Оптимизация стационарных объектов по обобщенным скалярным критериям при детерминированных сигналах
Характеристика возможных задач оптимизации объекта по точности в зависимости от формы функционала обобщенного скалярного критерия оптимальности. Оптимальное управление объектом по произвольному закону. Методы классического вариационного исчисления.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 23.07.2015 |
| Размер файла | 26,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Лекция
ОПТИМИЗАЦИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ОБЪЕКТОВ ПО ОБОБЩЕННЫМ СКАЛЯРНЫМ КРИТЕРИЯМ ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛАХ
В зависимости от формы функционала обобщенного скалярного критерия оптимальности возможны различные задачи оптимизации объекта по точности.
Оптимальная стабилизация режимов объекта. Задача синтеза оптимального регулятора состояния формулируется следующим образом. Задан объект оптимизации, динамика которого определяется дифференциальными уравнениями состояния, и известны начальное и конечное значения векторов состояния:
(6.1)
задан также квадратичный функционал в скалярной или векторной форме:
(6.2)
, (6.3)
где Q - диагональная матрица весовых коэффициентов qii > 0, qij = 0 для i ? j; R - диагональная матрица весовых коэффициентов rl > 0. Требуется определить оптимальное управление u°(X), при котором функционал (6.3) имеет минимальную величину. Краевые условия в данном случае имеют вид
X (0) = Хо; X () = 0,
где Хо - произвольный заданный вектор.
Функционал (6.3) является обобщенным скалярным критерием, полученным в результате объединения обобщенной квадратичной интегральной оценки, используемой в теории автоматического управления для косвенной оценки качества переходных процессов, и критерия типа (1.8), характеризующего расход энергии при управлении.
Весовые коэффициенты qii > 0 и rl > 0 накладывают «штрафы» на величину и длительность отклонения координат в переходном процессе. Положительность этих коэффициентов обеспечивает положительную определенность подынтегральной функции, что исключает возможность больших и длительных отклонений координат состояния и управлений при оптимальном переходном процессе.
Для сложных многомерных объектов, кроме функционала (6.3) скалярного критерия, можно рассматривать также другие функционалы при векторных критериях.
Оптимальная стабилизация выхода объекта. Задача синтеза оптимального регулятора выхода формулируется следующим образом. Задан объект оптимизации, уравнения состояния которого имеют вид
= АX + Bu; Y = С X, (6.4)
и краевые условия: X (0) = Хо; Y (0) = Yo; X () = Y () = 0; задан также квадратичный функционал обобщенного скалярного критерия оптимальности
(6.5a)
Для одномерного объекта у(t) = х1(t) и и(t) - скалярные величины, поэтому Q = q1; R = r1 и вместо (6.5) можно записать обобщенный функционал типа (1.2)
(6.5 б)
Требуется определить оптимальное управление u0(X), при котором функционал (6.5а) имеет минимальную величину. Если подставить в (6.5а) вместо вектора выхода Y его выражение через вектор X из (6.4), то вместо (6.5а) получим
(6.6)
Для положительно полуопределенной матрицы CTQC функционал (6.6) при полностью наблюдаемом объекте подобен (6.3) и задача стабилизации выхода сводится к задаче стабилизации режима работы. При решении ее получим оптимальное управление u0(X), обеспечивающее малые отклонения координат векторов состояния X, выходных переменных Y. Если матрица CTQC такова, что в подынтегральное выражение функционала (6.6) входят не все координаты состояния xi [см., например, (6.5а) для одномерного объекта], то оптимальное управление u°(X) не исключает возможность больших отклонений некоторых координат состояния.
Для одномерного объекта оптимальное управление и°(X), обеспечивающее минимум функционала (6.5а), исключает возможность больших отклонений координаты выхода у(t) = x1(t).
Оптимальное управление объектом по произвольному закону. Задача оптимального слежения формулируется следующим образом. Задан объект оптимизации, уравнения состояния которого имеют вид уравнений (6.4), вектор выхода Yз(i), а также квадратичный функционал обобщенного скалярного критерия оптимальности
(6.7)
где вектор ошибки
Y(t)=Yз(t) - Y(t). (6.8)
Требуется определить оптимальное управление, обеспечивающее достаточно близкое совпадение вектора Y(t) с заданным Yз(t), при котором функционал (6.7) будет иметь минимальную величину.
Учитывая (6.4) и (6.8), функционал (6.7) запишем в виде
(6.9)
критерий скалярный оптимальность задача
Так как функционал (6.9) содержит вектор заданного процесса на выходе Yз(t), то текущее значение оптимального управления зависит от будущих значений заданного выхода. Реализация такого оптимального управления возможна только в том случае, если заранее известен заданный процесс Yз(t). Например, при Yз = const управление является релейным (см. § 6.4, пример 6.5).
Однако в некоторых случаях можно указать необходимые условия для вектора Yз(t), выполнение которых позволит свести задачу оптимального управления объектом (задачу слежения) к задаче стабилизации выхода). Рассмотрим эти условия для одномерного объекта, уравнение которого не имеет производных от u:
(6.10)
Для заданного выхода, определяемого сигналом на входе системы хвх(t), ошибка
(6.11)
Задача синтеза оптимального управления объектом иo(X) в этом случае формулируется следующим образом.
Требуется определить оптимальное управление иo(X) объектом, описываемым уравнением типа (6.10), из условия минимума обобщенного функционала типа (1.21):
(6.12)
Если функция хвх(t) дифференцируема п раз и удовлетворяет условию
(6.13)
то после дифференцирования (6.11) п раз с учетом (6.10) и (6.13) получим
(6.14)
Уравнение (6.14) можно использовать в качестве математической модели условного объекта оптимизации, выходом которого является ошибка (t), а входом функция u1(t) = -u(t).
Таким образом, задача оптимального управления одномерным объектом по заданному закону хвх(t), удовлетворяющему необходимому условию (6.13), состоит в оптимальном управлении выходом у(t). При этом закон управления uo(X) обеспечивает оптимальное управление объектом только при таких заданных сигналах на входе xвx(t), которые удовлетворяют уравнению (6.13).
Для аналитического решения задачи синтеза оптимальной по точности системы можно применить методы классического вариационного исчисления, динамического программирования, принцип максимума и др. (см. гл. 3).
В тех случаях, когда заданное значение выхода Yз= xвx = const, вместо функционала (6.12) можно использовать линейную интеграль-ную оценку для ошибки (6.11) и наложить ограничение на управление и Umax. Тогда задачу синтеза оптимального управления и0(t) можно сформулировать как задачу математического программирования см. §6.4).
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятия и термины вариационного исчисления. Понятие функционала, его первой вариации. Задачи, приводящие к экстремуму функционала, условия его минимума. Прямые методы вариационного исчисления. Практическое применение метода Ритца для решения задач.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 08.04.2015Особенности выполнения задачи минимизации функционала. Свойства билинейной формы. Формулирование обобщенного способа решения вариационной задачи для краевых задач с самосопряженным дифференциальным оператором (вследствие квадратичности функционала).
презентация [79,5 K], добавлен 30.10.2013Применение функции Лагранжа в выпуклом и линейном программировании. Простейшая задача Больца и классического вариационного исчисления. Использование уравнения Эйлера-Лагранжа для решения изопериметрической задачи. Краевые условия для нахождения констант.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 16.01.2013Оптимизация как раздел математики, ее определение, сущность, цели, формулировка и особенности постановки задач. Общая характеристика различных методов математической оптимизации функции. Листинг программ основных методов решения задач оптимизации функции.
курсовая работа [414,1 K], добавлен 20.01.2010Изучение прямых методов решения вариационных и краевых задач математического анализа. Основные идеи методов Ритца и Галеркина для нахождения приближенного обобщенного решения задачи минимизации функционала. Особенности, сходство и отличие данных методов.
презентация [187,9 K], добавлен 30.10.2013Понятие о многокритериальной оптимизации. Линейное и математическое программирование, дающие численные решения многомерных задач с ограничениями. Решение задачи на ранжирование для определения оптимального объекта, исходя из определяющих его параметров.
реферат [254,5 K], добавлен 31.05.2014Формирование функции Лагранжа, условия Куна и Таккера. Численные методы оптимизации и блок-схемы. Применение методов штрафных функций, внешней точки, покоординатного спуска, сопряженных градиентов для сведения задач условной оптимизации к безусловной.
курсовая работа [1,8 M], добавлен 27.11.2012Математическое программирование - область математики, в которой изучаются методы решения задач условной оптимизации. Основные понятия и определения в задачах оптимизации. Динамическое программирование – математический метод поиска оптимального управления.
презентация [112,6 K], добавлен 23.06.2013Общие свойства функций. Правила дифференциального исчисления. Неопределенный и определенный интегралы, методы их вычисления. Функции нескольких переменных, производные и дифференциалы. Классические методы оптимизации. Модель потребительского выбора.
методичка [2,0 M], добавлен 07.01.2011Рассмотрение эффективности применения методов штрафов, безусловной оптимизации, сопряженных направлений и наискорейшего градиентного спуска для решения задачи поиска экстремума (максимума) функции нескольких переменных при наличии ограничения равенства.
контрольная работа [1,4 M], добавлен 16.08.2010Математическая задача оптимизации. Минимум функции одной и многих переменных. Унимодальные и выпуклые функции. Прямые методы безусловной оптимизации и минимизации, их практическое применение. Методы деления отрезка пополам (дихотомия) и золотого сечения.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 26.08.2009Методы условной и безусловной нелинейной оптимизации. Исследование функции на безусловный экстремум. Численные методы минимизации функции. Минимизация со смешанными ограничениями. Седловые точки функции Лагранжа. Использование пакетов MS Excel и Matlab.
лабораторная работа [600,0 K], добавлен 06.07.2009Генеральная совокупность подлежащих изучению объектов или возможных результатов наблюдений, производимых в одинаковых условиях над одним объектом. Описание наблюдаемых значений случайной величины Х. Характеристика статистической функции распределения.
курсовая работа [216,5 K], добавлен 03.05.2011Принятие решения по многим критериям (многокритериальная оптимизация). Эффект несравнимости исходов. Отношение доминирования по Парето при сравнении векторных оценок. Нижние границы критериев. Учет неопределенных пассивных условий, выбор стратегии.
курсовая работа [71,6 K], добавлен 17.12.2009Управляемые линейные динамические объекты (ЛДО). Оптимальное управление ЛДО с фиксированным временем и терминальным критерием качества. Задача линейного предельного быстродействия. Линейная задача теории оптимального управления как проблема моментов.
учебное пособие [1,3 M], добавлен 05.07.2010Поиск оптимальных значений некоторых параметров в процессе решения задачи оптимизации. Сравнение двух альтернативных решений с помощью целевой функции. Теорема Вейерштрасса. Численные методы поиска экстремальных значений функций. Погрешность решения.
презентация [80,6 K], добавлен 18.04.2013Проектирование методов математического моделирования и оптимизации проектных решений. Использование кусочной интерполяции при решении задач строительства автомобильных дорог. Методы линейного программирования. Решение специальных транспортных задач.
методичка [690,6 K], добавлен 26.01.2015Синтез вариационного исчисления и метода функций Ляпунова в основе принципа динамического программирования. Метод знакопостоянных функций Ляпунова в решении задач о стабилизации и синтезе управления для нелинейной и автономной управляемых систем.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 17.06.2011Выполнение алгебраических преобразований, логическая культура и техника исследования. Основные типы задач с параметрами, нахождение количества решений в зависимости от значения параметра. Основные методы решения задач, методы построения графиков функций.
методичка [88,2 K], добавлен 19.04.2010Сущность и характеристика метода покоординатного спуска (метод Гаусса-Зейделя). Геометрическая интерпретация метода покоординатного спуска для целевой функции z=(x,y). Блок-схема и алгоритм для написания программы для оптимизации методом Хука-Дживса.
контрольная работа [878,3 K], добавлен 26.12.2012
