Нарізно неперервні відображення та їх аналоги зі значеннями в неметризовних просторах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Чернівецький національний університет

імені Юрія Федьковича

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

НАРІЗНО НЕПЕРЕРВНІ ВІДОБРАЖЕННЯ ТА ЇХ АНАЛОГИ ЗІ ЗНАЧЕННЯМИ В НЕМЕТРИЗОВНИХ ПРОСТОРАХ

Філіпчук Ольга Ігорівна

УДК 517.51; 517.98

01.01.01 - математичний аналіз

Чернівці - 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі математичного аналізу Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук,

професор Маслюченко Володимир Кирилович,

Чернівецький національний університет

імені Юрія Федьковича,

завідувач кафедри математичного аналізу.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук,

професор Зелінський Юрій Борисович,

Інститут математики НАН України,

завідувач відділу комплексного аналізу і теорії потенціалу;

доктор фізико-математичних наук,

професор Загороднюк Андрій Васильович,

Прикарпатський національний університет

імені Василя Стефаника,

завідувач кафедри математичного і функціонального аналізу.

Захист відбудеться 24 вересня 2010 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 76.051.02 у Чернівецькому національному університеті імені Юрія Федьковича за адресою: 58012, м. Чернівці, вул. Університетська, 28, ауд. 8.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича за адресою: м. Чернівці, вул. Лесі Українки, 23.

Автореферат розісланий 12 серпня 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Я.Й. Бігун

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

неперервність простір неметризовний

Актуальнiсть теми. Вивчення величини множини точок сукупної неперервності нарізно неперервних відображень та їх аналогів почалося з класичних робіт В. Осґуда і Р. Бера кінця XIX століття. Впродовж ХХ століття багатьма математиками (Е. ван Влек, Г. Ган, К. Беґель, С. Кемпістий, Р. Кешнер, В. Орлич та А. Алєксєвич, М. Форт, Дж. Вестон, Н. Бурбакі, І. Наміока, Р. Фейок, Р. Христенсен, Ж. Сан-Ремо, М. Талаґран, Ж.-П. Труаллік, В. Маслюченко, З. Пьотровський, Ґ. Дебс, А. Бузіад, В. Михайлюк, О. Маслюченко та ін.) дослідження В. Осґуда та Р. Бера були значно розвинуті. Але, як правило, у роботах на цю тему розглядалися відображення зі значеннями в числовій прямій, чи, загальніше, у метризовних просторах. Проте, були й винятки. Так, Гофман-Йорґенсен навів приклад нарізно неперервного відображення f : 2 >?, яке скрізь розривне. Цей приклад показав, що умова метризовності в результатах про сукупну неперервність нарізно неперервних функцій важлива. Втім, вона не така вже й необхідна. Як показали праці В. Маслюченка, метризовність простору значень може бути з успіхом замінена на його сильну у-метризовність.

Після етапу бурхливого вивчення метризовних просторів, який тривав приблизно до середини ХХ століття, почалося інтенсивне вивчення просторів, близьких до метризовних. Крім у-метризовних просторів, які були введені порівняно недавно, тут фігурують багато інших просторів: вичерпні простори, напіввичерпні простори, простори Мура, тощо. Тому виникло природне бажання з'ясувати, чи можна у відомих теоремах про сукупну неперервність нарізно неперервних відображень та їх аналогів замінити метризовність простору значень на одне з послаблень метризовності, подібно до того, як це було зроблено у випадку сильної у-метризовності простору значень. Першим актуальним завданням у цьому напрямку було дослідження того, в яких результатах В. Маслюченка сильна у-метризовність простору значень може бути замінена на у-метризовність, а -функції на KhC-функції. Але це - лише початок шляху, бо ці результати стосуються тільки просторів, які задовольняють певні аксіоми зліченності, в той час, як інші результати для відображень зі значеннями в метризовних просторах значно виходять за ці рамки і стосуються так званих наміокових і конаміокових просторів. До того ж, крім у-метризовних просторів, можна розглядати ще й інші класи просторів, близьких до метризовних. Тому актуально дослідити питання про величину множини точок сукупної неперервності нарізно неперервних відображень чи їх аналогів, що задані на добутках, один із співмножників яких є наміоковим чи конаміоковим простором, зі значеннями у різних узагальненнях метризовних просторів, зокрема, у у-метризовних просторах чи просторах Мура.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертацiї пов'язана з науково-дослідними програмами ''Векторні ґратки та зв'язки між нарізними і сукупними властивостями функцій багатьох змінних'' (номер державної реєстрацiї - 0109U002242) і ''Різні класи операторів в абстрактних просторах'' (номер державної реєстрацiї - 0110U001560).

Мета i задачi дослiдження. Метою дисертації є вивчення множини C( f ) точок сукупної неперервності нарізно неперервних відображень f та їх аналогів зі значеннями у різних узагальненнях метризовних просторів.

Задачами дослiдження є:

– дослідження множини точок сукупної неперервності нарізно неперервних відображень та їх аналогів зі значеннями у у-метризовних просторах, коли другий співмножник задовольняє певні умови зліченності;

– розв'язання такої ж задачі для випадку, коли один із співмножників наміоковий чи конаміоковий простір, а простір значень сильно у-метризовний;

– вивчення множини точок сукупної неперервності нарізно неперервних відображень та їх аналогів зі значеннями у просторах Мура.

Об'єктом дослiджень є нарізно неперервні відображення та їх аналоги (KC-функції, KhC-функції, KhK-функції).

Предметом дослiджень є множина точок сукупної неперервності нарізно неперервних відображень та їх аналогів зі значеннями у просторах, близьких до метризовних.

У дослідженні застосовуються методи загальної теорії функцій і функціонального аналізу, зокрема, категорний метод.

Наукова новизна одержаних результатiв. У дисертацiйнiй роботi отримано наступні нові наукові результати:

– доведено нову теорему про сукупну неперервність KhC-функцій зі значеннями в сильно у-метризовних просторах, що розвиває попередні результати В. Маслюченка, який розглядав лише -функції;

– встановлено нові теореми про залишковість множини точок неперервності KhC- і KhK-функцій зі значеннями в у-метризовних просторах, чим розвинено попередні результати В. Маслюченка та В. Нестеренка, які розглядали вужчі класи функцій;

– показано, що в результатах Р. Христенсена, А. Бузіада та В. Михайлюка (про можливість заміни числової прямої на довільний метризовний простір в означеннях наміокових, конаміокових просторів та просторів Кемпістого відповідно) метризовний простір значень можна замінити на гаусдорфовий сильно у-метризовний простір;

– введено нові поняття категорної та покриттєвої кліковості і з допомогою поняття категорної кліковості доведено теорему про сукупну неперервність Kh-функцій зі значеннями в просторах Мура, чим підсилено один результат З. Пьотровського;

– наведено приклад такої трійки топологічних просторів (X, Y, Z), що кожне нарізно неперервне відображення f?:?X??Y?>?Z є квазінеперервним і, разом з цим, існує нарізно неперервне відображення g?:?X??Y?>?Z, яке є скрізь розривним, що дає позитивну відповідь на послаблений варіант однієї проблеми з праці В. Маслюченка Maslyuchenko V.K. Connections between joint and separate properties of functions of several variables. In ''Some open problems on functional analysis and function theory'' (Eds. V.K. Maslyuchenko, A.M. Plichko) // Extracta math. - 2005. - 20, №1. - P. 51-70..

Наукове та практичне значення одержаних результатiв. Дисертацiя носить теоретичний характер. Її результати можуть бути використанi в загальнiй теорiї функцiй, топологiї та функціональному аналізі. Всi науковi положення i висновки дисертацiї є цiлком обґрунтованими i достовiрними.

Особистий внесок здобувача. Всі результати, наведені в дисертації, отримані здобувачем особисто. У працях [1-4, 6-8, 11-16] В. Маслюченку належать постановки задач і вказівки щодо вибору методів досліджень. В. Михайлюк брав участь у обговоренні результатів праць [1, 4, 6, 8, 15], після чого деякі з них постали у кращій редакції. Крім того, у працях [6, 15] він запропонував накладати додаткову умову на KhC-функції, щоб отримати узагальнення однієї теореми З. Пьотровського. Також у обговоренні результатів праці [14] брала участь О. Григор'єва.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати дисертації були апробовані на міжнародних конференціях: ''Диференцiальнi рiвняння i нелiнiйнi коливання'' у Чернівцях [8]; ''Функціональний аналіз та його застосування'', присвяченій 110-рiччю вiд дня народження С. Банаха, у Львові [9]; ''Шості Боголюбовські читання'' в Чернівцях [10]; ''Математичний аналіз і суміжні питання'' у Львові [12]; ''Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування'' в Ужгороді [13]; ''Диференціальні рівняння та їх застосування'' у Чернівцях [14], ''Боголюбовські читання - 2007'', присвяченій 90-річчю від дня народження Ю. Митропольського, в Житомирі [15]; на міжнародній конференції, присвяченій 125 рiчниці вiд дня народження Ганса Гана, в Чернівцях [11]; на міжнародній конференції до 100-річчя М.М. Боголюбова та 70-річчя М.І. Нагнибіди в Чернівцях [17], а також на ІV Всеукраїнській науковій конференції ''Нелінійні проблеми аналізу'' в Івано-Франківську [16]. Крім того, вони неодноразово доповідалися на науковому семінарі кафедри математичного аналізу Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича (керівник - проф. В.К. Маслюченко) та науковому семінарі факультету прикладної математики Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича (керівник - проф. І.М. Черевко).

Публiкацiї. За результатами дисертаційних досліджень опубліковано 17 наукових праць: 3 статті в наукових журналах [1, 4, 6], 4 - у збірниках наукових праць [2, 3, 5, 7], 10 - у тезах міжнародних і всеукраїнських наукових конференцій [8-17]. Серед цих публікацій - 7 праць у наукових фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 93 найменування на 10 сторінках. Повний обсяг роботи - 124 сторінки.

Висловлюю щиру вдячнiсть своєму науковому керiвнику Володимиру Кириловичу Маслюченку за постановку цікавих задач, корисні поради та постiйну увагу до цiєї роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМICТ РОБОТИ

У вступі дисертації розкрито суть і стан проблем, яким присвячене дисертаційне дослідження, обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету і задачі дослідження.

У першому розділі зроблено огляд публікацій, близьких до тематики дисертаційної роботи, наведено основні результати дисертації та результати, які використовуються в дисертації.

У другому розділі вивчаються нарізно неперервні відображення та їх аналоги (KC-, KhC- та KhK-функції) зі значеннями в у-метризовних та сильно у-метризовних просторах.

У підрозділі 2.1 встановлюються деякі властивості у-метризовних просторів, зв'язок між сильно у-метризовними та супер-у-метризовними просторами і одна властивість відображень зі значеннями в сильно у-метризовних просторах, що використовується при доведенні теорем з підрозділів 2.2 та 2.3.

Топологiчний простiр Z називається у-метризовним, якщо вiн подається у виглядi об'єднання зростаючої послiдовностi своїх замкнених метризовних пiдпросторiв Zm. Послiдовнiсть пiдпросторiв Zm, яка фiгурує в цьому означеннi, називається вичерпуванням простору Z. Якщо Z має таке вичерпування (Zm), що для довiльної збiжної в Z послiдовностi точок zk iснує номер m, для якого {zk?:?k?}??Zm, то кажуть, що Z - сильно у-метризовний простiр. Топологічний простір Z називається супер-у-метризовним, якщо Z має таке вичерпування (Zm), що кожна компактна в Z множина лежить у деякому дограничному просторі Zm.

Наступна теорема вказує на зв'язок між сильно у-метризовними та супер-у-метризовними просторами.

Теорема 2.1.3. Кожний гаусдорфовий сильно у-метризовний простір є супер-у-метризовним.

У підрозділі 2.2 досліджується множина точок сукупної неперервності KhC-функцій зі значеннями в у-метризовних та сильно у-метризовних просторах.

Нехай X, Y i Z - топологiчнi простори i p0 = (x0, y0) - точка з добутку XY. Вiдображення f?:?X Y > Z називається горизонтально квазiнеперервним у точцi p0, якщо для кожного околу W точки z0 = f ( p0 ) в Z i для довiльних околiв U i V точок x0 i y0 вiдповiдно у просторах X i Y iснує точка p1 = (x1, y1) UV i окiл U1 точки x1 в X, такi, що U1??U i f?(U1??{y1})??W. Кажуть, що f горизонтально квазiнеперервне, якщо воно є таким у кожнiй точцi p?XY. Символом KhC(XY,Z) позначається клас усiх горизонтально квазiнеперервних вiдображень f : X Y > Z, якi неперервнi вiдносно другої змiнної.

Основними результатами цього підрозділу є дві наступні теореми.

Теорема 2.2.5. Нехай X i Y - топологiчнi простори, Z - сильно у-метризовний простiр i f KhC(XY,Z). Тодi:

(i) якщо Y задовольняє першу аксiому злiченностi, то для кожного y?Y множина Cy( f ) = {x?X?:?(x,?y) C(?f?)} залишкова в X;

(ii) якщо Y - метризовний компакт, то множина CY?(?f?)?=?{x?X?:?{x}Y C(?f?)} залишкова в X.

Псевдобазою топологiчного простору називається така система B його вiдкритих непорожнiх пiдмножин, що в кожнiй вiдкритiй непорожнiй множинi цього простору мiститься якась множина з B.

Теорема 2.2.6. Нехай X i Y - топологiчнi простори, причому Y має злiченну псевдобазу, Z - у-метризовний простiр i f KhC(XY,Z). Тодi множина C( f ) точок неперервностi вiдображення f є залишковою в XY.

Основним результатом підрозділу 2.3 є теорема про точкову розривність KhK-функцій зі значеннями в?у-метризовних просторах.

Вiдображення f?:?X?>?Y топологічного простору X у топологічний простір Y називається квазiнеперервним у точцi x?X, якщо для довільних околів U і V точки x в X і точки y?=?f?(x) в Y відповідно iснує непорожня відкрита множина G в X, така, що G??U i f?(G)  V. Якщо відображення f квазінеперервне в кожній точці x?X, то воно називається квазінеперервним. Символом KhK(XY,Z) ми позначаємо клас усiх горизонтально квазiнеперервних вiдображень f?:?X Y > Z, якi є квазінеперервними вiдносно другої змiнної.

Вiдображення f?:?T > Z називається трохи розривним, якщо множина D(?f?) його точок розриву є множиною першої категорiї в T, i точково розривним, якщо = T.

Tеорема 2.3.3. Нехай X - топологiчний простiр, Y - топологiчний простiр зi злiченною псевдобазою, Z - у-метризовний простiр i f KhK(XY,Z). Tодi:

(і) f - трохи розривне вiдображення;

(іі) якщо X i Y - берiвськi простори, то f - точково розривне.

У підрозділі 2.4 узагальнюється результат В. Маслюченка та В. Нестеренка про точки розриву KhC-функцій на неперервних кривих на випадок сильно у-метризовного простору значень.

Теорема 2.4.1. Нехай X - топологічний простір, Y - метричний простір, Z - сильно у-метризовний простір, f KhC(XY,Z) і g : X?>?Y - неперервне відображення. Тоді множина Cg( f ) = {x?X?:?(x,?g(x)) C(?f?)} є залишковою в X.

Підрозділ 2.5 присвячений наміоковим, конаміоковим просторам та просторам Кемпістого. Символом CC(XY,Z) ми позначаємо клас усiх нарізно неперервних вiдображень f?:?X Y > Z, а символом KC(XY,Z) - сукупність відповідних відображень, які неперервні відносно другої змінної і квазінеперервні відносно першої. Нагадаємо, що топологічний простір X називається наміоковим, якщо для довільного компакта Y кожна функція f?CC(XY, ) має властивість Наміоки, тобто якщо множина CY?(?f?) містить всюди щільну в X множину типу Gд. Сукупність відображень f?:?X??Y?>?Z, які мають властивість Наміоки, ми позначаємо через N(XY,Z). Топологічний простір Y називається конаміоковим, якщо для довільного берівського простору X кожна функція f?CC(XY, ) має властивість Наміоки. Використовуючи теорему Банаха про категорію, можна довести, що простір Y буде конаміоковим тоді і тільки тоді, коли для довільного топологічного простору X кожна функція f?CC(XY, ) має властивість Гана, тобто множина CY?(?f?) є залишковою в X. Сукупність відображень f : X??Y?>?Z, які мають властивість Гана, ми позначаємо через H(XY,Z). Топологічний простір Y називається простором Кемпістого, якщо для довільного топологічного простору X кожне відображення f KC(XY, ) має властивість Гана.

Р. Христенсен, А. Бузіад та В. Михайлюк у різні роки довели можливість заміни числової прямої на довільний метризовний простір в означеннях наміокових, конаміокових просторів та просторів Кемпістого відповідно. В цьому підрозділі доводиться, що у вказаних результатах метризовний простір значень можна замінити на гаусдорфовий сильно у-метризовний простір (при додатковій умові цілковитої регулярності у випадку наміокових просторів).

Теорема 2.5.4. Нехай X - цілком регулярний наміоковий простір, Y - компакт і Z - гаусдорфовий сильно у-метризовний простір. Тоді

CC(XY, Z) N(XY, Z).

Теорема 2.5.6. Нехай X - топологічний простір, Y - конаміоковий компакт і Z - гаусдорфовий сильно у-метризовний простір. Тоді

CC(XY,?Z) H(XY, Z).

Теорема 2.5.7. Нехай X - топологічний простір, Y - компакт Кемпістого і Z - гаусдорфовий сильно у-метризовний простір. Тоді

KC(XY,?Z) H(XY, Z).

У підрозділі 2.6 розглядаються функції n змінних зі значеннями в у-метризовних просторах. Нехай X, Y та Z - топологічні простори. Слідуючи В. Маслюченку, будемо говорити, що відображення f : X?Y > Z має властивість Бера, якщо для кожного y?Y множина Cy( f ) є всюди щільною в X. Спочатку з теореми 2.2.5 виводиться теорема, яка потрібна для доведення основного результату підрозділу.

Теорема 2.6.1. Нехай X - берівський простір, Y задовольняє першу аксіому зліченності, Z - сильно у-метризовний простір і f?KhC(XY,Z). Тоді f має властивість Бера. Якщо, до того ж, простір Z цілком регулярний, то f - квазінеперервне.

У дисертації В. Маслюченка для відображень f?:?X1??X2??…??Xn+1?>?Z були індуктивно введені властивості : якщо n?=?1, то властивість збiгається з властивiстю KhC, тобто властивiсть мають тi i тiльки тi вiдображення f?:?X1??X2?>?Z, якi горизонтально квазiнеперервнi i неперервні вiдносно другої змiнної. Якщо вже введена властивiсть при деякому n2, то ми кажемо, що вiдображення f?:?X1??X2??…??Xn+1?>?Z має властивiсть , якщо f неперервне вiдносно (n+1)-ї змiнної та iснує така всюди щiльна в просторi Xn+1 множина An+1, що для кожного an+1 An+1 вiдображення :?X1??X2??…??Xn?>?Z має властивiсть . Таким чином, властивiсть - це не що iнше, як властивiсть , якщо f iнтерпретувати як відображення f : X Y > Z, де X?=?X1??X2??…??Xn i Y?=?Xn+1.

Основний результат цього підрозділу такий:

Теорема 2.6.2. Нехай Xk при k?=?1,2,…,?n?+1 i Z - топологiчнi простори, причому Xk при k?=?2,3,…,?n?+1 задовольняють першу аксiому злiченностi i Z - цiлком регулярний i сильно у-метризовний, вiдображення f?:?X1??X2??…??Xn+1?>?Z має властивiсть , X?=?X1??X2??…??Xn - топологiчний добуток перших n просторiв i Y?=?Xn+1. Тодi:

(i) якщо Y задовольняє першу аксiому злiченностi, то для кожного y?Y множина Cy( f ) = {x?=?(x1?,?x2?,…,?xn?) ?X :?(x1?,?x2?,…,?xn,?y) C(?f?)} є залишковою в просторi X;

(ii) якщо Y задовольняє першу аксiому злiченностi i добуток X берiвський, то f - квазiнеперервне;

(iii) якщо Y - метризовний компакт, то множина CY?(?f?)?є залишковою в X.

Для випадку метризовного простору Z цей результат був встановлений у дисертації В. Маслюченка.

У підрозділі 2.7, взявши за простір значень пряму Зорґенфрея , яка є берівським і не у-метризовним простором, показано, що у-метризовність простору значень у результатах про сукупну неперервність KC-функцій є істотною.

Топологічний простір X називається зв'язним, якщо він не може бути поданий у вигляді диз'юнктного об'єднання X?=?X1 ?X2, де X1 та X2 - замкнені в X непорожні множини.

Теорема 2.7.2. Нехай X і Y - зв'язні топологічні простори і f?:?X??Y?>? - нарізно неперервне відображення. Тоді відображення f - стале.

Добре відомо, що множина C( f ) усіх точок неперервності квазінеперервного відображення f : X?>?Y зі значеннями в метризовному просторі Y залишкова в X. Якщо ж Y не метризовний, то це вже не так. Наприклад, тотожне відображення id?:??>? є квазінеперервним і скрізь розривним. Звідси випливає

Теорема 2.7.4. Відображення f?:?2?>?, f?(x,?y)?=?x, є скрізь розривною KC-функцією.

Таким чином, усі нарізно неперервні відображення f?:?2?>? неперервні, але існує скрізь розривна KC-функція f?:?2?>?.

Третій розділ дисертації присвячений нарізно неперервним відображенням та їх аналогам зі значеннями в просторах Мура і в просторі ??усіх фінітних послідовностей. Зазначимо, що ? є прикладом сильно у-метризовного простору, який не є простором Мура.

У підрозділі 3.1 показано, що площина Немицького є у-метризовним простором Мура, який не є сильно у-метризовним.

Підрозділ 3.2 присвячений дослідженню множини точок сукупної неперервності нарізно неперервних відображень зі значеннями у площині Немицького. Спочатку встановлюється один результат про точки сукупної неперервності KhC-функцій зі значеннями в регулярному просторі.

Теорема 3.2.1. Нехай X та Y - топологічні простори, Z - регулярний простір, f KhC(XY,Z), y0 - точка простору Y, яка має в ньому зліченну базу околів, f?(?X?{?y0})?=?{z0} і z0 має зліченну базу околів у Z. Тоді множина (?f?) є залишковою в X.

Далі з допомогою теореми 3.2.1 отримуються умови, при яких нарізно неперервні відображення f?:?X??Y?>? мають властивість Вестона, котра полягає у тому, що для кожного y?Y множина Cy( f ) є залишковою в X.

Теорема 3.2.3. Нехай X і Y - топологічні простори, y0 Y, причому y0 має зліченну базу околів в Y, f?CC(XY, ). Тоді множина (?f?) залишкова в X.

Наступний результат негайно випливає з теореми 3.2.3.

Теорема 3.2.4. Нехай X - топологічний простір, Y - топологічний простір з першою аксіомою зліченності і f?CC(XY, ). Тоді відображення f має властивість Вестона.

Наприкінці підрозділу показано, що нарізно неперервні відображення f?:?X??Y?>? при X = Y?=? можуть не мати властивості Гана, яка полягає у тому, що множина CY?(?f?) залишкова в X.

Теорема 3.2.5. Нехай X =?Y?=? і f?:?X??Y?>? - відображення, яке задається формулою f (x,?y)?=?(?x+?y, | x?-?y?|). Тоді:

(i) = {(x, x)?:?x?X?}?= D(?f?)?=?(?X??Y?)C(?f?);

(iі) f - нарізно неперервне відображення;

(iii) CY?(?f?)?=?.

Підрозділ 3.3 містить означення нових, введених нами, понять покриттєвої та категорної кліковості, теореми та схему зв'язків кліковості з її вказаними узагальненнями, допоміжні твердження про збереження властивості категорної кліковості при переході до звужень на відкриті або всюди щільні залишкові множини, а також теореми про неперервність KhC-функцій зі значеннями в просторах Мура, які підсилюють один результат З. Пьотровського.

З. Пьотровський вивчав KC-функції (загальніше, -функції) зі значеннями в просторах Мура і подав наступний результат: якщо X - берівський простір, Y - простір з першою аксіомою зліченності, Z - простір Мура і f K(XY, Z), то для кожного y?Y множина

Cy( f ) = {x?X?:?(x,?y) C(?f?)}

є всюди щільною типу Gд в X. При цьому?-функція - це відображення f?:?X Y > Z, яке є квазінеперервним відносно першої змінної і неперервним відносно другої, коли перша змінна пробігає деяку залишкову в?X множину.

У зв'язку з цим виникло природне питання: чи справедливий аналогічний результат для KhC-функцій? Виявляється, що ні.

Теорема 3.3.3. Нехай I?:???[0,+?)?>? - тотожне відображення верхньої півплощини  ?[0,+?) евклідової площини?2 на площину Немицького?. Тоді:

(і) I?KhC([0,+?),?);

(іі) C0(I) =?{x??:?(x,0)?C(I)} =?.

Якщо врахувати теорему 2.2.5 (і), то з теореми 3.3.3 випливає, що площина Немицького не є сильно у-метризовним простором, що іншим способом було пояснено у підрозділі 3.1. Крім того, теорема 3.3.3 показує, що на KhC-функції потрібно накласти додаткові умови, щоб одержати аналог теореми Пьотровського. Щоб це здійснити, ми вводимо нове поняття. Відображення f ми назвемо категорно кліковим, якщо для довільного відкритого покриття V простору Y і довільної відкритої в X множини другої категорії U існує така множина A другої категорії в X, що A??U і f?(A)??V. Нагадаємо, що множина A вписана в систему B (позначається A??B?), якщо існує такий елемент B системи B, що A??B. Крім категорної кліковості, ми вводимо ще одне узагальнення поняття кліковості на відображення зі значеннями в топологічних просторах, назване нами покриттєвою кліковістю. Відображення f ми називаємо покриттєво кліковим, якщо для довільного відкритого покриття V простору Y і довільної відкритої в X непорожньої множини U існує така відкрита в X непорожня множина G, що G??U і f?(G)??V. Зв'язки між різновидами кліковості можна зобразити на наступній діаграмі (відповідні результати доведено у теоремах 3.3.4-3.3.11):

З допомогою поняття категорної кліковості отримується узагальнення згаданої теореми Пьотровського на випадок Kh-функцій, які горизонтально квазінеперервні і неперервні відносно другої змінної, коли перша змінна пробігає деяку залишкову в X множину.

Теорема 3.3.18. Нехай X і Y - топологічні простори, y0 - точка простору Y, така, що в Y існує зліченна база околів точки y0?, Z - простір Мура, f Kh(XY, Z) і - категорно клікове відображення. Тоді (?f?) є залишковою в X множиною типу Gд.

Підрозділ завершується прикладом, який показує, що теорема 3.3.18 сильніша за вищезгаданий результат З. Пьотровського.

Твердження 3.3.19. Нехай

f (x,?y)?=?

Тоді f KhC(2,?), розріз f0?=?f?(·,0) є кліковим, а значить, і категорно кліковим, але не квазінеперервним відображенням.

У підрозділі 3.4 зібрані деякі приклади нарізно неперервних функцій, що пов'язані з простором ?. Відомо, що для неперервного відображення g :?Y > Z компактного простору Y з першою аксіомою зліченності в сильно у-метризовний простір Z з вичерпуванням (Zm) існує такий номер m, що g(Y?)??Zm. На початку підрозділу встановлено, що для нарізно неперервних функцій така властивість не справджується.

Теорема 3.4.2. Існує нарізно неперервна функція f :?[0,1]2?>??, така, що для кожного околу O точки (0,0) в [0,1]2 і довільного номера n маємо:

f?(O) n?=?{x?=?(о1,?…,?оn?,?0,?…) : оk при k?=?1,…,?n}.

Далі показано, що побудована з допомогою функції Шварца, яка задається правилом sp(u,v)  при u2 +?v2?0 і sp(0,0)?=?0, нарізно неперервна функція в жодній точці не є квазінеперервною.

Tеорема 3.4.3. Формулою

f (x,?y)??sp(оk ,зk?),

де x?= (оk?)? і y?=?(зk?)?, визначається нарізно неперервна функція f : ?  ? > , яка в жодній точці не є квазінеперервною.

Аналогічний результат можна отримати, розглянувши функцію f (x,?y) k·?sp(x?-?rk ,зk?), де x?, y?=?(зk?)?? і k?rk - деяка перенумерація множини всіх раціональних чисел. А саме, має місце наступна теорема:

Теорема 3.4.4. Формулою

f (x,?y) k·?sp(x?-?rk ,зk?),

де x?, y?=?(зk?)?? і k?rk - деяка перенумерація множини всіх раціональних чисел, визначається нарізно неперервна функція f?:?????>?, яка в жодній точці не є квазінеперервною.

У підрозділі 3.5 досліджуються зв'язки між нарізною неперервністю, квазінеперервністю і точковою розривністю. У результаті цих досліджень узагальнюється відомий приклад Гофмана-Йорґенсена нарізно неперервного скрізь розривного відображення та отримується позитивна відповідь на послаблений варіант однієї проблеми зі згаданої на с. 3 праці В. Маслюченка.

Відомо, що для довільного цілком регулярного простору Z кожне нарізно неперервне відображення f?:?2?>?Z є квазінеперервним.

Нехай Z0 =?- простір усіх функцій z?:?2?>? з топологією поточкової збіжності. З наступної теореми отримується узагальнення прикладу Гофмана-Йорґенсена нарізно неперервної скрізь розривної функції.

Tеорема 3.5.2. Нехай h?:?2?>? - деяка нарізно неперервна функція, яка розривна в точці (0,0), і

g (x,?y)(u,?v)?=?h?(x?- u, y?- v)

для довільних точок (x,?y) і (u,?v) з арифметичної площини 2. Тоді відображення g?:?2?>?Z0 є нарізно неперервним і скрізь розривним.

Якщо за функцію h у теоремі 3.5.2 взяти класичну функцію Шварца sp?:?2?>?, то відповідна функція g дає приклад Гофмана-Йорґенсена.

Таким чином, ми приходимо до наступного результату:

Tеорема 3.5.3. Нехай Z0 =?- простір усіх функцій z?:?2?>? з топологією поточкової збіжності. Тоді кожне нарізно неперервне відображення f?:?2?>?Z0 є квазінеперервним і, разом з цим, існує нарізно неперервне і скрізь розривне (а значить, і не точково розривне) відображення g?:?2?>?Z0.

ВИСНОВКИ

Дисертація присвячена дослідженню множини точок сукупної неперервності нарізно неперервних відображень та їх аналогів (KC-, KhC-, KhK-функцій) зі значеннями в просторах, близьких до метризовних (у-метризовні, сильно у-метризовні простори та простори Мура).

Для обґрунтування результатів дисертації використовуються методи загальної теорії функцій і функціонального аналізу, зокрема, категорний метод.

У дисертації отримано наступні нові наукові результати:

– досліджено деякі властивості у-метризовних і супер-у-метризовних просторів та зв'язки між ними; зокрема, показано, що кожний у-метризовний компакт є метризовним, а кожний гаусдорфовий сильно у-метризовний простір є супер-у-метризовним;

– доведені теореми про сукупну неперервність відображень з класу KhC зі значеннями в у-метризовних та сильно у-метризовних просторах і наслідок, що стосується функцій багатьох змінних;

– показано, що відображення f ?KhK(XY,Z), де X - топологiчний простiр, Y - топологiчний простiр зi злiченною псевдобазою, а Z - у-метризовний простiр, є трохи розривним; якщо, крім того, X i Y - берiвськi простори, то f - точково розривне;

– встановлено, що кожна KhC-функція, яка визначена на добутку топологічного простору X та метричного простору Y і набуває значень у сильно у-метризовному просторі, має залишкову множину точок неперервності на графіках неперервних кривих g : X >?Y;

– доведено, що в результатах Р. Христенсена, А. Бузіада та В. Михайлюка (про можливість заміни числової прямої на довільний метризовний простір в означеннях наміокових, конаміокових просторів і просторів Кемпістого відповідно) метризовний простір значень можна замінити на гаусдорфовий сильно у-метризовний простір;

– показано, що площина Немицького є у-метризовним простором Мура, який не є сильно у-метризовним;

– доведено, що для кожного y?Y множина Cy( f ) = {x?X?:?(x,?y)?C(?f?)} нарізно неперервного відображення f?:?X??Y?>? добутку топологічного простору X і топологічного простору з першою аксіомою зліченності Y зі значеннями у площині Немицького , є залишковою в X;

– наведено приклад нарізно неперервного відображення f?:?2?>?, яке є розривним в кожній точці (x,?x), отже, для нього CY?(?f?)?=?{x?X?:?{x}Y ?C(?f?)}?=?;

– введено нові поняття покриттєвої та категорної кліковості і з допомогою поняття категорної кліковості отримано теорему про сукупну неперервність Kh-функцій зі значеннями в просторах Мура, чим підсилено один результат З. Пьотровського;

– наведено приклади нарізно неперервних функцій, заданих на добутках ???? і  ??, які в жодній точці не є квазінеперервними; при цьому отримується узагальнення відомого прикладу Гофмана-Йорґенсена нарізно неперервної скрізь розривної функції;

– вказано приклад трійки топологічних просторів (X, Y, Z), для яких кожне нарізно неперервне відображення f?:?X??Y?>?Z є квазінеперервним і, разом з тим, існує нарізно неперервне відображення g?:?X Y?>?Z, яке є скрізь розривним.

Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер і можуть бути використанi в загальнiй теорiї функцiй, топологiї та функціональному аналізі.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Маслюченко В.К. Сукупна неперервнiсть горизонтально квазiнеперервних вiдображень зi значеннями в у-метризовних просторах / В.К. Маслюченко, В.В. Михайлюк, О.І. Шишина // Мат. методи i фiз-мех. поля. - 2002. - 45, №1. - С. 42-46.

2. Маслюченко В.К. Точкова розривність KhK-функцій зі значеннями в у-метризовних просторах / В.К. Маслюченко, О.І. Філіпчук // Науковий вiсник Чернiвецького університету. Вип. 191-192. Математика. - Чернівці : Рута, 2004. - С. 103-106.

3. Маслюченко В.К. До питання про точки розриву KhC-функцій на неперервних кривих / В.К. Маслюченко, О.І. Філіпчук // Науковий вiсник Чернiвецького університету. Вип. 314-315. Математика. - Чернівці : Рута, 2006. - С. 122-124.

4. Маслюченко В.К. Точки сукупної неперервності нарiзно неперервних вiдображень зi значеннями в площині Немицького / В.К. Маслюченко, В.В. Михайлюк, О.І. Філіпчук // Мат. студії. - 2006. - 26, №2. - С. 217-221.

5. Філіпчук О.І. До питання про сукупну неперервність нарізно неперервних відображень та їх аналогів зі значеннями в сильно у-метризовних просторах / О.І. Філіпчук // Науковий вісник Чернівецького університету. Вип. 336-337. Математика. - Чернівці : Рута, 2007. - С. 183-188.

6. Маслюченко В.К. Сукупна неперервність KhC-функцій зі значеннями в просторах Мура / В.К. Маслюченко, В.В. Михайлюк, О.І. Філіпчук // Укр. мат. журн. - 2008. - 60, №11. - С. 1539-1547.

7. Маслюченко В.К. Про зв'язки між нарізною неперервністю, квазінеперервністю і точковою розривністю / В.К. Маслюченко, О.І. Філіпчук // Науковий вісник Чернівецького університету. Вип. 421. Математика. - Чернівці : Рута, 2008. - С. 57-60.

8. Маслюченко В.К. Горизонтально квазiнеперервнi вiдображення зi значеннями в у-метризовних просторах / В.К. Маслюченко, В.В. Михайлюк, О.І. Шишина // Міжнародна конференція ''Диференцiальнi рiвняння i нелiнiйнi коливання'', 27-29 серпня 2001 р., Чернівці : тези доп. - Київ, 2001. - С. 105-106.

9. Shyshyna O.I. Quasicontinuous and KhK-functions with values in у-metrizable spaces / O.I. Shyshyna // Int. Conference on Functional Analysis and its Applications dedicated to the 110th anniversary of Stefan Banach, May, 28-31, 2002, Lviv : book of abstracts. - Lviv, 2002. - P. 185.

10. Шишина О.І. Сукупна неперервність функцій багатьох змінних зі значеннями в сильно у-метризовних просторах / О.І. Шишина // Міжнародна конференцiя ''Шості Боголюбовські читання'', 26-30 серпня 2003 р., Чернівці : тези доп. - Київ : Інститут математики НАН України, 2003. - С. 245.

11. Маслюченко В.К. Істотність у-метризовності в результатах про сукупну неперервність KC-функцій / В.К. Маслюченко, О.І. Філіпчук // Міжнародна конференцiя, присвячена 125 рiчниці вiд дня народження Ганса Гана, 27 червня - 3 липня 2004 р., Чернівці : тези доп. - Чернівці : Рута, 2004. - С. 65-66.

12. Маслюченко В.К. Нарізно неперервні відображення зі значеннями в площині Немицького / В.К. Маслюченко, О.І. Філіпчук // Міжнародна конференція ''Математичний аналіз і суміжні питання'', 17-20 листопада 2005 р., Львів : тези доп. - Львів, 2005. - С. 66.

13. Маслюченко В.К. Точки неперервності нарізно неперервних відображень та їх аналогів зі значеннями в сильно у-метризовних просторах / В.К. Маслюченко, О.І. Філіпчук // Міжнародна конференція ''Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування'', 18-23 вересня 2006 р., Ужгород : тези доп. - Київ : Інститут математики НАН України, 2006. - С. 70-71.

14. Григор'єва О.І. Деякі приклади нарізно неперервних функцій, що пов'язані з простором ? / О.І. Григор'єва, В.К. Маслюченко, О.І. Філіпчук // Міжнародна конференція ''Диференціальні рівняння та їх застосування'', 11-14 жовтня 2006 р., Чернівці : тези доп. - Чернівці : Рута, 2006. - С. 30.

15. Маслюченко В.К. Про множину точок сукупної неперервності KhC-функцій зі значеннями в просторах Мура / В.К. Маслюченко, В.В. Михайлюк, О.І. Філіпчук // Міжнародна конференція ''Боголюбовські читання - 2007'', присвячена 90-річчю від дня народження Ю. Митропольського, 19 серпня - 2 вересня 2007 р., Житомир : тези доп. - Київ, 2007. - С. 83-84.

16. Маслюченко В.К. До питання про зв'язки між нарізною неперервністю, квазінеперервністю і точковою розривністю / В.К. Маслюченко, О.І. Філіпчук // ІV Всеукраїнська наукова конференція ''Нелінійні проблеми аналізу'', 10-12 вересня 2008 р., Івано-Франківськ : тези доп. - Івано-Франківськ : Плай, 2008. - С. 62.

17. Філіпчук О.І. Характеризації просторів з розвиненням і просторів Мура та розриви KhC-функцій / О.І. Філіпчук // Міжнародна конференція до 100-річчя М.М. Боголюбова та 70-річчя М.І. Нагнибіди, 8-13 червня 2009 р., Чернівці : тези доп. - Чернівці : Книги - ХХІ, 2009. - С. 187-188.

АНОТАЦІЯ

Філіпчук О.І. Нарізно неперервні відображення та їх аналоги зі значеннями в неметризовних просторах. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.01 - математичний аналiз. - Чернівецький національний унiверситет iменi Юрія Федьковича, Чернівці, 2010.

Дисертація присвячена дослідженню множин точок сукупної неперервності нарізно неперервних відображень та їх аналогів (горизонтально квазінеперервних і неперервних або квазінеперервних відносно другої змінної відображень, тобто KhC- та KhK-функцій) зі значеннями у у-метризовних, сильно у-метризовних просторах та просторах Мура.

В даній роботі вивчено множину точок неперервності на горизонталях, на вертикалях і на неперервних кривих для функцій, які горизонтально квазінеперервні та неперервні відносно другої змінної, зі значеннями в сильно у-метризовних просторах і отримано теореми, які розвивають попередні результати В. Маслюченка та В. Нестеренка, що розглядали вужчі класи функцій.

Введено нові поняття категорної та покриттєвої кліковості, що узагальнюють поняття кліковості на відображення зі значеннями в топологічних просторах. З допомогою поняття категорної кліковості отримано теорему про точки сукупної неперервності відображень f : X  Y?>?Z, які горизонтально квазінеперервні і неперервні відносно другої змінної, коли перша змінна пробігає деяку залишкову в X множину, зі значеннями в просторах Мура, яка підсилює один результат З. Пьотровського.

Розглянуто деякі приклади, пов'язані з простором ? фінітних послідовностей. Зокрема, наведено приклади нарізно неперервних дійснозначних функцій, заданих на добутках ??? і ????, що не є квазінеперервними в жодній точці. Крім цього, наведено приклад такої трійки топологічних просторів (X, Y, Z), що кожне нарізно неперервне відображення f : X  Y >?Z є квазінеперервним і, разом з цим, існує нарізно неперервне відображення g?:?X  Y >?Z, яке є скрізь розривним.

Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер і можуть бути використанi в загальнiй теорiї функцiй, топологiї та функціональному аналізі.

Ключовi слова: нарізно та сукупно неперервні відображення, квазінеперервність, горизонтальна квазінеперервність, кліковість, KhC- та KhK-функції, площина Немицького, пряма Зорґенфрея, строгі індуктивні границі, сильно у-метризовні та у-метризовні простори, простори Мура.

АННОТАЦИЯ

Филипчук О. И. Раздельно непрерывные отображения и их аналоги со значениями в неметризуемых пространствах. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Черновицкий национальный университет имени Юрия Федьковича, Черновцы, 2010.

Диссертация посвящена исследованию множеств точек совокупной непрерывности раздельно непрерывных отображений и их аналогов (горизонтально квазинепрерывных и непрерывных либо квазинепрерывных относительно второй переменной отображений, то есть KhC- и KhK-функций) со значениями в у-метризуемых, сильно у-метризуемых пространствах и пространствах Мура.

В этой работе исследованы множества точек непрерывности на горизонталях, на вертикалях и на непрерывных кривых для горизонтально квазинепрерывных и непрерывных относительно второй переменной функций со значениями в сильно у-метризуемых пространствах; показано, что у горизонтально квазинепрерывных и квазинепрерывных относительно второй переменной функций, заданных на произведении топологического пространства X и топологического пространства Y со счетным псевдобазисом, со значениями в у-метризуемом пространстве точки разрыва образуют множество первой категории. Полученные теоремы обобщают результаты В. Маслюченко и В. Нестеренко, которые рассматривали более узкие классы функций.

Доказано, что в результатах Р. Христенсена, А. Бузиада и В. Михайлюка о намиоковых, конамиоковых пространствах и пространствах Кемпистого соответственно метризуемое пространство значений можно заменить на гаусдорфовое сильно у-метризуемое пространство (для случая намиоковых пространств - при дополнительном условии на пространство X.

Исследованы отображения со значениями в плоскости Немыцкого и показано, что раздельно непрерывные отображения, заданные на произведении топологического пространства и пространства с первой аксиомой счетности, со значениями в плоскости Немыцкого имеют остаточные множества точек непрерывности на горизонталях, но, вместе с тем, существует раздельно непрерывное отображение f?:?2?>?, у которого нет вертикалей, состоящих из точек совокупной непрерывности.

Введены новые понятия категорной кликовости и кликовости относительно покрытия, обобщающие понятие кликовости на отображения со значениями в топологических пространствах. С помощью понятия категорной кликовости получена теорема о точках совокупной непрерывности отображений f?:?X??Y?>?Z, являющихся горизонтально квазинепрерывными и непрерывными относительно второй переменной, когда значения первой пробегают некоторое остаточное в X множество, со значениями в пространствах Мура, которая усиливает один результат З. Пётровского.

Рассмотрены некоторые примеры, связанные с пространством ? финитных последовательностей. В частности, приведены примеры раздельно непрерывных вещественных функций, заданных на произведениях ??? и ????, которые не являются квазинепрерывными ни в одной точке. Кроме того, приведен пример такой тройки топологических пространств (X, Y, Z), что каждое раздельно непрерывное отображение f : X  Y >?Z квазинепрерывно и, вместе с тем, существует всюду разрывное раздельно непрерывное отображение g?:?X??Y?>?Z.

Результаты диссертационной работы носят теоретический характер и могут быть использованы в общей теории функций, топологии и функциональном анализе.

Ключевые слова: раздельно и совокупно непрерывные отображения, квазинепрерывность, горизонтальная квазинепрерывность, кликовость, KhC- и KhK-функции, плоскость Немыцкого, прямая Зоргенфрея, строгие индуктивные пределы, сильно у-метризуемые и у-метризуемые пространства, пространства Мура.

ABSTRACT

Filipchuk O.I. Separately continuous mappings and their analogues with values in non-metrizable spaces. - Manuscript.

Thesis for candidate's degree by speciality 01.01.01 - mathematical analysis. - Chernivtsi National University named after Yuriy Fed'kovych, Chernivtsi, 2010.

The thesis is devoted to investigation of continuity points sets of separately continuous functions and their analogues (functions, which are horizontally quasi-continuous and continuous or quasi-continuous with respect to the second variable, i.e. KhC- and KhK-functions) with values in у-metrizable, strongly у-metrizable and Moore spaces.

For functions that are horizontally quasi-continuous and continuous or quasi-continuous with respect to the second variable, points of continuity on horizontals, verticals and on continuous curves are studied. We prove new theorems which generalize results of V. Maslyuchenko and V. Nesterenko related to smaller classes of functions.

We introduce new notions of categorical cliquity and covering cliquity which generalize the notion of cliquity to mappings with values in topological spaces. With the help of categorical cliquity, we obtain a result on joint continuity points of functions f?:?X??Y?>?Z that are horizontally quasi-continuous and continuous with respect to the second variable under the assumption that the first variable runs through a residual subset of X, and with values in Moore spaces. This generalizes a result of Z. Piotrowski.

Some examples concerning the space ? of finite sequences are considered. In particular, examples of separately continuous real functions on ??? and ???? which are not quasi-continuous at any point, are given. Besides, we provide an example of a triplet of topological spaces (X, Y, Z) such that each separately continuous mapping f?:?X? Y > Z is quasi-continuous and simultaneously there is an everywhere discontinuous separately continuous mapping g?:?X? Y > Z.

The results of the thesis are of theoretical character and can be applied to the General Function Theory, Topology and Functional Analysis.

Key words: separately and joint continuous mappings, quasi-continuity, horizontal quasi-continuity, cliquity, KhC- and KhK-functions, Nemytsky plane, Sorgenfrey line, strict inductive limits, strongly у-metrizable and у-metrizable spaces, Moore spaces.

Размещено на Allbest.ru

...