Оптимальні методи розв’язування деяких класів інтегральних рівнянь Фредгольма

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

ОПТИМАЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ДЕЯКИХ КЛАСІВ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ФРЕДГОЛЬМА

01.01.07 - обчислювальна математика

Мосенцова Ганна Вікторівна

Київ - 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник СОЛОДКИЙ Сергій Григорович, Інститут математики НАН України, завідувач відділу теорії наближень.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Хапко Роман Степанович, Львівський національний університет імені Івана Франка, завідувач кафедри обчислювальної математики;

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Хіміч Олександр Миколайович, Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, завідувач відділу чисельних методів комп'ютерного моделювання.

Захист відбудеться «18» травня 2010 р. о 15-00 годині на засіданні спеціалізованної вченої ради Д 26.206.02 Інституту математики НАН України а адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий «12» квітня 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Г.П. Пелюх

АНОТАЦІЇ

Мосенцова Г.В. Оптимальні методи розв'язування деяких класів інтегральних рівнянь Фредгольма. -- Рукопис. -- Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.07 -- обчислювальна математика. -- Інститут математики НАН України, Київ, 2010.

Дисертаційна робота присвячена розробці оптимальних чисельних методів розв'язування різних класів інтегральних рівнянь Фредгольма І та II роду. Для жорстко некоректних задач запропоновано методи наближеного розв'язування, суть яких полягає у використанні комбінації тіхоновської регуляризації та принципу нев'язки. Встановлено оптимальність за точністю побудованих методів у випадку збурених вхідних даних. Для інтегральних рівнянь Фредгольма II роду з коефіцієнтами соболєвського типу гладкості розроблено оптимальні методи наближеного розв'язування, які враховують гладкісні властивості рівняння. На вказаних класах рівнянь обчислено точні порядкові оцінки інформаційної та алгоритмічної складності, що реалізуються побудованими методами. Для інтегральних рівнянь Фредгольма II роду з гармонічними ядрами та правими частинами побудовано проекційно-ітеративний метод, що є економічним у сенсі кількості виконаних елементарних арифметичних операцій.

Ключові слова: інтегральне рівняння Фредгольма, некоректна задача, метод регуляризації, параметр регуляризації, принцип нев'язки, інформаційна складність, алгоритмічна складність, проекційно-ітеративний метод.

Мосенцова А.В. Оптимальные методы решения некоторых классов интегральных уравнений Фредгольма. -- Рукопись. -- Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.07 -- вычислительная математика. -- Институт математики НАН Украины, Киев, 2010.

Основным вопросом численного анализа является проблема разработки вычислительных методов, обладающими перечисленными свойствами, высокой точности и экономичности. Построение численных методов, которые удовлетворяют этим требованиям, представляет собой трудоемкую задачу оптимизации методов. Диссертационная работа посвящена исследованию оптимизации методов решения широких классов интегральных уравнений Фредгольма I и II рода. При этом под оптимизацией понимается как минимизация погрешности метода, так и минимизация объема конкретного вычислительного ресурса.

Глава I содержит обзор основных положений теории интегральных уравнений Фредгольма первого и второго рода. Кроме того, здесь приведен обзор публикаций, посвященных приближенному решению указанных уравнений Фредгольма, а также изложены общие понятия и факты из теории некорректных задач.

В главе II для жестко некорректных задач с возмущенными оператором и правой частью, предложены методы приближенного решения, суть которых состоит в комбинации стандартного регуляризатора Тихонова и обобщенного принципа невязки. Установлено, что в рамках указанных методов достигается оптимальная точность приближения. Для экспоненциально некорректных задач исследованы аппроксимационные свойства комбинации принципа невязки Морозова и тихоновской регуляризации. Доказано, что эта комбинация обеспечивает оптимальный порядок точности на исследуемых классах задач. Эффективность численной реализации соответствующих алгоритмов подтверждена на тестовых примерах.

В третьей главе для интегральных уравнений Фредгольма II рода с периодическими коэффициентами соболевского типа гладкости разработаны оптимальные по порядку методы приближенного решения. При помощи этих методов установлены точные порядковые оценки информационной и алгоритмической сложности указанных классов задач. Для интегральных уравнений Фредгольма II рода с гармоническими коэффициентами построен проекционно-итеративный метод, являющийся экономичным в смысле количества выполненных элементарных арифметических операций.

Ключевые слова: интегральное уравнение Фредгольма, некорректная задача, метод регуляризации, параметр регуляризации, принцип невязки, информационная сложность, алгоритмическая сложность, проекционно-итеративный метод.

чисельний інтегральний рівняння регуляризація

Mosentsova G.V. Optimal methods for solving some classes of Fredholm equations. -- Manuscript. -- The thesis is presented for the scientific degree of the candidate of physics and mathematics by speciality 01.01.07 -- computational mathematics . -- Institute of mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv 2010.

The thesis is dedicated to development of numerical methods for the solving first and second kind Fredholm integral equations and their operator generalizations. For severally ill-posed problems some methods of approximate solution are proposed. These methods consist in combination of discrepancy principle and Tikhonov regularization. The optimality of the constructed methods in the case of noisy input data is proved. For Fredholm integral equations of the second kind with coefficients of Sobolev's type smoothness it was new approximate methods constructed which are taking into account smoothness properties of the equation. For these equation classes it is determinedthe exact order of accuracy for information and algorithmic complexity, which is realized in the framework of constructed methods. For Fredholm integral equations with harmonic kernels and right-hand sides a projection-iterative method was constructed.This method is efficient in the sense of amount of elementary arithmetic operations.

Key words: integral equation, ill-posed problem, regularization method, regularization parameter, discrepancy principle, information complexity, algorithmic complexity, projection-iterative method.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми.

Дослідження багатьох складних явищ та об'єктів, що виникають у природничих дисциплінах, потребують побудови та вивчення відповідних адекватних математичних моделей, значне місце серед яких підході належить інтегральним рівнянням. Робота присвячена проблемам підвищення ефективності методів чисельного розв'язування для широких класів інтегральних рівнянь Фредгольма I та II роду. Відмітимо, що область застосування інтегральних рівнянь Фредгольма надзвичайно велика. Так, наприклад, рівняння II роду виникають у таких галузях, як електродинаміка, математична фізика, біологія, економіка тощо. До рівнянь I роду зводяться обернені задачі фізики, задачі цифрової обробки відеоінформації та томографії, а також широке коло проблем техніки, біології, астрофізики та економічної теорії.

Останні 50 років значну увагу багатьох фахівців привертають проблеми дослідження інтегральних рівнянь Фредгольма I роду. Як відомо, задача розв'язування таких рівнянь є, взагалі кажучи, некоректною за Адамаром. Значний інтерес для вивчення становлять жорстко некоректні задачі, що характеризуються високою степінню некоректності. Задачі такого типу з'являються, зокрема, у теорії гравітаційної градієнтометрії супутника, дифракційної оптики та обернених задачах теплопровідності. В результаті попередніх досліджень (B.A. Mair, T. Hohage, E. Schock, С.В. Переверзєва та інших) було встановлено, що комбінація методу регуляризації Тіхонова та принципу нев'язки дозволяє відновлювати розв'язки жорстко некоректних задач з оптимальною за порядком точністю, коли неточно відомою є лише права частина рівняння. У той же час можливості цього підходу у разі збуреного оператора залишалися не дослідженими. кість розв'язку при цьому базується на використанні апріорної інформації про рівень точності даних задачі, гладкістні характеристики. ту тіхоновської регуляризації та принципу нев'язки.

У дисертації також розглянуто задачі оптимального розв'язування інтегральних рівнянь Фредгольма II роду. Раніше для інтегральних рівнянь II роду різні аспекти оптимізації наближеного розв'язування вивчалися у роботах Л.В. Канторовича, М.С. Бахвалова, С.Г. Міхліна, Г.М. Вайніко, І.К.Даугавєта, Б.Г. Габдулхаєва, С.В. Переверзєва та багатьох інших. На сьогодні згадані дослідження набули найбільш інтенсивного розвитку у рамках IBC-теорії. Основною задачею IBC-теорії є побудова алгоритмів, які для відновлення наближеного розв'язку з необхідною точністю потребують істотно менших витрат різних обчислювальних ресурсів у порівнянні з іншими методами, а також у знаходженні оцінок мінімально можливих обсягів цих витрат.

На сьогодні відома низка результатів з питань оптимізації методів розв'язування різноманітних класів рівнянь Фредгольма II роду. Так, для окремих класів інтегральних рівнянь Фредгольма II роду з періодичними коефіцієнтами соболєвського типу гладкості встановлено точні порядкові оцінки складності у роботах К.В. Ємел'янова та А.М. Іл'їна, C.В. Переверзєва, K. Frank та S. Heinrich, C.Г. Солодкого, І.В. Бойкова, К. Шаріпова. Проте оцінки складності на всій шкалі соболєвських класів залишалися невідомими.

Разом з тим значно меншу увагу приділялося проблемам оптимізації наближених методів розв'язування інтегральних рівнянь Фредгольма II рода з нескінченно диференційовними коефіцієнтами. У цьому контексті цікавим є питання про побудову економічного (у сенсі кількості виконаних арифметичних операцій) методу розв'язування рівнянь Фредгольма з періодичними гармонічними коефіцієнтами. воляє, не втрачаючи у точності розв'язку, скоротити обсяг обчислень порівняно зі стандартними методами.

Всі зазначені вище фактори пояснюють актуальність і доцільність подальшого проведення досліджень у напрямку підвищення ефективності чисельного розв'язування рівнянь Фредгольма I та II роду шляхом побудови нових оптимальних методів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилася згідно із загальним планом досліджень відділу теорії наближень Інституту математики НАН України в рамках держбюджетної теми "Оптимізація методів чисельного аналізу та паралельних обчислень" за номером № 0105U000155.

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є дослідження широких класів інтегральних рівнянь Фредгольма I та II роду; розробка та дослідження оптимальних за порядком точності та економічних за обсягом обчислювальних ресурсів методів розв'язування вказаних рівнянь.

Для досягнення зазначеної мети виникла необхідність розв'язати такі задачі:

? розробити оптимальні за порядком точності методи наближеного розв'язування жорстко некоректних задач зі збуреними вхідними даними;

? дослідити апроксимаційні властивості комбінації принципу нев'язки Морозова та тіхоновської регуляризації для експоненціально некоректних задач;

? розробити оптимальні методи розв'язування інтегральних рівнянь Фредгольма II роду з періодичними соболєвськими коефіцієнтами та встановити точні порядкові оцінки складності для цих класів рівнянь;

? побудувати метод розв'язування інтегральних рівнянь Фредгольма II роду з гармонічними коефіцієнтами, що є економічним за кількістю виконаних елементарних арифметичних операцій.

Об'єктом дослідження є інтегральні рівняння Фредгольма I та II роду.

Предметом дослідження є чисельні методи наближеного розв'язування інтегральних рівнянь Фредгольма I та II роду.

Як методи дослідження у дисертаційній роботі використовуються методи обчислювальної математики, теорії оптимізації та функціонального аналізу.

Наукова новизна одержаних результатів. Всі результати, які виносяться до захисту, є новими. Основні результати, які визначають наукову новизну і виносяться на захист, такі:

? Для жорстко некоректних задач зі збуреними оператором та правою частиною запропоновано методи наближеного розв'язування, суть яких полягає у комбінації стандартного регуляризатора Тіхонова та узагальненого принципу нев'язки. Встановлено, що ці методи є оптимальними за порядком точності наближення.

? Для експоненціально некоректних задач досліджено апроксимаційні властивості комбінації принципу нев'язки Морозова та тіхоновської регуляризації. Встановлено, що ця комбінація забезпечує оптимальний порядок точності на досліджуваних класах задач.

? Для інтегральних рівнянь Фредгольма II роду з періодичними коефіцієнтами соболєвського типу гладкості розроблено оптимальні за порядком методи наближеного розв'язування. Знайдено точні порядкові оцінки інформаційної та алгоритмічної складності вказаних класів задач.

? Для інтегральних рівнянь Фредгольма II роду з гармонічними коефіцієнтами побудовано проекційно-ітеративний метод, що є економічним у сенсі кількості виконаних елементарних арифметичних операцій.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Запропоновані і обґрунтовані у ній методи дозволяють відновлювати розв'язки жорстко некоректних задач з оптимальною за порядком точністю. Досліджені у роботі проекційно-ітеративні та проекційні методи розв'язування широких класів інтегральних рівнянь Фредгольма II роду дозволяють (у порівнянні з відомими раніше методами) значно скоротити об'єм обчислювальних витрат без втрати точності.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану досліджень і постановка задач належать науковому керівнику та співавтору праць С.Г. Солодкому. Всі результати дисертації, які виносяться на захист, одержано автором самостійно.

Апробація результатів дисертації.

Основні результати дисертації доповідались та обговорювались на семінарах в Інституті математики; були зроблені виступи на: Міжнародній конференції "Обратные и некорректные задачи математической физики" (Росія, Новосибірськ, 20-25 серпня 2007 р.); Тридцять третьому Міжнародному симпозіумі "Питання оптимізації обчислень" (Крим, Велика Ялта, смт. Кацивелі, 23-28 вересня 2007 р.); Чотирнадцятій Всеукраїнській науковій конференції "Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики" (Львів, 2-4 жовтня 2007 р.); Науковому семінарі в Інституті математики ім. С. Банаха Польської академії наук, Варшава (25 березня 2008 р.); Тридцять п'ятому Міжнародному симпозіуму "Питання оптимізації обчислень" (Крим, Кацівелі 24-29 вересня 2009 р.); Шістнадцятій Всеукраїнській науковій конференції "Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики" (Львів, 8-9 жовтня 2009 р.).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано у 9 роботах, з них 5 статей -- у спеціалізованих фахових журналах і 4 -- в тезах доповідей наукових конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг роботи становить 131 сторінку, у списку використаних джерел 80 найменувань.

Висловлюю щиру подяку моєму науковому керівникові доктору фізико-математичних наук С.Г. Солодкому за увагу до роботи, корисні пропозиції та зауваження.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету дослідження, коротко викладено зміст основної частини роботи та показано наукову новизну одержаних результатів.

Перший розділ містить огляд основних положень теорії інтегральних рівнянь Фредгольма першого та другого роду. У параграфі 1.1 описується загальний стан сучасних досліджень, присвячених наближеному розв'язуванню вказаних рівнянь.

У параграфі 1.2 наводяться загальні поняття та факти з теорії некоректних задач: означення некоректної задачі за Адамаром, методу регуляризації, найкращої можливої похибки, квазірозв'язку, псевдорозв'язку, псевдооберненого оператора Мура-Пенроуза.

Основним об'єктом досліджень другого розділу є операторне рівняння першого роду

(1)

де -- заданий лінійний компактний ін'єктивний оператор, що діє з гільбертового простору у гільбертів простір . Задача полягає у відновленні розв'язку операторного рівняння (1), що відповідає заданій правій частині . Рівняння (1) розглядається з наближено заданою правою частиною , де . Нехай -- точний розв'язок (1) з мінімальною нормою, тобто нормальний розв'язок задачі (1). По наближеним даним треба знайти такий елемент , який прямував би до при . Швидкість збіжності можно оцінити за умови, що належить так званій множині джерела

(2)

де -- довільна індексна (тобто неперервна зростаюча функція така, що ). Найкраща можлива похибка задачі (1)-(2) визначається шляхом мінімізації похибки серед усіх наближених методів , що грунтуються на даних спостереження , тобто

Одним з основних питань дисертації є відшукання найкращої можливої похибки, що може бути досягнута при розв'язуванні рівнянь (1) зі збуреними даними за наявності апріорної інформації (2), а також побудова оптимальних методів для вказаних задач.

Другий розділ присвячено розгляду жорстко некоректних задач. У параграфі 2.1 наводяться приклади жорстко некоректних, зокрема, експоненціально некоректних задач. В параграфах 2.2 та 2.3 побудовано регуляризуючі методи, що збігаються з оптимальною за порядком швидкістю до нормальних розв'язків лінійних експоненціально некоректних задач.

Позначимо скалярні добутки у просторах і через та відповідні їм норми через . Крім того, символом позначимо також стандартну операторну норму. Звичайно задачу (1) називають жорстко некоректною, якщо розв'язок має скінченну гладкість у певному сенсі, а -- оператор нескінченної гладкості. Прикладом такого типу задач є експоненціально некоректні задачі. Характерною рисою останніх є те, що належить деякому підпростору , неперервно вкладеному в , причому сингулярні значення оператора канонічного вкладення з в прямують до нуля з поліноміальною швидкістю, у той час як власні значення оператора збігаються до нуля достатньо швидко таким чином, що при деяких константах ( тут функція фігурує разів). У даному випадку природно припустити, що

 (3)

при деякому невідомому та заданому .

Без втрати загальності вважатимемо, що , , тобто .

У §2.2 досліджується випадок рівнянь (1) з нормальними розв'язками вигляду (3) при .

Отже, припустимо, що замість правої частини маємо збурення , , а замість є наявним оператор , . Нехай при цьому - також лінійний компактний ін'єктивний оператор.

Умова джерела (3) у разі записується наступним чином

(4)

при деякому невідомому значенні та відомому .

Знаходження наближення для в межах тіхоновського методу потребує розв'язання лінійного операторного рівняння

(5)

де - деяке скінченновимірне наближення до з .

У залежності від співвідношення величин та розглянуто 2 сітуації. Нехай спочатку . Будемо вважати, що скінченновимірне наближення обрано таким чином, що

Параметр регуляризації обирається зі скінченної впорядкованої множини, що має вигляд геометричної сітки

(6)

де . Наближений розв'язок обчислюється шляхом розв'язання низки рівнянь

(7)

доки не буде виконуватись умова (згідно з узагальненим принципом нев'язки)

(8)

де , а - деяке дійсне число, яке більше ніж 1.

Теорема 2.1. Нехай та . Якщо обрано згідно з (8), то

де стала залежить лише від .

Далі розглядається випадок, коли . Вважатимемо, що скінченновимірне наближення обрано наступним чином

Параметр регуляризації , як і раніше, обирається зі скінченної впорядкованої множини (6). А саме, елемент знаходиться шляхом розв'язання низки рівнянь

доки не буде виконуватись умова

(9)

де .

В цьому випадку має місце таке твердження.

Теорема 2.2. Нехай та . Якщо обрано згідно з (9), то

де стала залежить лише від .

У §2.3 розглядається задача наближеного розв'язування експоненціально некоректних задач (1) з точно заданим оператором () та з розв'язками вигляду (3) при будь-якому фіксованому . При цьому встановлено, що комбінація дискретизованої тіхоновської регуляризації з морозовським принципом нев'язки забезпечує оптимальний порядок точності на вказаному класі рівнянь. У цьому випадку обчислення наближеного розв'язку для потребує розв'язання лінійного операторного рівняння



де -- деяке скінченновимірне наближення, .

Нехай обрано таким чином, що

(10)

Як і в попередньому параграфі, за правило зупинки береться принцип нев'язки (а саме, його стандартний варіант Морозова) у формі, яка пристосована до скінченновимірного варіанту звичайної тіхоновської регуляризації. Параметр регуляризації обирається з множини (6).

Таким чином, запропонований метод полягає в знаходженні шляхом обчислення низки рівнянь

(11)

доки не буде виконуватись нерівність

(12)

де . При цьому без втрати загальності вважаємо, що .

Такий вибір стратегії забезпечує найкращий можливий порядок точності на множині розв'язків (3) без будь-якої інформації про точне значення .

Теорема 2.3. Нехай та . Якщо та обрані згідно з (10) та (12) відповідно, то



де константа залежить лише від .

Теорема 2.4. Нехай . Тоді існує константа , для якої має місце наступна оцінка

Таким чином, як випливає з теорем 2.3 та 2.4, стратегія (10)-(12) забезпечує оптимальну за порядком точність розв'язування експоненціально некоректних задач.

У параграфі 2.4 представлено результати обчислювальних експериментів, які підтверджують ефективність підходів, запропонованих у параграфах 2.2-2.3.

У третьому розділі вивчається проблема оптимізації наближених методів розв'язування інтегральних рівнянь Фредгольма II роду як з коефіцієнтами соболєвського типу гладкості, так і з коефіцієнтами нескінченної гладкості.

У параграфі 3.1 дається загальна постановка задачі та вводяться класи рівнянь, що досліджуються. Розглядається інтегральне рівняння Фредгольма -го роду

(13)

де (14)

Нехай , , - простір сумовних у квадраті на функцій з нормою та скалярним добутком , a - простір сумовних у квадраті на функцій двох змінних зі звичайними нормою та скалярним добутком.

Через позначимо простори Соболєва -періодичних функцій, що мають обмежених у метриці похідних, причому Через позначимо простори Соболєва -періодичних за обома змінними функцій, що мають обмежених (у метриці ) похідних за першою змінною та обмежених похідних за другою змінною. Під та будемо розуміти кулі радіуса у просторах та відповідно.

Вважатимемо, що та Сукупність операторів (14) з такими ядрами позначимо . Класи рівнянь (13) з операторами та вільними членами позначимо .

Розглядається проблема оптимального розв'язування рівнянь (13) з класів , . Нехай -- деякий набір лінійно-незалежних лінійних неперервних функціоналів , з яких визначені на , а -- на множині . Вектор прийнято називати способом задання інформації. Число функціоналів , що складають набір , позначимо , тоді При кожному фіксованому позначимо множину всіляких способів задання інформації через .

Кожному рівнянню (13) з розглядуваного класу можна поставити у відповідність інформаційний вектор наступного вигляду

 (15)

Під наближеним методом розв'язування (13) будемо розуміти довільний оператор, що числовому вектору ставить у відповідність деякий елемент як наближений розв'язок, при цьому для побудови дозволяється виконати лише скінченне число найпростіших арифметичних операцій (а.о.). Тут під а.о. розуміються 4 елементарних операції: додавання, віднімання, множення та ділення.

При фіксованому інформаційному векторі сукупність наближених методів, що використовують для побудови наближених розв'язків дискретну інформацію тільки з набору , позначимо через . Через позначимо підмножину всіх наближених методів з , які для побудови елемента потребують виконання не більш ніж а.о. над компонентами інформаційного вектора . При застосуванні методів без втрати загальності будемо вважати , де .

Величина

називається похибкою наближеного метода на класі . Під оптимальною похибкою розв'язування рівнянь (13) з класу будемо розуміти величини:

Величина показує, яку мінімальну похибку можна досягнути на класі рівнянь за допомогою всіляких наближених методів, які для своєї реалізації потребують інформаційні вектори з довжиною не більш ніж . У свою чергу величина характеризує найкращу точність наближення, яку можна досягти на тому ж класі рівнянь серед методів, що потребують для своєї реалізації не більше ніж а.о. над значеннями функціоналів .

Під інформаційною складністю задачі наближеного розв'язування рівнянь (13) з класу будемо розуміти величину

яка, по суті, є величиною, оберненою до . Аналогічним чином визначається алгоритмічна складність:

У параграфі 3.2 встановлено оптимальність за точністю одного проекційного методу розв'язування рівнянь з класів . За допомогою цього методу обчислено точний порядок інформаційної складності рівнянь із вказаних класів.

Наведемо опис згаданого методу. За інформаційний вектор вигляду (15) пропонується використати набір таких скалярних добутків:

(16)

Наближений метод полягає у знаходженні розв'язку рівняння

(17)

Тут , індекс характеризує вимірність підпростору тригонометричних багаточленів, у якому шукається наближений розв'язок, та -- -та сума Фур'є функції за тригонометричним базисом, причому

(18)

де

-- сума Фур'є функції з номерами гармонік з області

Має місце таке твердження.

Теорема 3.1. Для довільних , виконується

Точний порядок величини реалізують інформаційний вектор (16) при та наближений метод (17).

Теорема 3.2. Для довільних , є вірною оцінка



Оптимальний порядок величини на класі рівнянь реалізується в межах методу .

У параграфі 3.3 для рівнянь з класів обчислено точний порядок оптимальної похибки (а також алгоритмічної складності) серед усіх методів, для реалізації яких дозволяється виконати не більше певного (фіксованого заздалегідь) числа найпростіших операцій. При цьому надається опис проекційно-ітеративного методу, що досягає вказаної точності.

Отже, розглянемо модифікацію методу , яка дозволяє скоротити число виконаних а.о. до мінімально можливої кількості. А саме, візьмемо послідовність елементів

(19)

де , а індекс означає номер кроку ітераційної процедури (19).

Через позначимо проекційно-ітеративний метод (19), де та . Має місце теорема

Теорема 3.3. Для довільних , , є вірною оцінка

Точний порядок досліджуваної величини реалізує проекційно-ітеративний метод .

Теорема 3.4. Для довільних , виконується



Оптимальний порядок величини на класі рівнянь реалізується в межах методу .

У параграфі 3.4 наводяться допоміжні означення та факти з теорії -чисел операторів у гільбертових просторах, а також надається опис досліджуваного класу інтегральних рівнянь Фредгольма з коефіцієнтами скінченної гладкості.

Нехай . Через позначимо простір -періодичних функцій однієї змінної з нормою

де - коефіцієнти Фур'є функції з базисними функціями в

(20)

, .

Через позначимо простір -періодичних функцій двох змінних, норма в якому задається наступним чином

де

Далі, під будемо розуміти кулю одиничного радіусу в просторі .

Тепер розглянемо інтегральне рівняння Фредгольма

(21)

(22)

Нехай . Через

позначимо сукупність ядер операторів (22). І клас рівнянь (21) з вільними членами та ядрами операторів (22) позначимо через .

Параграф 3.5 присвячено дослідженню інформаційної складності інтегральних рівнянь Фредгольма з класів , . Метод наближеного розв'язування рівнянь (21) з класу полягає в знаходженні розв'язку рівняння

(23)

де

а інформаційний вектор складається з набору коефіцієнтів Фур'є

Проекційний метод, який кожному рівнянню (21) ставить у відповідність елемент як наближений розв'язок, будемо позначати через .

Теорема 3.5. Для будь-яких має місце точна порядкова оцінка

Оптимальний порядок величини досягається в межах методу .

Оцінка інформаційної складності рівнянь (21) міститься у такій теоремі.

Теорема 3.6. Для довільних , є вірною оцінка

Оптимальний порядок величини на класі рівнянь реалізується в межах методу .

У параграфі 3.6 побудовано проекційно-ітеративний метод розв'язування інтегральних рівнянь Фредгольма II роду з періодичними гармонічними ядрами та вільними членами, що забезпечує на вказаному класі рівнянь істотне скорочення обсягу обчислень без втрати точності наближення у порівнянні зі стандартними методами.

У просторі візьмемо ортонормований базис, що породжується тригонометричними поліномами (20). Будемо розглядати такі нормовані простори функцій однієї та двох змінних:

Відомо, що простори та складаються з -періодичних функцій відповідно однієї та двох змінних, які по кожній змінній є слідами гармонічних в одиничному крузі функцій на колі радіусу .

Через позначимо кулю одиничного радіусу у просторі та введемо у розгляд множину функцій двох змінних

де . Сукупність рівнянь Фредгольма (13) з ядрами та вільними членами позначимо через .

Для розв'язування рівнянь з класу пропонуємо метод, який полягає у розв'язанні низки рівнянь:

(24)

де ,

а інформаційний вектор містить 2 набори коефіцієнтів Фур'є

(25)

з номерами гармонік з такої множини координатної площини:

для якої мають місце оцінки:

Очевидно, що для інформаційного вектора виконуються співвідношення

де .

Оберемо , наступним чином: . Тут, як звичайно, -- найближче зверху до ціле число.

Легко бачити, що для побудови кожного достатньо мати дискретну інформацію (25) та розв'язати рівняння

Через позначимо метод, який кожному рівнянню (13) в якості наближеного розв'язку ставить у відповідність елемент

Теорема 3.7. У межах методу для досягнення точності при як завгодно малому на класі рівнянь потрібно обчислити коефіцієнтів Фур'є (25) та виконати е.о.

Наприкінці §3.6 встановлено, що методи, які застосовувалися раніше до розв'язування рівнянь з класу , вимагають для досягнення тієї ж самої точності виконання щонайменше е.о. Вказаний факт свідчить про економічність методу .

ВИСНОВКИ

Об'єктом досліджень дисертаційної роботи є інтегральні рівняння Фредгольма I та II роду. Отримано наступні результати:

1. Для розв'язування експоненціально некоректних задач запропоновано оптимальні за порядком методи, що базуються на використанні комбінації скінченновимірного варіанту тіхоновської регуляризації та принципу нев'язки. Доведено оптимальність за точністю цих методів у випадку збурених вхідних даних.

2. Для інтегральних рівнянь Фредгольма II роду з періодичними коефіцієнтами соболєвського типу гладкості розроблено оптимальні за порядком методи наближеного розв'язування. За допомогою цих методів знайдено точні порядкові оцінки інформаційної та алгоритмічної складності вказаних класів задач.

3. Для інтегральних рівнянь Фредгольма II роду з гармонічними коефіцієнтами побудовано проекційно-ітеративний метод, що є економічним у сенсі кількості виконаних елементарних арифметичних операцій.

Результати роботи мають теоретичний характер і можуть бути використані при розв'язуванні різноманітних прикладних задач.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

[1] Лукьянова Е. А. Об одном проекционно-итеративном методе, оптимальном на некоторых классах интегральных уравнений / Е. А. Лукьянова, А. В. Мосенцова // Динамические системы: межвед. науч. сб. - Таврич. нац. ун-т им. В.И. Вернадского., 2006. - , № 1. - С. 133-140.

[2] Cолодкий С. Г. Об одном быстром алгоритме для решения уравнений с гармоническими коэффициентами / Е. А. Лукьянова, А. В. Мосенцова // Уч. зап. Тавр. нац. ун-та им. В.И. Вернадского. Серия "Математика. Механика. Информатика и Кибернетика". - 2007. - Т. 20, № 2. - С. 58-65.

[3] Solodky S. G. Morozov's discrepancy principle for the Tikhonov regularization of exponentially ill-posed problems / S. G. Solodky, A. V. Mosentsova // Comp. Method Appl. Math. - 2008. - V. 8, № 1. - P. 86-98.

[4] Solodky S. G. Unsaturable methods for solving severely ill-posed problems / S. G. Solodky, A. V. Mosentsova // Int. J. Comput. Sci. Math. - 2009. - V. 2, № 3. - P. 229-242.

[5] Mosentsova A. V. Exact order of algorithmic complexity for Fredholm integral equations of the second kind / A. V. Mosentsova // J. Numer. Appl. Math. - 2009. - № 97.- P. 103-111.

[6] Оптимальні методи розв'язування жорстко некоректних задач: матеріали міжнар.наук.конф. ["Питання оптимізації обчислень"], (Кацивелі, 23-28 вересня 2007 р.) / Ін-т кібернетики НАН України. -- Київ: Ін-т кібернетики НАН України, 2007. -- С. 121.

[7] Оптимальная стратегия решения экспоненциально некорректных задач: материалы междунар. конф. ["Обратные и некорректные задачи математической физики"], (Новосибірськ, 25-28 серпня 2007 р.) / Ин-т математики им. Соболева СО РАН. - Новосибірськ: Ин-т математики им. Соболева СО РАН, 2007. - С. 128.

[8] Про один алгоритм для рівнянь Фредгольма з гармонійними ядрами: зб. тез доповідей Всеук. наук. конф. ["Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики"], (Львів, 8-9 жовтня 2009 р.) - Львів: Львів.нац.ун-т, 2009. - С. 197.

[9] Об оценках алгоритмической сложности уравнений Фредгольма с коэффициентами из соболевских классов: матеріали міжнар.наук.конф. ["Питання оптимізації обчислень"], (Кацивелі, 24-29 вересня 2009 р.) / Ін-т кібернетики НАН України. -- Київ: Ін-т кібернетики НАН України, 2009. -- С. 112-116.

Размещено на Allbest.ru

...