Особенности применения типовых методов синтеза оптимальных управлений в задачах векторной оптимизации объектов
Рассмотрение задач векторной оптимизации при векторном критерии и при обобщенном функционале, соответствующем векторному критерию. Решение задач векторной оптимизации статики нелинейных объектов. Применение типовых методов синтеза оптимальных управлений.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 23.07.2015 |
| Размер файла | 45,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ТИПОВЫХ МЕТОДОВ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ВЕКТОРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ОБЪЕКТОВ
Задачи векторной оптимизации объектов решают типовыми методами, рассмотренными в предыдущих параграфах, если возможно ранжирование частных критериев. В тех случаях, когда частные критерии строго ранжированы по значимости, имеет место лексико-графическая задача, которую решают типовыми методами синтеза оптимальных управлений, применяя последовательно частные критерии. В тех случаях, когда нельзя четко указать степень важности каждого частного критерия, их располагают и нумеруют в порядке относительной значимости. Такие задачи решают также типовыми методами синтеза оптимальных управлений, используя метод последовательных уступок.
Если удается каким-либо способом свести все частные критерии в один обобщенный функционал скалярного критерия, то задачи синтеза оптимальных управлений решают в один этап обычными методами без каких-либо существенных особенностей.
Один из методов преобразования векторных критериев к обобщенному функционалу основан на введении понятия нормы в евклидово пространство векторного критерия и определении в нем «идеальной» точки. При этом получается Парето - оптимальное управление, обеспечивающее максимальную близость частных критериев качества к своим наилучшим значениям. В данном случае не требуется выбирать весовые коэффициенты обобщенных функционалов [см. (1.19)], что особенно затруднительно при решении задач оптимизации больших систем.
Векторная оптимизация статики объектов. Рассмотрим задачи векторной оптимизации статики двух типов: при векторном критерии и при обобщенном функционале, соответствующем векторному критерию.
Для линейных объектов с линейными частными критериями в виде линейных форм типа (1.32) решение может быть выполнено, например, модифицированным симплекс-методом при последовательном применении частных критериев.
Задачи линейного программирования могут быть решены методом «идеальной» точки по обобщенному функционалу типа евклидовой нормы в следующей постановке.
Заданы уравнения математической модели статики объекта типа (1.29) или (3.15), а также частные критерии в виде линейных форм типа (1.32). Требуется определить управления , которые обеспечивают по возможности наибольшее (или наименьшее) значение всех частных критериев одновременно.
Сначала решим l задач по каждому частному критерию обычным методом, в результате чего найдем векторы управлений и соответствующие им значения частных критериев . Эти результаты используем для составления обобщенного функционала в виде квадрата евклидовой нормы:
если переменные уравнений объекта и функционалы приведены к безразмерной форме
; (3.213a)
если переменные уравнений объекта и функционалы не приведены к безразмерной форме
; (3.213б)
Таким образом, задача векторной оптимизации сведена к задаче минимизации обобщенного функционала (3.213а) или (3.213б) с учетом функциональных ограничений в виде уравнений статики объекта:
(3.214)
Так как функционал R (U) является квадратичным, задача (3.214) представляет собой задачу нелинейного программирования, которую можно решить соответствующими методами нелинейного программирования (см. § 3.2). Решение дает вектор оптимальных управлений U0, обеспечивающий минимальное отклонение частных критериев от их значений, полученных при раздельном решении задач оптимизации по каждому частному критерию.
Аналогично можно решать задачи векторной оптимизации статики нелинейных объектов.
Векторная оптимизация динамики объектов. Задачи векторной оптимизации динамики объектов бывают также двух типов: при векторном критерии и обобщенном функционале, соответствующем векторному критерию.
Пусть сформулирована задача векторной оптимизации.
Задан объект, описываемый уравнениями состояния
(3.215)
при заданных фиксированных начальных значениях и нефиксированных конечных значениях вектора ; вектор-функция состоит из п непрерывных и непрерывно дифференцируемых по Х и u функций ; частные критерии представлены функционалами вида
(3.216)
где функции непрерывны и дважды непрерывно дифференцируемы по Х и u.
Необходимо определить оптимальное управление и°(t) из условия минимума функционалов (3.216) частных критериев.
1. Данная задача является лексико-графической, если частные критерии строго ранжированы, и может быть записана как совокупность последовательных задач оптимизации по частным критериям:
(3.217)
где - экстремальные значения частных критериев, определенные на предыдущих этапах.
При решении задач (3.217) по принципу максимума введем дополнительные координаты , определяемые дифференциальными уравнениями и начальными значениями:
(3.218)
Частные критерии заменим значениями дополнительных переменных в конечный момент времени т. е. оптимизацию проведем последовательно по частным критериям .
Задача синтеза оптимального управления по первому частному критерию на основании (3.217) формируется как задача Майера следующим образом:
(3.219)
Необходимое условие оптимальности по первому частному критерию в задаче (3.219) в соответствии с принципом максимума имеет вид [11]
(3.220)
где
Вспомогательные функции определяются уравнениями
(З.221)
при граничных значениях
Вспомогательные функции находят из системы канонических уравнений (3.215) и (3.221) с учетом значений и .
2. Если частные критерии (3.216) упорядочены по относительной значимости, то задача векторной оптимизации решается методом уступок и может быть сформулирована следующим образом:
векторный оптимизация синтез задача
(3.228)
Решение задачи (3.228) дает оптимальное управление , которое обеспечивает значения частных критериев, отличающихся от максимальных на величины соответствующих уступок , кроме последнего.
При решении задач векторной оптимизации методом уступок используют типовые методы синтеза оптимальных управлений.
Задачи векторной оптимизации динамики объектов методом определения «идеальной» точки в векторном пространстве частных критериев качества решают следующим способом: сначала решают частные задачи оптимизации раздельно по каждому частному критерию и определяют вектор управления u*(t); затем составляют обобщенный функционал R(u) типа (3.213а) или (3.213б), после чего решают полученную задачу оптимизации типовыми методами минимизации R(и) с учетом уравнений объекта (3.215) и ограничений .
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Оптимизация как раздел математики, ее определение, сущность, цели, формулировка и особенности постановки задач. Общая характеристика различных методов математической оптимизации функции. Листинг программ основных методов решения задач оптимизации функции.
курсовая работа [414,1 K], добавлен 20.01.2010Формирование функции Лагранжа, условия Куна и Таккера. Численные методы оптимизации и блок-схемы. Применение методов штрафных функций, внешней точки, покоординатного спуска, сопряженных градиентов для сведения задач условной оптимизации к безусловной.
курсовая работа [1,8 M], добавлен 27.11.2012Основные понятия оптимизационных задач. Нахождение наибольших или наименьших значений многомерных функций в заданной области. Итерационные процессы с учетом градиента. Функционал для градиентного равенства и применение его в задачах условной оптимизации.
реферат [81,5 K], добавлен 15.08.2009Рассмотрение эффективности применения методов штрафов, безусловной оптимизации, сопряженных направлений и наискорейшего градиентного спуска для решения задачи поиска экстремума (максимума) функции нескольких переменных при наличии ограничения равенства.
контрольная работа [1,4 M], добавлен 16.08.2010Применение функции Лагранжа в выпуклом и линейном программировании. Простейшая задача Больца и классического вариационного исчисления. Использование уравнения Эйлера-Лагранжа для решения изопериметрической задачи. Краевые условия для нахождения констант.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 16.01.2013Математическое программирование - область математики, в которой изучаются методы решения задач условной оптимизации. Основные понятия и определения в задачах оптимизации. Динамическое программирование – математический метод поиска оптимального управления.
презентация [112,6 K], добавлен 23.06.2013Проектирование методов математического моделирования и оптимизации проектных решений. Использование кусочной интерполяции при решении задач строительства автомобильных дорог. Методы линейного программирования. Решение специальных транспортных задач.
методичка [690,6 K], добавлен 26.01.2015Математическая задача оптимизации. Минимум функции одной и многих переменных. Унимодальные и выпуклые функции. Прямые методы безусловной оптимизации и минимизации, их практическое применение. Методы деления отрезка пополам (дихотомия) и золотого сечения.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 26.08.2009Изучение свойств геометрических объектов при помощи алгебраических методов. Основные операции над векторами. Умножение вектора на отрицательное число. Скалярное произведение векторов. Нахождение угла между векторами. Нахождение координат вектора.
контрольная работа [56,3 K], добавлен 03.12.2014Изучение методов одномерной оптимизации и сравнение эффективности их применения для конкретных целевых функций. Нахождение минимума функции 1/|x-3|3 методами перебора, поразрядного поиска, дихотомии, золотого сечения, средней точки, хорд и Ньютона.
курсовая работа [761,8 K], добавлен 25.12.2015Поиск оптимальных значений некоторых параметров в процессе решения задачи оптимизации. Сравнение двух альтернативных решений с помощью целевой функции. Теорема Вейерштрасса. Численные методы поиска экстремальных значений функций. Погрешность решения.
презентация [80,6 K], добавлен 18.04.2013Применение математических и вычислительных методов в планировании перевозок. Понятие и виды транспортных задач, способы их решения. Особенности постановки задачи по критерию времени. Решение транспортной задачи в Excel, настройка параметров решателя.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 12.01.2011Предназначена библиотеки "simplex" для оптимизации линейных систем с использованием симплексного алгоритма. Построение экономико-математической модели формирования плана производства. Основные виды транспортных задач, пример и способы ее решения.
курсовая работа [477,9 K], добавлен 12.01.2011Изучение нестандартных методов решения задач по математике, имеющих широкое распространение. Анализ метода функциональной, тригонометрической подстановки, методов, основанных на применении численных неравенств. Решение симметрических систем уравнений.
курсовая работа [638,6 K], добавлен 14.02.2010Решение задачи об оптимальном направлении капиталовложений в строительную отрасль и оптимизации поставки грузов. Применение симплекс-метода для оптимальной организации ремонтно-строительных работ. Изучение методов динамического программирования.
контрольная работа [2,2 M], добавлен 08.01.2011Механизмы реализации эвристических алгоритмов муравьиной колонии. Основная идея - использование механизма положительной обратной связи, помогающего найти наилучшее приближенное решение в сложных задачах оптимизации. Области применения алгоритма муравья.
реферат [361,6 K], добавлен 07.05.2009Что такое абсолютные и относительные величины. Применение абсолютной и относительной величины в статистике. Прикладные варианты использования методов математической статистики в различных случаях решения задач. Опыт построения статистических таблиц.
контрольная работа [39,6 K], добавлен 12.12.2009Разработка простого метода для решения сложных задач вычислительной и прикладной математики. Построение гибкого сеточного аппарата для решения практических задач. Квазирешетки в прикладных задачах течения жидкости, а также применение полиномов Бернштейна.
дипломная работа [1,9 M], добавлен 25.06.2011Численные методы поиска безусловного экстремума. Задачи безусловной минимизации. Расчет минимума функции методом покоординатного спуска. Решение задач линейного программирования графическим и симплексным методом. Работа с программой MathCAD.
курсовая работа [517,9 K], добавлен 30.04.2011Понятие о многокритериальной оптимизации. Линейное и математическое программирование, дающие численные решения многомерных задач с ограничениями. Решение задачи на ранжирование для определения оптимального объекта, исходя из определяющих его параметров.
реферат [254,5 K], добавлен 31.05.2014
