Тамаркіна та ін. у випадку регулярних граничних умовНаймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы/М.А.Наймарк.- М.: Наука, 1969. - 528 с., а також А.Г. Костюченка, А.А. Шкалікова, А.П. Хромова, А. Мінкіна та ін. у випадку загальних (не обов'язково регулярних) граничних умов¹¹Шкаликов А.А. О полноте собственных и присоединённых функций обыкновенного дифференциального оператора с распадающимися краевыми условиями/А.А.Шкаликов // Функциональный анализ и его приложения.-1976.- т.10. - No 4.- С.69-80. ¹²Костюченко А.Г. О суммируемости разложений по собственным функциям дифференциальных операторов и операторов свертки/А.Г.Костюченко, А.А. Шкаликов//Функциональный анализ и его приложения.-1978.-т.12.-No 4.-С.24-40. ¹³Шкаликов А.А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях /А.А. Шкаликов// Труды Семинара имени И.Г. Петровского.- 1983. - т.9.- С.190-229.. Проте аналогічні питання для систем ЛЗДР вивчені недостатньо. Донедавна тут були відомі лише окремі результати (теорема В.О. Марченка¹⁴Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения/ В.А.Марченко.-К.: Наукова Думка, 1977. - 332 с. про повноту СВПФ для системи Дірака та теорема Ю.П. Гінзбурга про дисипативні граничні задачі для векторного оператора диференціювання). Останнім часом проблеми базисності СВПФ граничних задач для систем Дірака у випадку періодичних (та деяких інших) граничних умов було досліджено П. Джаковим і Б.С. Мітягіним.

Відзначимо також, що хоча матриці розсіяння (і навіть обернені задачі розсіяння) досить повно досліджені для систем Дірака, для загальних систем ЛЗДР вони досліджені недостатньо. Крім того, не досліджений зв'язок -матриць дисипативних систем розсіяння з -матрицями Лакса-Філіпса.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана з науковими дослідженнями відділу диференціальних рівнянь з частинними похідними Інституту прикладної математики і механіки НАН України. Результати дисертації використані при виконанні державної теми "Якісний і асимптотичний аналіз розв'язків граничних задач для лінійних і квазілінійних еліптичних і еволюційних рівнянь з нерегулярними даними", шифр III-1-06 (1.1.4.1), номер державної реєстрації 0106U000043, а також при виконанні державних тем "Методи гармонічного аналізу в теорії функцій і операторів", номер державної реєстраціі 0196U007096, "Гармонічний та спектральний аналіз функцій і операторів", номер державної реєстрації 0100U005529, "Спектральна теорія деяких класів сингулярно збурених операторів", номер державної реєстрації 0103U003364.

Мета і завдання дослідження.

Об'єктом дослідження дисертаційної роботи є системи лінійних звичайних диференціальних рівнянь (ЛЗДР).

Предметом дослідження є: 1) умови однозначного визначення системи ЛЗДР за її різноманітними спектральними даними, а саме: за частинами матриці монодромії, системою спектрів, спектральною матрицею-функцією; 2) умови самоспряженості формально симетричної системи ЛЗДР; 3) умови повноти граничних задач для системи ЛЗДР на скінченному інтервалі; 4) матриці розсіяння дисипативних граничных задач.

Мета роботи -- отримання результатів про однозначне визначення системи ЛЗДР за різноманітними спектральними даними, а також знаходження умов самоспряженості та повноти системи кореневих векторів граничних задач для систем ЛЗДР.

Методи досліджень. Для доведення низки теорем єдиності використовуються трикутні оператори перетворення, що вперше побудовані автором для систем ЛЗДР. При цьому для доведення відповідних теорем єдиності як для систем ЛЗДР, так і для ЛЗДР -го порядку використовується запропонований автором метод зведення проблеми до дослідження єдиності деяких задач Гурса для системи рівнянь з частинними похідними.

Для розв'язання оберненої задачі для системи ЛЗДР застосовується метод Гельфанда-Левітана, а також оператори перетворення, побудовані автором.

Для дослідження самоспряженості гамільтонових систем застосовується новий метод, запропонований автором.

Для розв'язання задачі М.Г. Крейна про внутрішній опис простору квадратично інтегровних вектор-функцій за операторною мірою застосовується теорема Березанського-Гельфанда-Костюченка.

Для доведення теорем повноти застосовуються методи, що є подальшим розвитком методів запропонованих А.Г. Костюченком та А.А. Шкаліковим.

При дослідженні матриці розсіяння відкритих квантових систем використано техніку граничних трійок розроблену А.Н. Кочубеєм, В.І. та М.Л. Горбачуками, Ф.С. Рофе-Бекетовим, та техніку відповідних функцій Вейля, впроваджених В.О. Деркачем та автором.

Наукова новизна отриманих результатів.

1. Вперше побудовані трикутні оператори перетворення для систем звичайних диференціальних рівнянь.

2. Отримано теореми про єдиність визначення потенціальної матриці системи за матрицею монодромії та частиною стовпців матриці монодромії.

3. За допомогою операторів перетворення вперше отримано достатні та необхідні умови повноти системи кореневих функцій оператора Штурма-Ліувілля з виродженими крайовими умовами.

4. Вперше знайдено необхідні та достатні умови повноти системи власних та приєднаних функцій крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь.

5. Вперше розв'язано обернену задачу за спектральною матрицею - функцією для самоспряжених систем звичайних диференціальних рівнянь на півосі. Для цього також застосовані оператори перетворення, побудовані автором.

6. Отримано теорему про однозначне визначення звичайного диференціального рівняння довільного порядку з аналітичними матричними коефіцієнтами за одним матричним стовпцем чи рядком матриці монодромії.

7. Доведено теорему про необхідні умови існування трикутного оператора перетворення для звичайних диференціальних рівнянь вищих порядків.

8. Отримано умови самоспряженості лінійних гамільтонових систем з виродженим гамільтоніаном. Цей результат застосовано до найбільш загального (чотиричленного) оператора другого порядку з матричними коефіцієнтами на півосі та отримано умови самоспряженості останнього. Знайдено також критерії максимальності індексів дефекту гамільтонових систем та симетричних тричленних операторів другого порядку з матричними коефіцієнтами.

9. Знайдено формулу для матриці розсіяння двох самоспряжених операторів, асоційованих з крайовими задачами для одного диференціального виразу. Так, матриця розсіяння виражається через граничні значення функції Вейля на дійсній осі та крайові оператори. Цей результат застосовано до знаходження матриці розсіяння відкритих квантових систем.

Теоретичне і практичне значення отриманих результатів. Дисертація має теоретичний характер. Результати дисертації, можуть бути використані в подальших теоретичних дослідженнях в галузі як звичайних диференціальних рівнянь, так і диференціальних рівнянь з частинними похідними, у спектральній теорії диференціальних операторів, обернених задачах та різноманітних питаннях теорії розсіяння.

Особистий внесок здобувача в спільних публікаціях. Усі результати, представлені до захисту, отримані здобувачем особисто. У роботі [3] автору належать, зокрема, пропозиції 1,2 та теореми 2, 4, 6, 8, 10, 14, 16, 17, 18 (деякі з них використані у розділах 7, 8). У роботі [8] автору належать, зокрема, теореми 1.1, 4.1, 7.1, 8.3, 9.2, 9.3, 10.1 та пропозиції 1.7, 2.5, 2.6, 2.8, 2.10, 3.1, 3.2, 4.1, 4.2, 4.3, 4.5, 4.6, 5.2, 7.4, 7.5, 8.5, 8.6, 8.8, 8.9, 8.10, 9.1, 10.1, 10.4, 10.5. У роботі [14] автору належать, зокрема, пропозиції 4.3, 4.6, лема 4.5 та теорема 4.8, а також теорема 5.2, пропозиції 5.9 та 6.8. З роботи [15] на захист виноситься теорема 2, яка належить автору. Теореми 1 і 3 доведені разом із співавтором. У роботі [16] автору належать, зокрема, результати §4, а також теореми 5.2, 5.6, 5.8, 5.14, пропозиції 5.37, 5.39 та наслідки 5.18, 5.43, 5.44. У роботі [17] автору належать, зокрема, результати §2 та §7. У роботі [18] автору належать, зокрема, теореми 3.3, 4.4, 5.2. У роботі [20] автору належать, зокрема, теореми 3.9, 4.13 та пропозиція 4.29. У роботі [23] автору належать, зокрема, леми 3.1, 3.9, теореми 3.2, 3.6, наслідки 3.8, 3.10, а також теореми 4.3, 4.5, 4.8 та наслідок 4.11. У роботі [26] автору належать теореми 3.8 та 4.1.

Апробація результатів дисертації. Основні результати досліджень, проведених у дисертації, доповідались та обговорювались на більш ніж 40 наукових конференціях та більш ніж 10 наукових семінарах, зокрема на:

– Міжнародних математичних конгресах (Цюріх, 1994, Берлін, 1998, Мадрид, 2006);

– Європейських математичних конгресах (Будапешт, 1996, Амстердам, 2008);

– 11th International Congress on Math. Phys. (Paris, France, 1994, July, 17-29);

– 16th International Congress on Math. Phys. (Prague, Czech Republic, 2009, August, 3-8);

– International Workshops in Operator Theory and Applications (Groningen, 1998);

– International Workshops in Operator Theory and Applications (Bordeaux, 2000);

– International Petrovskii Conferences, Differential Equations and Related Topics Moscow, 1991, 1996, 1998, 2001, 2004);

– Summer St.- Petersburg Meetings in Mathematical Analysis (С.-Петербург, 1996, 1997, 1998, 2000, 2001, 2002, 2003);

– Workshop on the occasion of 200th of anniversary of C.F. Sturm (Geneva, Switzerland, 2003, September 15-19);

– GAMM 2001, Annual Scientific Conference (ETH, Zurich, Switzerland, 2001, February 12-15);

– GAMM 2007, 6th International Congress on Industrial and Applied Mathematics, (Zurich, Switzerland, 2007, July 16-20);

– Workshops on Operator Theory in Krein Spaces and Applications (Berlin, Germany, 2004, 2005, 2006, 2007, 2008);

– Workshop "Boundary relations, Extensions Theory and Applications" (Lorentz Center, Leiden, Netherlands, 2009, December 14-18);

– International Conference "Modern Analysis and Applications" (MAA 2007) dedicated to the centenary of Mark Krein (Odessa, Ukraine, 2007, April 9-14);

– Workshop "Boundary relations, Extensions Theory and Applications" (Lorentz Center, Leiden, Netherlands, 2009, December 14-18);

– Українських Математичних конгресах (Київ, 2001, 2009);

– семінарах з функціонального аналізу в Московському державному університеті, керівники д.ф.-м.н., професор А.Г. Костюченко, д.ф.-м.н., професор Б.М. Левітан, д.ф.-м.н., професор А.А. Шкаліков;

– Київському семінарі з функціонального аналізу в Інституті математики НАН України, керівник член-кор. НАНУ, д.ф.-м.н., професор М.Л. Горбачук;

– семінарах математичного відділення Інституту низьких температур ім. Б.Вєркіна НАН України, керівник академік В.О. Марченко (1982, 1990, 1991);

– семінарі математичного відділення Інституту низьких температур ім. Б.Вєркіна НАН України, керівник академік НАНУ Є.Я. Хруслов (2008);

– спільному семінарі відділів нелінійного аналізу, рівнянь з частинними похідними і рівнянь математичної фізики ІПММ НАНУ (керівники д.ф.-м.н., професор А.О. Ковалевський, д.ф.-м.н., професор А.Є. Шишков, д.ф.-м.н. А.Ф. Тедеєв).

Публікації. Основні результати дисертації у достатньому обсязі викладено у 26 наукових статтях, що своєчасно надруковані у відповідних фахових виданнях і відображають зміст дисертації.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається з переліку умовних скорочень, вступу, основної частини з дев'яти розділів, висновків, додатків А, Б, В, Г, Д, Е та списку використаних джерел. Загальний обсяг роботи - 357 сторінок, у тому числі додатків 37с. Список використаних джерел налічує 202 найменування.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність теми досліджень, формулюються мета і задачі досліджень, викладається наукова новизна та теоретичне і практичне значення одержаних у дисертаційній роботі результатів.

У першому розділі викладено стан розвитку та основні досягнення проблематиці, якій присвячена дисертація, проведено огляд літератури за темою дисертації, вказано на літературні джерела, що стосуються вивчення питань єдиності, самоспряженості та повноти крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь.

Відзначимо, що при система (1) еквівалентна системі Дірака. При і , до системи (1) зводиться звичайне диференціальне рівняння -го порядку.

Нехай відносно ортогонального розкладання потенціальні матриці та мають нульову діагональ,

Частинні випадки теореми вивчені раніше М.С. Бродським, М.С. Лівшицем, Л.А. Сахновичем та З.Л. ЛейбензономЛейбензон З.Л. Связь между обратной задачей и полнотой собственных функций/З.Л. Лейбензон//ДАН СССР.-1962.-т.145.-С.519-522..

У наступній теоремі доводиться, що для системи (1),(4) з існують трикутні оператори перетворення.

Теорема 5. Нехай потенціальні nЧn матриці-функції і задовольняють умови та припускають аналітичні продовження у круг досить великого радіуса і . Нехай, далі- матричні розв'язки систем (1) та (3) відповідно, що виділяються початковими умовами

.

Якщо при і , то справджується імплікація:

, і , .

Зокрема, при система однозначно визначається одним стовпцем матриці монодромії.

У третьому розділі вивчаються питання повноти кореневих векторів крайових задач для систем ЛЗДР вигляду (1) та рівнянь Штурма-Ліувілля.

У підрозділі 3.1 вивчається повнота СВПФ граничних задач для системи (1). Приєднаємо до рівняння (1) граничні умови

(12)

і позначимо через оператор, що відповідає задачі (1), (12) . Нехай, далі, та - спектральні проектори на «додатну» та «від'ємну» частини спектру самоспряженої матриці відповідно. Покладемо

Теорема 15. Нехай та матриці додатно визначені. Нехай - зростаюча (неперервна справа, ) -матриця-функція, що задовольняє умови 1 та 2 пропозиції 14. Тоді існує єдиний неперервний матричний потенціал , для якого , та такий, що відповідна система належить класу і - її спектральна матриця-функція. При цьому має неперервних похідних тоді і тільки тоді, коли неперервні.

З іншого боку, якщо - спектральна матрица-функція граничної задачі (29) класу , то виконуються умови 1 та 2 пропозиції 14.

Зауваження 16. Випадок системи Дірака ( ) вивчався раніше M. Гасимовим и Б. ЛевітаномЛевитан Б.М. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака/Б.М. Левитан, И.С. Саргсян. - М.: Наука, 1988. - 431с. . Проте доведення останніх не є повним, оскільки самоспряженість не була доведена.

Застосуємо теорему 15 до вивчення спектральних типів системи (29).

Теорема 18. Нехай , додатно визначені і , та . Нехай, далі, - - припустима зростаюча на функція, . Тоді існує неперервний матричний потенціал , для якого , і такий, що відповідний оператор є унітарно еквівалентним оператору , де

У п'ятому розділі вивчаються теореми єдиності для ЛЗДР -го порядку, а також необхідні умови для існування трикутного оператора перетворення.

У підрозділі 5.1 за допомогою операторів перетворення вивчається задача однозначного визначення рівняння -го порядку

з аналітичними матричними коефіцієнтами на відрізку за частиною матриці монодромії. Виявляється, що за рахунок аналітичності коефіцієнтів рівняння (39) для його однозначного визначення достатньо знання одного стовпця (одного рядка) його матриці монодромії.

Нехай - матричний розв'язок рівняння , що задовольняє початкові умови

(40)

де - дельта Дірака, а - матриця монодромії рівняння (39),

Доведення теореми 4.1 за допомогою операторів перетворення зводиться до доведення єдиності розв'язку нехарактеристичної задачі Коші для рівняння з частинними похідними, якому задовольняє ядро оператора перетворення.

Теорема 19 припускає наступне підсилення, яке використовується для доведення аналога теореми Борга.

Теорема 20

В наступній теоремі показується, що рівняння (39) однозначно визначається також першим рядком матриці монодромії.

У підрозділі 5.2 вивчаються необхідні умови існування трикутних

В роботах Л.А. СахновичаСахнович Л.А. Обратная задача для дифференциальных операторов порядка с аналитическими коэффициентами/Л.А. Сахнович // Матем. сборн.-1958.- т.46.- No 1.- С.61-76. та І.Г. ХачатрянаХачатрян И.Г. Об операторах преобразования для уравнений высших порядков/И.Г. Хачатрян// Изв. АН Арм. ССР.-1978.- т.XIII.- No 3. формула (47) була розповсюджена на рівняння (49) вищих порядків. А саме, в цих роботах показано, що якщо - розв'язок задачі Коші для найпростішого рівняння

а - розв'язок задачі Коші для рівняння

з іншими, можливо, початковими даними , то формула є вірною у проміжку за умови аналітичності коефіцієнтів у деякій області , що містить відрізок . Виявляється, що аналітичність коефіцієнтів рівняння (49) у певному сенсі є необхідною для існування операторів перетворення (o.п.). Нехай - простір функцій, аналітичних у кожній точці відкритого інтервалу .

У шостому розділі вивчаються умови мінімальності індексів дефекту (суттєвої самоспряженості) на півосі (відповідно на осі ) гамільтонових систем вигляду

У сьомому розділі дається розв'язоадачі М.Г. КрейнаКрейн М.Г. Об эрмитовых операторах с направляющими функционалами/М.Г.Крейн // Сборник трудов Института математики АН УССР.-1948.- т.10.- С.83-106. про внутрішній (функціональний) опис простору , де - гільбертів простір, а - операторна міра. Тут же будується функціональна модель симетричного оператора у просторі .

НагадаємоБерезанский Ю.М. Разложения по собственным функциям самосопряженных операторов/Ю.М. Березанский.- К.: Наукова Думка, 1965.-800 с. означення простору . Нехай - множина фінітних сильно неперервних вектор-функцій , що набувають значення у скінченновимірних підпросторах , що залежать від . На множині вводять півскалярний добуток де інтеграл розуміється у сенсі Рімана-Cтілтьєса. Поповнюючи за півнормою , приходимо до півгільбертового простору (повного простору з півнормою замість норми). Факторизуючи за ядром півнорми , приходимо до гільбертового простору .

У випадку задача М.Г. Крейна повністю розв'язана І.С. Кацем. Однак випадок принципово відрізняється від випадку . Саме, при навіть у випадку найпростіших атомарних мір простір містить вектор-функції, які набувають значення за межами .

Нехай і . Нехай також - півгільбертів простір, що його отримано поповненням за півскалярним добутком, визначеним для формулою

Факторизуючи за ядром півнорми, приходимо до простору .

Розглянемо оператор

Теорема 36. Нехай А - щільно заданий замкнений простий симетричний оператор із скінченними індексами дефекту в сепарабельному гільбертовому просторі , - гранична трійка для , - відповідна функція Вейля. Далі, нехай і , - ,самоспряжене розширення оператора . Тоді в спектральне зображення оператора таке, що матриця розсіяння системи розсіяння має зображення

(75)

для м.в. , де и .

ВИСНОВКИ

Основні результати дисертації можна підсумувати наступним чином.

1. Отримано теорему про однозначне визначення системи лінійних звичайних диференціальних рівнянь (ЛЗДР), записаної у канонічному вигляді, за її матрицею монодромії.

2. Побудовані трикутні оператори перетворення для систем ЛЗДР. Їх застосовано для доведення однозначного визначення системи за частиною її матриці монодромії.

3. Знайдені умови повноти системи кореневих векторів граничних задач для систем ЛЗДР. Знайдені умови повноты системи власних та приєднаних функцій (СВПФ) граничних задач для рівняння Штурма-Ліувілля з виродженими граничними умовами.

4. Розв'язано обернену задачу за спектральною матрицею-функцією для самоспряженої граничної задачі, що її породжено системою ЛЗДР на півосі.

5. Знайдені умови самоспряженості на осі канонічних (гамільтонових) систем, а також чотири- і тричленних матричних рівнянь другого порядку.

6. Показано, що рівняння -го порядку з -матричними аналітичними коефіцієнтами однозначно визначається скалярними стовпцями (рядками) своєї матриці монодромії.

7. Показано, що за наявності для рівняння -го порядку трикутного оператора перетворення з аналітичності першої половини коефіцієнтів випливає аналітичність решти коефіцієнтів.

8. Розв'язано задачу М.Г. Крейна про внутрішній опис гільбертового простору .

9. Знайдено формулу для матриці розсіяння пари самоспряжених розширень одного симетричного оператора, що виражає її через функцію Вейля та граничні оператори. Цю формулу застосовано у теорії розсіяння відкритих квантових систем.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. М.М. Маламуд. К вопросу об операторах преобразования для обыкновенных дифференциальных уравнений/М.М. Маламуд//Труды Московского математ. общества.-1990.- т.53.- С.69-99.

2. M.M. Malamud, Оценки для систем дифференциальных операторов в Связь с результатами Хермандера/М.М. Маламуд//Доклады Академии Наук. -1990.- т. 312.- No 6.- С.1312-1317.

3. V.A. Derkach. Generalized Resolvents and Boundary Value Problems for Hermitian Operators with Gaps/V.A. Derkach and M.M. Malamud//J. Funct. Anal.-1991.- v.95.- No 1/- P.1-95.

4. М.М. Маламуд. О некоторых классах расширений эрмитова оператора с лакунами/М.М. Маламуд// Украинский матем. журнал.-1992.-т.44.- No 2.- С.215-233.

5. М.М. Маламуд. О формуле обобщенных резольвент для неплотно определенного эрмитова оператора/М.М. Маламуд// Украинский матем. журнал.-1992.-т.44.- No 12.- С.1658-1688.

6. М.М. Маламуд. Подобие вольтерровых операторов и смежные вопросы теории дифференциальных уравнений дробных порядков/М.М. Маламуд//Труды Моск. математ. общества.-1994.- т.55.- С.57-122.

7. М.М. Маламуд. О связи потенциальной матрицы системы Дирака и ее вронскианом/М.М. Маламуд//Доклады Академии Наук. -1995.- т. 344.- No 5.- С.601-604.

8. V.A. Derkach. The Extension Theory of Hermitian Operators and the Moment Problem/V.A. Derkach and M.M. Malamud//Journ. of Mathem. Sci.-1995.-v.73.- No 2.- P.141-242 (Translated from Itogi Nauki i Techniki, Seriya Sovremennaya Matematica i Ee Prilozheniya, vol. 5, Analiz 3 (1994)).

9. М.М. Маламуд. Оценки для систем минимальных и максимальных дифференциальных операторов в /M.M. Malamud//Труды Московского математ. общества.-1995.- т.56.- С.206-261.

10. М.М. Маламуд. О воспроизводящих подпространствах вольтерровых операторов/М.М. Маламуд//Доклады Академии Наук. -1996.-т.351.- No 4.- C.454-458.

11. M.M. Malamud. Invariant and hyperinvariant subspaces of direct sums of simple Volterra operators/M.M. Malamud// Operator Theory: Advances and Applications.-1998.- v.102.- P.143-167.

12. М.М. Маламуд. Вопросы единственности в обратных задачах для систем дифференциальных уравнений на конечном интервале/М.М. Маламуд//Труды Моск. математ. общества.-1999.- т.60.- P.173-224.

13. М.М. Маламуд. Теоремы типа Борга для для систем первого порядка на конечном интервале/М.М. Маламуд//Функц. Анализ и приложения.-1999.- т.33.- No 1.- С.64-68.

14. M. Lesch. The inverse spectral problem for first order systems on the half line/M. Lesch and M.M. Malamud//Operator Theory: Advances and Applications.-2000.- v.117.- P.199-238.

15. М.М. Маламуд. Теоремы полноты для систем дифференциальных уравнений/М.М. Маламуд и Л.Л. Оридорога//Функц. Анализ и приложения.-2000.- т.34.- No 4.- P.88-90.

16. M. Lesch. On the deficiency indices and selfadjointness of symmetric Hamiltonian systems/M. Lesch and M.M. Malamud // J. Dif. Equations.-2003.- v.189.- P.556-615.

17. М.М. Маламуд. Спектральная теория операторных мер в гильбертовом пространстве/М.М. Маламуд и С.М. Маламуд//Алгебра и Анализ.-2003- т.15- No 3.- С.1-77.

18. S. Albeverio. Inverse spectral theory forsymmetric operators with several gaps: Scalar type Weyl functions/S. Albeverio, J. Brasche, M.M. Malamud, H. Neidhardt// J. Funct. Anal.-2005.- v. 228.- No 1.- P.144-188.

19. M.M. Malamud. Uniqueness of the matrix Sturm-Liouville equation given a part of the monodromy matrix, and Borg type results/M.M. Malamud// Sturm-Liouville Theory. Past and Present, (Editors: W. Amrein, A. Hintz, D. Pearson), Birkhauser Verlag.-2005.- P.237-270.

20. V. Derkach. Boundary relations and their Weyl families/V. Derkach, S. Hassi, M.M. Malamud and H. de Snoo// Trans. Amer. Math. Soc.-2006.- v.358.-P.5351-5400.

21. М.М. Маламуд. Теоремы типа Борга для уравнений высоких порядков с матричными коэффициентами/М.М. Маламуд// Доклады Академии Наук.-2006.- т.409.- No 3.-C.1-5.

22. M.M. Malamud, Operator holes, and extensions of sectorial operators and dual pairs of contractions/M.M. Malamud// Math. Nachr.-2006.-v. 279.- No 5-P.625-655.

23. J. Behrndt. Open Quantum systems/J. Behrndt, M.M. Malamud, H. Neidhardt// Math. Physics, Anal., Geometry.-2007.- v.15, No 4.- P.241-281.

24. М.М. Маламуд. О полноте системы корневых векторов оператора Штурма-Лиувилля с общими граничными условиями/М.М. Маламуд// Доклады Академии Наук.-2008.- т.419, No1.- С.19 - 22.

25. М.М. Маламуд. О полноте системы корневых векторов оператора Штурма-Лиувилля с общими граничными условиями/М.М. Маламуд// Функ. Анализ и его Приложения.-2008.- т.42.- No 3.-С.45-52.

26. J. Behrndt. Scattering matrices and Weyl functions /J. Behrndt, M.M. Malamud, H. Neidhardt// Proc. of London Math. Soc.-2008.- v.97.- No 3.- P.568-598.

АНОТАЦІЇ

Маламуд М.М. Питання єдиності, повноти та самоспряженості у крайових задачах для систем диференціальних рівнянь. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико - математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння.- Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2010.

Доведено теорему про однозначне визначення системи лінійних звичайних диференціальних рівнянь (ЛЗДР) вигляду за її матрицею монодромії. Тут - невироджена діагональна -матриця, а - потенціальна матриця, .

Доведено існування трикутних операторів перетворення у випадках і , але аналітичної потенціальної матриці . Доведено однозначну визначеність системи за частиною стовпців матриці монодромії. Показано, що ЛЗДР -го порядку з -матричними аналітичними коефіцієнтами однозначно визначається скалярними стовпцями (або рядками) своєї матриці монодромії. Показано, що за наявності оператора перетворення з аналітичності першої половини коефіцієнтів ЛЗДР -го порядку випливає аналітичність решти.

Знайдено умови повноти системи кореневих векторів загальних граничних задач для систем ЛЗДР, а також граничних задач для рівняння Штурма-Ліувілля з виродженими граничними умовами.

Розв'язано обернену задачу за спектральною матрицею-функцією самоспряженої граничної задачі, породженої формально симетричною системою ЛЗДР на півосі.

Отримано умови самоспряженості на півосі та осі симетричних систем першого та другого порядків. Для тричленного рівняння 2-го порядку отримано критерії самоспряженості.

Знайдено формулу для матриці розсіяння двох різних граничных задач, породжених одним диференціальним виразом. Цю формулу застосовано для знаходження матриці розсіяння відкритих квантових систем та встановлення зв'язку з -матрицею Лакса-Філіпса.

Результати дисертації мають теоретичний характер та можуть бути використані як у спектральній теорії звичайних диференціальних рівнянь, так і рівнянь з частинними похідними.

Ключові слова: матриця монодромії, спектр, спектральна матриця-функція, оператор перетворення, самоспряженість, матриця розсіяння, функція Вейля.

Маламуд М.М. Вопросы единственности, полноты и самосопряженности в краевых задачах для систем дифференциальных уравнений. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико - математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения.- Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2010.

Диссертационная работа посвящена исследованию вопросов единственности, полноты и самосопряженности граничных задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ЛОДУ) вида

где - невырожденная диагональная - матрица, а - потенциальная матрица с нулевой блочной диагональю, . Доказана теорема об однозначном определении системы ЛОДУ по ее матрице монодромии.

Доказано существование треугольных операторов преобразования для систем типа Дирака (с ), а также в случае матриц с комплексным спектром, но аналитической потенциальной матрицей . При помощи операторов преобразования доказана однозначная определенность системы по части столбцов матрицы монодромии, а также аналог теоремы Хохштадта-Либермана. Именно, в случае доказательство сводится к доказательству однозначной разрешимости некоторой задачи Гурса для гиперболической системы уравнений первого порядка, которой удовлетворяют компоненты матричного ядра оператора преобразования.

Показано, что ЛОДУ -порядка с -матричными аналитическими коэффициентами однозначно определяется скалярными столбцами (или строками) своей матрицы монодромии. Так же, как и для систем первого порядка, доказательство при помощи операторов преобразования сводится к доказательству однозначной разрешимости некоторой задачи Гурса для уравнения в частных производных, которому удовлетворяет ядро оператора преобразования.

Найдены необходимые условия существования треугольного оператора преобразования для уравнения -го порядка. Именно, показано, что при наличии оператора преобразования аналитичность первой половины коэффициентов влечет аналитичность остальных. В доказательстве использована техника нелинейных эллиптических граничных задач.

Найдены необходимые и достаточные условия полноты системы корневых векторов общих граничных задач для систем ЛОДУ, а также граничных задач для уравнения Штурма-Лиувилля с вырожденными граничными условиями.

Решена обратная задача по спектральной матрице-функции самосопряженной граничной задачи, порожденной формально симметрической системой ЛОДУ на полуоси. С ее помощью исследованы спектральные типы системы типа Дирака на полуоси.

Получены условия самосопряженности на полуоси и оси симметрических систем первого и второго порядков. В скалярном случае из полученного результата вытекают известные результаты Титчмарша- Сирса, Н. Левинсона и Каца-Крейна. Для трехчленного уравнения 2-го порядка (при определенных ограничениях на коэффициенты) получены критерии самосопряженности.

Решена задача М.Г. Крейна о внутреннем описании гильбертова пространства . С ее помощью построена модель симметрического оператора в пространстве

Найдена формула для матрицы рассеяния двух различных граничных задач, порожденных одним дифференциальным выражением. Эта формула применима для нахождения матрицы рассеяния открытых квантовых систем и установлению связи с -матрицей Лакса-Филлипса.

Результаты диссертации имеют теоретический характер и могут быть использованы в спектральной теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными.

Ключевые слова: матрица монодромии, спектр, спектральная матрица-функция, оператор преобразования, самосопряженность, матрица рассеяния, функция Вейля.

Malamud M.M. Problems of uniqueness, completeness and self-adjointness in boundary value problems for systems of differential equations. - Manuscript.

Thesis for obtaining the degree of doctor of sciences in physics and mathematics, speciality 01.01.02 - differential equations. - Institute of Applied Mathematics and Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Donetsk, 2010.

Theorem on the unique determination of a system of linear ordinary differential equations (LODE) of the form by its monodromy matrix is proved. Here is a non-singular diagonal -matrix and is a potential matrix satisfying .

It is proved the existence of triangular transformation operators in the cases of and but analytical potential matriсes . The unique determination of the system by a part of columns of the monodromy matrix is proved. It is shown that the LODE of -th order with -matrix analytical coefficients is uniquely determined by scalar columns (or rows) of its monodromy matrix. It is shown that, if a transformation operator exists, the analyticity of the first one-half of coefficients of -th order LODE implies the analyticity of the rest coefficients.

Conditions of the completeness of system of root vectors of general boundary value problems for systems of LODE as well as boundary value problems for the Sturm-Liouville equation with degenerate boundary conditions are found.

It is solved the inverse problem from the spectral matrix function of a boundary value problem generated by a formally symmetric system of LODE on the half-line.

Conditions of self-adjointness both on the half-line and on the line of symmetric systems of the first and the second orders are found. For a trinomial equation of 2-nd order, self-adjointness criteria are obtained.

The formula for the scattering matrix of two different boundary value problems generated by the same differential expression is found. This formula is applied to finding the formula for the scattering matrix of open quantum system as well a connection with the Lax-Phillips -matrix.

The results of the dissertation have theoretical significance and can be applied in both the spectral theory of ordinary differential equations and the theory of partial differential equations.

Key words: monodromy matrix, spectrum, spectral matrix function, transformation operator, self-adjointness, scattering matrix, Weyl function.

Размещено на Allbest.ru

...