Ориентированные графы систем автоматического управления
Построение математической модели управления и автоматизации технологических процессов в промышленности. Характеристика, структурная схема и свойства орграфов, использование формулы Мейсона для их преобразования. Определение передаточной функции контуров.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 22.07.2015 |
| Размер файла | 234,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://allbest.ru
Ориентированные графы систем автоматического управления
Математическую модель САУ можно наглядно представить с помощью ориентированных графов (орграфов).
Орграфы используются в сложных САУ, особенно при управлении и автоматизации технологических процессов в промышленности, когда описание в виде структурных схем становится громоздким и сложным для восприятия.
Рассмотрим простейший орграф динамического звена САУ.
Рис. 1
Орграфом САУ является графическое представление САУ в виде совокупности вершин, соответствующих переменным, и дуг, соединяющих вершины.
Рассмотрим основные свойства орграфа:
1. Каждая дуга со стрелкой, указывающей направление распространения сигнала, изображает звено и характеризуется оператором изображаемого звена (передаточной функцией);
2. Каждой вершине, отмеченной кружком, ставится в соответствие одна из переменных САУ (изображение переменной по Лапласу);
3. Входная величина дуги равна переменной вершины, из которой эта дуга исходит;
4. Выходная величина дуги получается как результат преобразования оператором входной величины;
5. Если к вершине подходят несколько дуг, то соответствующая вершине переменная равна сумме выходных величин этих дуг (аналог суммирующего звена структурных схем);
6. Если из вершины исходит несколько дуг, то входные величины всех этих дуг одинаковы (аналог точки ветвления в структурных схемах).
Ориентированный граф (орграф) можно построить по структурной схеме и наоборот. При построении орграфа по структурной схеме необходимо придерживаться следующих правил:
1. Модифицируют структурную схему так, чтобы в сумматорах все переменные складывались с положительным знаком, отрицательные знаки вносятся в передаточные функции соответствующих звеньев;
2. Каждый сумматор структурной схемы заменяется вершиной, которой ставится в соответствие выходная переменная сумматора;
3. Каждое динамическое звено заменяется дугой с оператором, равным передаточной функции звена;
4. Каждой переменной, включая и входные воздействия, соответствует своя вершина.
Рассмотрим пример. На рис. 2 показана структурная исходная схема, на рис. 3 показан полученный орграф САУ.
Рис. 2
Рис. 3
Преобразовать орграф САУ можно, как и структурную схему, используя правила эквивалентных преобразований для орграфов, которые легко могут быть получены по аналогичным правилам для структурных схем.
5. Последовательное соединение динамических звеньев.
6. Параллельное соединение динамических звеньев.
7. Замкнутый контур с отрицательной обратной связью.
8. Замкнутый контур с положительной обратной связью.
9. Перенос точки ветвления через динамическое звено.
10. Перенос суммирующего звена через динамическое звено.
Использование формулы Мейсона для преобразования структурных схем и ориентированных графов
Когда структурная схема преобразована в орграф, для нахождения необходимой передаточной функции можно использовать формулу Мейсона (правило некасающихся контуров), которая позволяет получить передаточную функцию, связывающую переменные в сложных, многоконтурных САУ.
Рассмотрим общий вид формулы и поясним ее компоненты:
(1)
где - передаточная функция -го отдельного прямого пути от до , вычисленная как произведение передаточных функций дуг, входящих в этот путь;
- определитель орграфа.
(2)
где - передаточная функция -го замкнутого контура, вычисленная как произведение передаточных функций дуг, входящих в этот контур;
- произведение передаточных функций пары (-го и -го) замкнутых контуров, не касающихся ни дугами, ни вершинами, суммирование осуществляется по всем парам некасающихся контуров;
- произведение тройки (-го, -го и -го) некасающихся контуров, суммирование производится по всем тройкам не касающихся контуров.
- определитель орграфа, полученного при удалении дуг и вершин -го отдельного прямого пути, определяется по формуле (2).
Поясним использование формулы Мейсона.
В начале выявляются все отдельные прямые пути между входной и выходной переменными, для которых необходимо определить передаточную функцию.
Отдельным прямым путем считается такая последовательность дуг и вершин, которая соединяет вершины, соответствующие входному и выходному сигналам.
При этом отдельный прямой путь не должен пересекать в вершинах сам себя. Далее выявляются все замкнутые контуры в орграфе САУ.
Замкнутым считается такой контур, когда между двумя вершинами имеется как прямая, так и обратная связь.
Передаточная функция замкнутого контура определяется как произведение передаточных функций всех дуг, входящих в контур с учетом знаков.
После того как выявлены все замкнутые контуры орграфа, необходимо проанализировать - есть ли контуры, которые не касаются ни дугами, ни вершинами, есть ли пары, тройки и т. д. таких контуров.
На основании полученного формируется определитель орграфа по формуле (2).
Определители орграфов, полученных после изъятия -х отдельных прямых путей, также формируются по формуле (2), при этом учитываются только те контуры, которые остаются после изъятия -го прямого пути.
Если после изъятия прямого пути не остается ни одного замкнутого контура, определитель такого орграфа принимается равным единице.
В качестве примера определим передаточную функцию между и в структурной схеме САУ, показанной на рис. 4, полагая в соответствии с принципом суперпозиции .
Рис. 4
Преобразуем структурную схему в ориентированный граф (рис. 5).
Рис. 5
Определим прямые пути:
Определим замкнутые контуры:
Все контуры имеют общую дугу , поэтому некасающихся контуров нет. Определитель орграфа имеет вид
При изъятии 1-го или 2-го прямых путей в орграфе не сохраняется ни одного замкнутого контура, поэтому
Передаточная функция имеет вид
Контрольные вопросы и задачи
1. Дайте определение орграфа динамического звена.
2. Поясните процедуру преобразования структурной схемы САУ в ориентированный граф.
3. Что называется отдельным прямым путем при использовании правила некасающихся контуров?
4. Какие замкнутые контуры называют некасающимися?
5. Определите передаточную функцию
автоматизация управление орграф
по следующей структурной схеме
Ответ:
6. Определите передаточную функцию
по следующей структурной схеме
Ответ: .
7. Определите передаточную функцию
по следующей структурной схеме
Ответ: .
8. Определите передаточную функцию
по следующей структурной схеме
Ответ: .
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Построение сигнального графа и структурной схемы системы управления. Расчет передаточной функции системы по формуле Мейсона. Анализ устойчивости по критерию Ляпунова. Синтез формирующего фильтра. Оценка качества эквивалентной схемы по переходной функции.
курсовая работа [462,5 K], добавлен 20.10.2013Передаточные функции - центральное понятие классической теории автоматического управления. Они основаны на использовании преобразования Лапласа всех процессов как функций времени. Определение передаточной функции. Статические и астатические системы.
реферат [74,0 K], добавлен 30.11.2008Операторы преобразования переменных, классы, способы построения и особенности структурных моделей систем управления. Линейные и нелинейные модели и характеристики систем управления, модели вход-выход, построение их временных и частотных характеристик.
учебное пособие [509,3 K], добавлен 23.12.2009Нахождение АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ для заданных параметров. Построение ЛФЧХ. Определение параметров передаточной функции разомкнутой системы. Исследование на устойчивость по критериям: Гурвица, Михайлова и Найквиста. Определение точности структурной схемы.
курсовая работа [957,8 K], добавлен 11.12.2012Моделирование непрерывной системы контроля на основе матричной модели объекта наблюдения. Нахождение передаточной функции формирующего фильтра входного процесса. Построение графика зависимости координаты и скорости от времени, фазовой траектории системы.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 25.12.2013Суть метода пространственной дискретизации. Основные способы замены производной первого порядка. Алгоритм метода конечных разностей. Разбиение математической модели конструкции на непересекающиеся элементы простой геометрии. Матрица контуров и сечений.
презентация [114,2 K], добавлен 27.10.2013Расчет передаточной функции разомкнутой системы, передаточные функции замкнутой системы по заданию, по возмущению, по ошибке для одноконтурной АСР с дифференциальным уравнением объекта управления. Структурная схема объекта и расчет устойчивости системы.
контрольная работа [545,7 K], добавлен 13.12.2010Создание математической модели движения шарика, подброшенного вертикально вверх, от начала падения до удара о землю. Компьютерная реализация математической модели в среде электронных таблиц. Определение влияния изменения скорости на дальность падения.
контрольная работа [1,7 M], добавлен 09.03.2016Анализ динамических процессов в системе на основе использования построенной аналитической модели. Моделирование с использованием пакета расширения Symbolic Math Tolbox. Построение модели в виде системы дифференциальных уравнений, записанных в форме Коши.
курсовая работа [863,4 K], добавлен 21.06.2015Составление гамильтониан Н с учетом необходимых условий оптимальности для задачи Майера. Определение оптимального управления из условия максимизации. Получение конической системы уравнений и ее разрешение. Анализ необходимых условий оптимальности.
курсовая работа [113,1 K], добавлен 13.09.2010Определение связи между выходом и входом для непрерывных систем. Вычисление передаточной функции и основы структурного метода дискретной системы. Расчет передаточной функции дискретной системы с обратной связью. Передаточные функции цифровых алгоритмов.
реферат [67,2 K], добавлен 19.08.2009Решение дифференциальных уравнений математической модели системы с гасителем и без гасителя. Статический расчет виброизоляции. Определение собственных частот системы, построение амплитудно-частотных характеристик и зависимости перемещений от времени.
контрольная работа [1,6 M], добавлен 22.12.2014Восстановление графов по заданным матрицам смежности вершин. Построение для каждого графа матрицы смежности ребер, инцидентности, достижимости, контрдостижимости. Поиск композиции графов. Определение локальных степеней вершин графа. Поиск базы графов.
лабораторная работа [85,5 K], добавлен 09.01.2009Понятие и матричное представление графов. Ориентированные и неориентированные графы. Опеределение матрицы смежности. Маршруты, цепи, циклы и их свойства. Метрические характеристики графа. Применение теории графов в различных областях науки и техники.
курсовая работа [423,7 K], добавлен 21.02.2009Математическое описание системы автоматического управления с помощью графов. Составление графа и его преобразование, избавление от дифференциалов. Оптимизации ориентированных и неориентированных графов, составления матриц смежности и инцидентности.
лабораторная работа [42,2 K], добавлен 11.03.2012Определение формулы исчисления высказываний, основные цели математической логики. Построение формул алгебры высказываний. Равносильность формул исчисления высказываний, конъюнктивная и дизъюнктивная нормальная форма. Постановка проблемы разрешимости.
контрольная работа [34,3 K], добавлен 12.08.2010Использование формулы Бернулли для нахождения вероятности происхождения события. Построение графика дискретной случайной величины. Математическое ожидание и свойства интегральной функции распределения. Функция распределения непрерывной случайной величины.
контрольная работа [87,2 K], добавлен 29.01.2014Ориентированные и неориентированные графы: общая характеристика, специальные вершины и ребра, полустепени вершин, матрицы смежности, инцидентности, достижимости, связности. Числовые характеристики каждого графа, обход в глубину и в ширину, базис циклов.
курсовая работа [225,5 K], добавлен 14.05.2012Геометрический, кинематический и силовой анализ механизма навески трактора Т150К. Использование плоской математической модели механизма. Расчет на устойчивость мобильного сельскохозяйственного агрегата. Определение координат характерных точек механизма.
курсовая работа [547,1 K], добавлен 22.12.2015Схема полного исследования бесконечно больших и малых функций и построение их графика. Арифметические теоремы о пределе функции. Применение формулы Тейлора, Маклорена, Коши, Лопиталя-Бернулли. Теорема о производной вектор-функции постоянной длины.
курс лекций [1,3 M], добавлен 14.12.2012
