Мартингали, пов'язані з гіллястим випадковим блуканням

Размещено на http://allbest.ru

Автореферат

дисертацiї на здобуття наукового ступеня

кандидата фiзико-математичних наук

Мартингали, пов'язані з гіллястим випадковим блуканням

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

мартингал інтегровний ряд

Актуальність теми.

Означення гіллястого випадкового блукання, що використовується у даній дисертації, було введене Дж. Біггінсом. Мартингали, пов'язані з гіллястими випадковими блуканнями, вперше досліджувалися у роботах Дж. Кінгмана та Дж. Біггінса. Найбільший внесок у розвиток теорії гіллястих випадкових блукань зробили Г. Альсмайєр, Д. Біггінс, О.М. Іксанов, А. Кіпріаноу, У. Рьослер та інші.

Гіллясте випадкове блукання є природним узагальненням процесу Гальтона-Ватсона, але спектр його можливих застосувань є більш широким, ніж для процесу Гальтона-Ватсона. Зокрема, гіллясті випадкові блукання використовуються для моделювання ядерних та хімічних реакцій, процесів забруднення та розвитку популяцій. Також ці гіллясті процеси тісно пов'язані з процесами фрагментації, які вперше з'явилися в роботах А. М. Колмогорова та його послідовників.

Хоча гіллясті випадкові блукання досліджуються вже протягом більш, ніж 30 років, інтерес до них не зникає. Зокрема, у 2009-2010 рр. з'явилося принаймні шість статей, присвячених дослідженню асимптотики позиції самого правого індивідуума -го покоління гіллястого випадкового блукання при . Також відродився інтерес до теорії відновлення для гіллястих випадкових блукань. Наприклад, нещодавно М. Майнерс Meiners M. Weighted branching and a pathwise renewal equation/ M. Meiners // Stoch. Proc. Appl. --2009. --V. 119. --P. 2579-2597. переніс відомі результати О. Нермана Nerman O. On the convergence of supercritical general (C-M-J) branching processes / O.Nerman // Z. Wahrsch. Gebiete. --1981. --V. 57. --P. 365-395. з півпрямої на всю числову пряму. Взагалі, у даному розділі теорії гіллястих процесів залишалося чимало відкритих або частково відкритих проблем. Деякі з них розв'язані у даній дисертаційній роботі.

Частину результатів даної дисертації вдалося встановити з використанням відкритого О.М. Іксановим зв'язку між мартингалами, пов'язаними з гіллястими випадковими блуканнями, та випадковими рядами, породженими лінійними рекурсіями. Важливі результати для таких рядів були встановлені в роботах В. Верваата, Ч. Голді, А.К. Грінцевічюса, О.М. Іксанова, Р. Маллєра та інших. Випадкові ряди, породжені лінійними рекурсіями широко застосовуються у страховій справі, фінансовій математиці, фізиці, астрономії та інших галузях.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дисертаційна робота виконувалася у відповідності до плану наукових досліджень кафедри дослідження операцій факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка в межах науково-дослідницької теми: "Розробка теорії і програмного забезпечення стохастичних моделей, теорії алгебраїчних систем та аналіз перспектив їх застосувань. Розробка та впровадження інформаційних технологій в освіті" (2006-2010 рр.), НДР № 06БП015-06, номер державної реєстрації 0106U004352.

Також підготовка дисертаційної роботи була частково підтримана грантом DFG (організація наукових досліджень Німеччини) № 436UKR 113/93/ 0-1, проект "Стохастичні нерухомі точки" (2007-2010 рр.).

Мета і завдання дослідження.

Метою дисертаційної роботи є подальше розвинення теорії гіллястих випадкових блукань шляхом розв'язання декількох проблем, що залишалися відкритими або частково відкритими.

Завдання: знаходження умов, що гарантують експоненціальну швидкість збіжності в , , рівномірно інтегровних мартингалів, пов'язаних з гіллястими випадковими блуканнями; дослідження існування моментів збіжних випадкових рядів, породжених лінійними рекурсіями, та моментів граничних випадкових величин для рівномірно інтегровних мартингалів, пов'язаних з гіллястими випадковими блуканнями; встановлення умов, за яких розподіли границь таких мартингалів є абсолютно неперервними; дослідження правильної зміни розподілів операторів, що діють на таких мартингалах.

Об'єкт дослідження.

Об'єктом дослідження є гіллясте випадкове блукання.

Предмет дослідження.

Предметом дослідження є рівномірно інтегровні мартингали, пов'язані з гіллястим випадковим блуканням.

Методика дослідження.

Крім стандартних методів теорії ймовірностей, у роботі використовуються методи

теорії відновлення та теорії випадкових блукань;

теорії правильної зміни;

теорії перетворень Лапласа;

теорії мартингалів з дискретним часом;

теорії опуклих функцій.

Наукова новизна одержаних результатів.

Основні результати дисертаційної роботи є новими.

* Вперше доведено необхідні і достатні умови збіжності у , випадкового ряду , де - мартингал, пов'язаний з гіллястим випадковим блуканням, а - його границя.

* Вперше у повній загальності встановлено критерій існування -моментів (а) границь рівномірно інтегровних мартингалів ; (б) збіжних випадкових рядів, породжених лінійними рекурсіями, для широкого класу вгнутих функцій .

* Знайдено достатні умови того, що розподіли границь рівномірно інтегровних мартингалів є абсолютно неперервними.

* Вперше доведено, що з правильної зміни хвоста розподілу випливає правильна зміна хвостів розподілів декількох операторів, що діють на мартингалах .

У випадку, коли число безпосередніх нащадків кожного індивідуума гіллястого випадкового блукання є майже напевно скінченним, достатні умови того, що розподіл має абсолютно неперервну компоненту, були отримані у роботі К. Ліу. У даній роботі розглянуто випадок, коли число безпосередніх нащадків кожного індивідуума є майже напевно нескінченним, і у таких припущеннях вперше досліджено абсолютну неперервність розподілу . Зокрема, з використанням нових ідей показано, що умови, отримані Ліу, є достатніми для абсолютної неперервності розподілу .

Практичне значення одержаних результатів.

Дисертація носить теоретичний характер. Розроблені методи і підходи можуть бути використані для подальшого розвитку теорії гіллястих процесів та у дослідженні нерухомих точок згладжуючих перетворень, а також процесів фрагментації.

Особистий внесок здобувача.

Основні результати дисертації отримані автором особисто. Із статей, написаних у співавторстві, до дисертації включені лише результати автора. У статті [1] О.М. Іксанову належить версія доведення теореми 1.1. Другий розділ статті [4] написаний Г. Альсмайєром та У. Рьослером. У цій же роботі О.М. Іксанову та У. Рьослеру належать ідеї доведення лем 3.1 та 3.3.

Апробація результатів.

Основні результати дисертаційної роботи доповідалися на міжнародній конференції "Modern problems and new trends in probability theory" (Чернівці, 2005 р.), на одинадцятій та дванадцятій міжнародних конференціях імені академіка М.Кравчука (Київ, 2006 р. та 2008 р.), на міжнародній конференції "Modern stochastics: theory and applications" (Київ, 2006 р.), на міжнародних конференціях "Problem of decision making under uncertainties" (Бердянськ, 2005 р., Новий Світ, 2007 р. та Кам'янець-Подільський, 2009р.), на міжнародних семінарах "Problem of decision making under uncertainties" (Чернівці, 2007 р., Рівне, 2008 р., Східниця, 2006 р., 2009 р. та Львів, 2010 р.).

Також результати роботи доповідалися та обговорювалися на наукових семінарах: з теорії випадкових процесів -- при Інституті математики університету міста Кіль (Німеччина) та з теорії ймовірностей і математичної статистики -- при кафедрі теорії ймовірностей, статистики та актуарної математики та при кафедрі дослідження операцій Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Публікації.

Основні результати дисертаційної роботи викладено в чотирьох статтях [1,2,3,4], надрукованих у наукових фахових виданнях України, які входять до переліку ВАК, та 12-ти тезах доповідей на конференціях [5-16].

Структура та обсяг роботи.

Дисертаційна робота складається зі вступу, 4-ох розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 77 посилань. Кожен розділ розбито на підрозділи, які, в свою чергу, поділяються на пункти. Кожен розділ має власну нумерацію формул, теорем, тверджень і лем. Загальний обсяг дисертації становить 113 стор., основний текст роботи викладено на 103 стор.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету і задачі дослідження, виділено наукову новизну та практичну значущість отриманих результатів. У першому розділі наведено огляд літератури за тематикою дисертації, порівняно результати, отримані в роботі, з відомими раніше.

Нехай -- точковий процес на , тобто випадкова, локально скінченна міра, що рахує. Величина може бути детермінованою або випадковою, скінченною або нескінченною з додатною ймовірністю. Протягом роботи припускається виконаною умова м.н.

Розглянемо популяцію, яка зароджується одним предком, що знаходиться в нулі дійсної осі. Початковий предок є єдиним індивідуумом нульового покоління популяції, діти початкового предка утворюють перше покоління популяції, діти всіх індивідуумів першого покоління утворюють друге покоління популяції і.т.і. Індивідууми популяції розташовані на дійсній осі, при цьому зсуви позицій дітей одного індивідуума відносно його позиції задаються копією точкового процесу , а для різних індивідуумів ці копії є незалежними. Для через будемо позначати точковий процес, що задає положення нащадків -го покоління на дійсній осі та їх кількість. Послідовність називається гіллястим випадковим блуканням (ГВБ). Формальне означення таке.

Означення 2.1. Гіллястим випадковим блуканням називається послідовність точкових процесів , де для борелівської множини

Тут -- точки , -- незалежні копії , а -- міра Дірака, зосереджена у точці .

У роботі розглядаються тільки надкритичні гіллясті випадкові блукання. Тому, якщо , то додатково припускається, що . Нагадаємо, що надкритичність гарантує виживання популяції з додатною ймовірністю.

Позначимо через нескінченне дерево Улама-Харріса всіх скінченних послідовностей з коренем () та ребрами, які з'єднують кожну вершину з вершинами , які слідують за нею. Довжину позначимо через . Назвемо індивідуумом, а -- номером покоління, в якому індивідуум знаходиться. Кожному ребру дерева поставимо у відповідність мітку , що задає зсув позиції індивідуума відносно позиції індивідуума (таким чином, -- це точки , а при фіксованому -- незалежні копії ). Визначимо та . Випадкова величина задає позицію індивідуума на дійсній осі. Точковий процес можна інтерпретувати як такий, що задає позиції індивідуумів -го покоління та їх кількість. Отже,

де -- довільна борелівська множина на прямій.

Подібним чином, для кожного покладемо та . Випадкова величина задає зсув позиції індивідуума відносно позиції індивідуума . Гіллясте випадкове блукання можна інтерпретувати як помічене випадкове дерево , де .

Припустимо, що існує таке, що



Для введемо позначення ( -- тривіальна -алгебра) та покладемо

де . Послідовність утворює невід'ємний мартингал, що є основним об'єктом дослідження даної дисертації. Надалі будемо згадувати цей мартингал як мартингал, пов'язаний з гіллястим випадковим блуканням. Позначимо через границю цього мартингалу майже напевно. Зазначимо, що випадкова величина є додатною з додатною ймовірністю тоді і тільки тоді, коли мартингал є рівномірно інтегровним.

Для того, щоб уникнути ситуації, коли для всіх і, як наслідок, , іноді надалі буде припускатися виконаною умова

Визначимо функцію так:

О.М. Іксанов Iksanov A.M. Elementary fixed points of the BRW smoothing transforms with infinite number of summands / A. Iksanov //Stoch.Proc.Appl. --2004. --V. 114, №1. --P. 27-50. довів, що умови та є необхідними і достатніми для того, щоб , еквівалентно, для того, щоб та . Маючи необхідні та достатні умови збіжності у , природно поцікавитися швидкістю цієї збіжності. У другому розділі дисертації знайдено необхідні і достатні умови збіжності в () випадкового ряду

(2.1)

для фіксованого .

Теорема 2.1. Нехай , та . Тоді ряд , визначений у (2.1), збігається майже напевно і в , якщо

для деякого

Із збіжності ряду в випливають умови

та

Зауваження 2.1. У випадку, коли функція досягає свого мінімального значення в точці , тобто для деякого , ми доводимо, що з - збіжності ряду випливають умови

Аналогічно, якщо функція досягає мінімального значення в точці , то з - збіжності ряду випливають умови

Іншими словами, рівність

разом з умовами та можуть виконуватися тільки у випадку, коли останній мінімум досягається при деякому .

Теорема 2.2. Нехай , та . Ряд , визначений у (2.1), збігається в тоді і тільки тоді, коли

При цьому збігається також майже напевно.

Звичайно, теореми 2.1 та 2.2 вказують умови, за яких швидкість -збіжності () рівномірно інтегровного мартингалу до його границі є експоненційною.

У пункті 2.3 у скороченій формі наведено відомі результати, пов'язані з заміною міри для гіллястого випадкового блукання. Зокрема, введено поняття хребта для модифікованого гіллястого випадкового блукання. Лема 2.4 містить перше принципове спостереження, необхідне для доведення основних результатів розділу.

Лема 2.4. Для довільного фіксованого ряд , визначений у (2.1), збігається майже напевно (в для ) тоді і тільки тоді, коли такий же тип збіжності має місце для ряду

(2.20)

де , . При цьому майже напевно.

Зауваження 2.2. Оскільки для кожного

то можна показати, що збігається майже напевно (або в для ) тоді і тільки тоді, коли аналогічна збіжність має місце для ряду

(2.22)

Припустимо, що ряд , визначений у (2.1), існує в смислі збіжності за ймовірністю. Тоді має місце рівність

(2.23)

де є незалежними копіями , які також не залежать від . З рівності (2.23) не випливає, що розподіл є нерухомою точкою неоднорідного згладжуючого перетворення, оскільки випадкові величини та є залежними.

Можна перевірити, що розподіл задовольняє рівність розподілів

(2.24)

де -- незалежні копії , які також не залежать від . На відміну від розподілу , розподіл є нерухомою точкою неоднорідного згладжуючого перетворення.

Покладемо

Причина того, що ми працюємо з рядом , визначеним в (2.22), а не з рядом , визначеним у (2.1), полягає у тому, що на відміну від другого ряду часткові суми першого ряду утворюють мартингал. Таким чином, ряд є границею мартингала, і тому ним легше оперувати. Насправді, згідно з відомою властивістю мартингалів для встановлення - збіжності () ряду достатньо перевірити виконання нерівності , яка є еквівалентною -обмеженості мартингалу .

Введемо позначення

(2.29)

(у роботі показано, що ці величини визначені коректно). Лема 2.6 є істотною складовою доведення теореми 2.1, але має і самостійний інтерес.

Лема 2.6. Нехай , мартингал є рівномірно інтегровним, та . У випадку, коли ,

де

У випадку, коли ,

де -- єдине значення з проміжку таке, що , тобто .

Лема 2.7 використовується у доведенні теореми 2.2. При виконанні умов та вона встановлює асимптотичну поведінку при . Зазначимо, що ми не намагалися отримати найкращі можливі оцінки. Насправді, для наших цілей мають значення тільки множники, що зростають експоненційно швидко. Тому, працюючи з множниками субекспоненційного росту, ми обмежувалися досить грубими оцінками.

Лема 2.7. Нехай і .

* Якщо , то за умови , і за умови .

* Якщо , то за умови , і

для , за умови .

Нехай -- вимірна функція з такими властивостями: (а) , (б) існує таке, що зростає і є вгнутою на інтервалі . Для введемо нову функцію .

Нехай -- незалежні копії випадкової величини , чий розподіл задається рівністю

що припускається виконаною для довільної обмеженої борелівської функції .

Теорема 3.1 є першим основним результатом третього розділу.

Теорема 3.1. Якщо майже напевно та

(3.1)

то мартингал є рівномірно інтегровним, та

(3.2)

Якщо виконується (3.2) та , то (3.1) також має місце.

Нехай -- незалежні копії випадкового вектора . Незалежність випадкових величин та дозволяється, але не вимагається. Також у третьому розділі досліджується існування моментів збіжних випадкових рядів, породжених лінійними рекурсіями

Критерій збіжності майже напевно таких рядів був одержаний Голді та Маллєром Goldie C. Stability of perpetuities / C. Goldie, R. Maller //Ann. Probab. --2000. --V. 28, №3. --P. 1195-1298.^. Теорема 3.2 є другим основним результатом третього розділу, і теорема 3.1 буде встановлена в якості наслідку до неї.

Теорема 3.2. Припустимо, що виконуються умови

Якщо майже напевно,

(3.7)

(3.8)

то майже напевно, та

(3.9)

Якщо (3.9), і розподіл невироджений, то (3.7) та (3.8)

Властивість (P3) та леми, наведені нижче, є важливими складовими доведення теореми 3.2. Крім того, леми мають і самостійний інтерес.

Властивість (P3). Існує вгнута диференційовна функція , що не спадає на проміжку , задовольняє умови , , і така, що ~ і

(3.10)

для усіх та деякої константи .

Покладемо

Лема 3.1. Нехай розподіл невироджений, а -- функція, описана у властивості (P3). Нерівність гарантує виконання таких нерівностей



де при кожному випадкова величина отримується за допомогою (умовної) симетризації величини

при заданому .

Лема 3.2. Припустимо та . Для кожного

Якщо існує таке, що , то для кожного виконується нерівність

Лема 3.3. Припустимо, що майже напевно, та . Нехай -- функція, описана у властивості (P3). Тоді

Лема 3.4. Нехай майже напевно, а -- функція, описана у властивості (P3). Такі твердження є еквівалентними:

де , якщо , та , якщо , а , якщо , та , якщо .

У наслідку 2.4.1 Іксанов О.М. Випадкові ряди спеціального вигляду, гіллясте випадкове блукання та само розкладність / Олександр Іксанов. - Київ: Зірка, 2007. - 192 с. стверджується, що розподіл є або виродженим в точці , або сумішшю атома в нулі та чистої неперервної складової. Теорема 3.3, що є основним результатом підрозділу 3.4 , посилює попереднє твердження у тому, що містить достатні умови, за яких чиста неперервна складова є абсолютно неперервною. Нагадаємо, що в.в. має такий же розподіл як число дітей кожного індивідуума у ГВБ.

Теорема 3.3. Припустимо, що мартингал є рівномірно інтегровним, та майже напевно. Якщо умова

виконується для деякого і для деякого індивідуума першого покоління гіллястого випадкового блукання, то розподіл випадкової величини є абсолютно неперервним відносно міри Лебега.

Нехай -- послідовність мартингал різниць для , тобто

Визначимо квадратичну та максимальну функції

а також покладемо

У випадку, коли є рівномірно інтегровним визначимо випадкову величину

Оскільки -- невід'ємний мартингал, то всі введені випадкові величини є майже напевно скінченними.

Нехай -- довільний мартингал. Нерівність Буркхольдера-Ганді-Девіса гарантує, що розподіли максимальної та квадратичної функцій близькі у підхожому розумінні. З робіт Burkholder D. Extrapolation and interpolation of quasi-linear operators on martingales / D. Burkholder, R. Gundy //Acta Math. --1970. -- V. 124, № 1. --P. 249-304., Burkholder D. Integral inequalities for convex functions of operators on martingales / D. Burkholder, B. Davis, R. Gundy //Proc. Sixth Berkeley Symp. on Math. Statist. and Prob. --1972. V. 2.--P. 223-240. Буркхольдера та співавторів та багатьох подальших робіт випливає існування підмножини мартингалів та класу операторів, що діють на них, таких, що для довільних мартингалів з цієї підмножини розподіли операторів з даного класу близькі. Часто цю близкість можна виразити через моментні нерівності або нерівності для функцій розподілу. У теоремі 4.1 доводиться, що правильна зміна еквівалентна правильній зміні хвостів розподілів операторів, визначених вище.

Теорема 4.1 Припустимо, що існують та такі, що

~ (4.2)

де -- функція, що повільно змінюється на .

Виконується співвідношення

Якщо при

~

то

~~.

Крім того, збігається майже напевно та в до випадкової величини , та при

~~

Якщо умова (4.2) може бути посилена до такої



то при

~

Автор дисертації висловлює щиру подяку своєму науковому керівникові доктору фізико-математичних наук Іксанову Олександру Маратовичу за постановку розглянутих в дисертаційній роботі задач, постійну увагу та підтримку в роботі.

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена подальшому розвитку теорії гіллястих випадкових блукань та збіжних випадкових рядів, породжених лінійними рекурсіями. Зокрема, у дисертації розв'язано ряд проблем, що залишалися відкритими або частково відкритими. Знайдено необхідні і достатні умови збіжності в випадкового ряду , де -- мартингал, пов'язаний з гіллястим випадковим блуканням, а -- його границя майже напевно. Отримані достатні умови забезпечують експоненційно швидку -збіжність (рівномірно інтегровного) мартингалу до його границі . Окремо розглядалися два випадки: та . У другому випадку необхідні і достатні умови були еквівалентними, а в першому близькими, але еквівалентними не були. У повній загальності доведено критерій існування моментів спеціального вигляду збіжного випадкового ряду, породженого лінійною рекурсією. Використовуючи відомий зв'язок між мартингалами , пов'язаними з гіллястими випадковими блуканнями, та випадковими рядами, породженими лінійними рекурсіями, у повній загальності встановлено критерій існування моментів спеціального вигляду граничної випадкової величини для рівномірно інтегровного мартингалу . Також отримано достатні умови того, що розподіл граничної випадкової величини для рівномірно інтегровного мартингалу є абсолютно неперервним.

* Отримано умови, за яких правильна зміна на нескінченності хвоста розподілу випадкової величини (значення в момент часу мартингалу , пов'язаного з гіллястим випадковим блуканням) забезпечує правильну зміну на нескінченності хвостів розподілів граничної випадкової величини , а також розподілів чотирьох операторів, серед яких квадратична та максимальна функції.

CПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Iksanov A. Regular variation in the branching random walk / A. Iksanov, S. Polotskiy //Theory Stoch. Proc. --2006. --Т. 12(28), №1-2. --P.38-54.

2. Полоцький С. В. Про абсолютну неперервність нерухомих точок згладжуючих перетворень / С. В. Полоцький // Теор. ймовірност. та матем. статист. --2008. --Т. 79, №1. --С. 125-128.

3. Полоцький С. В. Про моменти збіжних випадкових рядів та границь мартингалів, пов'язаних з гіллястим випадковим блуканням / С. В. Полоцький //Вісник Київського університету: фізико-математичні науки. --2009. -- №2. --С. 135-140.

4. Exponential rate of - convergence of intrinsic martingales in supercritical branching random walks / G. Alsmeyer, A. Iksanov, S. Polotskiy [and others]. //Theory Stoch. Proc. --2009. --V. 15(31), №2. --P. 1-18.

5. Іксанов О.М. Moment results for the branching random walk / О.М. Іксанов, С.В. Полоцький // International conference. Modern problems and new trends in probability theory. - Чернівці. - 2005. - С. 97.

6. Іксанов О.М. Про існування деяких моментів границь мартингалів, пов'язаних з гіллястим випадковим блуканням. / О.М. Іксанов, С.В. Полоцький // Problems of decision making under uncertainties. - Бердянськ. - 2005. - С. 161.

7. Полоцький С.В. Правильна зміна у гіллястому випадковому блуканні / С.В. Полоцький // Modern stochastics: theory and applications. - Київ.-2006. - С. 70.

8. Іксанов О.М. Правильна зміна у гіллястому випадковому блуканні. / О.М. Іксанов, С.В. Полоцький // XI міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука. - Київ. - 2006. - С. 707.

9. Іксанов О.М. Правильна зміна у гіллястому випадковому блуканні. / О.М. Іксанов, С.В. Полоцький // Problems of decision making under uncertainties. - Східниця. - 2006. - С. 48-50.

10. Полоцький С.В. Про збіжність ряду, пов'язаного з гіллястим випадковим блуканням. / С.В. Полоцький // Problems of decision making under uncertainties. - Новий Світ. - 2007. - С. 110-111.

11. Іксанов О.М. Абсолютна неперервність розподілу нерухомих точок згладжуючих перетворень. / О.М. Іксанов, С.В. Полоцький // Problems of decision making under uncertainties. - Чернівці. - 2007. - С. 132-133.

12. Полоцький С.В. On the intrinsic martingale in the branching random walk. / С.В. Полоцький // Problems of decision making under uncertainties. - Київ-Рівне - 2008. - С. 28-29.

13. Полоцький С.В. On the intrinsic martingale in the branching random walk. / С.В. Полоцький // XII міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука. - Київ. - 2008. - С. 103.

14. Полоцький С.В. Про моменти мартингалів, пов'язаних з гіллястим випадковим блуканням. / С.В. Полоцький // Problems of decision making under uncertainties. - Східниця. - 2009. - С. 152-153.

15. Полоцький С.В. Швидкість збіжності в мартингалу, пов'язаного з гіллястим випадковим блуканням . / С.В. Полоцький // Problems of decision making under uncertainties. - Кам'янець-Подільський. - 2009. - С. 96-97.

16. Іксанов О.М. Швидкість збіжності в мартингалу, пов'язаного з гіллястим випадковим блуканням . / О.М. Іксанов, С.В. Полоцький // Problems of decision making under uncertainties. - Львів. - 2010. - С. 91-92.

Размещено на Allbest.ru

...