Про величини відхилень цілих та мероморфних функцій

Размещено на http://www.allbest.ru/

Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна

ПРО ВЕЛИЧИНИ ВІДХИЛЕНЬ ЦІЛИХ ТА МЕРОМОРФНИХ ФУНКЦІЙ

01.01.01 - математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Калужинова Людмила Василівна

УДК 517.56

Харків - 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Харківському національному університеті імені В. Н. Ка-разіна Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник:

доктор фiзико-математичних наук, професор Марченко Іван Іванович,

Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна, професор кафедри математичного аналізу.

Офiцiйнi опоненти:

доктор фізико-математичних наук, доцент

Васильків Ярослав Володимирович,

Львівський національний університет імені Івана Франка,

доцент кафедри математичного та функціонального аналізу;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Вишнякова Ганна Марківна,

Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна, доцент кафедри теорії функцій та функціонального аналізу.

Захист відбудеться “ 30 ” квітня 2010 р. о 15-30 на засіданні спеціалізованої вченої ради К 64.051.11 при Харківському національному університеті імені В. Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи 4, ауд. 6-52.

З дисертацією можна ознайомитися в Центральній науковій бібліотеці Харківського національного університету імені В. Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи 4.

Автореферат розісланий ” 16 ” березня 2010 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Скорик В. О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Основи сучасної теорії розподілу значень мероморфних функцій були закладені в 20-х роках минулого століття в працях фінського математика Рольфа Неванлінни. У 30-х роках минулого століття в роботах Л. Альфорса та Т. Сімідзу був розкритий геометричний зміст теорії розподілу значень. Вагомий внесок у розвиток неванліннівської теорії внесли як закордонні математики (Н. У. Аракелян, Г. А. Барсегян, В. Бергвайлер, А. Бернстейн, А. Вейцман, Х. Ву, М. М. Джрбашан, Д. Дрейсін, А. Едрей, М. Ессен, І. Лайне, В. Фукс, У. Хейман, М. Цудзі, Д. Шиа), так і представники двох українських шкіл: львівської (А. А. Гольдберг, Я. В. Васильків, О. Е. Єременко, М. В. Заболоцький, А. А. Кондратюк, А. З. Мохонько, О. Б. Скасків, П. В. Філевич, І. Е. Чижиков, М. Н. Шеремета) і харківської (Б. Я. Левін, Й. В. Островський, В. П. Петренко, Л. І. Ронкін, В. С. Азарін, А. П. Гришин, І. І. Марченко, О. Ю. Рашковський, М. Л. Содін, С. Ю. Фаворов, А. Є. Фринтов).

Новим напрямком теорії мероморфних функцій стала, створена В. П. Петренком, теорія зростання мероморфних функцій. У той час, як у неванліннівській теорії наближення мероморфної функції к значенню розглядається в інтегральній метриці , у теорії Петренко наближення мероморфної функції розглядається в рівномірній метриці. Останнім часом, після робіт В. Бергвайлера, Г. Бока, О. Єременка, поряд з величинами, які вивчаються в теорії Неванлінни й теорії Петренка, введені нові об'єкти, що дозволяють поширювати багато результатів, які відносяться до функцій скінченного порядку, на функції нескінченного порядку. У 70-х роках минулого століття А. Бернстейн запровадив *- функцію, за допомогою якої було розв'язано ряд задач комплексного аналізу, зокрема, теорії розподілу значень, які довгий час залишалися відкритими, що дало новий поштовх розвитку цієї теорії. У цей час дослідження в цій області інтенсивно ведуться як на Україні так і за кордоном.

Цілі та мероморфні функції застосовуються в багатьох розділах математики, зокрема, в аналітичній теорії диференціальних рівнянь, спектральній теорії операторів, теорії чисел, геометрії.

У зв'язку з цим, подальше вивчення властивостей цілих та мероморфних функцій вважається актуальним.

У дисертації досліджуються об'єкти неванліннівської теорії, теорії Петренка, а також величини відхилень , які запроваджені в роботах В. Бергвайлера, Г. Бока та О. Єременка, і величини , які запроваджені А. В. Критовим.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Напрямок досліджень, обраний у дисертації, передбачений планами наукової роботи Харківського національного університету імені В. Н. Каразіна в рамках держбюджетної теми ”Дослідження властивостей субгармонійних та аналітичних функцій, операторні функції, операторні методи” під державним реєстраційним номером № 0109U000546. Тема дисертації затверджена вченою радою механіко-математичного факультету.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є дослідження зростання мероморфних функцій, що передбачає розв'язання таких задач:

1) отримати точну оцінку суми величин відхилень за Єременком цілих функцій нижнього порядку , , від функцій раціональних.

2) отримати точну оцінку суми величин відхилень за Єременком мероморфних функцій нижнього порядку , , від поліномів, степінь яких не перевищує .

3) отримати оцінку для суми величин через валіронівський дефект .

4) отримати аналог леми про логарифмічну похідну для мероморфних в одиничному крузі функцій, для яких виконується умова

.

Об'єкт дослідження - цілі та мероморфні функції в нижнього порядку , , голоморфні та мероморфні функції в крузі скінченного нижнього порядку.

Предмет дослідження - величини відхилень за Єременком цілих функцій нижнього порядку , , від функцій раціональних і мероморфних функцій нижнього порядку , , від поліномів, степінь яких не перевищує ; величини відхилень за Критовим голоморфних та мероморфних в крузі функцій скінченного нижнього порядку від значень .

Методи дослідження. У дисертації використовуються методи теорії цілих, мероморфних та субгармонійних функцій, зокрема, метод -функції Бернстейна та його варіації.

Наукова новизна отриманих результатів. Усі результати дисертації є новими. У дисертації досліджені властивості величин відхилень за Єременком цілих функцій нижнього порядку , , від функцій раціональних та мероморфних функцій від поліномів степеня, не вище, ніж . Одержано точну оцінку суми величин відхилень за Єременком цілих функцій від функцій раціональних. Отримано оцінку суми величин відхилень за Єременком мероморфних функцій від поліномів, степінь яких не перевищує , через валіронівський дефект Наведено застосування цих результатів до сильних асимптотичних значень цілих та мероморфних функцій. Досліджені величини відхилень за Критовим для голоморфних та мероморфних у крузі функцій скінченного нижнього порядку. Отримано аналоги співвідношення дефектів для голоморфних та мероморфних у крузі функцій скінченного нижнього порядку. Також одержано аналог леми про логарифмічну похідну для мероморфних в одиничному крузі функцій, для яких виконана умова

.

Практичне значення отриманих результатів. Результати дисертації носять теоретичний характер. Вони можуть бути використані для подальшого розвитку теорії зростання цілих та мероморфних функцій, а також можуть бути включені в спеціальні курси з теорії цілих та мероморфних функцій.

Особистий внесок здобувача. Усі результати дисертації отримані автором самостійно. Науковому керівнику І. І. Марченку належать постановки задач.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися й обговорювалися на Міжнародній конференції „Математичний аналіз і суміжні питання” (Львів, 17-20 листопада 2005 року); Міжнародній конференції „Цілі й субгармонійні функції і суміжні питання”, присвяченій 100-річчю Б. Я. Левіна (Харків, 14-17 серпня 2006 року); Міжнародній конференції „Аналіз і топологія” (Львів, 26-31 травня 2008 року).

Публікації. Результати дисертації опубліковано в 6 наукових публікаціях, у тому числі в 3 статтях у журналах з переліку ВАК України й 3 тезах виступів на міжнародних конференціях.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 52 найменування. Загальний обсяг роботи - 115 сторінок. Список використаних джерел займає 5 сторінок.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівнику доктору фізико-математичних наук, професору Марченку Івану Івановичу за постановки задач та постійну увагу до роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

функція відхилення скінченний порядок

У вступі обґрунтовується актуальність теми, сформульовані мета і задачі дослідження, викладений зв'язок з науковими темами та програмами, подається наукова новизна та практичне значення отриманих результатів, апробація результатів дисертації, кількість публікацій.

У першому розділі зроблено огляд літератури за темою дисертаційної роботи, виділено напрямки дослідження та наведено формулювання основних результатів.

Нагадаємо головні об'єкти теорії розподілу значень мероморфних функцій, які знадобляться для формулювання основних результатів дисертації.

Нехай - мероморфна функція в області . Функція наближення до значення визначається наступним чином

де , а неванліннівська лічильна функція точок функції має вигляд

де - кількість точок функції у крузі з урахуванням їх кратностей.

Перша основна теорема Неванлінни стверджує, що сума цих двох функцій не залежить від вибору значень , тобто для фіксованої функції та , обираючи різні значення , сума буде змінюватися лише на обмежений доданок

. (1)

Функція

називається неванліннівською характеристикою мероморфної функції .

Друга основна теорема Неванлінни показує, що для більшості значень головну роль в інваріантній сумі (1) грає лічильна функція . Для будь-яких різних чисел із поширеної комплексної площини і для всіх , за виключенням, можливо, множини скінченої міри, має місце нерівність

, .

Величина

називається неванліннівським дефектом функції у точці , а величина

називається валіронівським дефектом функції у точці . Із (1) випливає наступне співвідношення:

Множина називається множиною неванліннівсь-ких дефектних значень, а множина - множиною валіронівських дефектних значень. Зрозуміло, що . Для мероморфної в області функції з другої основної теореми випливає співвідношення дефектів Р. Неванлінни:

де

.

У 1969 році В. П. Петренко поставив таке питання: як зміниться неванліннівська теорія, якщо розглянути наближення мероморфної функції у рівномірній метриці. Для цього він розглянув функцію відхилення мероморфної функції від значення :

та величину відхилення

Виявилося, що для мероморфних у всій площині функцій скінченного нижнього порядку ,

,

величини відхилень мають властивості, аналогічні властивостям неванліннівських дефектів.

Так, В. П. Петренко одержав точну оцінку для , а також деяку оцінку для ряду :

.

У 1990 році І. І. Марченко і О. І. Щерба отримали точну оцінку для суми величин відхилень :

У 1986 році Г. Франк та Г. Вайсенборн отримали узагальнення другої основної теореми Неванлінни на випадок функцій раціональних.

Для трансцендентної мероморфної функції та будь-яких різних раціональних функцій нерівність:

виконується для всіх , за виключенням, можливо, множини скінченної міри.

У 1986 році Н. Штайнмец узагальнив цей результат на випадок малих функцій. Він показав, що для множини різних мероморфних функцій таких, що

,

для кожного та для всіх , за виключенням, можливо, множини скінченної міри виконується нерівність:

.

Нехай - множина всіх раціональних функцій.

У 2007 році Е. Чеханович та І. І. Марченко дослідили величини відхилень цілих функцій скінченного нижнього порядку від функцій раціональних. З цих результатів слідує, що множина є не більш, ніж зліченою, і

Для мероморфних функцій нескінченного нижнього порядку величина може бути нескінченною. Тому, для цього випадку, є цікавим наступний результат В. Бергвайлера та Г. Бока:

(2)

Варто помітити, що , де - це сферична площа круга при відображенні , враховуючи кратність покриття, поділена на площу сфери Рімана. У зв'язку з оцінкою (2) у 1997 році О. Єременко запровадив величину:

і довів аналог співвідношення дефектів для цих величин:

.

Нерівність (2) відразу дає

У 1998 році І. І. Марченко отримав точну оцінку для через валіронівський дефект та оцінку для суми цих величин:

де , .

Для мероморфних в одиничному крузі функцій скінченного нижнього порядку,

,

величини можуть дорівнювати нескінченності. У зв'язку з цим у 1981 році О. Критовим була запроваджена та досліджена величина:

.

Ним було встановлено, що для мероморфної у крузі функції скінченного нижнього порядку виконується наступна нерівність

,

де - абсолютна стала.

У 1990 році І. І. Марченком та О. І. Щербою була отримана точна оцінка для величини :

а також аналог співвідношення дефектів для цих величин: якщо для мероморфної у одиничному крузі функції скінченного нижнього порядку виконується умова



то

(3)

Також, І. І. Марченко та О. І. Щерба отримали оцінку через валіронівський дефект:

де - найменший додатний корінь рівняння .

У другому розділі дисертації досліджується зростання мероморфних у площині функцій.

У підрозділі 2.1 отримано оцінку для суми відхилень за Єременком цілих функцій нижнього порядку , , від функцій раціональних.

Теорема 2.1. Нехай - ціла функція нижнього порядку , , - множина раціональних функцій. Тоді множина

є не більш ніж зліченою і виконується нерівність

У дисертації наведено приклад цілої функції скінченного порядку, для якої в цієї оцінці досягається рівність.

Теорему 2.1 можна узагальнити на випадок мероморфних функцій, для яких виконується умова .

Теорема 2.2. Нехай - мероморфна функція нижнього порядку , , для якої виконується умова . Тоді множина

є не більш ніж зліченою і виконується нерівність

У підрозділі 2.2 досліджуються величини відхилень за Єременком мероморфних функцій від поліномів, степінь яких не перевищує . Нехай - множина всіх поліномів степінь яких не вище ніж , а - множина всіх поліномів.

Теорема 2.3. Нехай - мероморфна функція нижнього порядку , . Тоді множина

є не більш ніж зліченою і виконується нерівність

Наслідок 2.1. Для мероморфної функції нижнього порядку , , множина є не більш ніж зліченою.

Теорема 2.4. Нехай - мероморфна функція нижнього порядку , . Тоді

де

Наслідок 2.2. Якщо для мероморфної функції виконується умова , то для всіх маємо .

У підрозділі 2.3 подано застосування отриманих вище результатів до сильних асимптотичних значень цілих та мероморфних функцій.

У 2008 році І. І. Марченко запровадив поняття -сильної асимптотичної функції:

Означення 2.1. Мероморфна функція називається -сильною асимптотичною функцією мероморфної функції , якщо існує неперервна крива , така, що

Нехай - кількість -сильних асимптотичних раціональних функцій функції . І. І. Марченко показав, що для цілої функції нескінченного нижнього порядку кількість -сильних асимптотичних раціональних функцій є скінченною і , де - ціла частина числа .

Із теореми 2.2 випливає наступний результат.

Теорема 2.5. Нехай - мероморфна функція нижнього порядку , , для якої виконується умова . Тоді кількість -сильних асимптотичних раціональних функцій є скінченною і

Нехай - кількість -сильних асимптотичних поліномів функції . Із теорем 2.3 та 2.4 випливають наступні результати:

Теорема 2.6. Для мероморфних функцій нижнього порядку , , кількість -сильних асимптотичних поліномів степеня не вище ніж є скінченною і виконується нерівність:

Теорема 2.7. Для мероморфних функцій нижнього порядку , , кількість -сильних асимптотичних поліномів степеня не вище ніж є скінченною і

де

Наслідок 2.3. Якщо для мероморфної функції виконується умова , то вона не має -сильних асимптотичних поліномів степеня не вище ніж .

У третьому розділі дисертації досліджується зростання мероморфних та голоморфних у крузі функцій.

У підрозділі 3.1 отримані оцінки суми величин відхилень мероморфних і голоморфних у крузі функцій скінченного нижнього порядку через валіронівський дефект , для яких виконується умова

. (4)

Теорема 3.1. Нехай - мероморфна в одиничному крузі функція скінченного нижнього порядку , для якої виконується умова (4). Тоді

де - найменший додатний корінь рівняння

.

Наслідок 3.1. Якщо для мероморфної в одиничному крузі функції скінченного нижнього порядку виконується умова , то для всіх маємо

Для голоморфних у крузі функцій теорему 3.1 можна уточнити.

Теорема 3.2. Нехай - голоморфна в одиничному крузі функція скінченного нижнього порядку , для якої виконується умова (4). Тоді

де - найменший додатній корінь рівняння

.

У випадку голоморфних у крузі функцій також можна уточнити оцінку (3).

Теорема 3.3. Нехай - голоморфна в одиничному крузі функція скінченного нижнього порядку , для якої виконується умова (4). Тоді

У підрозділі 3.2 отримано аналог леми про логарифмічну похідну для мероморфної в одиничному крузі функції, для якої виконується умова

. (5)

Теорема 3.4. Нехай - мероморфна функція в одиничному крузі, для якої виконано умову (5). Тоді існують дві послідовності додатних чисел , , таких, що

і для кожного існує таке, що при виконується нерівність

.

ВИСНОВКИ

У дисертації вивчаються об'єкти неванліннівської теорії, теорії Петренка, а також величини відхилень , запроваджені в роботах В. Бергвайлера, Г. Бока та О. Єременко, та величини відхилень , запроваджені А. В. Критовим. Розв'язано ряд актуальних задач з теорії цілих та мероморфних функцій.

У другому розділі дисертації досліджені величини відхилень за Єременком. Для цілих функцій нижнього порядку , , отримано оцінку для суми відхилень за Єременком від функцій раціональних. У дисертації наводиться приклад цілої функції скінченого порядку, для якої в отриманій оцінці має місце рівність. Для мероморфних функцій нижнього порядку , отримана оцінка для суми відхилень за Єременком від поліномів степінь яких не перевищує , а також отримана оцінка для цієї суми через валіронівський дефект похідної функції порядку у нулі. Подано застосування наведених вище результатів до сильних асимптотичних значень цілих та мероморфних функцій.

У третьому розділі дисертації досліджені величини відхилень за Критовим . Отримано оцінку суми цих відхилень мероморфних функцій через валіронівський дефект похідної функції в нулі (), з якої випливає, що якщо , то для всіх маємо . Крім цього, отримано оцінку для суми відхилень за Критовим голоморфних функцій. Також отримано аналог леми про логарифмічну похідну для мероморфних в одиничному крузі функцій, для яких виконується умова

.

Результати дисертації носять теоретичний характер. Вони можуть бути використані для подальшого розвитку теорії зростання цілих і мероморфних функцій, а також можуть бути включені в спеціальні курси з теорії цілих і мероморфних функцій.

У дисертації використовуються методи теорії цілих, мероморфних і субгармонійних функцій. Зокрема метод -функції Бернстейна та його варіації.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Вязовская Л. В. О росте мероморфных в круге функций конечного нижнего порядка / Л. В. Вязовская, И. И. Марченко // Вісник Харківського національного університету. Серія «Математика, прикладна математика і механіка» - 2004. - № 645.- С. 187-196.

2. Калужинова Л. В. О величинах отклонений целых функций бесконечного порядка от функций рациональных / Л. В. Калужинова, И. И. Марченко // Математические заметки. - 2009. - Т. 85, № 1. - С. 22-35.

3. Kaluzhynova L. V. On the magnitudes of deviations of meromorphic and holomorphic functions in the disc / L. V. Kaluzhynova, I. I. Marchenko // Математичні Студії. - 2006. - Т. 26, № 2. - С. 131-139.

4. Калужинова Л. В. О величинах отклонений мероморфных в круге функций / Л. В. Калужинова, И. И. Марченко // Тези доповідей Міжнародної конференції «Математичний аналіз і суміжні питання». - Львів. - 2005. - C. 13.

5. Калужинова Л. В. О величинах отклонений целых и мероморфных функций бесконечного порядка от функций рациональных / Л. В. Калужинова, И. И. Марченко // Тези доповідей Міжнародної конференції «Аналіз і топологія». - Львів. - 2008. - С. 89-90.

6. Kaluzhynova L. V. On the magnitudes of deviations of meromorphic and holomorphic functions in the disc / L. V. Kaluzhynova // Book of abstracts International conference «Entire and subharmonic functions and related topics». - Kharkiv. - 2006. - P. 18.

АНОТАЦІЯ

Калужинова Л. В. Про величини відхилень цілих та мероморфних функцій. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна, Харків, 2010.

Дисертація присвячена дослідженню зростання цілих та мероморфних функцій. Досліджено величини відхилень за Єременком цілих функцій від функцій раціональних та мероморфних функцій від поліномів, степінь яких не перевищує . Одержано точну оцінку для суми відхилень цілих функцій скінченного порядку від функцій раціональних. Отримано оцінку суми величин відхилень мероморфних функцій від поліномів, степінь яких не перевищує , через валіронівський дефект похідної функції порядку у нулі. Наведено застосування цих результатів до сильних асимптотичних значень цілих та мероморфних функцій. Для мероморфних у крузі функцій досліджено величини відхилень за Критовим. Одержано оцінку суми цих відхилень через валіронівський дефект похідної функції у нулі. Крім цього, одержано аналог леми про логарифмічну похідну мероморфної в крузі функції, для якої виконується умова .

Ключові слова: мероморфна функція, голоморфна функція, -функція Бернстейна, характеристика мероморфної функції, неванліннівський дефект, валіронівський дефект, величина відхилення за Петренком, величина відхилення за Критовим, величина відхилення за Єременком.

АННОТАЦИЯ

Калужинова Л. В. О величинах отклонений целых и мероморфных функций. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина, Харьков, 2010.

Основы современной теории распределения значений мероморфных функций были заложены в 20-х годах прошлого столетия в трудах финского математика Рольфа Неванлинны. В 30-х годах прошлого столетия в работах Л. Альфорса и Т. Симидзу был раскрыт геометрический смысл теории распределения значений.

Новым направлением теории мероморфных функций, явилась, созданная В. П. Петренко, теория роста мероморфных функций. В то время, как в неванлинновской теории приближение мероморфной функции к значению рассматривается в интегральной метрике , в теории Петренко приближение мероморфной функции рассматривается в равномерной метрике. В последнее время, после работ В. Бергвайлера, Г. Бока, А. Еременко наряду с величинами, которые изучаются в теории Неванлинны и теории Петренко, введены новые объекты, позволяющие распространять многие результаты, относящиеся к функциям конечного порядка, на функции бесконечного порядка. В 70-х годах прошлого столетия А. Бернстейн ввел *-функцию, с помощью которой был решен ряд задач комплексного анализа, в частности, теории распределения значений, которые долгое время оставались открытыми, что дало новый толчок развитию этой теории. В настоящее время исследования в этой области интенсивно ведутся как на Украине, так и за рубежом.

Диссертация посвящена исследованию роста целых и мероморфных функций. Во втором разделе исследуются величины отклонений , введенные А. Еременко для случая мероморфных в плоскости функций. Доказано, что множество рациональных функций , для которых выполняется соотношение является не более чем счетным. Также получены некоторые аналоги соотношения дефектов для этих величин. В частности, получена оценка суммы величин отклонений целых функций нижнего порядка , , от функций рациональных. В диссертации приведен пример целой функции конечного порядка, для которой в этой оценке достигается равенство. Показано также, что такая же оценка выполняется и для мероморфных функций, для которых . Исследованы величины отклонений мероморфных функций от полиномов, степень которых не превышает . Получена оценка суммы величин отклонений мероморфных функций нижнего порядка , , от полиномов, степень которых не превышает , через валироновский дефект производной функции порядка в нуле (). Из этой оценки сразу же следует, что если для мероморфной функции выполняется соотношение , то для всех полиномов, степени не выше , имеем . Во втором разделе диссертации рассмотрены приложения вышеуказанных результатов к сильным асимптотическим значениям целых и мероморфных функций. Для мероморфных функций нижнего порядка , , для которых выполнено условие , показано, что множество -сильных асимптотических рациональных функций является конечным. Для мероморфных функций нижнего порядка , , получена оценка количества -сильных асимптотических полиномов степени не выше через валироновский дефект производной функции порядка в нуле (). Из этого результата следует, что если для мероморфной функции валироновский дефект , то она не имеет -сильных асимптотических полиномов степени не выше .

В третьем разделе диссертации исследуются величины отклонений в смысле Крытова . Для мероморфных и голоморфных в круге функций, получены оценки суммы этих отклонений через валироновский дефект производной в нуле (). Из этих оценок следует, что если для мероморфной функции выполняется соотношение , то для всех имеем . Получена оценка для суммы отклонений в смысле Крытова голоморфних в круге функций. Получен аналог леммы о логарифмической производной для мероморфних в единичном круге функций, для которых выполняется условие

.

Ключевые слова: мероморфная функция, голоморфная функция, -функция Бернстейна, характеристика мероморфной функции, неванлинновский дефект, валироновский дефект, величина отклонения в смысле Петренко, величина отклонения в смысле Крытова, величина отклонения в смысле Еременко.

ABSTRACT

Kaluzhynova L. V. On the magnitudes of deviations of entire and meromorphic functions. - Manuscript.

The dissertation to obtain the degree of candidate of sciences (Ph.D.) in physics and mathematics, speciality 01.01.01 - Mathematical analysis. - Karazin Kharkiv National University, Kharkiv, Ukraine, 2010.

The dissertation is devoted to the study of growth of entire and meromorphic functions. In the thesis the Eremenko's deviations of entire functions from rational ones and of meromorphic functions from polynomials of degree not greater than are investigated. We obtained a sharp estimate for the sum of deviations of entire functions of finite lower order from rational functions. Also, an estimate for the sum of deviations of meromorphic functions from polynomials of degree not greater than by Valiron's deficiency was obtained. We applied these results to the study of strong asymptotic values of entire and meromorphic functions. For functions meromorphic in the disk we investigated the magnitudes of deviations by Krytov. There was obtained an estimate for the sum of such deviations by Valiron's deficiency. An analog of the lemma on the logarithmic derivative for the case of functions meromorphic in the unit disk with was also proved.

Key words: meromorphic functions, holomorphic functions, -function of Bernstein, deficiency of Nevanlinna, deficiency of Valiron, magnitudes of deviations by Petrenko, magnitudes of deviations by Krytov, magnitudes of deviations by Eremenko.

Підп. до друку 10.03.2010. Формат 60х841/16. Спосіб друку - ризографія.

Умов. друк. арк. 1,2. Тираж 110 прим.

Зам. № 2-201. Ціна договірна.

ХНУРЕ, 61166, Харків, просп. Леніна, 14

Віддруковано в навчально-науковому

Видавничо-поліграфічному центрі ХНУРЕ

Харків, просп. Леніна, 14

Размещено на Allbest.ru

...