Дифференциальные уравнения. Геометрическая интерпретация решения

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Дифференциальные уравнения. Геометрическая интерпретация решения

Уравнения, содержащие некоторую функцию, ее производные различных порядков и независимые переменные называются дифференциальными.

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если неизвестные функции являются функцией одного переменного.

(1)

Решением уравнения (1) называется функция которая определена на некотором интервале . Соотношение (1) можно рассматривать как функцию, определяющую неявную производную n-ного порядка:

(2)

Если , то мы получаем

(3)

Решением уравнения (3) является . Можно изобразить на плоскости с координатными осями в виде некоторого семейства кривых.

Пусть функция определена и непрерывна в некоторой области G. Тогда на плоскости решению будет соответствовать непрерывная кривая, которая называется интегральной кривой .

В каждой точке области G задает некоторое направление. Функция определяет поле направлений. В этом случае задача решения уравнения (3) можно интерпретировать следующим образом:

Требуется найти все кривые, касательные к которым совпадают с направлением поля.

Функция будет являться общим решением уравнения (3).

2. Нормальная система дифференциальных уравнений

Предположим, что уравнение (1) можно разрешить относительно старшей производной

(4)

Уравнение (4) называется каноническим дифференциальным уравнением. Введем новые переменные:

Тогда получим:

(5)

Это система дифференциальных уравнений в форме Коши. Ее можно записать в векторной форме:

Тогда систему дифференциальных уравнений (5) можно записать следующим образом:

(6)

Если F(x) не зависит от времени, то уравнение (6) можно записать в виде:

(7)

И такие уравнения называются автономными или стационарными.

3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами называются выражения вида:

(1)

Где x(t) - искомая функция времени t, определенная на интервале [0,]; - постоянные коэффициенты; f(t) - правая часть дифференциального уравнения, известная функция времени t, которая определена на интервале времени [0, ]; - конечное время интегрирования дифференциального уравнение (1), на котором определено решение исходного дифференциального уравнения.

Предположим, что :

(2)

Введем обозначения:

(3)

Тогда решение линейного неоднородного дифференциального уравнения можно представить следующим образом:

(4)

Где - общее решение однородного дифференциального уравнения (2), которое зависит от постоянных интегрирования .

- частное решение неоднородного дифференциального уравнения

Решением однородного дифференциального уравнения будет:

(5)

А решением неоднородного уравнения будет:

(6)

Рассмотрим линейное уравнение второго порядка:

(7)

И пусть теперь и - корни уравнения (7). Тогда решение дифференциального уравнения в случае, если корни действительны или различны, будет иметь вид:

(8)

Если корни действительны и кратны, то решение будет иметь вид:

(9)

Если корни комплексно-сопряженные, то

(10)

 - действительная часть корня, - мнимая часть корня.

Если для дифференциального уравнения вида:

(11)

Заданы начальные условия

,

И будем считать, что известно общее решение этого уравнения:

То для того, чтоб определить и , нужно решить следующую систему алгебраических уравнений.

Если найденные значения и поставить в общее решение, то это будет частное решение.

Алгоритм решения обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений.

Шаг 1. Составляется характеристическое уравнение, которое соответствует заданному дифференциальному уравнению.

Шаг 2. Находятся корни характеристического уравнения.

Шаг 3. Выписывается фундаментальная система решений.

Шаг 4. Записывается общее решение линейного однородного дифференциального уравнения.

Шаг 5. Используя заданные начальные условия, находятся постоянные интегрирования.

Шаг 6. Записываем частное решение исходного дифференциального однородного уравнения.

Алгоритм решения обыкновенных линейных неоднородных дифференциальных уравнений.

Шаг 1. Составляется характеристическое уравнение, которое соответствует заданному дифференциальному уравнению.

Шаг 2. Находятся корни характеристического уравнения.

Шаг 3. Выписывается фундаментальная система решений, для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

Шаг 4. Записывается общее решение линейного однородного дифференциального уравнения.

Шаг 5. Находится частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения.

Шаг 6. Выписывается общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения.

Шаг 7. Находим постоянные интегрирования.

Шаг 8. Выписывается частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения.

4. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Линейная однородная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

В векторной форме:

dY/dx = AY,

где

Характеристическое уравнение

или

Нахождение общего решения системы по методу Эйлера

1. Если - простой корень характеристического уравнения, то ему соответствует решение

числа находятся из системы



2. Если - корень кратности m характеристического уравнения, то ему соответствует решение вида

где P1(x), P2(x), ..., Pn(x) - многочлены степени не выше m-1, имеющие в совокупности m произвольных постоянных.

Коэффициенты многочленов можно определить, подставив выражения для y1, y2, ..., yn в исходную систему.

Найдя решения, соответствующие каждому корню характеристического уравнения, общее решение системы получим как линейную комбинацию этих решений.

Например, если все корни характеристического уравнения простые, а решениями, соответствующими этим корням , будут:

то общее решение этой системы имеет вид:

Линейная неоднородная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Где

Общее решение неоднородной системы есть сумма общего решения однородной системы и некоторого частного решения неоднородной системы.

Для нахождения общего решения неоднородной системы можно применить метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.

5. Комплексные числа, их геометрическая интерпретация

Комплексным числом называется выражение вида

(1)

Где z - комплексное число, a - действительное число, b - мнимое число. Символ j - корень из . Для это символа выполняются следующие равенства:

называются равными, если равны их действительные и мнимые части.

называется сопряженной числу z, если

.

Модуль и аргумент комплексных чисел

Расстояние от 0 до M - это модуль комплексного числа r.

Изменяется от 0 до .

Если , то и аргумент комплексного числа не определен.

6. Возведение в степень и извлечение корня

Каков показатель корня, таково и значение комплексного числа.

8. Производная функции комплексного переменного

Пусть непрерывна в области z.

В плоскости z рассмотрим две точки, и , каждая точка принадлежит области z.

Составляется отношение:

Производная по z:

(1)

Для существования производной требуется, чтобы предел (1) существовал и зависел от способа стремления .

Функция f(z) называется аналитической функцией в области z, если в каждой точке этой области имеет производные и она не прерывна. Это определение аналогично определению предела действительной переменной и поэтому все свойства сохраняются.

9. Условия Коши-Римана

Дает условие существования производной в точке .

Для того, чтобы функция , определенная в некоторой окрестности точки , имела производную в этой точке, необходимо и достаточно, чтобы:

Функции и были дифференцируемы в точке по x и y.

В точке выполнялись условия Коши - Римана:

Функция f(z) задана в тригонометрической форме. Это равносильно тому, что заданы две действительные функции и . Тогда условие Коши - Римана формулируется следующим образом:



Для существования производной в точке необходимо и достаточно, чтобы:

Функции и были дифференцируемы по и .

В точке выполнялись условия Коши-Римана в следующем виде:

10. Геометрический смысл аргумента и модуля производной

Функция f(z) аналитична в точке G. Ее производная не равна нулю. Далее считаем, что опытом кривой на плоскости z будет кривая в плоскости w.

Пусть точки и плоскости z соответствует значению координат и , а точкам и в плоскости w соответствуют координаты и . Тогда значения

,

следовательно

Тогда и , . и займут положение касательных и предел

(1)

Определяется по (1).

Из уравнения (1) следует, что аргумент производной функции в точке представляет собой угол поворота касательной к кривой в точке при отображении этой кривой на плоскости w с помощью . В этом геометрический смысл производной

Если рассматривать кривую , проходящую через точку M, то запишем равенство

И, принимая во внимание равенство (1), получим

(2)

Таким образом, если на плоскости z выбрать две кривые и и отобразить их на плоскости w, то получим кривые и . При отображении с помощью аналитической функции f(z) углы между кривыми сохраняются при условии, что .

Геометрический смысл модуля производной.

Рассмотрим модуль отношения . По свойству имеем отношение длин секущих:

Устремим . В результате получаем:

(3)

Из выражения (3) видно, что модуль производной характеризует растяжение или сжатие бесконечно малых векторов, начало которых в точке , если есть отображение . Это растяжение или сжатие не зависит от напряжения бесконечно малых векторов. Из геометрических свойств модуля и производной следует, что отображение с помощью аналитических функций в окрестности данной точки будет подобным.

11. Понятие об интеграле функции комплексного переменного

Будет считать, что задана функция непрерывна в точке G плоскости z, и задана кривая AB, принадлежащая плоскости G.



Разобьем кривую AB на n частей и составим уравнение:

- произвольная точка на интервале комплексного переменного z.

Обозначим

и вычислим предел (1). Назовем его интегралом. Если этот предел существует и не зависит от способа разбиение кривой AB на части и от выбора точки и , то он называется интегралом от функции f(z) вдоль кривой AB. Если AB кусочно гладкая (на кривой может быть четное число изломов), а функция f(z) кусочно непрерывная и ограниченная, то этот интеграл также существует.

(2)

Формула (2) позволяет вычислить интеграл (1) через криволинейный интегралы. Кроме того, из (2) следует, что интеграл функции комплексного переменного обладает интегральной теоремой Коши.

12. Интегральная теорема Коши

Пусть область G - односвязная в области z, - замкнутая кривая, которая лежит в этой области. Тогда справедлива теорема Коши. Пусть f(z) аналитична в области z, тогда интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю:

(1)

Пусть задана область G и 2 кривые и . Эти кривые лежат в плоскости G и имеют общие концы A и B, тогда для любой аналитической функции f(z) справедливо:

А это значит, что если f(z) аналитична в некоторой области G, то интеграл по кривой соединяет точки A и B и зависит от расположения точек.

Распространим теорему Коши на многосвязную область. Пусть G - многосвязная область, а - кривая в этой области. Пусть , которые лежат внутри контура . Все контуры принадлежат G.

Область ограничена снаружи контуром , а изнутри контуром , которые лежат в области G. Совокупность векторов называется составным выпрямляющим контуром Г. Зададим на контуре Г направление от входа, он будет считаться положительным, если обходить область по часовой. Положительным направлением будет считаться то, если область остается слева. Пусть функция f(z) многосвязная в области G аналитична. Тогда интеграл по любому составному контуру G равен нулю.

13. Формула Коши. Теорема о среднем

Пусть задана f(z), которая аналитична в области G, и задан составной контур , который ограничивают некоторую область .

Тогда для любой внутренней точки справедлива формула:

(1)

Из этой формулы следует, что, зная значение аналитической функции на контуре , можно вычислить значение функции в любой точке , ограниченной этим контуром. Если задать контур в виде окружности с радиусом r в центре точки z, то справедливо равенство:



и формула (1) принимает вид:

(2)

Формула (2) называется формулой среднего значения. Из нее следует, что задание аналитической функции f(z) в центре круга равно среднему арифметическому ее значений на окружности.

14. Ряды Тейлора и Лорана

Задана f(z) - аналитическая функция в области G, задан замкнутый контур в . И пусть точка , а точка z является некоторой точкой области . Возьмем произвольную точку а, которая находится в плоскости , тогда формула ряда Тейлора для функции f(z) определяется равенством:

(1)

Теорема: функция f(z) представлена своим рядом Тейлора в любом круге

с центром в точке а, на котором она аналитична. Во всякой замкнутой области ряд Тейлора сходится равномерно.

Разложение функции f(z) в ряд Тейлора (1) справедливо для аналитический функций радиуса r. Но иногда приходится рассматривать и другие функции. Например, когда f(z) является аналитической всюду, кроме точки z=a, а областью аналитичности может служить кольцо

.

Пусть теперь функция f(z) аналитична в этом кольце.

Представим функцию в виде ряда (2), где коэффициенты вычисляются по формуле (3):

(2)

(3)

В формуле (3) - эта любая окружность с центром в точке а и радиусом , удовлетворяют .

Справедлива следующая теорема:

Пусть f(z) аналитична в кольце, когда он разлагается в ряд Лорана, при этом разложение единственное. Коэффициенты вычисляются по формуле, где - окружность, для которой справедливо это равенство, а радиус окружности удовлетворяет . Полученный ряд сходится равномерно.

15. Особые точки. Классификации особых точек

Точка называется особой точкой f(z), если в области

функция f(z) является аналитической, а в точке аналитичность нарушается. В основу классификации изолированных особых точек лежит либо вид разложения функции f(z) в ряд Лорана, либо поведение функции f(z) в окрестности этой особой точки. Дадим классификацию особых точек в зависимости от поведения функции в ее окрестности.

Изолированная особая точка называется устранимой особой точкой, если существует конечный предел:

Назовем изолированную особую точку полюсом, если , то есть модуль функции f(z) при .

Изолированная особая точка называется существенно особой точкой, если не существует .

Из определения особой точки типа полюс в точке следует, что если функция f(z) имеет полюс в точке , то функция



в точке равна нулю. И эта функция аналитична в точке , а это означает что .

Справедливо и обратное, если точка является нулем функции g(z), то функция

имеет в этой точке полюс. Будем называть порядком полюса порядок нуля в точке функции

.

Для того, чтобы точка была полюсом порядка k, разложение функции f(z) в точке имела вид:

Или ту же самую функцию f(z) в точке можно представить следующим образом:

Где функция аналитична в точке и не равна нулю в этой точке.

16. Понятие о вычете. Общая формула определения вычета относительно полюса

Вычетом функции f(z) в точке z=a при называется число, которая вычисляется по формуле

.

Где - достаточно малая окружность радиуса , и такая, что в ней нет других особых точек. В этом случае величина вычета не зависит от величины радиусы . Вычет f(z) в точке z=a обозначается

.

Из формулы

Следует, что вычет в точка z=a определяется по формуле:

(1)

То есть вычет функции f(z) в точке z=a равен коэффициенту . Это коэффициент при разложении ряда Лорана. Если особая точка устранена, то f(z) вычет равен нулю. Это определение вычета справедливо для конечных особых точек, когда .

С помощью вычетов можно существенно упростить вычисление интегралов от функции комплексного переменного. Вычисление интегралов можно свести к вычислению вычетов подынтегральной функции в особых точек. Пусть - спрямляемый контур и G - область, ограниченная этим контуром. Пусть функция f(z) аналитична в области G за исключением конечного числа точек . Тогда область G и контур внутри этой области - изолированные точки. Вокруг каждой из этих точек выделяем окружности.

Тогда справедлива формула:

(2)

Пусть функция f(z) имеет в точке z=a полюс порядка k, тогда ее разложение в ряд Лорана имеет вид:

Полюс же в этой точке будет вычисляться по этой формуле:

(3)

Если порядок полюса равен 1, то вычет вычисляется по формуле

(4)

Если при этом f(z) представляет собой отношение P(z) и Q(z), которые аналитичны в точке z=a, то есть

Тогда

(5)

17. Интеграл Лапласа. Аналитичность изображения

Функция непрерывная для всех значений . Непрерывность может быть нарушена лишь в отдельных точках, которые являются точками разрыва непрерывности первого рода, причем число всех точек должно быть конечным на любом интервале ограниченной длины.

Функция равна нулю для всех значений переменного t, которое удовлетворяет неравенству .

Функция имеет ограниченный порядок возрастания, то есть можно указать такие постоянные числа и , при которых выполняется неравенство

,

для всех .

(1)

(2)

(3)

Функция , определяемая равенством (1) называется изображением по Лапласу оригинала f(t). Этот несобственный интеграл определяется как предел. Все функции и процессы в системах удовлетворяют равенству (3). С помощью уравнения (1) устанавливается соответствие между f(t) и ее изображением F(s). Символ преобразования будем записывать в виде (3). Интеграл Лапласа будет сходящимся, если существует предел правой части равенства (2). Установим, какие функции можно преобразовать по Лапласу. Ответ дает следующая теорема:

Если f(t) является оригиналом, то эта функция преобразуема по Лапласу, а ее изображение F(s) определено в полуплоскости , где - показатель роста функции f(t).

Доказательство.

Предположим, что интеграл правой части (1) выполняется в полуплоскости . Если теперь учесть условие (3) существования оригинала, то можно получить следующую оценку:

Но справедливо такое равенство:



и поэтому справедливо соотношение:

(4)

Так как , то при интеграл Лапласа сходится. И, следовательно, f(t), которая является оригиналом преобразования по Лапласу, то ее изображение F(s) определяется в той же части полуплоскости.

Из доказательства следует, что существует интеграл

,

то есть при соблюдении условия, что действительная часть больше , интеграл Лапласа не только сходится, но и расходится абсолютно.

18. Формула обращения

Формула обращения:

Формула обращения устанавливает связь между изображением и оригиналом.

Теория.

Оригинал f(t) в точках непрерывности определяется равенством:

(1)

F(s) - изображение по Лапласу оригинала f(t), а интеграл в правой части этого равенства понимается в смысле главного значения, то есть:

И берется вдоль прямой, параллельной оси и расположенной в полуплоскости .

Доказательство

Теорема будет доказана, если удастся установить:



При сходится равномерно. Поэтому можно заменить порядок интегрирования:

Теперь вычисляем:

Введем новую переменную и обозначим ее значение:

Тогда

А теперь рассмотрим каждый из интегралов:

Устремим и обозначим

.

(3)

Функция f(t) - оригинал, ограничена. Все интегралы правой части последнего равенства являются сходящимися. Значит, что интервал будет меньше малого положительного числа . Значения t характеризуют собой точки функции f(t), то есть при фиксированном значении выполняется

,

поэтому модуль интервала стремится к нулю.

Окончательно получаем:

Теорема доказана.

Формула (1) называется формулой обращения. С ее помощью устанавливается связь между F(s) и соответствующего ему оригинала f(t). Процесс получения оригинала по заданному изображению представляет собой обратное преобразование Лапласа:

,

при (4)

Это обстоятельство показывает, что f(t) = оригинал.

Следует отметить, что формула (1) определяет оригинал только в точках его непрерывности. Как и доказательство (3) в точках разрыва функции f(t) справедливо равенство функции:

(5)

Оригиналам всегда соответствует единственное изображение, которое определяется по формуле (1).

19. Свойства преобразования Лапласа

Свойство линейности.

Если являются оригиналами и их изображения . И если - величины, которые не зависят от t и s, то справедливы следующие равенства:

(1)

(2)

Доказательство

По формуле преобразования Лапласа

Теперь находим

Так как интеграл суммы равен сумме интегралов, а множитель не зависит от переменной интегрирования t, то можно записать:



Аналогично показываем справедливость формулы (2):

Теперь берем обратное преобразование Лапласа и по аналогии:

Теорема доказана.

2) Дифференцирование в области оригиналов.

Если f(t) является оригиналом и ее производная также является оригиналом, и ее изображение по Лапласу F(s), то справедливо равенство:

(3)

Плюс означает, что значение функции - это значение ее предела при справа, то есть

Доказательство

Воспользуемся равенствами:

Найдем изображение по Лапласу:

Так как f(t) - оригинал, то для всех справедливо

или

,

тогда это справедливо для всех случаем, когда

.

Справедливо следующее соотношение

Учтем равенства:

И получим формулу (3).

Если начальное значение функции , то формула (3) принимает вид:

Для второй производной:

Для третьей производной:

И для n - ой производной:

(4)

3) Интегрирование оригинала.

Если f(t) является оригиналом, ее изображение F(s), то

также является оригиналом, а ее изображение по Лапласу:

(5)

Где - постоянная интегрирования.

Доказательство

Прежде всего покажем, что интеграл

является оригиналом. Условия (1) и (2) существования оригинала очевидны, так как они выполняются для функции f(t). А теперь проверил выполнение условия (3). Оценим абсолютную величину заданного интеграла:

Следовательно, условие (3) также выполняется. Убедимся теперь в справедливости (5):



Интегрируя последнее равенство по частям, получим:

Модуль выражения

для всех меньше или равен

,

где

,

то предел первого слагаемого равен нулю.

(6)

И на основании свойств линейности получим формулу (5).

Теорема доказана.

4) Смещение в области оригинала.

Если f(t) - оригинал и F(s) - его изображение, то изображение смещенного оригинала

где a - положительное число, определяемое равенством:

(7)

Доказательство

При доказательстве используется:

Введем новую переменную

.

Тогда будем иметь:

Умножим это равенство слева и справа на . Будем считать, что a не зависит от t. Тогда получим:

Вносим под знак интеграла и получаем:

Теорема доказана.

5) Смещение в области изображений.

Если f(t) - оригинал и F(s) - его изображение, а - любое число, включая и комплексное, то справедливо:

(8)

Доказательство

Воспользуемся формулой прямого преобразования Лапласа:

И найдем:

Теорема доказана.

20. Свертка функций

Пусть заданы две функции и , определенные на всей действительной оси. Время t меняется от до .

(1)

Введем новую функцию, которую назовем сверткой двух функций и .

(2)

Считается это следующим образом:

- свернутая с функцией . Для получения свертки и следует заменить переменную t на , затем в функции аргумент заменить на , то есть образовать , перемножить две функции, а затем взять интеграл.

Основные свойства свертки функций:

Свертывание двух функций обладает свойством коммутативности:

(3)

Докажем, что

Обозначим и запишем:

Свойство коммутативности свертки аналогично свойству коммутативности двух чисел.

Свойство ассоциативности.

Если заданы , то справедливо следующее соотношение:

(4)

Введем обозначения:

и

Свойство (4) будет доказано, если будет установлено следующее равенство:

(5)

Подставим

в функцию :



Вводим

и получаем:

Меняем порядок интегрирования и получаем:

Так как значение интеграла не зависит от наименования переменной интегрирования, то правая часть совпадает с правой частью равенства (5).

3) Свойство дистрибутивности.

Заданы 3 функции и , для них справедливо следующее равенство:

(6)

Имеем

Следовательно, формула (6) справедлива. Если и при , то , когда . И , когда .

Следовательно,

,

когда .Тогда свертка функций выглядит так:

(7)

21. Определение оригинала по изображению

(1)

Обратное преобразование Лапласа определяется по формуле (1). Установим однозначное соответствие между изображением и оригиналом в точках непрерывности f(t).

Пусть F(s) является изображением, и пусть, когда , имеет конечное число полюсов. F(s) удовлетворяет условиям леммы Жордана.

Лемма Жордана.

При F(s), стремящейся на дуге к нулю при равномерно относительно arg s при любом положительном значении t, имеем:

(2)

Где - часть окружности с радиусом R, находится в полуплоскости .

А теперь, применяя теорему о вычете, получаем:

(3)

Так как изображение F(s) является оригиналом, где , то все полюсы находятся на прямой, параллельной мнимой оси и проходящее через точку .

При следует положить, что f(t) тождественно равна нулю. Следовательно, при согласно лемме Жордана справедливо:

(4)

дифференциальный уравнение эйлер геометрический



При этом - часть окружности C с радиусом R, который находится в полуплоскости . Следовательно, при справедливо:

Так как изображение F(s) - аналитическая функция, для которой сумма вычетов равна нулю.

22. Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью преобразования Лапласа

Имеется линейное дифференциальное уравнение:

(1)

Заданы начальные условия:

Алгоритм нахождения обыкновенных линейных неоднородных дифференциальных уравнений.

Алгоритм решения дифференциальных уравнений второго порядка.

(2)

23. Прямое и обратное преобразование Фурье

Совокупность операций, которые позволяют по f(t) найти соответствующую ей спектральную характеристику называется преобразованием Фурье.

Преобразование Фурье задается формулой:

(1)

Символически преобразование Фурье будет обозначаться следующим образом:

(2)

Интеграл правой части уравнения (1) понимается как главное значение:

Равенство (1) устанавливает связь между функцией f(t), аргументом которой является действительное число t и комплексная функция , в качестве аргумента которой играет частота .

Пример

Найти спектральную характеристику

.

При этом и это действительное число.

Решение

Заданная функция на всей оси времени t кусочно - непрерывна и абсолютно непрерывна, поэтому она преобразуема по Фурье.

Покажем, что интеграл (1) абсолютно и равномерно по отношению к параметру сходится. Для этого надо оценить интеграл по модулю:

Размещено на Allbest.ru

...