Крайові задачі зі спектральним параметром у рівняннях і крайових умовах

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

УДК 517.958:517.984

КРАЙОВІ ЗАДАЧІ ЗІ СПЕКТРАЛЬНИМ ПАРАМЕТРОМ У РІВНЯННЯХ І КРАЙОВИХ УМОВАХ

01.01.02 - диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ВОЙТИЦЬКИЙ ВІКТОР ІВАНОВИЧ

Донецьк 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Таврійському національному університеті ім. В.І. Вернадського Міністерства освіти і науки України, м. Сімферополь.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Копачевський Микола Дмитрович, Таврійський національний університет імені В.І. Вернадського, м. Сімферополь, завідувач кафедрою математичного аналізу.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Бурський Володимир Петрович, Інститут прикладної математики і механіки НАН України, м. Донецьк, провідний науковий співробітник відділу нелінійного аналізу;

доктор фізико-математичних наук, професор Пивоварчик В'ячеслав Миколайович, Південноукраїнський національний педагогічний університет ім. К.Д. Ушинського, м. Одеса, завідувач кафедрою прикладної математики та інформатики.

Захист відбудеться « 15 » вересня 2010 р. о 14:00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 11.193.01 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Рози Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Рози Люксембург, 74.

Автореферат розісланий « 3 » серпня 2010 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради М.В. Краснощок

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Спектральні задачі зі спектральним параметром у крайових умовах виникають при вивченні лінійних крайових задач з динамічними крайовими умовами. Властивості спектру є важливими при визначенні поведінки еволюційної проблеми, але, як правило, відповідні спектральні задачі вимагають окремого дослідження. Так, раніше не були систематично розглянуті спектральні задачі, породжені задачею Стефана та задачею про власні коливання надтекучої рідини. У дисертації окрім цих проблем розглянуто нові узагальнені проблеми зі спектральним параметром у рівняннях і крайових умовах, які формулюються на базі абстрактної формули Гріна, доведеної проф. М.Д. Копачевським. Вивчення таких абстрактних проблем є актуальним у зв'язку з великою кількістю існуючих застосувань у механіці, гідродинаміці, теорії дифракції, теорії пружності та ін. Підхід, який базується на вивченні абстрактних допоміжних проблем та відповідних операторів, дозволяє розглядати разом класи різних спектральних задач і отримувати загальні теореми про властивості власних елементів і власних значень.

Дослідженню крайових спектральних задач математичної фізики присвячені роботи значної кількості математиків, фахівців зі спектральної теорії операторів. Відмітимо школи таких видатних українських вчених, як М.Г. Крейн, Ю.М. Березанський, І.А. Луковський. Конкретні крайові задачі зі спектральним параметром у рівняннях і крайових умовах вивчали такі українські автори, як О.Н. Комаренко, В.В. Барковський, Є.М. Русаковський, М.Д. Копачевський, В.М. Пивоварчик. За кордоном подібні проблеми розглядали J. Odnoff, J. Ercolano, M. Schechter, C. Bandle, J. Below, J. Walter, C.T. Fulton, R. Showalter, М.С. Агранович, А.А. Шкаліков та ін.

Дана робота виконана за напрямком досліджень проф. М.Д. Копачевського. Для вивчення крайових задач застосовуються в основному методи теорії лінійних операторів у гільбертовому просторі, при цьому до спектральних крайових задач та задач спряження запроваджується нова схема, яка базується на використанні абстрактної формули Гріна для трійки гільбертових просторів і оператора сліду. Абстрактні задачі спряження зі спектральним параметром у крайових умовах розглядаються у роботі вперше. Такі проблеми можуть бути сформульовані на базі абстрактної формули Гріна для змішаних крайових задач, отриманої М.Д. Копачевським.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у рамках держбюджетних тем та планованих досліджень кафедри математичного аналізу Таврійського національного університету ім. В.І. Вернадського, а також у рамках конкурсних тем МОН України "Операторні методи в початково-крайових, спектральних і екстремальних задачах" (2006-2008 р., номер державної реєстрації 0106U001753), "Операторні методи в лінійному та нелінійному аналізі початково-крайових, спектральних, варіаційних та біфуркаційних задачах математичної фізики" (2009-2011 р., номер державної реєстрації 0109U002432), в яких автор брав участь у якості виконавця.

Мета і завдання дослідження. Отримання теорем про повноту і базисність систем власних елементів, вивчення властивостей спектру для різних класів спектральних задач зі спектральним параметром у рівняннях і крайових умовах. Зокрема, дослідження спектральних задач, породжених задачею Стефана.

Вивчення абстрактних спектральних проблем і задач спряження, які узагальнюють спектральні задачі Стефана. Приведення у якості прикладів конкретних проблем математичної фізики, які попадають під загальну операторну схему. задача спектральний рух рідина

Одержання теореми про існування єдиного сильного розв'язку нової лінійної початково-крайової задачі, породженої малими рухами важкої надтекучої рідини у відкритому сосуді. Дослідження відповідної спектральної проблеми (зі спектральним параметром у рівнянні і крайовій умові).

Об'єкт дослідження. Різні типи спектральних задач зі спектральним параметром у рівнянях і крайових умовах. Задача про малі рухи важкої надтекучої рідини у відкритому сосуді.

Предмет дослідження. Властивості спектральних задач Стефана та узагальнених абстрактних проблем зі спектральним параметром у рівняннях і крайових умовах. Умови, за яких існує єдиний сильний розв'язок задачі про малі рухи важкої надтекучої рідини у відкритому сосуді, властивості власних значень та кореневих елементів відповідної спектральної задачі.

Методи дослідження. У роботі застосовуються в основному методи теорії лінійних самоспряжених операторів у гільбертовому просторі та методи лінійних диференціальних рівнянь. Зокрема, методи спектральної теорії оператор-функцій, теорія операторних блок-матриць, теорія напівгруп операторів, теорія диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі, теорія шкал гільбертових просторів. Також використовуються варіаційні методи математичної фізики, методи диференційних рівнянь у частинних похідних, математичного аналізу, диференціальної геометрії та ін.

Головним засобом дослідження є метод зведення спектральної задачі математичної фізики до вивчення операторного пучка відомого типу в гільбертовому просторі. Провідну роль при цьому відіграє абстрактна формула Гріна, яка дозволяє вивчати властивості операторів допоміжних крайових проблем.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації розглядаються нові спектральні задачі зі спектральним параметром у рівняннях і крайових умовах, до яких застосовується нова схема вивчення, яка базується на дослідженні абстрактних узагальнених проблем.

Вперше досліджені спектральні задачі, які виникають при вивченні модифікованої та класичної задачі Стефана. Також розглянуті деякі окремі випадки та абстрактні узагальнення цих задач. Доведена повнота і базисність систем власних елементів, встановлена дискретність спектру, знайдена асимптотика гілок власних значень у модельних проблемах.

Вперше розглянуто абстрактні спектральні задачі, породжені багатокомпонентними задачами спряження. Отримані теореми про спектр і базисність власних елементів багатокомпонентної спектральної задачі Стефана та загальної задачі зі спектральним параметром у рівняннях і крайових умовах.

Вперше за допомогою операторних методів математичної фізики проведено дослідження процесу малих рухів і нормальних коливань важкої надтекучої рідини у відкритому сосуді. Доведена теорема про існування єдиного сильного розв'язку задачі на довільному відрізку часу , встановлена p-базисність частин системи власних елементів, дискретність спектру, асимптотика двох гілок власних значень.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має в цілому теоретичне значення. Результати праці є актуальними для розвитку загальної теорії еліптичних крайових задач. Абстрактний підхід дозволяє отримувати якісні результати про спектральні властивості широкого класу задач математичної фізики. Такі результати дозволяють виявити важливу для прикладних цілей інформацію стосовно характеру зростання та стійкості розв'язків. Окрім цього, набір власних функцій та значень дозволяє використовувати наближені методи пошуку розв'язків.

Теорема про існування єдиного сильного розв'язку задачі про малі рухи тяжкої надтекучої рідини у відкритому сосуді підтверджує коректність наданої постановки задачі, що дозволяє використовувати для її дослідження наближені та різницеві методи, методи нелінійних рівнянь та ін. Властивості відповідної спектральної задачі підтверджують фізичну гіпотезу, відповідно до якої важка надтекуча рідина без урахування капілярних сил наслідує властивості в'язкої рідини.

Особистий внесок здобувача. Матеріали дисертації опубліковані в роботах [1-14]. Результати робіт [4-6, 8-10, 13, 14] отримані здобувачем самостійно, постановка задач та теоретичне обґрунтування належать науковому керівнику М.Д. Копачевському. У роботі [2] здобувачу належить частина, пов'язана зі спектральною задачею Стефана. У роботі [7] здобувачем зроблено підбір головних результатів дипломних проектів магістрів, виконаних під керівництвом проф. М.Д. Копачевського та оформлення їх у вигляді статті. У роботі [3] постановка проблеми належить проф. Є.П. Кубишкіну, здобувачу належить дослідження спектральної проблеми операторними методами математичної фізики.

Апробація результатів. Результати дисертації доповідалися на наступних конференціях: XVI - XX Кримських Осінніх Математичних Школах-симпозіумах зі спектральних та еволюційних задач (Ласпі-Батиліман, Крим, Україна, вересень 2005-2009 рр.); Всеукраїнській науковій конференції молодих вчених і студентів з диференціальних рівнянь та їх застосувань, присвяченій 100-річчю Я.Б. Лопатинського (Донецьк, Україна, 6-7 грудня 2006 р.); Міжнародній конференції «Modern Analysis and Applications (MAA-07)», присвяченій сторіччю М.Г. Крейна (Одеса, Україна, 9-14 квітня 2007 р.); Воронезській Зимовій Математичній Школі, присвяченій 90-річчю С.Г. Крейна (Вороніж, Росія, 24-30 січня 2008 р.); Міжнародній конференції молодих вчених «Тараповські читання» (Харків, Україна, 21-25 квітня 2008 р.); Міжнародній конференції молодих вчених з диференціальних рівнянь ім. Я.Б. Лопатинського (Донецьк, Україна, 11-14 листопада 2008 р.); Міжнародній конференції «Сучасні проблеми математики та застосувань», присвяченій 70-річчю акад. РАН В.А. Садовничого (Москва, Росія, 30 березня - 2 квітня 2009 р.); Українському математичному конгресі-2009 (Київ, Україна, 27-29 серпня 2009 р.).

Також результати дисертації доповідалися на семінарах кафедри математичного аналізу Таврійського національного університету ім. В.І. Вернадського (під керівництвом проф. М.Д. Копачевського, Сімферополь, 2005-2010 рр.); на XXXІІІ-XXXVІI наукових конференціях професорсько-викладацького складу Таврійського національного університету ім. В.І. Вернадського (Сімферополь, Україна, 2005-2009 рр.); на семінарі відділу математичного моделювання фізичних процесів Фізико-техничного інституту низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України (під керівництвом акад. Є.Я. Хруслова, Харків, квітень 2008 р.); на семінарі кафедри прикладної математики та інформатики Південноукраїнського національного педагогічного університету ім. К.Д. Ушинського (під керівництвом проф. В.М. Пивоварчика, Одеса, березень 2010 р.), на об'єднаному семінарі Інституту математики НАН України (під керівництвом акад. І.О. Луковського і В.Л. Макарова, Київ, червень 2010 р.).

У 2007 р. робота «Про спектральні задачі зі спектральним параметром у рівнянні і крайовій умові», написана за результатами магістерської дипломної роботи, зайняла I місце на Всеукраїнському конкурсі студентських наукових робіт (ДонНУ, Донецьк, Україна, 12-13 квітня 2007 р.).

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел та п'яти додатків. Повний обсяг роботи - 195 сторінок, у тому числі основного тексту - 129 с. Список використаної літератури налічує 148 назв.

Публікації. Основні результати дисертації викладено в 14 наукових працях, 4 з яких належать до переліку фахових наукових видань України, 3 опубліковано в матеріалах конференцій, 5 публікацій у збірниках тез конференцій.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі сформульовані основні задачі дослідження, розкрита актуальність проблеми, мета, значущість та сутність дослідження, проведено огляд результатів, що виносяться на захист, визначено особистий внесок здобувача. Розділ 1 присвячений огляду літератури та відображенню результатів попередніх досліджень за темою дисертації.

У розділі 2 вивчаються спектральні задачі, породжені загальною двофазною задачею Стефана з класичною та модифікованою умовами. Особливістю проблеми є той факт, що окрім невідомих температур у двох фазах речовини треба знайти також форму невідомої межі фазового переходу. Якщо через позначити поля відносних температур, задані в областях з ліпшицевими межами (для простоти вважаємо, що знаходиться всередині ), а також задати на гладкій межі фазового переходу функцію , описуючу малі відхилення вздовж нормалі, тоді після лінеаризації отримуємо наступну початково-крайову задачу:

(), (1)

(); (2)

();(3)

(); (4)

(), (). (5)

В умові (3) через позначений оператор Лапласа-Бельтрамі, діючий на , - нормальні вектори, які направлені зовні областей , і - задані константи поверхневого тяжіння і часу релаксації. Зазначимо, що у випадку (модифікована умова) ця задача вивчалася раніше Є.В. Радкевичем. Ним була отримана достатня умова

, , (6)

за якої задача має єдиний класичний розв'язок на малому відрізку часу. Маємо , - головні кривизни поверхні у точці , . Підрозділ 2.4 присвячений вивченню спектральної задачі з класичною умовою, якій відповідає випадок в (3). Розшукуючи розв'язки відповідної однорідної задачі у вигляді нормальних рухів

, , , , (7)

отримуємо наступну проблему:

(), (8)

(); (9)

, (); (10)

(). (11)

Згідно з фізичним змістом задачі вважаємо, що виконуються умови

: , . (12)

Якщо побудувати функцію , , яка є додатно визначеною обмеженою та гладкою в зі слідом на , рівним , то узагальнені розв'язки задачі (8)-(11) можна розшукувати серед елементів підпростору , де є ваговим простором. Саме, сумуючи формули Гріна для розв'язків задачі, отримуємо варіаційну тотожність

, , (13)

де у загальному випадку є деяким несамоспряженим обмеженим оператором, діючим з у , а у випадку маємо . Виключаючи за допомогою рівності невідому функцію , для елемента отримуємо операторне співвідношення

, , (14)

де - компактний додатний оператор, обернений до оператору гільбертової пари , а - обмежений спряжений оператор до оператора сліду . Після замін

, ,

отримуємо задачу

, .(15)

В роботі доведено, що оператори і є компактними в , при цьому належить до класу компактності . Згідно з теоремами Кєлдиша і Гільберта-Шмідта звідси отримуємо наступний результат.

Теорема 1. Система кореневих елементів задачі (8)-(11) утворює в просторі базис Абеля-Лидського порядку . Спектр задачі складається з ізольованих власних значень скінченої кратності, з єдиною граничною точкою . При цьому для довільного всі власні значення окрім можливої скінченої їх кількості розташовані в куті , і для них виконується оцінка . У випадку задача має власний ортонормований базис у просторі , при цьому спектр є дискретним і складається з додатних власних значень.

Підрозділ 2.5 присвячений вивченню загальної самоспряженої спектральної задачі Стефана. Будемо вважати, що в задачі (1)-(5) маємо , тобто , . Тоді, розшукуючи розв'язки відповідної однорідної задачі у вигляді (7), отримуємо наступну проблему:

(), (16)

(); (17)

, (); (18)

(). (19)

Через в умові (18) позначений лінійний самоспряжений у просторі оператор

. (20)

У загальному випадку цей оператор є обмеженим з низу, за умов (6) він є додатно визначеним. За допомогою узагальнених формул Гріна задача (16)-(19) зводиться до операторної проблеми в просторі , складеному з елементів :

. (21)

Доведено, що оператор є самоспряженим обмеженим та додатним у просторі . Звідси за допомогою заміни змінних цю проблему можна звести до задачі на власні значення компактного самоспряженого оператора у гільбертовому просторі . Спираючись на теорему Гільберта-Шмідта отримуємо такий результат.

Теорема 2. Нехай , тоді спектральна задача (16)-(19) має повну в гільбертовому просторі систему власних елементів, яка є ортонормованою за формою оператора (). Спектр задачі є дійсним і дискретним. Якщо виконується умова (6), то спектр складається з додатних власних значень з єдиною граничною точкою . Інакше задача може мати також не більш ніж скінчену кількість від'ємних власних значень, кількість яких співпадає з кількістю від'ємних власних значень оператора .

У підрозділі 2.6 розглянуто окремий випадок проблеми (16)-(19), коли від двох областей переходимо до однієї та маємо , . В цьому випадку можна виключити невідому функцію через співвідношення , . Для при цьому отримуємо наступну проблему:

(); (22)

(); (23)

(). (24)

Властивості цієї задачі у випадку, коли є довільним обмеженим самоспряженим оператором у з від'ємними власними значеннями, описані в підрозділі 4.2, де розглянуто її абстрактне узагальнення (34). Відмітимо, що раніше був розглянутий лише той випадок, коли є оператором множення на функцію. Також у підрозділі 2.6. розглянута ситуація, коли є циліндричною областю, а . У цьому випадку знайдені характеристичні рівняння для отримання власних значень та явний вигляд власних функцій. Також знайдені асимптотичні формули для гілок власних значень.

Розділ 3 присвячений вивченню нової початково-крайової задачі, яка описує малий рух важкої надтекучої рідини у відкритому сосуді. У підрозділі 3.1 коротко описується двошвидкісна модель надтекучої рідини, проводиться повна постановка проблеми. Згідно з моделлю Л.Д. Ландау рух надтекучої рідини описується двома полями швидкостей: надтекучою компонентою , та нормальною компонентою , які взаємно проникають одна в одну та існують у кожному одиничному об'ємі рідини з відповідними в'язкостями і (загальна в'язкість ). Будемо вважати, що надтекуча рідина займає область з липшицевою межею , де - тверда стінка, а - плоска відкрита вільна поверхня, ортогональна дії достатньо сильного гравітаційного поля . Тоді, нехтуючи силами поверхневого тяжіння, після лінеаризації отримуємо наступну постановку:

(в ); (25)

(в ); (26)

(на ); (27)

(на ); (28)

, , (на ); (29)

, , . (30)

Тут невідомими, окрім і , є поля динамічного тиску і ; - поле малих зовнішніх сил; , , - функція, яка описує у момент часу малі відхилення поверхні вздовж зовнішньої нормалі (за умови збереження об'єму маємо ). У підпункті 3.2 до проблеми (25)-(30) застосовується метод ортогонального проектування. Будемо вважати, що поля належать до простору , для якого має місце модифіковане розкладання Г. Вейля:

.(31)

Згідно умов задачі отримуємо належність полів до підпросторів

,,

(надалі вважаємо, що потенціали є нормованими: ). Проектуючи рівняння (26) на підпростір , отримуємо, що поля і однозначно визначаються полем зовнішніх сил та полем нормальної компоненти . При цьому для поля отримуємо задачу, яка узагальнює проблему про малі рухи важкої в'язкої рідини у відкритому сосуді. Будемо вважати, що поле належить до гільбертового простору зі скалярним добутком . Розшукуючи розв'язки задачі у вигляді суми розв'язків допоміжних крайових задач та спираючись на доведену М.Д. Копачевським узагальнену формулу Гріна для задачі Стокса, отримуємо операторну постановку проблеми в гільбертовому просторі ():

. (32)

Тут - оператор, обернений до оператора гільбертової пари , , - оператор, спряжений до , , стала , - самоспряжений додатно визначений оператор гільбертової пари . Ця проблема коротко записується у вигляді , де операторна матриця є додатно визначеною обмеженою та обмежено зворотною, - акретивна операторна матриця. Після заміни змінних та замкнення оператора отримуємо фінальну задачу з максимальним рівномірно дисипативним оператором у просторі з еквівалентним скалярним добутком . Звідси маємо наступні результати.

Теорема 3 (про розв'язність фінальної задачі). Якщо виконуються умови , , , то фінальна задача має єдиний сильний розв'язок на довільному відрізку часу .

Теорема 4. В умовах теореми 3 сильний розв'язок фінальної задачі є розв'язком задачі (32).

Означення. Будемо говорити, що задача (25)-(30) має сильний розв'язок, якщо існують функції

,,

такі, що для кожного рівняння (25) виконується у сенсі розподілів, а інші співвідношення - у сенсі рівності елементів гільбертових просторів.

Теорема 5 (про розв'язність початкової задачі). Нехай виконуються умови теореми 4 та крім цього маємо , , тоді проблема (25)-(30) має єдиний сильний розв'язок на довільному відрізку часу .

Підрозділ 3.3 присвячений вивченню спектральної задачі, породженої малими нормальними рухами важкої надтекучої рідини у відкритому сосуді. Ця проблема після заміни зводиться до вивчення властивостей модифікованого пучка С.Г. Крейна у просторі :

. (33)

Тут є компактним оператором, а - спряжений до нього оператор. Позначимо , . Ці оператори є самоспряженими компактними у просторі , причому є додатним, а є невід'ємним та має нескінченновимірне ядро. Відомо, що власні значення оператора мають асимптотику . У роботі доведено, що асимптотика власних значень оператора співпадає з асимптотикою власних значень оператора , тобто маємо . Спираючись на ці факти, а також на доведену М.Д. Копачевським теорему про p-базисність власних елементів пучка С.Г. Крейна, отримуємо наступний результат.

Теорема 6. Спектральна задача, породжена малими рухами важкої надтекучої рідини у відкритому сосуді, має спектр, який складається з нескінченно кратного нульового власного значення, а також з скінчено кратних власних значень, які розташовані у правій комплексній півплощині з граничними точками та .

1. Якщо , то дискретна частина спектру складається з двох гілок додатних власних значень:

,

.

При цьому , , де - корені рівняння . Системи власних елементів , які відповідають гілкам і утворюють відповідно p-базиси у просторах та при .

2. Якщо , то окрім двох зазначених вище гілок власних значень може існувати не більш ніж скінчена кількість недійсних власних значень, розташованих дзеркально відносно дійсної осі у сегменті , при цьому системи власних елементів, які відповідають гілкам і , утворюють при p-базиси з кінцевим дефектом у просторах та .

У розділі 4 розглядаються деякі абстрактні спектральні задачі зі спектральним параметром у рівняннях і крайових умовах. Підрозділ 4.2 присвячений вивченню абстрактного узагальнення спектральної задачі (22)-(24). Розглянемо проблему:

(в ); (в ), (34)

де , - оператори, що фігурують в абстрактній формулі Гріна

, (35)

яка однозначно будується за заданими просторами , , і оператором сліду . Оператор вважаємо заданим обмеженим самоспряженим оператором у просторі , який має лінійно незалежних елементів , на яких . Якщо ввести простір та в ньому обмежений оператор і необмежений оператор , , тоді отримуємо задачу , яка після заміни зводиться до задачі на характеристичні значення компактного самоспряженого в оператора . Якщо ж розв'язки проблеми (34) розшукувати як суму розв'язків допоміжних крайових задач, то отримуємо задачу на характеристичні числа компактного самоспряженого в оператора (оператор є спряженим до оператора сліду ). За допомогою теорем Гільберта-Шмідта та Фань-Цюй отримуємо такі результати.

Теорема 7. Якщо вкладання просторів в і в є компактними та підпростір є всюди щільним у просторі , тоді спектр абстрактної спектральної задачі Стефана (35) є дискретним та дійсним. Він складається з гілки додатних власних значень з граничною точкою та з від'ємних власних значень з можливою граничною точкою . При цьому система відповідних власних елементів є ортонормованим базисом у , а система є базисом у просторі , ортогональним за формами операторів і .

Теорема 8. Спектральна задача Стефана (22)-(24) має власний ортонормований базис , при цьому система утворює базис в :

.

Теорема 9 (про асимптотику власних значень абстрактної задачі). Нехай допоміжні абстрактні спектральні задачі мають степеневу асимптотику власних значень, тобто , , .

1. Якщо оператор є компактним та належить до класу компактності , де , то додатні власні значення задачі (34) мають асимптотику .

2. Якщо і оператор такий, що та чи , то маємо . За умови виконується двостороння нерівність , , .

3. Якщо і , то за умов , від'ємні власні значення задачі (34) мають асимптотичну поведінку .

Теорема 10. Якщо і (для довільного ), то додатні власні значення задачі (22)-(24) мають асимптотику . Якщо , то за умов (12) виконана формула .

У випадку і (для довільного ) додатні власні значення задачі (22)-(24) мають асимптотику . Якщо , то за умов (11) виконується двостороння оцінка .

Підрозділ 4.5 присвячений вивченню абстрактної багатокомпонентної спектральної задачі Стефана. Нехай надані гільбертові простори та оператори такі, що для кожного існує своя абстрактна формула Гріна. Нехай , , де простори обмежено вкладені у , тоді М.Д. Копачевським доведено, що за деяких додаткових умов для кожного можна побудувати свою абстрактну формулу Гріна для змішаних крайових задач

, (36)

де та абстрактні оператори сліду та нормальної похідної «на частину межі». У термінах цих виразів можна розглянути наступну абстрактну проблему:

(в ), (37)

, (в ); (38)

(в ); (в ). (39)

Ця задача узагальнює проблему (15)-(18) на випадок довільним чином приєднаних областей. Через і позначені самоспряжені в оператори. Причому є обмеженим та невід'ємним, а такий, що його спектр складається з нормальних власних значень з єдиною граничною точкою на . Після деяких перетворень ця проблема зводиться до проблеми:

(в ); (40)

, (в ), (41)

де і - оператори, які фігурують в абстрактній формулі Гріна, яка будується по , , і . Аналогічно проблемі (15)-(18) при деяких природних умовах задача (40)-(41) зводиться до операторного співвідношення у просторі пар , де оператор є самоспряженим додатно визначеним у , а існує та є компактним самоспряженим оператором.

Теорема 11. Задача (37)-(39) має повну в систему власних елементів , яка утворює ортонормований базис у енергетичному просторі оператора . Якщо , то спектр задачі складається з гілки додатних власних значень з граничною точкою , та з від'ємних власних значень, які у випадку збігаються до . Якщо , то окрім згаданих вище власних значень число також є власним значенням задачі з кратністю .

Аналогічний результат отримано у підрозділі 3.6 для абстрактної спектральної задачі спряження зі спектральним параметром у рівняннях і крайових умовах загального виду. Нехай треба знайти елементи , , які задовольняють рівнянням (в ) ( - задані невід'ємні оператори); крайовим умовам на межах спряження чотирьох типів:

1). , (в );

2). , (в );

3). (в);

4). (в);

та крайовим умовам на вільних межах трьох типів:

1) ; 2) ; 3) .

Через , всюди позначені задані лінійні самоспряжені оператори, які обмежено діють з у .

У додатках до дисертації наводяться деякі допоміжні факти та твердження. Зокрема, доведена абстрактна формула Гріна для трійки гільбертових просторів і оператора сліду та абстрактна формула Гріна для змішаних крайових задач. Також розглянуто деякі спектральні задачі математичної фізики зі спектральним параметром у рівняннях і крайових умовах, які підпадають під загальну схему вивчення. Це гідродинамічні задачі про власні коливання системи ідеальних рідин у циліндричному сосуді (система ідеальних капілярних рідин, система стратифікованих рідин та гідросистема «ідеальна рідина - баротропний газ») та механічні задачі про власні коливання струни з закріпленими на ній бусинками, балки з закріпленими посеред неї вантажами та механічної системи, описуючої динаміку маніпуляційного робота.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

У дисертації вивчені властивості деяких нових крайових задач та задач спряження зі спектральним параметром у рівняннях і крайових умовах. Отримані нові результати про базисність систем власних елементів, вивчені властивості спектру. Також вивчена лінійна початково-крайова задача про малі рухи важкої надтекучої рідини у відкритому сосуді. Доведена теорема про існування єдиного сильного розв'язку задачі, вивчені властивості спектру. До всіх задач була застосована загальна операторна схема, основана на зведенні крайової задачі до деякого операторного співвідношення в гільбертовому просторі. При цьому суттєво використовувалась абстрактна формула Гріна для трійки гільбертових просторів і оператора сліду, її окремі випадки та узагальнення. Усі отримані результати є новими та важливими для розвитку теорії граничних задач, абстрактні результати можуть бути застосовані при вивченні багатьох конкретних задач математичної фізики.

1. Розглянута спектральна задача Стефана з класичною умовою. У загальному випадку доведена локалізація спектру вздовж дійсної осі та базисність кореневих елементів за Абелем-Лидським. Встановлена достатня умова, за якою всі власні значення є додатними, а відповідні власні елементи утворюють ортонормований базис в гільбертовому просторі.

2. Розглянута загальна самоспряжена модифікована спектральна задача Стефана. Доведено, що її спектр складається з гілки додатних власних значень, та можливо зі скінченої кількості нульових та від'ємних власних значень, при цьому система власних елементів утворює базис у гільбертовому просторі.

3. Вивчена математична модель процесу малих рухів важкої надтекучої рідини у відкритому сосуді. Проведена лінійна математична постановка проблеми. За допомогою модифікованого розкладання Г. Вейля та узагальненої формули Гріна для задачі Стокса доведена теорема про існування єдиного сильного розв'язку еволюційної задачі. Відповідна спектральна задача зводиться до вивчення модифікованого пучка С.Г. Крейна зі збереженням всіх його основних властивостей (включаючи асимптотику гілок власних значень).

4. Досліджена абстрактна спектральна задача, узагальнююча модельну задачу Стефана. За допомогою двох підходів встановлено, що спектр задачі складається з ізольованих дійсних власних значень з єдиною граничною точкою на нескінченості, а система власних елементів утворює базис в гільбертовому просторі. Також встановлені деякі асимптотичні формули для гілок власних значень.

5. Розглянута багатокомпонентна абстрактна спектральна задача Стефана та спектральна задача спряження зі спектральним параметром у рівняннях і крайових умовах загального виду. У якості їх окремих випадків розглянуто ряд конкретних задач математичної фізики. Доведено, що властивості цих задач аналогічні властивостям самоспряженої модифікованої спектральної задачі Стефана.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Kopachevsky N.D. On the Modified Spectral Stefan Problem and Its Abstract Generalizations / N.D. Kopachevsky, V.I. Voytitsky // Operator Theory: Advances and Applications: Birkhдuser-Verlag. 2009. Vol. 191 (2). P. 381-394.

2. Войтицкий В.И. Многокомпонентные задачи сопряжения и вспомогательные абстрактные краевые задачи / В.И. Войтицкий, Н.Д. Копачевский, П.А. Старков // Современная математика. Фундаментальные направления: Российский университет дружбы народов. 2009. Т. 34. С. 5-44.

3. Войтицкий В.И. О спектральной задаче, возникающей в механике манипуляционных роботов / В.И. Войтицкий, М.Ю. Злобина, Е.П. Кубышкин // Моделирование и анализ информационных систем: Ярославльский государственный университет. 2009. Т. 16, № 3. С. 22-28.

4. Войтицкий В.И. О спектральных задачах, порожденных линеаризованной задачей Стефана с условиями Гиббса-Томсона / В.И. Войтицкий // Нелинейные граничные задачи. 2007. Т. 17. С. 31-49.

5. Войтицкий В.И. О спектральной задаче, порожденной модифицированной и классической задачами Стефана / В.И. Войтицкий // Вісник Харківського національного університету ім. В.Н. Карабіна. Серія «математика, прикладна математика і механіка». 2009. Т. 850. С. 22-36.

6. Войтицкий В.И. Абстрактная спектральная задача Стефана / В.И. Войтицкий // Ученые записки Таврического национального университета им. В.И. Вернадского. Серия «Математика. Механика. Информатика и кибернетика». 2006. Т. 19(58), № 2. С. 20-28.

7. Три спектральные гидродинамические задачи о собственных колебаниях системы идеальных жидкостей в цилиндрическом сосуде / В.И. Войтицкий, М.А. Имрякова, Н.Д. Копачевский [и др.] // Ученые записки Таврического национального университета им. В.И. Вернадского. Серия «Математика. Механика. Информатика и кибернетика». 2008. Т. 21 (60), № 1. С. 10-22.

8. Voytitsky V.I. On the Spectral Stefan Problem with Hibbs-Thomson Conditions / V.I. Voytitsky // International Conference ``Modern Analysis and Applications (MAA - 2007)'' dedicated to the centenary of Mark Krein (Odessa, Ukraine, 9-14 April 2007): Book of Abstracts. Kyiv, 2007. P. 140.

9. Войтицкий В.И. О малых движениях тяжелой сверхтекучей жидкости в открытом сосуде / В.И. Войтицкий // Материалы международной конференции «Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего (МГУ, Москва, Россия, 30 марта - 2 апреля 2009 г.). 2009. С. 132-133.

10. Войтицкий В.И. Малые движения и нормальне колебания тяжелой сверхтекучей жидкости в открытом сосуде / В.И. Войтицкий //International Conference for Young Mathematicians on Differential Equations and Applications (Donetsk, Ukraine, 11-14 November 2008): Book of Abstracts. Donetsk National University, 2008. P. 56.

11. Войтицкий В.И. Абстрактная спектральная задача Стефана / В.И. Войтицкий, Н.Д. Копачевский // Всеукраїнська наукова конференція молодих вчених і студентів з диференціальних рівнянь та їх застосувань (ДонНУ, Донецьк, 6-7 грудня 2006 р.): Тези доповідей. Донецьк, 2006. С. 35-37.

12. Войтицкий В.И. О модифицированной спектральной задаче Стефана и ее абстрактних об-общениях / В.И. Войтицкий, Н.Д. Копачевский // Воронежская Зимняя Математическая Школа, посвященная 90- летию С.Г. Крейна - 2008: Тезисы докладов. ВГУ, 2008. С. 35-36.

13. Войтицкий В.И. О спектральных задачах, порожденных модифицированной задачей Стефана / В.И. Войтицкий // Сборник материалов международной научной школы-конференции «Тараповские чтения» (ХНУ, Харьков, 21-25 апреля 2008 г.). Харьков, 2008. С. 168-172.

14. Войтицкий В.И. Спектральная задача Стефана с условиями Гиббса-Томсона / В.И. Войтицкий // Таврическая научная конференция студентов и молодых специалистов по информатике и математике (ТНУ, Симферополь, 26-27 апреля 2006 г.): Тезисы докладов. Симферополь, 2006. С. 16-19.

АНОТАЦІЯ

Войтицький В.І. Крайові задачі зі спектральним параметром у рівняннях і крайових умовах. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. -- Інститут прикладної математики і механіки, Донецьк, 2010 р.

Дисертація присвячена дослідженню нових крайових задач та задач спряження зі спектральним параметром у рівняннях і крайових умовах. Це спектральні задачі, породжені задачею Стефана, її окремими випадками і узагальненнями та задачею про нормальні рухи важкої надтекучої рідини у відкритому сосуді.

Розглянута загальна постановка двофазної задачі Стефана з класичною та кінетичною умовами. Доведено, що спектр класичної задачі у загальному випадку є локалізованим вздовж додатної напівосі, а відповідна система кореневих елементів утворює базис Абеля-Лидського. У самоспряженому випадку задача Стефана має дійсний спектр, який складається з додатної гілки та, можливо, зі скінченої кількості від'ємних та нульових власних значень. Відповідна система власних елементів утворює ортонормований базис у деякому гільбертовому просторі. Аналогічні властивості мають абстрактні задачі, узагальнюючі спектральні задачі Стефана.

Отримана теорема існування єдиного сильного розв'язку задачі про малі рухи важкої надтекучої рідини у відкритому сосуді. Відповідна спектральна задача зводиться до модифікованого пучка С.Г. Крейна зі збереженням всіх його основних властивостей, включаючи асимптотику гілок власних значень.

Ключові слова: спектральна задача, вкладання гільбертових просторів, абстрактна формула Гріна, дискретний спектр, дійсні власні значення, самоспряжений оператор, компактний оператор, ортогональний базис.

АННОТАЦИЯ

Войтицкий В.И. Краевые задачи со спектральным параметром в уравнениях и краевых условиях. -- Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. -- Институт прикладной математики и механики, Донецк, 2010 г.

Диссертация посвящена исследованию новых краевых задач и задач сопряжения со спектральным параметром в уравнениях и краевых условиях. Это спектральные задачи, порожденные задачей Стефана с классическим и кинетическим условием, абстрактные спектральные задачи и задачи сопряжения со спектральным параметром в уравнениях и краевых условиях, спектральная задача, возникающая при изучении линейной математической модели процесса малых движений тяжелой сверхтекучей жидкости в открытом сосуде.

Рассмотрена общая постановка нелинейной двухфазной задачи Стефана с классическим и кинетическим условием, произведена ее линеаризация. Изучена спектральная задача, порожденная задачей Стефана с классическим условием. Доказано, что в общем случае спектр задачи является дискретным и локализован вдоль вещественной оси, соответствующая система корневых элементов образует базис Абеля-Лидского в некотором гильбертовом пространстве. Найдено достаточное условие положительности спектра, при котором система собственных элементов образует ортонормированный базис в гильбертовом пространстве.

Рассмотрена самосопряженная спектральная задача, порожденная задачей Стефана с кинетическим условием. Доказано, что спектр задачи является дискретным, состоит из ветви положительных собственных значений и, возможно, из конечного числа отрицательных и нулевых собственных значений с единственной возможной предельной точкой . Система соответствующих собственных элементов образует ортогональный базис в гильбертовом пространстве.

Изучена линейная математическая модель процесса малых движений сверхтекучей жидкости в открытом сосуде, находящейся под действием достаточно сильного гравитационного поля (тяжелая жидкость). Получена теорема существования и единственности сильного решения задачи. Соответствующая спектральная задача свелась к исследованию модифицированного пучка С.Г. Крейна. Установлено, что спектр задачи состоит из бесконечнократного нулевого собственного значения, из двух ветвей положительных собственных значений с предельными точками и , а также не более чем из конечного числа комплексно сопряженных невещественных собственных значений. Установлена асимптотика ветвей собственных значений, а также свойство p-базисности частей корневых элементов задачи.

На базе абстрактной формулы Грина для тройки гильбертовых пространств и оператора следа, а также ее обобщения на случай смешанных краевых задач, изучены абстрактные спектральные задачи, порожденные модельной и многокомпонентной самосопряженными задачами Стефана. Также рассмотрена общая абстрактная задача сопряжения со спектральным параметром в уравнениях и краевых условиях. Для этого класса задач доказана базисность систем собственных элементов, установлена дискретность и вещественность спектра, кроме этого, в случае модельной спектральной задачи Стефана найдены некоторые асимптотические формулы для ветвей собственных значений.

В качестве приложений общих результатов рассмотрены некоторые спектральные задачи со спектральным параметром в уравнениях и краевых условиях, возникающие в гидродинамике и механике.

Ключевые слова: спектральная задача, вложения гильбертовых пространств, абстрактная формула Грина, дискретный спектр, вещественные собственные значения, самосопряженный оператор, компактный оператор, ортогональный базис.

ABSTRACT

Voytitsky V.I. Boundary value problems with spectral parameter in equations and boundary conditions. -- Manuscript.

The dissertation for obtaining scientific degree of candidate of physical and mathematical sciences by speciality 01.01.02 - differential equations. -- Institute of Applied Mathematics and Mechanics of the NAS of Ukraine, Donetsk, 2010.

Thesis is devoted to investigations of new boundary value and transmission problems with spectral parameter in equations and boundary conditions, generated by Stefan problem, its specials cases and generalizations, and problem on normal oscillations of a heavy superfluid in an open vessel.

We consider general formulation of two-phase Stefan problem with classical and kinetic boundary condition and study corresponding spectral problems. Spectrums of these problems are discrete. They are situated around the positive axis or are real with positive branch and, probably, finite or infinite number of null and negative eigenvalues. Corresponding systems of eigenelements form Abel-Lidskii basis or orthogonal basis in some Hilbert spaces. Generalizations on basis of abstract Green's formula of spectral Stefan problem have the same properties.

We prove theorem on existence of a unique strong solution of the problem on small motions of a heavy super fluid in an open vessel. Corresponding spectral problem is reduced to modified S.G. Krein's pencil. We find asymptotic of eigenvalues branches (with limit points and ) and p-basis property for the parts of corresponding eigenelements.

Key words: spectral problem, embedding of Hilbert spaces, abstract Green's formula, discrete real spectrum, self-adjoint operator, compact operator, orthogonal basis.

Размещено на Allbest.ru

...