Нерiвностi для полiномiв i раціональних функцій та квадратурні формули на сфері

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність теми. У двадцятому сторiччi широкого розвитку набула теорія наближення полiномами, сплайнами, рацiональни- ми функцiями. Поряд з класичним наближенням без обмежень виникла теорія формозберiгаючого наближення, тобто наближення функції зі збереженням її форми, скажемо, монотонності або опуклості. Прикладом нелiнiйного наближення є наближення раціональними функціями. В 1964 році Ньюманом було доведено, що функція /x/ наближується раціональними функціями суттєво краще ніж многочленами. Цей результат спричинив бурхливий розвиток раціонального наближення. Оскільки множина раціональних функцій нелiнiйна та незамкнена відносно інтегрування, раціональне наближення є технічно більш складним, та теорія наближення раціональними функціями не є такою довершеною, як теорія наближення поліномами. Формозберiгаюче раціональне наближення тільки починає розвиватись. Тому виникає питання про розробку нових методів, що враховують особливості простору раціональних функцій. Другий розділ дисертації присвячений знаходженню оцінок похідної монотонної рацiональної функції. Теорія наближення функцій тригонометричними поліномами давно стала класичною. Фундаментальні результати у цій теорії отримали Джексон, Бернштейн, Валле-Пуссен, Зiгмунд, Ахiєзер, Стечкiн. Важливу роль у наближенні поліномами вiдiграє вивчення властивостей полiномiальних ядер. Одним із найважливіших ядер є узагальнене ядро Джексона, знаходженню явного вигляду якого присвячено третій розділ дисертації. Задачу про побудову квадратурних формул з рівною вагою на сфері вперше розглянули Дельcарт, Гьотальс та Зейдель. Вони назвали такі формули t-дизайнами за аналогією з комбінаторними дизайнами. Виявилося, що задача знаходження сферичних дизайнів з мiнiмальною кiлькiстю точок тісно пов'язана з іншими екстремальними проблемами, як наприклад, найщiльнiша упаковка куль та знаходження конфiгурацiй точок з мiнiмальною енергією. Рiзнi конструкції сферичних дизайнів запропоновані у роботах Байнок, Кореваара, Куперберга, Мейерса, Слоана, Венкова. Однак, питання про точну оцiнку мiнiмальної кiлькостi точок у сферичному t-дизайнi залишається вiдкритим. Ця задача розглядається в останньому роздiлi дисертації.

Мета i завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є:

· Отримання оцінки норми похідної монотонної раціональної функції,

· Покращення iснуючої оцiнки нормуючого множника узагальненого ядра Джексона,

· Розробка методу побудови квадратурних формул на сфері з “малою” кiлькiстю точок.

1. Розгляд питання про зв'язок між нормою монотонної рацiональної функції та нормою її похідної

Нагадаємо, що без додаткових обмежень на форму рацiональної функції, аналог нерiвностi Бернштейна не має місця. Нехай Pn позначає простір многочленiв степеня не більше n. Позначимо Qn множину всіх неперервних раціональних функцій на [-1; 1 ], , де .

Теорема. Якщо непарна зростаюча функція на [-1; 1], тоді

Випливає наступна оцінка для всіх зростаючих на [-1; 1] раціональних функцій.

Нехай зростаюча функція на [-1; 1], тоді:

Оцінку знизу в теорем забезпечує.

Для кожного

де верхня межа береться по множині усіх непарних зростаючих на [-1; 1] раціональних функцій.

Далi теорема узагальнюється для просторів Lp. Позначимо:

 p>0.

Теорема. Нехай та . Якщо R зростаюча на вiдрiзку [-1; 1] раціональна функція степеня n, то для довільного має мicце нерiвнiсть:

Наступна теорема показує, наскільки точною є одержана оцінка.

Теорема. Для кожного та p > 1; q > 2 існує зростаюча на [-1; 1] раціональна функція така, що:

2. Питання про точне значення нормуючого множника узагальненого ядра Джексона

де:

Добре відомо, що:

де c1(k); c2(k) константи, що залежать від k. Знаходженню явної формули та асимптотичне точної оцінки значення для різних n; k.

Теорема. Значення рівне подвоєному коефiцiєнту при в многочленi.

За допомогою Теореми отримано рiвнiсть:

В таблиці 1 наведено значення для k від 1 до 7.

Таблиця 1. Значення нормуючого множника узагальненого ядра Джексона

Доведено наступні асимптотичні оцiнки .

Теорема. Для всіх має місце рiвнiсть.

де:

Теорема. Для всіх має місце рівність:

де:

.

Наведено оцінку:

3. Побудова сферичних дизайнів

Нехай одинична сфера в з нормованою мірою Лебега (). Множина векторів називається сферичним n-дизайном, якщо:

,

для всіх алгебраїчних полiномiв від d + 1 змінних степеня не більше n.

Для кожного позначимо N(d; n) найменшу кiлькiсть точок сферичного n-дизайну на .

Кореваар та Мейєрс 3 довели нерiвнiсть:

(2)

Також вони висунули гіпотезу, що:

(3)

Використовуючи полiсферичну параметризацію та квадратурні формули на вiдрiзку ми доводимо теорему.

Теорема. Нехай послiдовнiсть чисел визначена рекурентними спiввiдношеннями:

Тоді, для всіх виконується нерiвнiсть:

де C(d) константа, що залежить лише вiд d.

Наслідок. Для кожного d > 3 та n 2 N маємо:

де C(d) константа, що залежить лише вiд d,

та:

Висновки

множник похідний квадратурний

1. В роботі розглянуто три задачі теорії наближень. Отримано наступні результати:

2. Доведено оцінку значення похідної монотонної раціональної функції, яка є аналогом нерiвностi Бернштейна для похідної полінома. Показано, що константа у правій частині нерiвностi зростає експоненцiйно при рості степеня функції, та ця залежність є точною для непарних монотонних раціональних функцій. Результат узагальнено для норми похідної монотонної рацiональної функції в просторах Lp.

3. Отримано явну формулу для нормуючого множника узагальненого ядра Джексона та знайдено асимптотично точну оцінку його значень.

4. Наведено явний метод побудови сферичних дизайнів за допомогою квадратурних формул та метод, що використовує рiвномiрне розбиття сфери. Ці контрукцiї дозволяють суттєво покращити вiдомi асимтотичнi оцiнки зверху мiнiмальної кiлькостi точок сферичного дизайну в усіх розмiрностях більших двох.

Література

1. Вязовська М.С. Оцiнка норми похiдної монотонної рацiональної функцiї в просторах Lp / Вязовська М.С. // Укр. мат. журн._ 2009. _ Т. 61, ќ 12 _ С. 1713-1719.

2. Bondarenko A.V. New asymptotic estimates for spherical designs / A. Bondarenko, M. Viazovska // Journal of Approximation Theory _ 2008. Vol. 152 _ P. 101-106.

3. Вязовская M.C. О нормирующем множителе обобщенного ядра Джексона / М.С. Вязовская, Н.С. Пупашенко // Матем. заметки _ 2006. _ T. 80, ќ 1 _ С. 20-28.

4. Bondarenko A.V. Bernstein type inequality in monotone rational approximation / Bondarenko A.V., Viazovska M.S. // East J. Approx. _ 2005. _ Vol 11,ќ1 _ Р. 103-108.

5. Bondarenko A.V. Spherical designs/ Bondarenko A.V., Viazovska M.S. // FM2009 Conference “Functional Methods in Approximation Theory and Operator Theory III, dedicated to the memory of V.K. Dzyadyk (1919-1998)”.- Village Svitiaz, Ukraine. _ 2009. _ P. 103-104.

Размещено на Allbest.ru